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人教版八年级下册数学中考数学类比探究实战演练(含答案)

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人教版八年级数学下册专题训练(含参考答案与解析)

人教版八年级数学下册专题训练(含参考答案与解析)

人教版八年级数学下册专题训练（附答案与解析）说明：本套训练习题包含12个专题：类比归纳专题：二次根式求值的常用方法考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法思想方法专题：矩形中的折叠问题核心素养专题：四边形中的探究与创新类比归纳专题：有关中点的证明与计算解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法思想方法专题：勾股定理中的思想方法解题技巧专题：勾股定理与面积问题难点探究专题：特殊四边形中的综合性问题解题技巧专题：函数图象信息题考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y ＝－2x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.【易错7】(1)求A ，B 两点的坐标；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使OP ＝2OA ，求△ABP 的面积．3．如图，直线y ＝－x ＋10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为(8，0)，点P(x ，y)是在第一象限内直线y ＝－x ＋10上的一个动点．(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标．◆类型二 一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对称中心与原点重合，顶点A 的坐标为(－1，1)，顶点B 在第一象限，若点B 在直线y ＝kx ＋3上，则k 的值为________．第4题图 第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB ＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5，∴CC′＝AA′＝5－1＝4.∴S▱BCC′B′＝CC′·CA＝4×4＝16.即线段BC扫过的面积为16.2．解：(1)令y＝0，则－2x＋3＝0，解得x＝32；令x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)． (2)由(1)得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94.3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x ＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，52. 4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n 的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC 到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE ＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EEF ＝3 3 .在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP＝90°.∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP ＝10，∴PM ＝12E AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3 .在△ANP 和△AMP 中，⎩⎨⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3 .∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°.3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎨⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲，y 乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？◆类型二路程类问题一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？◆类型三工程类问题一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x ＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m 3)和开始排水后的时间t(h )之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？ (2)当2≤t ≤3.5时，求Q 关于t 的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎨⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3.5.答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎨⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎨⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)． 3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎨⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y乙＝⎩⎨⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）.(2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20.(2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km. 7．①②④ 8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.类比归纳专题：二次根式求值的常用方法——明确计算便捷渠道◆类型一 利用二次根式的非负性求值1．若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2018的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±12．已知a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2018＋b 2017的值是________．3．若a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝________． 4．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法1②】◆类型二利用乘法公式进行计算5．计算：(1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x＋1x＝5，求x2x4＋x2＋1的值．◆类型三整体代入求值7．已知x＝2－10，则代数式x2－4x－6的值为()A．－1 B．0 C．1 D．28．(2017·安顺中考)已知x＋y＝3，xy＝6，则x2y＋xy2的值为________．9．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．10．已知x＝13－22，y＝13＋22，求xy＋yx－4的值．参考答案与解析： 1．B 2.23．6 解析：∵a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，∴a 2－3a ＋1＋(b －1)2＝0，∴a 2－3a ＋1＝0，b ＝1，∴a －3＋1a ＝0，∴a ＋1a ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝32，∴a 2＋1a 2＝7.∴a 2＋1a2－|b |＝6. 4．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝32＝9. 5．解：(1)原式＝8＋215.(2)原式＝22－410. (3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14.7．B 8.329．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2 )(1＋ 2 )＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2 2 )2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.方法点拨：根据原式以及字母取值的特点，将原式配方、整合成含有x －y 和xy 的形式，利用整体思想代入求值．10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.∴x ＋y ＝6，xy ＝1，∴原式＝x 2＋y 2xy －4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝62－6×1＝30.思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第1题图 第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC ＝∠EFC ′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠BED ＝110°.∵四边形ABCD 为矩形，∠A ＝90°，∴∠ABE ＝110°－90°＝20°.故选B. 2．B 3.C 4.C5. 185 解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12E B C ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F＝∠D .在△AFE 与△CDE 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10.7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB ＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.解题技巧专题：正方形中特殊的证明(计算)方法——解决正方形中的最值及旋转变化模型问题◆类型一利用正方形的旋转性质解题1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.3．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，P 为正方形ABCD 外一点，且BP ⊥CP . 求证：BP ＋CP ＝2OP .◆类型二 利用正方形的对称性解题4．如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为( ) A. 3 B ．23 C ．2 6 D.6第4题图 第5题图5．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE 的最小值为________．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AC ，BE 交于点F ，MF ∥AE 交AB 于M . 求证：DF ＝MF .参考答案与解析1．322．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF ＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.4．B解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD ＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝23，故选B.5.176．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE 和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE ＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.解题技巧专题：函数图象信息题——数形结合，快准解题◆类型一 根据实际问题判断函数图象1．为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗．下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( )2．(2017·牡丹江中考)下列图象中，能反映等腰三角形顶角度数y(度)与底角度数x(度)之间的函数关系的是( )◆类型二 获取实际问题中图象的信息3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(m 2)与工作时间t(h )之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是【方法12】( )A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 2第3题图 第4题图4．(2017·河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．5．(2017·西宁中考)首条贯通丝绸之路经济带的高铁线——宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图象进行一下探究：【方法12】 【信息读取】(1)西宁到西安两地相距________千米，两车出发后________小时相遇；(2)普通列车到达终点共需________小时，普通列车的速度是________千米/时． 【解决问题】(3)求动车的速度；(4)普通列车行驶t 小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安．◆类型三 一次函数图象与字母系数的关系6．若实数a 、b 满足ab ＜0，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )7．在一次函数y ＝12ax －a 中，y 随x 的增大而减小，则其图象可能是( )参考答案与解析 1．A 2.C3．B 解析：设点A (4，1200)，点B (5，1650)，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b，则⎩⎨⎧4k ＋b ＝1200，5k ＋b ＝1650，解得⎩⎨⎧k ＝450，b ＝－600，故直线AB 的解析式为y ＝450x －600.当x ＝2时，y ＝450×2－600＝300，300÷2＝150(m 2)．故选B.4．12 解析：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图象可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 5．解：(1)1000 3(2)12 2503(3)设动车的速度为x 千米/时，根据题意，得3x ＋3×2503＝1000，解得x ＝250. 答：动车的速度为250千米/时．(4)∵t ＝1000250＝4(小时)，∴4×2503＝10003(千米)，∴1000－10003＝20003(千米)，∴此时普通列车还需行驶20003千米到达西安． 6．B 7.B思想方法专题：勾股定理中的思想方法◆类型一 分类讨论思想一、直角边与斜边不明需分类讨论1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x ，那么以x 为边长的正方形的面积为【易错3】( ) A ．13 B ．5C ．13或5D ．42．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________． 二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论3．★(2016·东营中考)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则BC 的长为【易错4】( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或104．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】◆类型二方程思想一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．◆类型三 利用转化思想求最值8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm 的正方体纸箱的A 点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是________cm .【方法5】9．如图，A ，B 两个村在河CD 的同侧，且AB ＝13km ，A ，B 两村到河的距离分别为AC ＝1km ，BD ＝3km .现要在河边CD 上建一水厂分别向A ，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】参考答案与解析 1．C 2.24或673．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD ＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.4．25或45 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴12AB ·CD ＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝22＋42＝25；如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝82＋42＝4 5.综上所述，BC的长度为25或4 5.5．17m6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝12E A B＝3.在Rt△C′BF中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.8．459．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝A′E2＋BE2＝32＋42＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________． ◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A ．48cm 2B ．24cm 2C ．16cm 2D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )A ．7cmB ．10cmC ．(5＋37)cmD ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3 B．4 C．5 D．6◆类型三巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．参考答案与解析 1．D2. 355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12E A B ·BC ＋12E A D ·CE ＝12×5×12＋12×10×12＝90.7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E＝30°.∴AE ＝2AB。

中考数学八年级下册专题训练50题含答案

中考数学八年级下册专题训练50题含答案

中考数学八年级下册专题训练50题含答案一、单选题1．若2x >-，则下列各式中错误的是（ ） A ．36x >- B ．97x +> C ．142x >- D ．714x ->2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．2、3、4B ．4、5、6C ．6、8、10D ．5、12、233．在2π、1、 17、0．313113111 中，无理数共有（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个4．若 3.5x =是某不等式的解，则该不等式可以是（ ） A ．5x >B ．>4xC ．4x <D ．3x <5．如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B 、C 两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A ，然后测量出AB 、AC 的中点D 、E ，且DE=10m ，于是可以计算出池塘B 、C 两点间的距离是（ ）A ．5mB ．10mC ．15mD ．20m6．如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′是中心对称的两个图形，下列说法不正确的是（ ）A ．S △ABC =S △A ′B ′C ′ B ．AB =A ′B ′ C ．AB∥A ′B ′D ．S △ABO =S △A ′B ′C ′7．现定义一种新的运算：a *b ＝（a +b ）﹣（a ﹣b ），例如1*2＝（1+2）﹣（1﹣2）＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，你按以上方法计算（﹣2）*1＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣48．如下图，数轴上点A 所表示的数是（ ）AB 1CD 19．已知点(),1A a -与点()3,B b --关于原点对称，则b a 的值为（ ） A ．13B ．3C ．3-D ．13-10．下列属于无理数的是( ) A ．32B C ．0.101D ．1π+11．如图，在平面直角坐标系中，将ABC 先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，则点B 的对应点的坐标为（ ）A ．(6,4)-B ．(1,3)-C ．(1,5)-D ．(3,4)-12．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示时间，y 表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）A ．张强从家到体育场用了15minB ．体育场离文具店1.5kmC ．张强在文具店停留了20minD ．张强从文具店回家用了35min13．下列运算正确的是（ ）A ．2x ·3x ＝6x B ．3C D ．2()x y +＝2x ＋2y14x 的取值范围是（ ） A ．52x ≤B ．52x ≥-C ．52x ≤-D ．52x ≥15．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. A ．B ．C ．D ．16．下列说法中，错误的是（ ） △正数．负数和零统称有理数； △无限小数是无理数；△数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； △实数分为正实数和负实数两类． A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△17．如图1，在四边形ABCD 中//AB CD ，90B ，AC =AD∥动点P 从点B 出发沿折线B A D C →→→的方向以1个单位长度/秒的速度运动．在整个运动的过程中，BCP 的面积S （平方单位与运动时间（秒）的关系如图2所示，则线段AD 的长为（ ）A B ．8 C D ．1018．一次函数y =（m －2）xn －1+3是关于x 的一次函数，则m ，n 的值为（ ） A ．m ≠2，n =2B ．m =2，n =2C ．m ≠2，n =1D ．m =2，n =119．已知1＜x ≤2，则|x ﹣3|+的值为（ ）A ．2x ﹣5B ．﹣2C ．5﹣2xD ．220．如图，分别以正方形ABCD 的两条边AD 、CD 为边向外作两个正三角形，即△ADG 与△CDF ，然后延长GA ，FC 交于点E ，得到一个“镖型”ABCE ．已知正方形ABCD 的边长为2，则“镖型”ABCE 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．选择适当的不等号填空：若a b >，且b c >，则a ______c ．22．直线y =2x -4与两坐标轴围成的三角形面积为___________________． 23．阅读材料：设a →,＝(x 1，y 1)，b →,＝(x 2，y 2)，如果a →,△b →,，则x 1·y 2＝x 2·y 1．根据该材料填空：已知a →,＝(4，3)，b →,＝(8，m )，且a →,△b →,，则m ＝____．24．已知点A （2m ，﹣3）与B （6，1﹣n ）关于原点对称，则m +n =_____． 25．已知不等式x ＋6＜3x －m 的解集是x ＞4，则m ＝________．26． 是同类二次根式，则a 的值为________．27．若21112m x +-＞5是关于x 的一元一次不等式，则m ＝_____．28．将直线3y x =-向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________． 29．ABCD 中，△A 的平分线AE 交DC 于E ，如果△DEA=25°，那么△B=_______°．30x 的取值范围是_____．31．若m ，n 为实数，且|2m+n ﹣，则（m+n ）2019的值为____________________ ．32．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，分别取DE ，BF 的中点M ，N ，连结AM ，CN ，MN ，若影部分图形的面积和为________．334a -，则a 与4的大小关系是___．34．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC ＝5，BD ＝4，则△ADE 的周长是______．35．根据图所示的拼图的启示填空．(1)________；(2)________；(3)________=．36．若一次函数12y kx =+经过点（-2，0），则k =_____________.37，那么xy 的值为____________38．直线-y 2x 4=+与两坐标轴所围成的三角形面积为__________．39．数轴上从左到右依次有,,A B C 三点，,,A B C 三点表示的数分别为a ，b ，其中b 为整数，且满足|3||2|2a b b ++-=-，则b a -=__________.40．将直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后过点（1，a ﹣2），则a ＝_____．三、解答题41．（1）解不等式组32122x x x -≤⎧⎪⎨->-⎪⎩①② 解：△解不等式△，得 ； △解不等式△，得 ；△把不等式△和△的解集在数轴上表示出来：△原不等式组的解集为 ． （2）解方程：12x -＋1＝232x x --．42．已知11a A a a a -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭．(1)化简A ；(2)如图，在菱形ABCD 中，()0AB a a =>，对角线2BD =，若ABD △的周长为求A 的值．43．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点(1,5)A 与点(4,2)B ，一次函数32y x =+的图象为直线2l ．（1）求此直线1l 的解析式；（2）过动点(,0)P n 且垂直于x 轴的直线与12,l l 的交点分别为,C D ，当点C 位于点D 上方时，请直接写出n 的取值范围44．对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定： （a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）★（3，－2）= ；（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=12，则x = ；（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=3＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 45．如图，在梯形ABCD 中，90C D ∠=∠=︒，利用面积法证明勾股定理．46．计算：（1）)11（2)1+47．某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离千米与行走时间分钟的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题： （1）此人离开出发地最远距离是______ 千米；（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为______ 分钟；（3）由图中线段OA 可知，此人在这段时间内行走的速度是每小时______ 千米； （4）此人在120分钟内共走了______ 千米．48．（1）计算：1021sin 30-︒+-（-））；（2）化简：211+a a a a+- 49．小李在学校“青少年科技创新比赛”活动中，设计了一个沿直线轨道做匀速直线运动的模型．甲车从A处出发向B处行驶，同时乙车从B处出发向A处行驶．如图所示，线段1l、2l分别表示甲车、乙车离B处的距离y（米）与已用时间x（分）之间的关系．试根据图象，解决以下问题：（1）填空：出发_________（分）后，甲车与乙车相遇，此时两车距离B处________（米）；（2）求乙车行驶1.2（分）时与B处的距离．50．期末考试结束后，学校计划购买笔和笔记本奖励成绩优秀和进步的同学，现派小婷去文具店购买．(1)已知购买2支笔和3本笔记本需要25元，购买1支笔和2本笔记本需要16元，则笔和笔记本的单价分别为多少元？(2)若学校需购买笔和笔记本共80件，且要求笔记本的数量不能少于20本，总费用不得超过220元，经与文具店协商，老板同意给小婷8折优惠，请问小婷有几种购买方案？哪种方案最优惠？参考答案：1．D【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A ．△2x >-， △36x >-，故本选项不符合题意； B ．△2x >-， △+92+9x >-，△+97x >，故本选项符合题意； C ．△2x >-， △21=442x >--，故本选项不符合题意； D ．△2x >-，△714x -＜，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：△不等式的性质1：不等式的两边都加或减同一个数（或式子），不等号的方向不变；△不等式的性质2：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；△不等式的性质3：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 2．C【分析】根据勾股定理逆定理，即可逐个判断是否构成直角三角形． 【详解】解：A 、222234+≠，故不能作为直角三角形； B 、222456+≠，故不能作为直角三角形； C 、2226810+=，故能作为直角三角形； D 、22251223+≠，故不能作为直角三角形． 故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的构成条件勾股定理逆定理，属于基础题型． 3．A【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．、1、17、0．313113111是有理数；2π是无理数． 故选A ．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：△π类，如2π，3π等；△△虽有规律但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 4．C【分析】根据不等式的解与不等式的解集之间的关系求解即可．【详解】解：依题意， 3.5x =是某不等式的解，则不等式的解集应包含 3.5x =， 故选择：C ．【点睛】本题主要考查不等式的解集与不等式的解，明确不等式得解集与不等式的解之间的关系是解题的关键． 5．D【分析】根据三角形中位线定理可得到BC=2DE ，可得到答案． 【详解】△D 、E 分别为AB 、AC 的中点， △DE 为△ABC 的中位线， △BC=2DE=20m ， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 6．D【分析】根据中心对称图形的性质依次分析判断．【详解】选项A ，根据中心对称的两个图形全等，即可得到△ABC △△A ′B ′C ′，所以S △ABC =S △A ′B ′C ′ ，选项A 正确；选项B ，根据中心对称的两个图形全等，即可得到△ABC △△A ′B ′C ′，所以AB =A ′B ′ ，选项B 正确；选项C ，根对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，选项C 正确；选项D，不正确．故选D．【点睛】此题考查了中心对称图形的性质：△对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分；△成中心对称的两个图形全等；△中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分；区分：中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形．熟记中心对称图形的性质是解题的关键．7．A【分析】根据a*b=（a+b）-（a-b），用-2、1的和减去它们的差即可．【详解】解：△a*b=（a+b）-（a-b），△（-2）*1=[（-2）+1]-[（-2）-1]=（-1）-（-3）=2故选：A【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，关键在于认真的列式计算．8．D【分析】先根据勾股定理计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1-（-1）＝2，CD＝1，，△BA＝BC，，△点A．故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．9．A【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数求出a 、b 的值，然后代值计算即可．【详解】解：△点(),1A a -与点()3,B b --关于原点对称，△()()331a b ⎧=--=⎪⎨-=--⎪⎩，即31a b =⎧⎨=-⎩， △1133b a -==， 故选A ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，负整数指数幂，代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．10．D【分析】根据无理数的三种形式：△开方开不尽的数，△无限不循环小数，△含有π的数，结合各选项进行判断即可．【详解】A.32是有理数，故该选项不符合题意，，是有理数，故该选项不符合题意，C.0.101是无限循环小数，是有理数，故该选项不符合题意，D.1π+是含有π的数，是无理数，故该选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题关键．11．B【分析】根据平移规律－横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减，进行计算即可．【详解】解：由题意可得：点B 的坐标为（－2，1），将ABC 先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，则点B 的对应点的坐标为(1,3)-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化一平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．12．B【分析】利用图象信息解决问题即可．【详解】解：由图可知：A.张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意；-=，故选项错误，符合题意；B.体育场离文具店的距离为：2.5 1.51kmC.张强在文具店停留了：6545=20min-，正确，不符合题意；D.张强从文具店回家用了10065=35min-，正确，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．13．C【分析】根据运算法则和计算公式对照判定即可．【详解】△2x·3x＝5x，△A错误，不符合题意；△B错误，不符合题意；△C正确，符合题意；△222+=++，x y x xy y()2△D错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式展开是解题的关键．14．B【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解．【详解】解：由题意得5+2x≥0，△52x≥-．故选B．)0a≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．也考查了一元一次不等式的解法.15．D【详解】试题分析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点睛】此题考查中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．16．A【分析】△根据有理数的分类即可判定；△根据无理数的定义即可判定；△根据数轴上的点与实数的对应关系即可判定；△根据实数的分类即可判定．【详解】解：△应为正数、负数和零统称实数，故说法错误；△应为无限不循环的小数是无理数，故说法错误；△数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数，故说法正确；△实数分正实数、负实数和0，故说法错误．△有△△△三个错误．故选：A．【点睛】本题主要考查实数的有关概念，掌握并熟练运用概念是解本题的关键．17．C【分析】当5t=时，点P到达A处，即5AB=；当40s=时，点P到达点D处，即可求解．【详解】解：当5t =时，点P 到达A 处，过点A 作AE CD ⊥交CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形，△AC AD =， △12DE CE CD ==， 当40s =时，点P 到达点D 处，则11(2)540.22S CD BC AB BC BC =⋅=⋅=⨯=， △8BC =，△AD AC =故选：C ．【点睛】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．18．A【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【详解】解：△一次函数y =（m －2）xn －1+3是关于x 的一次函数，△n －1=1，m －2≠0，解得：n =2，m ≠2．故选A ．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握系数和次数是解题关键．19．C【详解】△1＜x≤2，△x-3＜0，x-2≤0，△原式=3-x+（2-x ）=5-2x ．故选C ．20．D【分析】延长CB交AE于点N，根据等边三角形的性质和正方形的性质，勾股定理解答．【详解】解：延长CB交AE于点N，延长AB交CE于点M，如图△ABCD为正方形，△AB＝BC＝AD＝CD＝2，△ABC＝△BCD＝△CDA＝△DAB＝90°，△△ABN＝180°﹣△ABC＝90°，△△CDF，△ADG是以AD，CD为边的等边三角形，△△GAD＝△DCF＝60°，△△BAN＝△180°﹣△GAD﹣△DAB＝30°，△BCE＝180°﹣△DCF﹣△BCD＝30°，在四边形ADCE中，△E＝360°﹣△CDA﹣△DAE﹣△DCE＝30°，△△E＝NCE＝30°，△NC＝NE，在Rt△ABN中，△BAN＝30°，设BN＝x，AN＝2x，△AB2+BN2＝AN2，即22+x2＝4x2，解得，xCN＝NE＝△AE＝AN+NE＝，同理CE＝，△镖形周长＝AE+CE+BC+BA＝2（）+2+2＝8+故选：D．【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质解答．21．>【分析】根据不等式的传递性直接判断即可．【详解】解：△a b >，且b c >，△a c > ，故答案为：>．【点睛】本题考查不等式的传递性质．掌握这一性质是关键．22．4【分析】画出一次函数的图象，再求解一次函数与坐标轴的交点,A B 的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.【详解】解：如图，令0,x = 则4,y =-令0,y = 则240,x -= 解得2,x =2,0,0,4,A B 1244,2AOB S 故答案为：4【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，利用数形结合的方法解题是解本题的关键.23．6【分析】根据题意可得出4m ＝3×8，然后解方程即可求出答案．【详解】由题意得4m ＝3×8，解得m ＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握定义的新运算的含义是解题的关键．24．-5【详解】△点A （2m ，﹣3）与B （6，1﹣n ）关于原点对称，△2m =﹣6，1﹣n =3，解得m =﹣3，n =﹣2，△m +n =﹣3+（﹣2）=﹣5．故答案为：-5【点睛】关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 25．2【分析】解不等式，得到x 的解，再进行解答即可得到答案.【详解】x ＋6＜3x －m2x 6m >+x 32m ∴>+ 已知不等式x ＋6＜3x －m 的解集是x ＞4，342m ∴+= 12m ∴= m 2∴=故答案为2【点睛】此题重点考查学生对不等式的解的理解，把握不等式的解与m 的关系是解题的关键.26．3【详解】解：△2a -4=2，解得a =3．故答案为：3．27．0.【分析】运用一元一次不等式的定义直接可得．【详解】∵21112m x +-＞5是关于x 的一元一次不等式， ∴2m +1＝1，∴m ＝0故答案为0.【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练运用不等式的定义解决问题是本题的关键．28．32y x =--【分析】根据函数解析式“上加下减”的原则解答即可．【详解】将直线3y x =-向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为32y x =--. 故答案为：32y x =--．【点睛】本题考查了一次函数的图象与平移，函数图象平移时，函数解析式“上加下减”. 29．130°．【详解】试题分析：已知△BAD 的平分线AE 交DC 于E ，△DAE=25°，根据角平分线的定义得到△BAD=2△DAE=50°，在ABCD 中，根据根据平行四边形的邻角互补和平行四边形的对角相等的性质可得△C=△BAD=50°，△B=180°-△C=130°．考点：平行四边形的性质．30．x ≥4．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案．【详解】解：依题意有x ﹣4≥0，解得x ≥4．故答案为：x ≥4．【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 31．-1【分析】根据几个非负数和的性质得到210280m n m n +-=⎧⎨--=⎩，然后解方程组得到m 、n 的值．再代入（m+n ）2019计算即可；【详解】，△210280m n m n +-=⎧⎨--=⎩， 解得23m n =⎧⎨=-⎩， △（m+n ）2019=（2-3）2019=-1；故答案为-1【点睛】考查了几个非负数和的性质以及解二元一次方程组．32．【详解】根据矩形的对称性，利用割补法，把BCN △的面积转到△AMD 的面积，如下图，则图中阴影部分图形的面积和恰好是矩形的一半.S==△矩形的面积ABCD△则图中阴影部分图形的面积和为故答案为33．4a≥【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质即可得．【详解】解：()-=-=-，a a a444∴-≤，a40∴≥，4aa≥．故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．34．9【分析】根据旋转的性质△BCD旋转后三角形不发生变化，前后两三角形一样；再根据旋转角度判断△BDE的性质求解．【详解】解：△△BCD绕点B逆时针旋转得到△BAE，△AE=DC，BE=BD，△△ABC是等边三角形，旋转后BC和BA重合，△旋转角度是60°，△△EBD=60°，△△BDE是等边三角形，△DE =BD =4，三角形ADE 的周长=AE ＋AD ＋DE =DC ＋AD ＋DE =AC ＋BD =5＋4=9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角度推出三角形BDE 是等边三角形是解题关键．35．(1)【详解】面积为2，面积为8的正方形是由4个面积为2的正方形拼成的，△其边长为面积为32的正方形是由16个面积为2的正方形拼成的，△其边长为面积为128的正方形是由64个面积为2的正方形拼成的，△其边长为==36．k=1【分析】根据一次函数图象的性质，把点（-2，0）代入12y kx =+求出k 即可.【详解】解：依据题意得022k =-+，解得k=1故答案为：k=1.【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握性质把点代入函数解析式是解题的关键.37．-6【分析】根据算术平方根的非负数性质列式求出x 、y 的值，然后相乘即可得解．0≥0△x -3=0，y +2=0，解得x =3，y =-2，所以，xy =3×（-2）=-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了算术平方根的非负数的性质.几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．38．4【分析】先求出x=0,y=0时对应的y,x 值,利用点的坐标的几何意义即可求得直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形面积【详解】当x=0时,y=4;当y=0时,x=2;所以直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形面积是12 ×4×2=4.故答案为4【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于次函数图象上点的坐标特征39．5或 6【分析】由已知可得a <b ,根据非负数性质可得2b ≥3a ，+=0，又b 为整数所以a=-3,b=2或3.【详解】由已知可得a <b , 因为322a b b ++-=-所以2b ≥3a ，+=0 又b 为整数所以a=-3,b=2或3所以，b a -=2-（-3）=5，或b a -=3-（-3）=6故答案为5或 6【点睛】理解绝对值和非负数性质是解题关键.40．5【分析】根据平移规律可得，直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x +2，然后把（1，a ﹣2）代入即可求出a 的值．【详解】解：将直线y ＝x 沿y 轴正方向平移2个单位后得y ＝x +2，根据题意，将（1，a ﹣2）代入，得：1+2＝a ﹣2，解得：a ＝5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”．41．（1）△1x ≤；△4x <；△作图见解析；△1x ≤；（2）12x =【分析】（1）△根据一元一次不等式的步骤求解即可．△根据一元一次不等式的步骤求解即可．△根据不等式△和不等式△的解在数轴上作图即可．△选取不等式△和不等式△的公共部分即可得到原不等式组的解．（2）根据分式方程的步骤求解即可．【详解】解：（1）△移项，得32x x -≤．合并同类项，得22x ≤．系数化为1，得1x ≤．故答案为：1x ≤．△系数化为1，得4x <．故答案为：x <4．△作图如下：△原不等式组的解集为1x ≤．故答案为：1x ≤．（2）方程两边乘（x -2），得()1223x x +-=--．去括号，得1223x x +-=-+．移项，得3212x x -=--+．合并同类项，得21x -=-．系数化为1，得12x =． 检验：当12x =时，20x -≠． 所以，原分式方程的解为12x =．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握这些知识点是解题关键． 42．(1)1A a =+【分析】（1）先将括号内式子通分，再将分式除法转变为分式乘法，约分化简即可；（2）由菱形的性质得AD AB a ==，则ABD △的周长2AD AB BD a a ++=++=出a 值，代入（1）的结果即可求解．(1) 解：21111(1)(1)11a a a a a a A a a a a a a a a ---+-⎛⎫=-÷=÷=⋅=+ ⎪-⎝⎭； (2)解：由菱形的性质可得AD AB a ==，△对角线2BD =，ABD △的周长为△ 2AD AB BD a a ++=++=△1a ==， 由（1）得1A a =+，△11A =+=【点睛】本题考查分式的化简求值、菱形的性质等，熟练掌握分式的运算法则及菱形的性质是解题的关键．43．(1)6y x =-+；(2) 1n < 【分析】(1)利用待定系数法即可求得直线1l 的解析式；(2)求得两直线6y x =-+，32y x =+的交点坐标，画出图像，由图象可知直线1l 在直线2l 上方即可，由此即可写出n 的范围．【详解】(1)设直线1l 的解析式为y mx b =+，△直线1l 经过点A (1，5)，B (4，2)，△524m b m b =+⎧⎨=+⎩，解得：16m b =-⎧⎨=⎩， △直线1l 的解析式为6y x =-+；(2)联立632y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得：15x y =⎧⎨=⎩， △过动点(,0)P n 且垂直于x 轴的直线与1l 、2l 的交点分别为C 、D ，如图：观察图像可知当1n <时，直线1l 在直线2l 上方，点C 位于点D 上方，故答案为：1n <．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的，结合图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．解题的关键是掌握数形结合的思想．44．（1）13；（2）2 ;（3）k =0，－1，－2，－3【分析】（1）根据（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad ，将相应式子代入，即可求解； （2）根据（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad ，将相应式子代入，可求出x 的值；（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=3＋2k 时，将相应式子代入，可得323x k =+，根据x 是整数，得出3必须是2k+3的整数倍，依此进行求解. 【详解】（1）根据（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad ，可得（2，3）★（3，－2）=33(2)29413⨯--⨯=+=；（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=12，可得(21)3(1)12x x -++=，解得x=2；（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=3＋2k 时，(21)3()32k x x k k -++=+，解得：323x k =+ △x 是整数，可得3一定是2k+3的倍数，即323k ≥+，解得0k ≤，依次将k =0，－1，－2，－3带入可得x 均为整数，故当k =0，－1，－2，－3时满足题意.【点睛】本题考查有理数的混合运算，属于新题型，即定义一种新的运算规则，让学生依据新规则进行有理数的混合运算，掌握有理数的四则运算是解题的关键.45．证明见解析．【分析】用以下两种方法分别计算梯形ABCD 的面积，再利用同一个几何图形的面积相等得到等式变形即可证明得到“勾股定理”；方法（1）：S 梯形=12(上底+下底)⨯高；方法（2）ADE ABE BCE S S S S =++△△△梯形．【详解】由题意可得：在△ADE 和△ECB 中，AD CE AE EB DE CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△ADE △△ECB ，△△AED =△EBC ，△EBC +△BEC =90°，△△AED +△BEC =90°，△△AEB =90°．△（1）：S 梯形=12(上底+下底)⨯高 =22111()()222a b a b a ab b ； （2）：ADE ABE BCE S S S S =++△△△梯形＝2111222ab ab c ++； △2221111122222a ab b ab ab c ++=++， 所以222111222a b c +=， △222+=a b c ．即：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【点睛】本题考查了图形面积的不同表示，直角三角形的性质，勾股定理的证明，熟练掌握梯形面积的不同表示是解题的关键．46．（1）2；（21【分析】（1）利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，再利用零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【详解】解：（1）原式=221-=3-1=2；（2）原式=1，=1，1，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．47．（1）4；（2）20；（3）4.5；（4）8.【分析】(1)此人最远到达了C处，所以此人离开出发地最远距离是4千米;(2)此人到达A处时开始休息,在B处又开始出发，所以用了20分钟;(3)求速度用距离与时间的比即可,注意把分钟化为小时;(4)把每段的距离相加即可.【详解】由图象得：此人离开出发地最远距离是4千米；此人在这次行走过程中，停留所用的时间为分钟；分钟小时，千米时此人在这段时间内行走的速度是每小时千米；此人在120分钟内共走了千米．故答案为．【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解本题的要点在于正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决，需注意计算单位的统一.48．（1）原式=0；（2）原式21a =-. 【详解】分析：(1)根据特殊三角函数值、零指数幂、负指数幂的定义解答;(2)先因式分解，再通分相加,最后相乘约分即可.详解：（1）原式111022=+-=； （2）原式21a =-.=1(1)22(1)(1)(1)1a a a a a a a a a a +-+==----. 点睛：（1）考查了实数的运算,熟记负指数幂、零指数幂和特殊三角函数值是解题的关键.(2)考查了分式的混合运算,熟悉通分和因式分解是解题的关键.49．（1）0.6，2.4；（2）4.8米【分析】（1）甲乙相遇即图象交点（0.6，2.4）（2）根据图象解出两条直线的解析式，再由题意得到乙车行驶1.2（分）时与B 处的距离．【详解】（1）甲乙相遇即图象交点（0.6，2.4）△出发0.6（分）后，甲车与乙车相遇，此时两车距离B 处2.4（米）；故答案为0.6和2.4（2）假设直线l 2的解析式为y=kx ，将点（0.6，2.4）代入得，y=4x当x=1.2时，y=4.8△乙车行驶12（分）时与B 处距离为4.8米．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数是解答本题的关键． 50．(1)笔的单价为2元，笔记本的单价为7元(2)共有4种购买方案，其中购买60支笔，20本笔记本时，最优惠【分析】（1）设笔的单价为x 元，笔记本的单价为y 元，由购买2支笔和3本笔记本需要25元，购买1支笔和2本笔记本需要16元，建立方程组即可；（2）设小婷购买了a 支笔，则购买了()80a -本笔记本，再建立。

八年级数学上册 三角形全等之类比探究(习题及答案)(人教版)

八年级数学上册 三角形全等之类比探究(习题及答案)(人教版)

三角形全等之类比探究（习题）➢ 例题示范例1：已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，AD =AF ，∠DAF =90°，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF +CD =BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．图2图1ABCDEFFED CBA【思路分析】结合题目特征，本题为类比探究问题． 解决方法：（1）根据题目条件及（1）问中D 在线段BC 上，证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，结论可证．（2）用解决第（1）问的方法解决后续问题，方法上完全照搬．如图2，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CD =CF ； 如图3，通过证明△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD =CF ，进而得到BC +CF =CD ． 【过程书写】 证明：如图，图3ABC DEF图1FEDCBA∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BD +CD =BC ∴CF +CD =BC （2）BC +CD =CF（3）BC +CF =CD ，理由如下： ∵∠DAF =90°，∠BAC =90° ∴∠BAD =∠CAF 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ） ∴BD =CF ∵BC +BD =CD ∴BC +CF =CD➢ 巩固练习1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ，如图1．图3AB CDF（1）求证：AC =CE ．（2）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图2的位置（C 1，C 2不重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由． （3）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图3的位置（B ，C 2重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．2. （1）【问题发现】小明学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 的中点，且满足∠ADE =60°，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD 与DE 的数量关系：图3图2图1ABC DEEDB AEDB 2)A2C 1C 1_______________；（2）【类比探究】如图2，当点D 是线段BC 上（除B ，C 外）任意一点时（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】如图3，当点D 在线段BC 的延长线上（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．图1FED CB A图2EDCBA图3EDC B A3. 如图1所示，在△A B C 和△A D E 中，A B =A C ，A D =A E ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ． （1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1A BCDE M N【参考答案】1. 证明略路线图： (AAS) A DCEABC CDE AC CE∠=∠↓↓=△≌△ 提示：（1）AC=CE ，由垂直转互余可以得到∠A =∠DCE ， 结合BC=DE 证明△ABC ≌△CDE ，得到对应边相等， 可以得到AC=CE ．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ． （3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC 1=C 2E ．2. 证明略D DF AC AB F 过点作∥，交于点路线图(AAS)BDF BF BD AF CDADF DEC AD DE ↓==↓↓=△为等边三角形，△≌△ 提示：（1）AD =DE（2）AD =DE 成立，根据△ABC 以及△BDF 是等边三角形，得到AF =DC ，再结合∠ADE =60°，倒角，得到∠DAF =∠EDC ，结合外角平分线，知∠DCE =∠AFD =120°，得到△ADF ≌△DEC ，得到对应边相等，可得AD =DE ．（3）成立，照搬第二问的字母、思路和过程可以得到AD =DE ．3. 证明略路线图(SAS) (SAS) BAE CAD BE CD ABE ACD ABM ACN AM AN AMN ↓=∠=∠↓↓=↓△≌△，△≌△△是等腰三角形提示：（1）由已知条件先证明△BAE ≌△CAD (SAS)，得到BE=CD ，结合第一次全等提供的条件证明△ABM ≌△ACN (SAS)得到AM=AN ，因而△AMN 是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD ，△AMN 是等腰三角形．。

2021年中考数学总复习 直线形综合 类比探究型专题训练(不用相似)(含答案与解析)

2021年中考数学总复习 直线形综合 类比探究型专题训练(不用相似)(含答案与解析)

类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ，∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQcos ∠DEP ＝2√33， ∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ．∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°，∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA ＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP ＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE⊥CG，理由如下：延长线段AE、GC交于点H，∵AD∥BC，∴∠CEH＝∠DAE，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ； （2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64， ∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°，∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°，∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ，∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）； 若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ，∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ， ∵∠ABC ＝90°，∴BH ⊥HE ，BH ＝12ME ＝HE ；（2）结论仍然成立．BH ⊥HE ，BH ＝HE ．理由如下：延长EH 交BA 的延长线于点M ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ABE ＝∠BEF ＝90°，AB ＝BC ，AB ∥CD ∥EF ，CE ＝FE ，∴∠HAM ＝∠HFE ，∴△AHM ≌△FHE （ASA ），∴HM ＝HE ，AM ＝EF ＝CE ，∴BM ＝BE ，∵∠ABE ＝90°， ∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝EH ；（3）延长EH 到M ，使得MH ＝EH ，连接AH 、BH ，如图3所示：同（2）得：△AMH ≌△FEH （SAS ），∴AM ＝FE ＝CE ，∠MAH ＝∠EFH ， ∴AM ∥BF ，∴∠BAM +∠ABE ＝180°，∴∠BAM +∠CBE ＝90°，∵∠BCE +∠CBE ＝90°∴∠BAM ＝∠BCE ，∴△ABM ≌△CBE （SAS ），∴BM ＝BE ，∠ABM ＝∠CBE ，∴∠MBE ＝∠ABC ＝90°，∵MH ＝EH ，∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝MH ＝EH ，在Rt △CBE 中，BE ＝√CB 2−CE 2＝12，∵BH ＝EH ，BH ⊥EH ，∴BH ＝√22BE ＝6√2．12．解：（1）GF ＝GC ．理由如下：如图1，连接GE ， ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴∠EFG ＝90°，∴Rt △GFE ≌Rt △GCE （HL ），∴GF ＝GC ； （2）设GC ＝x ，则AG ＝4+x ，DG ＝4﹣x ， 在Rt △ADG 中，62+（4﹣x ）2＝（4+x ）2， 解得x ＝94．∴GC ＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠B ＝∠AFE ，∴EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵矩形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ， ∵∠ECD ＝180°﹣∠D ，∠EFG ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠B ＝180°﹣∠D ，∴∠ECD ＝∠EFG ，∴∠GFC ＝∠GFE ﹣∠EFC ＝∠ECG ﹣∠ECF ＝∠GCF ，∴∠GFC ＝∠GCF ，∴FG ＝CG ；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE ＝CE ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ，∴BD ∥CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DF ＝BC ，DF ∥BC ， （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，即∠ABE +∠CBE ＝90° ∵△BEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝2BE ＝2BH ，∠BEH ＝∠BHE ＝45°， ∠EBH ＝90°，即∠CBH +∠CBE ＝90° ∴∠ABE ＝∠CBH ， ∴△ABE ≌△CBH （SAS ）， ∴AE ＝CH ，∠AEB ＝∠CHB ，∴∠CHE ＝∠CHB ﹣∠BHE ＝∠CHB ﹣45°＝∠AEB ﹣45°， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴EF ＝HC ，∠FEH ＝360°﹣∠AEF ﹣∠AEB ﹣∠BEH ＝225°﹣∠AEB ， ∴∠CHE +∠FEH ＝∠AEB ﹣45°+225°﹣∠AEB ＝180°， ∴EF ∥HC 且 EF ＝HC ， ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴CF ＝EH ＝√2BE ；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

中考专题数学解答组与旋转有关的类比探究题

中考专题数学解答组与旋转有关的类比探究题

几何综合——旋转+线段1.已知∠ACD=90∘，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.(1)问题发现如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为.(2)拓展探究当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明。

(3)解决问题当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C. D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30∘，BD=2时，CB= .解答：(1)如图1,过点CE作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠ACB,∠BCD=90∘−∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360∘，∴∠BAC+∠D=180∘，∵∠CE+∠BAC=180∘，∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE+AB=DB+AB，(2)如图2,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘+∠ACB,∠BCD=90∘+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFB,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE−AB=DB−AB，(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠DCE，∠BCD=90∘−∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFC,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠BFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AB−AE=AB−DB，∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC=∠CBE=45∘，∵∠ABD=90∘，∴∠DBH=45∘过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，2.如图所示,平行四边形ABCD中,∠B=60∘,将一块含60∘的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转,且60∘角的顶点始终与点C重合,角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).(1)问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想。

中考数学类比探究实战演练(讲义习题及答案)可自由编辑

中考数学类比探究实战演练(讲义习题及答案)可自由编辑

中考数学实战演练之类比探究、动态几何专项训练第22题常考查类比探究，对推理能力和思维水平要求较高，对知识结构的应用意识要求较强．有时会考查动态几何问题．答题标准动作1.试卷上探索思路，演草纸上演草．2.合理规划答题区域：两栏书写，先左后右．3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁．22题作答要明确关键步骤，通过关键步骤之间的顺承关系来表达思路．过程应简洁、结论要突出，以便于清晰地展示解题思路；但在整个过程书写中，关键步骤不可或缺．如类比探究问题，问与问之间，关键步骤要互相对应，书写框架要保持一致；变化的部分，模块书写进行论证即可．动点问题，先分段，再对每种情形做出解答．中考数学类比探究实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）问题呈现：如图1，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE =DG ，求证：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ．（S 表示面积） 实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E ，G 作BC 边的平行线，再分别过点F ，H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1，B 1，C 1，D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD +1111A B C D S 矩形．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH ，S 矩形ABCD 与1111A B C D S 矩形之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E ，F ，G ，H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH =11，HF，求EG 的长． （2）如图5，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E ，H 分别在AB ，AD 上，BE =1，DH =2，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的动点，且FG接EF ，HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．HG FE D CBA D 1C 1B 1A 1H G FE DCBA HGFED C BA图1 图2 图3GHFE D CBAHEDCB A图4 图5中考数学类比探究实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB ==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．D CB A图1EDBA图2FEMDCBA图3中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED 处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CECD，从而得出结论：AC+BCCD．DCBA图1 图2 图3 简单应用：（1）在图1中，若ACBC=CD=__________．（2）如图3，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，=，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）．DCB图4 图5（4）如图5，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=13AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是__________．BAEDCBA【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22. 问题呈现：证明略实验探究：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD -1111A B C D S 矩形应用迁移：（1）EG 的长为2．（2）四边形EFGH 面积的最大值为172．中考数学类比探究实战演练（二）22. （1AD +BD =CD ；（2）①证明略；②BF 的长为中考数学类比探究实战演练（三）22. （1）3；（2）CD 的长为2；（3）CD 的长为)2n m -；（4AC =AC =．中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____． （2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =_______（用含n 的代数式表示）．②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=CE 的长．图1FE DCBA图2F E DCB A图3DCAABCD备用图【参考答案】22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE的长为或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM ⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ． （1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，请直接写出AN 与CN 之间的数量关系．图1NM E DCBACBA DE M N 图2图3N M E DCBA中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D BO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．GFDC BE(A)图1EGFDCBA图2AECDFG(B)图3中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由． 【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．FDE CBA图1ABCEF D图2中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ． （2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ． （3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC 的值为常数t ，则t =_______．F EDB A HF EDC BAF E DBA图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）． 求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）． 求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．图1G FE D CB AN图2M FE D CB A图3FED CBA中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是______________，位置关系是________；（2）如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；（3）如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．G FE D CBA图1 G FEDC BA图2DAB CEF G图3中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系．（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD 的值（用含k 的式子表示）．C (D )AFE图1CBD AF E图2CBD AFE图3中考数学类比探究实战演练（十三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求． （1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECPA图2P图3DCBA中考数学类比探究实战演练（十四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）点A，B分别是两条平行线m，n上任意一点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．（1）如图1，当∠ABC=90°，k=1时，判断线段EF和EB之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC=90°，k≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF和EB之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC＜90°，k=1时，探究EF和EB之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1·S2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值．（3）拓展延伸：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1·S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）；②如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3F图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题22. （10分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB =∠AED =90°，∠CAB =∠EAD =60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF =CF ，以下是她的证明过程．①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，判断△CEF 的形状并给出证明． F C ED B A PB C FED A图1 图2【参考答案】中考数学类比探究实战演练（五）22.（1）证明略．（2）AN=n·CN．（3）AN=m2n·CN．中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）AD=2OM；AD⊥OM；（2）成立，证明略；（3）不发生变化，证明略．中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）成立，证明略；（3）EF bEG a=．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）①∠EAF=120°；②DE与EF相等，理由略；（2）①∠EAF=90°；②DB2+AE2=ED2．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十）22.（1）证明略；（2）证明略；（3）EF2=2(BE2+DF2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22.（1）FG=CE；FG∥CE；（2）成立，证明略；（3）仍然成立．中考数学类比探究实战演练（十二）22.（1）12 BEFD=；（2）12BEFD=，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC 的最小值为2（．中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）EF =EB ，证明略；（2）不成立，1EF EB k =； （3）EF =EB ，证明略．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）①辅助线略；②ASA ；（2）∠CEF =60°；△CEF 为等边三角形；（3）△CEF 为等边三角形，证明略．。

中考复习数学--类比探究专题

中考复习数学--类比探究专题

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． （3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数． 为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移 如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补． （1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现： AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。

人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究

人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究

四边形之类比探究（一）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合____________先解决第一问．②用解决__________的方法类比解决下一问．类比的关键是把握住变化过程中的__________． 2. 类比探究问题中常见不变特征举例ABCE MDA BMCNM C BA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BC=CF+CD ． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不 变，请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，求OC 的长．图1D F EC B A B E C FD A 图2图3DF E C BA 2. 如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =45°，则有结论EF =BE +DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠，那么结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，P 是DF 的中点，连接PE ，PC ．（1）如图1，当点E 在BC边上时，求证：PE =．（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC ，PE 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．图1EPDCBAABCDP E F图24. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA ，CD 的延长线分别交于点M ，N ，则∠BME =∠CNE ． （1）如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ，判断OM ，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）如图3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且AB =CD ．E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接DG ，若∠EFC =60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．GE F DCBA 图1图2图3E FNMOCBDANM FE DBA【参考答案】➢ 知识点睛 1．①分支条件②第一问，不变特征 ➢ 精讲精练 1．（1）证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ABD ≌△ACF （SAS ）， 得到BD =CF ，进而得证． （2）BC CF CD =-．（3）①BC CD CF =-；②2OC =． 2．（1）成立，证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ADF ≌△ABH （SAS ）， 得到DF =BH ，进而得证． （2）不成立，BE EF DF =+.提示：题目中有旋转结构，证明△ABH ≌△ADF （SAS ）， 得到AH =AF ，∠BAH=∠DAF ，可证△AHE ≌△AFE （SAS ）, EF =EH ，得到BE EF DF =+.3．（1）PE =，证明略．提示：延长EP ，交CD 于点H ．证明△EFP ≌△HDP （ASA ），得到FE DH =，EP HP =， 可得CE CH =，由三线合一得，CP ⊥EH ，进而可得PE =．（2）PE =．4．（1）OM ON =，证明略．提示：取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．则FG'∥AB ，12FG AB '=，EG'∥CD ，12EG CD '=， 由AB CD =得EG FG ''=，进而可得OM ON =．（2）△ADG 是含30°角的直角三角形，证明略． 提示：连接BD ，取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．四边形之类比探究（二）（讲义）➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合__________先解决第一问．②用解决第一问的方法类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找__________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. （1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线K H 交直线A B 于点H ，使∠A H K =∠A C D 1．作D1M ⊥K H ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）BCD 1E 1E 2D 2F 2F 1图2图1ABCD 1K 1K 2D 2MNH 2H 1NM KHD 2E 2E 1D 1CB A2. （1）问题背景如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E ．请探究线段BD 与CE 之间的数量关系． 结论：线段BD 与CE 之间的数量关系为_______________（请直接写出结论）． （2）类比探索在（1）中，如果把BD 改为△ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．DE AFAB CD图1 图23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_______________． （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图2图1C B (E )A (D )（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4， DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．4. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE =CF ；（2）如图2，若∠ABC =90°，G 是EF 的中点，求∠BDG 的 度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，求∠BDG 的度数．DFEC BA图1GDFEC BA图2G DFE C BA图3【参考答案】➢知识点睛①分支条件；②不变特征；③不变特征．➢精讲精练1．（1）D1M=D2N，证明略．提示：证明△CMD1≌△AHC，△CND2≌△BHC．（2）D1M=D2N仍成立，证明略．（3）D1M=D2N仍成立，图形略．2．（1）BD=2CE．提示：延长CE，交BA的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提示：延长CE，交AB的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．3．（1）①AC∥DE；②S1=S2．（2）证明略．提示：证明△ANC≌△DMC，可得AN=DM，根据等底等高即可得证．．（3）BF的长为334．（1）证明略．（2）∠BDG=45°．（3）∠BDG=60°．。

中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)

中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究的处理思路是什么？问题2：类比迁移的具体操作是什么？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究的处理思路是什么？答：①类比上一问，迁移解决下一问；②依据不变结构，分析特征解决问题．问题2：类比迁移的具体操作是什么？答：类比字母、类比辅助线、类比思路、类比结构．问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：类比探究中常见不变结构及处理方式分别为：①旋转结构，找等腰结构，借助全等整合条件；②中点结构，作倍长，通过全等转移边和角；③平行结构，找相似，转比例；④直角结构，作横平竖直的线，找全等或相似．中考数学类比探究实战演练（一）一、单选题(共6道，每道4分)1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．（1）小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A. B.C. D.答案：C解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.已知正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F，连接PB．（1）如图1，当点P在线段AO上时（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交CD于点E，则DF，EF之间有怎样的数量关系？线段PA，PC，CE之间有怎样的一个等量关系？请给出证明过程．（2）如图2，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），过点P作PE⊥PB，交直线CD 于点E，（1）中的两个结论是否仍成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的过程，推敲里面是如何踩点得分的）（1）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（1）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（2）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第3，4，5题）（2）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

八年级数学类比探究之探究(二)(北师版)(含答案)

八年级数学类比探究之探究(二)(北师版)(含答案)

类比探究之探究（二）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）如图，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF，BE，AF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=AF+EFB.BE=2EFC.BE=AF-EFD.BE=AF+2EF答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）（2）如图，若，请你添加一个关于∠α与∠BCA的关系的条件，使结论EF=BE-AF成立，则添加的条件是( )A.∠α=∠BCAB.∠α=∠BCA+90°C.∠BCA+∠α=180°D.∠α=2∠BCA-90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，则EF，BE，AF这三条线段之间的数量关系为( )A.BE=AF+EFB.BE=2EFC.BE=EF-AFD.EF=AF+2EF答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.如图，AD为△ABC的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若BE=2，CF=3，则EF的值可能为( )A.7B.6C.5D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究6.（上接第4，5题）如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，若BE=4，CF=2，则EF的值为( )A.7B.6C.5D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。

中考数学八年级下册专题训练50题(含答案)

中考数学八年级下册专题训练50题(含答案)

中考数学八年级下册专题训练50题含答案一、单选题1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．2、3、4B．4、5、6C．6、8、10D．5、12、23 2．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36︒B．72︒C．90︒D．108︒3．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列式子中，为最简二次根式的是（）ABCD5．下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列哪个图形不是中心对称图形（）A．圆B．平行四边形C．矩形D．梯形7）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．若关于x的不等式组43413632x xx ax--⎧+>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≤﹣2D．a＜﹣29．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是( )A ．2，4，5B ．3，4，6C ．6，8，10D ．9，16，25 10．如图，在Rt ABC 中，，3AC =，4BC =，O 是AB 的中点，则OC 的长是（ ）.A ．3B ．3C ．2.5D ．3 11．已知两个一次函数1y ，2y 的图象相互平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表：则m 的值是（ ）A ．13-B ．3-C ．12 D ．512．平面直角坐标系中，点（﹣2，9）关于原点对称的点坐标是（ ） A ．（﹣9，2） B ．（2，﹣9） C ．（2，9） D ．（﹣2，﹣9） 13．下列说法错误的是（ ）A ．4是16的算术平方根B ．2是4的一个平方根C ．0的平方根与算术平方根都是0D ．（﹣3）2的平方根是﹣314．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3-15．下列计算：(1))4()9(-⨯-＝49⨯，，2(3)(12-==( )A ．1B ．2C ．3D ．416．如图，直线()0y kx b kb =+≠经过点P （2，1），与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则112OA OB +的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．无法确定17( )A ．3B ．±3CD ．18．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．19．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB BO ＝3，那么AC 的长为（ ）A ．BC ．3D ．4 20．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，⊥AOD＝120°，AC＝8cm，则该矩形的两边长分别为_____cm和_____cm．22．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2．23．点A（﹣3，m）、B（2，n）都在一次函数y＝﹣2x+3的图像上，则m___n（填“＞”或“＝“或“＜”）．24．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，如果菱形边长为2a，那么菱形的面积是______．25．如图，菱形ABCD中，⊥D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则⊥AD'B=______°．26．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC，CE⊥BD，要使四边形OCED是矩形，则平行四边形ABCD还必须添加的条件是_____（填一个即可）．27．如图a 是长方形纸带，⊥DEF ＝26º，将纸带沿EF 折叠成图b ，则⊥FGD 的度数是______ 度，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的⊥DHF 的度数是________．28．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g ±10g ，表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是______．29．在平面直角坐标系中，将点M (5,2)向下平移3个单位后的点的坐标是__________．30．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1米，则1A 的坐标为()2,2、2A 的坐标为()5,2．（1）3A 的坐标为___________，n A 的坐标（用n 的代数式表示）为___________． （2）2020米长的护栏，需要两种正方形共___________个．31．如图，把Rt ABC 放在平面直角坐标系中，90CAB ∠=，5BC =，点A 、B 的坐标分别为()1,0、()4,0，将Rt ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线25y x =-上时，线段BC 扫过的面积为______．AD=，点M是矩形ABCD边上的一个动点，当32．在矩形ABCD中，∠=°时，AM的长为______．60AMB33．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为_____m．34．将矩形ABCD纸片先对折，然后展开，折痕为MN，点E是BC上一点，把矩形ABCD沿AE折叠，使B点落在MN上的点B'处，设AE与MN交于点G，若AB=B G'的长为________．35．如果把对角线与一边垂直的平行四边形成为“联想平行四边形”，现有一个“联想平_____度．行四边形”的一组邻边长为4和36．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD⊥BC．请你再添加一个条件，使四边形ABCD 是菱形．你添加的条件是_________．(写出一种即可)37．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是A（0，0）、B（3，0）、D（1），则顶点C的坐标是_____．38．当10a -<<． 39．点A (3,2)a b --与点B (8,)a b --关于原点对称,则a b +=__________．三、解答题40．已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB BC ⊥，60C ∠=︒，1AB =，3BC =CD =（1）求ABD ∠的值．（2）求AD 的长．41．已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求AC 、BD 的长．42．解不等式组：2141123x x x x -+<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．43．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6 m 、8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．44．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，BE＝2，CF＝1．(1)请求出AF的长；(2)求证：⊥AEF＝90°．45．已知：边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中位于x轴上方，OA与x轴的正半轴的夹角为60°，则B点的坐标为_____.46．如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=-2x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线AB交于点E．(1)求⊥DBE的面积；(2)P，Q分别在AB和CD上，M，N在y轴上，当以P，Q，M，N为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P的坐标．47．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）⊥作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；⊥作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.48．如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－4)，B(5，－4)，C(4，－1)．(1)画出ABC关于原点O成中心对称的A 1B1C1；(2)面出ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的A 2B2C2；(3)将ABC先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，画出第二次平移后的A 3B3C3．若A3B3C3看成是由ABC经过一次平移得到的，则这一平移的距离等于________个单位长度．49．某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，计费方案见下列表格及图象（其中a ，b ，c 为常数）设行驶路程为km x 时，白天的运价为1y （元），夜间的运价为2y （元）．如图，折线ABCD 表示2y 与x 之间的函数关系式，线段EF 表示当02x ≤≤时，1y 与x 的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：（1）填空：=a ______，b =______，c =______；（2）当210x <≤时，求1y 的函数表达式；（3）若幸福小区到阳光小区的路程为12km ，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元?参考答案：1．C【分析】根据勾股定理逆定理，即可逐个判断是否构成直角三角形．【详解】解：A、222234+≠，故不能作为直角三角形；B、222+≠，故不能作为直角三角形；456C、222+=，故能作为直角三角形；6810D、222+≠，故不能作为直角三角形．51223故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的构成条件勾股定理逆定理，属于基础题型．2．B【分析】根据五角星的特点，用周角360°除以5即可得到最小的旋转角度，从而得解．【详解】解：⊥360°÷5=72°，⊥旋转的角度为72°的整数倍，36°、72°、90°、108°中只有72°符合．故选：B．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．A【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；【详解】解：A2B是最简二次根式，故本选项符合题意；C=D=故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：二次根式含有以下两个条件：⊥被开方数中不含有分母，⊥被开方数中每个因式的指数都小于根指数2，像这样的二次根式叫最简二次根式．5．C【详解】试题分析：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B．是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C．既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．考点：中心对称图形；轴对称图形．6．D【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A、圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、矩形是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、梯形不是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和常见的中心对称图形，属于基础题目，熟练掌握中心对称图形的概念是关键．7．B【分析】由16＜21＜25，以及算术平方根的定义，即可求解．【详解】解：⊥16＜21＜25，⊥45，故选B．【点睛】本题主要考查估计无理数的范围，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 8．C【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x ＜2可得关于a 的不等式，解之可得． 【详解】解不等式434136x x --+>，得：x ＜2， 解不等式32x a +＜x ，得：x ＜﹣a ， ⊥不等式组的解集为x ＜2，⊥﹣a ≥2，解得：a ≤﹣2，故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9．C【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】A 、⊥22+42≠52，⊥2，4，5不能构成直角三角形．B 、⊥,32+42≠62，⊥3，4，6不能构成直角三角形；C 、⊥62+82=102，⊥6，8，10能构成直角三角形；D 、⊥92+162≠252，⊥9，16，25不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．10．C【详解】试题分析：115 2.522OC AB ===⨯= 考点：直角三角形斜边上的中线为斜边的一半、勾股定理点评：此题属于基础题，掌握以下方法即可解答．通过勾股定理求出AB ，再根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求出OC11．A【分析】根据两个一次函数1y ，2y 的图象相互平行，结合表格可得163420m m---=--，即可求解．【详解】⊥一次函数1y ，2y 的图象相互平行，163420m m ---∴=--， 解之得13m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解两个一次函数互相平行并列出方程是解题的关键．12．B【分析】直接利用关于原点对称点与原来的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．【详解】解：点（﹣2，9）关于原点对称的点的坐标是：29-（，）．故选B ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．13．D【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐项分析即可，平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．【详解】解：A 、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、（﹣3）2的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．14．D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、227是有理数，故选项A 不符合题意； B 、3.1415926是有理数，故选项B 不符合题意；C 、2.010010001是有理数，故选项C 不符合题意；D 、π3-是无理数，故选项D 题意； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．15．C【分析】根据二次根式的性质和计算逐项判断即可.【详解】（1）)4()9(-⨯-49⨯，正确；（22=2-，正确；（3）()222(2=43=12-=-⨯⨯，正确；（4）不是同类二次根式，无法合并，原式错误；故选C.【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式乘法与加减法，熟记性质与运算法则是解题的关键.16．A【分析】分别求出AB 的坐标，表示出OA 、OB 通过计算后整体代入即可．【详解】⊥直线y kx b =+经过点P (2，1)，⊥21k b +=，⊥A (b k-，0)，B (0，b )， ⊥11112122222k k b OA OB b b b b -+=-+===， 故选：A ．【点睛】本题考查一次函数上的点的特征，利用整体思想求值是解题的关键．17．C【分析】根据立方根的定义解答即可.【详解】⊥⊥故选C.【点睛】本题主要考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题关键.18．C【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．19．D【分析】首先利用勾股定理计算AO长，再根据平行四边形的性质可得AC长．【详解】⊥AC⊥AB，AB BO＝3，，⊥四边形ABCD是平行四边形，⊥AC＝2AO＝4，故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形对角线互相平分．20．A【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．21．4【分析】根据⊥AOD＝120°，可得⊥AOB＝60°，则⊥AOB为等边三角形，由AC＝8cm，得AB＝4cm，由勾股定理得，BC＝即可．【详解】解：⊥⊥AOD＝120°，可得⊥AOB＝60°，⊥AO＝BO＝CO＝DO，AC＝8cm，⊥AB＝4cm，⊥⊥ABC＝90°，⊥⊥ACB＝30°，⊥BCcm），故答案为：4；【点睛】本题考查了矩形的对角线平分且相等的性质，解题的关键是注意勾股定理的熟练应用．22．48【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为2⨯-⨯⨯=．61222648m故答案为：48【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．23．＞【分析】根据一次函数的性质，可以判断出m、n的大小关系，本题得以解决．【详解】解：⊥一次函数y=-2x+3，⊥函数y随x的增大而减小，⊥点A（-3，m）、B（2，n）都在一次函数y=-2x+3的图象上，⊥m＞n，故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24．2【分析】连接,AD BC ，交于点O ，可得ABD △是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AO ，根据菱形的性质求得面积即可【详解】如图，连接,AD BC ，交于点O ，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°2,a AB AD AC BD ∴==⊥ ABD 是等边三角形AO AD ∴==，2DB AD a ==AC ∴=∴菱形的面积是22122a ⨯故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质求面积，等边三角形的性质与判定，掌握菱形的性质是解题的关键．25．75【分析】根据菱形的性质先求出⊥BAC ，再由折叠知AD'=AB ，从而求出⊥AD'B 的度数.【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥AB=BC=CD=AD ，CD⊥AB ，⊥⊥D=120°，⊥⊥DAB=60°，⊥AC 为菱形ABCD 的对角线，⊥⊥BAC=30°，⊥将菱形沿直线AE 翻折，使点D 恰好落在对角线AC 上，⊥AD'=AD ，⊥AD'=AB ， ⊥⊥AD'B=()1180BAC =752-∠， 故答案为：75.【点睛】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 26．答案不唯一，如⊥E=90°【详解】试题分析：由DE⊥AC ，CE⊥BD 可得四边形CEDO 为平行四边形，再有一个角为90°即可得到结果.⊥DE⊥AC ，CE⊥BD⊥四边形CEDO 为平行四边形⊥⊥E=90°⊥平行四边形OCED 是矩形.考点：矩形的判定点评：解题的关键是熟记有两组对边分别平行的四边形为平行四边形，有一个角是直角的平行四边形矩形.27． 520 780【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则⊥BFE=⊥DEF=26°，由三角形的外角性质得出⊥FGD 的度数；根据平角定义、折叠的性质求出⊥CFE=102°，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：⊥AD⊥BC ，⊥DEF=26°，⊥⊥BFE=⊥DEF=26°，⊥图b 中，⊥FGD=26°+26°=52°；图c 中，⊥CFE=180°-3×26°=102°，⊥⊥DHF=180°-102°=78°．故答案为52，78°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，三角形的外角性质；熟练掌握翻折变换的性质和平行线的性质是解决问题的关键.28．320≤x ≤340【分析】将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可．【详解】解：因为净含量为330g±10g ，则这罐八宝粥的净含量x 少不过320g ，多不过340g ，即320≤x ≤340．故答案为：320≤x ≤340．29．（5，-1）【分析】根据“右加左减，上加下减”的规律解答即可.【详解】点M (5,2)向下平移3个单位后的点的坐标是（5，-1）.故答案为（5，-1）.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．30． ()8,2 ()31,2n - 1347【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A2，A3，…，An 各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【详解】解：（1）⊥A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），⊥A1，A2，A3，…，An 各点的纵坐标均为2，⊥小正方形的边长为1，⊥A1，A2，A3，…，An 各点的横坐标依次大3，⊥A3（5+3，2），An （2333++++，2），即A3（8，2），An （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形⊥直角三角形的直角边长度是1米⊥一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3（米）⊥2020÷3＝673…1，⊥需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．⊥674+673=1347（个）故答案为：1347【点睛】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．31．14【分析】先求AC 的长，即求C 的坐标，由平移性质得，平移的距离，因此可求线段BC 扫过的面积． 【详解】点A 、B 的坐标分别为()1,0、()4,0， AB 3∴=，在Rt ABC 中，BC 5=，AB 3=，AC 4∴=，()C 1,4∴，由于沿x 轴平移，点纵坐标不变，且点C 落在直线y 2x 5=-上时，42x 5=-， 9x 2∴=， ∴平移的距离为97122-=， ∴扫过面积74142=⨯=， 故答案为：14【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，关键是找到平移的距离．32．2或4或【分析】分⊥点M在矩形ABCD的BC边上，⊥点M在矩形ABCD的AD边上，⊥点M在矩形ABCD的CD边上三种情况，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得．AD=，AB=【详解】解：四边形ABCD是矩形，且3∴∠=∠=∠=∠=︒，3BAD ABC C D90==，CD ABBC AD==由题意，分以下三种情况：⊥如图，当点M在矩形ABCD的BC边上时，∠=︒，AMB60∴∠=︒，BAM30∴=，AM BM2∴=，AB2AB==BM=<，符合题意，解得23则4AM=；⊥如图，当点M在矩形ABCD的AD边上时，∠=︒，60AMB30ABM ∴∠=︒，2BM AM ∴=，AB ∴，2AB ==，解得23AM =<，符合题意；⊥如图，当点M 在矩形ABCD 的CD 边上时，取CD 的中点E ，连接,AE BE ，12DE CE CD ∴===AE BE ∴=AE BE AB ∴==，ABE ∴是等边三角形，60AEB AMB ∴∠=︒=∠，∴此时点M 与点E 重合，AM AE ==综上，AM 的长为2或4或故答案为：2或4或【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确分三种情况讨论是解题关键． 33．2.5##52【分析】设AD x =，则0.8,AEx 结合,90,AB AC D E 再利用勾股定理建立方程22222.420.8,x x 再解方程求解,x 再利用勾股定理求解梯子的长即可.【详解】解：设AD x =，则0.8,AE x 而 2.4,2,,90,BD CE AB AC D E 由勾股定理可得：22222.420.8,x x 整理得：1.6 1.12,x解得：0.7,x 222.40.7 6.25 2.5,AB所以梯子的长度为2.5m.故答案为：2.5【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键. 34．1【分析】根据折叠的性质，结合勾股定理以及中线的性质即可求解；【详解】解：由折叠的性质可知，12AM BM AB AB AB '===， 12AM AB = 30AB M '∠=︒∴AG GE =，90AB E '∠=︒⊥AG GE B G '==30A B AE B M '∴∠'∠==︒60AEB '∴∠=︒B G B E GE ''==∴设2B E x AE x '==，由勾股定理，222AE AB B E ''=+即()222x x =+解得：1211x x ==-，（舍去）【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．35．30【分析】在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=BC=4时，⊥B 最小，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图所示：在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=BC=4时，⊥B最小，由勾股定理得：2AC==，⊥12AC AB=，⊥在Rt⊥ABC中，⊥B=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、“联想平行四边形”、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握“联想平行四边形”的性质，根据含30°角的直角三角形的性质求出⊥B＝30°，是解题的关键．36．此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．【分析】由在四边形ABCD中，AD＝BC，AD⊥BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．【详解】解：如图，⊥在四边形ABCD中，AD＝BC，AD⊥BC，⊥四边形ABCD是平行四边形，⊥当AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形；当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等．【点睛】此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键．37．C（5）【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．【详解】解：⊥四边形ABCD 是平行四边形，A （0，0）、B （3，0）、⊥DC ＝AB =4，⊥D（1，⊥C （5.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AB 的长是解题关键．38．2a【分析】根据题意得到a-1a >0，a+1a <0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可．【详解】解：原式因为10a -<<，所以a-1a =21a a->0，a+1a =210a a +<，所以原式1a -（-a-1a ）=2a ． 故答案为：2a ．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．39．4【分析】根据关于原点对称的点坐标的关系可以得到关于a 和b 的二元一次方程组，解方程组得到a 、b 的值后即可算得a+b 的值．【详解】由题意得：382a b a b -=⎧⎨-=⎩，解之得：a=3，b=1，所以a+b=4 故答案为4．【点睛】本题考查关于原点对称的点和二元一次方程组的综合应用，由关于原点对称的点坐标的关系得到关于a 和b 的二元一次方程组是解题关键．40．（1）45︒；（2【分析】（1）过点D 作DE⊥BC 于点E ，根据⊥C=60°求出CE 、DE ，再求出BE ，从而得到DE=BE ，然后求出⊥EDB=⊥EBD=45°，即可求出⊥ABD=45°；（2）过点A 作AF⊥BD 于点F ，求出BF AF ==，再求出BD ，然后求出DF ，在Rt⊥ADF 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】（1）过点D 作DE BC ⊥于点E ，⊥在Rt CDE △中，60C ∠=︒，CD =⊥30∠=︒CDE⊥CE 3DE =，⊥3BC =⊥33BE BC CE =-=，⊥3DE BE ==，⊥在Rt BDE 中，45EDB EBD ∠=∠=︒，⊥AB BC ⊥，90ABC ∠=︒，⊥45ABD ABC EBD ∠=∠-∠=︒．（2）过点A 作AF BD ⊥于点F ，在Rt ABF 中，45ABF ∠=︒，1AB =，⊥BF AF ==， ⊥在Rt BDE 中，3DE BE ==， ⊥BD =⊥DF BD BF =-==⊥Rt AFD 中，AD ==【点睛】本题考查了勾股定理，含30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形． 41．AC =6cm ，BD=【分析】根据平行四边形的性质得到BC =AD =8cm ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在▱ABCD 中⊥BC =AD =8cm ，⊥AC ⊥BC ，⊥⊥ACB =90°，⊥AC6cm ，⊥OC =12AC =3cm ，⊥OB，⊥BD=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．42．14x -<≤，数轴表示见解析．【分析】先分别解得两个不等式的解集，再将不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可解题 【详解】解：2141123x x x x -+<+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①② 由⊥得：33x -<，解得1x >-，由⊥得：32(1)6x x --≤，32+26x x -≤，解得4x ≤，将不等式的解集表示在数轴上：所以不等式组的解集是14x -<≤．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．43．作图见解析，面积为248m 或240m 或21003m 【分析】利用等腰三角形的性质分别画出符合题意的图形求出即可．【详解】如图⊥所示：()2112848m 2ABD S =⨯⨯=△； 如图⊥所示：()2110840m 2ABD S =⨯⨯=△；如图⊥所示：在Rt⊥ACD 中，AC 2+DC 2=AD 2，即82+x 2=(x+6)2， 解得：73x =， ()2171008(6)m 233ABD S =⨯⨯+=△． 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．44．(1)5；(2)证明见解析；。

中考数学动态几何、类比探究专项训练及答案A3版(12套全)

中考数学动态几何、类比探究专项训练及答案A3版(12套全)

中考数学动态几何、类比探究专项训练（一）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCDP为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H 痕为EF，连接BP，BH．（1）求证：∠APB=∠BPH．（2）当点P在边AD上移动时，△PDH证明你的结论．（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x系式，试问S存在，请说明理由．（备用图）AEBP DHFCCFGHDPBEA备用图中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究专项训练（四）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=CD=直角∠PME绕点M进行旋转，其两边分别和BC，交于点P和点E，连接PE交MC于点Q．（1）判断线段MP，ME的数量关系，并进行证明；（2）当动点P，E分别在线段BC和CD上运动时，设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PE与BM并说明理由．PQEM DCBA中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究专项训练（七）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图1，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE（CD>BC中，点C，B，D在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MB的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转45°，使△CDECE恰好与△ABC的边BC垂直，如图2变，则（1加以证明．（3）若将图2中的△ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45°角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1MDBA图2ABCDM图3中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究中考数学动态几何、类比探究专项训练（一） 参考答案 22．（1）证明略； （2）△PDH 的周长不发生变化，证明略； （3）21282S x x =-+，当x =2时，S 存在最小值，最小值为6．参考答案22．（1）①1；②2x； （2）1AMDM =； （3）2AM xDM =．参考答案22．（1）APPC=2；（2）tan ∠BPC 12=； （3）tan ∠BPC =．参考答案22．（1）MP =ME ，证明略；（2）2144y x =+；（3）当y 取最小值时，PE ∥BM ，理由略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（五） 参考答案。

中考数学专题之类比探究实战演练(含答案)

中考数学专题之类比探究实战演练(含答案)

三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC 中，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图2），易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CECD ，从而得出结论：AC +BCCD ．图1图2 简单应用：（1）在图1中，若AC ，BC =CD =__________．（2）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵=BD ︵，若AB =13，BC =12，求CD 的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，若AC =m ，BC =n （m ＜n ），求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）．图4图5（4）如图5，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE = 13AC ，CE =CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是_____． DC BADCBBAE DCBA三、解答题22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN ． （1）BE 与MN 的数量关系是___________；（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB =6，CE =2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B ，E ，D 三点在一条直线上时，请直接写出MN 的长．中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．图1PNM EDCBA图2PNME D CBA备用图E DCBA中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，连接EF．（1）探究发现：如图1，若n=1，点E在线段AC上，则tan∠EFD=____．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则tan∠EFD=_______（用含n的代数式表示）．②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E是线段AC延长线上的任意一点”或“点E是线段AC反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．图1ABCDE FGM图2MGF EDCBA图1E DCBA图2E DA图3DCBAABCD备用图【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22.（1）3；（2）CD的长为2；（3）CD的长为)2n m-；（4AC=AC=．中考数学类比探究实战演练（二）22.（1）BE MN；（2）成立，理由略；（3）MN11．中考数学类比探究实战演练（三）23.（1）DM=EM，DM⊥EM；（2）（1）中的结论仍成立，证明略；（3）MF，图形略．中考数学类比探究实战演练（四）22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系；（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=CF=1时，请直接写出BE的长．图1F ENM (O )D C B A图2FENMO DC BA备用图DCBA【参考答案】22.（1）CA=CE+CF；（2）CF-CE=43AC，理由略；（3）BE的长为3，5或1．中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．B C DAEM N GBA GC备用图1备用图2AB CG中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）． （1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12SS （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题图1ABCDEB′图22αABCD E B′B′E D CB A2α图3OF22. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB，AC =2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C （点A ，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P ，Q ．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A′B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．图1QmB′A′ (P )BC AM图2A′AC B P B′mQ备用图AC Bm中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3D B AEDBA FEMDCBA中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）． 求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）． 求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日图1G FE D CB A N图2M FE D CB A 图3FED CBA三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由． 【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包FDE CBAABCEF D括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ． （2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ． （3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC的值为常数t ，则t =_______．图1 图2 图3F EDC B A HF EDBAF EDCB A三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECB CPA图2P图3DCBA三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3CB(D)AFECB DAFECB DAFE三、解答题22. （10分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB =6，∠EDF =∠A ，且DE ∥BC ，AD =2时，则S 1·S 2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD =4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B =∠A =∠EDF =α．①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD =a ，BD =b ，求S 1·S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD =a ，BD =b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日F三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC ＜90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．mnAF CB EmnA F E CBB CEF A nm（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是 △AA′C 的重心，求BCAC的值． （3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 22. （10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80°，∠ADC =140°，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG = 30°，连接EG ，若△EFG的面积为FH 的长．图1ABC图2DA′AB C图3l 2l 1A′D B′ABC【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)S Sα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为72；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为3．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为图1ABC图2AB CD图3EF GH中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF 2=2(BE 2+DF 2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF =120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF =90°；②DB 2+AE 2=ED 2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC （． 中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）12BE FD =； （2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略； （2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）2AC BC =；（3）CD的值为3，2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH的值为．21。

中考数学专项训练：类比探究与拓展应用

中考数学专项训练：类比探究与拓展应用

专项训练1．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在ABC △中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．2．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒；（2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ <”，“=” )；②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BC AB的值．3．【问题探究】（1）如图1，ABC △和DEC △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为 ；【拓展延伸】（2）如图2，ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2AB BC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM MG⊥，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EABαα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．5．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒，得到菱形AB C D '''，B C ''交对角线AC 于点M ，C D ''交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当//MN B D ''时，求α的大小．（2）如图2，对角线B D ''交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C B ''交AB 于点E ，连接EH ．当HEB '△的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．6．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在ABC △和ADE △中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE △绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当ADE △在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，1DE =，请直接写出2PC 的值．7．综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，ACE △与ACF △重合，得到图3． 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，BEC 的度数是，AE BE的值是 ． （2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．8．如图，在直角坐标系中，直线132y x=−+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题9．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求点M 的坐标．10．如图，抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112x x −=． （1）求抛物线的解析式；（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，292x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点(1,5)D −，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC △面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −，且过点(2,2)C −．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S =△，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM △与1DD A △相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？。

专题13几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)

专题13几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)

专题13几何类比探究题型题型解读｜模型构建｜通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形（手拉手）及其旋转D模型二、K字型及其旋转CC手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。

在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。

模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。

模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。

八年级数学下册类比归纳专题证明线段相等的基本思路、不等式(组)中参数的确定 分式运算中的技巧(含答案)

八年级数学下册类比归纳专题证明线段相等的基本思路、不等式(组)中参数的确定 分式运算中的技巧(含答案)

类比归纳专题1：证明线段相等的基本思路——理条件、定思路，几何证明也容易◆类型一已知“边的关系(含公共边)”或“边角关系”，在两个三角形中用全等1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：(1)AC＝AD；(2)CF＝DF.2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D，E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．◆类型二已知角度或平行关系，要证的两条线段在同一个三角形中用“等边对等角”3．如图，在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF.4．(2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.类比归纳专题2：不等式(组)中参数的确定◆类型一 根据不等式(组)的解集求参数1．若不等式ax －2＞0的解集为x ＜－2，则关于y 的方程ay ＋2＝0的解为( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1 C ．y ＝－2 D ．y ＝22．若不等式2(x ＋3)＞1的最小整数解是方程2x －ax ＝3的解，则a 的值为________． 3．已知关于x 的不等式3x ＋mx ＞－5的解集如图所示，则m 的值为________．4．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞2，b －2x ＞0的解集是－1＜x ＜1，则(a ＋b )2018＝________．◆类型二 利用整数解求值5．已知关于x 的不等式2x ＋a ≥0的负整数解恰好是－3，－2，－1，那么a 应满足条件【方法10】( )A ．a ＝6B ．a ≥6C ．a ≤6D ．6≤a ＜86．已知关于x 的不等式2x －m ＜3(x ＋1)的负整数解只有四个，则m 的取值范围是________．7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋152＞x －3①，2x ＋23＜x ＋a ②只有4个整数解，求a 的取值范围．◆类型三 根据不等式(组)解集的情况确定参数的取值范围8．已知关于x 的不等式(1－a )x ＞3的解集为x <31－a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜0D ．a ＞09．(2017·金华中考)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，2x －1>3（x －2）的解集是x ＜5，则m 的取值范围是【易错6】( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜510．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －m <0，3x －1>2（x －1）无解，则m 的取值范围为【易错6】( )A ．m ≤－1B ．m ＜－1C ．－1＜m ≤0D ．－1≤m ＜011．★已知x ＝2是不等式(x －5)(ax －3a ＋2)≤0的解，且x ＝1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≤2C ．1＜a ≤2D ．1≤a ≤2◆类型四 方程组与不等式(组)结合求参数12．在关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝m ＋7，x ＋2y ＝8－m 中，x ，y 满足x ≥0，y ＞0，则m 的取值范围在数轴上应表示为( )13．已知实数x ，y 满足2x －3y ＝4，且x ≥－1，y ＜2，现有k ＝x －y ，则k 的取值范围是____________．14．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，5x ＋3y ＝31的解是非负数，求整数m 的值．类比归纳专题3：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ）2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二 先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－18．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________．9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.类比归纳专题1参考答案与解析1．证明：(1)在△ABC 和△AED 中，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ；(2)由(1)知AC ＝AD ，AF ⊥CD ，∴CF ＝DF . 2．证明：连接CM .∵∠C ＝90°，BC ＝AC ，M 是AB 的中点，∴∠B ＝∠A ＝45°，∠ACM ＝∠BCM ＝12∠BCA ＝45°＝∠B ，∴CM ＝BM .在△MBD 和△MCE 中，BM ＝CM ，∠B ＝∠MCE ，BD ＝CE ，∴△MBD ≌△MCE ，∴DM ＝EM ，∴△MDE 是等腰三角形．3．证明：∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE .∵CF 为△ABC 外角∠ACG 的平分线，∴∠ACF ＝∠GCF .∵EF ∥BC ，∴∠GCF ＝∠F ，∠BCE ＝∠CEF ，∴∠ACE ＝∠CEF ，∠F ＝∠DCF ，∴CD ＝ED ，CD ＝DF ，∴DE ＝DF .4．(1)证明：∵CN ⊥AD ，∴∠AHN ＝∠AHC ＝90°.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠NAH ＝∠CAH .又∵在△ANH 和△ACH 中，∠AHN ＋∠NAH ＋∠ANH ＝180°，∠AHC ＋∠CAH ＋∠ACH ＝180°∴∠ANH ＝∠ACH ，∴AN ＝AC ；(2)解：BN ＝CD .理由如下：连接ND .在△AND 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝AC ，∠NAD ＝CAD ，AD ＝AD ，∴△AND ≌△ACD (SAS)，∴DN ＝DC ，∠AND ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B .又∵∠AND ＝∠B ＋∠NDB ，∴∠B ＝∠NDB ，∴NB ＝ND ，∴BN ＝DN ＝CD .5．证明：连接BD ，CD .∵AD 是∠F AE 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .∴Rt △CDF ≌Rt △BDE ，∴BE ＝CF .6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .又∵BD ＝DF ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，AD ＝AD ，DC ＝DE ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .类比归纳专题2参考答案与解析1．D 2.72 3.－124．1 解析：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞2，b －2x ＞0，得a ＋2＜x ＜12b .∵该不等式组的解集为－1＜x ＜1，∴a ＋2＝－1，12b ＝1，∴a ＝－3，b ＝2，∴(a ＋b )2018＝(－3＋2)2018＝(－1)2018＝1.5．D 解析：解不等式2x ＋a ≥0，得x ≥－a 2.根据题意得－4＜－a2≤－3，解得6≤a ＜8.6．1<m ≤27．解：解不等式①得x ＜21，解不等式②得x ＞2－3a ，∴不等式组的4个整数解为20，19，18，17.∵不等式组只有4个整数解，∴16≤2－3a ＜17，解得－5＜a ≤－143.8．A 9.A10．A 解析：解不等式x －m ＜0，得x ＜m ，解不等式3x －1＞2(x －1)，得x ＞－1.∵不等式组无解，∴m ≤－1，故选A.11．C 解析：∵x ＝2是不等式(x －5)(ax －3a ＋2)≤0的解，∴(2－5)(2a －3a ＋2)≤0，解得a ≤2.∵x ＝1不是这个不等式的解，∴(1－5)(a －3a ＋2)＞0，解得a ＞1，∴1＜a ≤2.12．C 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝m ＋7，x ＋2y ＝8－m 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2，y ＝3－m .根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≥0，3－m ＞0，解得－2≤m ＜3.故选C.13．1≤k <3 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝4，x －y ＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k －4，y ＝2k －4.由x ≥－1，y <2可得⎩⎪⎨⎪⎧3k －4≥－1，2k －4<2，解得1≤k <3. 14．解：解方程组可得⎩⎨⎧x ＝31－3m 2，y ＝－31＋5m 2.∵x ≥0，y ≥0，∴⎩⎨⎧31－3m2≥0，5m －312≥0，解得315≤m ≤313.∵m 为整数，∴m ＝7，8，9，10.类比归纳专题3参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a .当a ＝－12时，原式＝－2.4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1.。

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中考数学类比探究实战演练（四）
漂市一中钱少锋
1.（本小题4分）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，
CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）．
（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交
CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．
（2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由．
（1）中△OMN的形状为( )
• B.等边三角形
• C.等腰直角三角形
• D.含30°角的直角三角形
知点：
中考数学几何中的类比探究
解题思路
见第2题中解析
2.（本小题6分）（上接第1题）（2）中△AGD的形状为( )
• A.等腰三角形
• B.等边三角形
• D.含30°角的直角三角形
知识点：
中考数学几何中的类比探究解题思路
3.（本小题7分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连AE并延长，交BC的延长线于点F，求证：（S表示面积）．
（2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由．
（3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=
30°，OP=4km，试求△MON的面积．（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）
（2）中当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？( )
• A.当直线MN旋转到与OA垂直的位置时
• B.当直线MN旋转到与OP垂直的位置时
• C.当直线MN旋转到与OB垂直的位置时
知识点：
中考数学几何中的类比探究
解题思路
见第4题中解析
4.（本小题3分）（上接第3题）（3）中△MON的面积为( )
• A.
• B.
• C.
• D.
正确答案： C 你的答案：C，回答正确
答题总人数：497 该试题正确率：39.03% 平均用时：50秒实际用时：2分37秒知识点：
中考数学几何中的类比探究
解题思路
【素材积累】
1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。

2、抬眼望去，雨后，青山如黛，花木如洗，万物清新，青翠欲滴，绿意径直
流淌摘心里，空气中夹杂着潮湿之气和泥土草木的混合气味，扑面而来，清新而湿热的气流迅疾钻入人的身体里。

脚下，雨水冲刷过的痕迹跃然眼前，泥土地上，湿湿的，软软的。

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