集中趋势的统计描述
统计描述与统计推断
统计描述与统计推断统计的主要工作就是对统计数据进行统计描述和统计推断。
统计描述是统计分析的最基本内容，是指应用统计指标、统计表、统计图等方法，对资料的数量特征及其分布规律进行测定和描述；而统计推断是指通过抽样等方式进行样本估计总体特征的过程，包括参数估计和假设检验两项内容。
(一)统计描述1.计量资料的统计描述计量资料的统计描述主要通过编制频数分布表、计算集中趋势指标和离散趁势指标以及统计图表来进行。
(1)集中趋势。
指频数表中频数分布表现为频数向某一位置集中的趋势。
集中趋势的描述指标：1)算术平均数。
直接法：x为观察值，n为个数加权法又称频数表法，适用于频数表资料，当观察例数较多时用。
f为各组段的频数。
2）几何平均数（geometric mean）。
几何平均数用符号G表示。
用于反映一组经对数转换后呈对称分布的变量值在数学上的平均水平。
直接法：加权法又称频数表法，当观察例数n较大时，可先编制频数分布表，用此法算几何平均数：3)百分位数（percentile ）与中位数（median ）。
百分位数是一种位置坐标，用符号x P 表示常用的百分位数有 2.5P 、5P 、50P 、75P 、95P 、97.5P 等，其中25P 、50P 、75P 又称为四分位数。
百分位数常用于描述一组观察值在某百分位置上的水平，多个百分位结合使用，可更全面地描述资料的分布特征。
中位数是一个特定的百分位数即50P ，用符号M 表示。
把一组观察值按从小到大（或从大到小）的次序排列，位置居于最中央的那个数据就是中位数。
中位数也是反映频数分布集中位置的统计指标，但它只由所处中间位置的部分变量值计算所得，不能反映所有数值的变化，故中位数缺乏敏感性。
中位数理论上可以用于任何分布类型的资料，但实践中常用于偏态分布资料和分布两端无确定值的资料。
其计算方法有直接法和频数表法两种。
直接法：当观察例数n 不大时，此法常用，先将观察值按大小次序排列，选用下列公式求M 。
定量资料统计描述——集中趋势与离散程度
度量单位不同资料之间离散度的比较； 均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
， 位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于 均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分 布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5
2统计描述(集中趋势的描述)
4.13 4.28 4.91 3.95 4.23
2.78 3.26 3.18 5.08 3.57
4.26 3.50 3.68 4.53 4.83
3.58 2.70 4.83 3.92 3.52
4.34 4.61 3.87 3.58 3.84
4.84 4.75 3.95 5.35 4.50
4.41 2.91 3.91 3.84 3.96
第三章: 统计描述
一、数值变量资料的统计描述
1、频数分布 2、集中趋势的统计描述 3、离散趋势的统计描述 4、正态分布及其应用
二、分类变量资料的统计描述
2
概述 ：
统计描述:用适当的统计图(表)和统计指 标来描述资料的分布规律及其数量特征. 资料性质
离散型：变量取值可以列举，如心跳、脉搏 连续型：变量取值不能明确列举，如血糖
1．描述频数分布的 类型 （1）对称分布 ： (2) 偏态分布
25 20
人数
15
Æ µ Ê ý
10 5
0
2.45
3.05
3.65
4.25
4.85
5.45
6.10
Ñ ª Ç å × Ü µ ¨¹ Ì ´ ¼ £ ¨mmol/L£ ©
Í ¼ 2 - 1 101 à û Õ ý ³ £ ³ É Ä ê Å ® Ó ×Ñ ª Ç å Ü ×µ ¨¹ Ì ´ ¼ µ Ä Æ µ Ê ý Ö ·² ¼
4.34 4.61 3.87 3.58 3.84
4.84 4.75 3.95 5.35 4.50
4.41 2.91 3.91 3.84 3.96
4.50 3.27 4.52 3.19 4.59 3.75 3.98 4.13 4.26 3.63 3.87 5.71 3.30 4.73 4.17 5.13 3.78 4.57 3.80 3.93 3.78 3.99 4.48 4.28 4.06 5.26 5.25 3.98 5.03 3.51 3.86 3.02 3.70 4.33 3.29 3.25 4.15 4.36 4.95 3.00 3.26
描述集中趋势的有哪些
描述集中趋势的有哪些
描述集中趋势的常用统计量有以下几种：
1. 均值（Mean）：所有观察值的总和除以观测数量，用于描述数据的平均水平。
2. 中位数（Median）：将所有数据按大小排列，处于中间位置的数值，用于描述数据的中间值。
3. 众数（Mode）：数据中出现次数最多的数值，可以用于描述数据的最常出现的值。
4. 加权平均数（Weighted Mean）：根据每个观测值的权重计算均值。
在某些情况下，某些观测值可能比其他观测值更重要或具有更大的影响力。
5. 几何平均数（Geometric Mean）：将所有数据相乘然后开n次方，其中n 为观测数量。
适用于对数增长率大致相等的数据。
6. 调和平均数（Harmonic Mean）：观测数量除以所有观测值的倒数之和的倒数。
适用于速率、比率或分数数据。
7. 加权中位数（Weighted Median）：根据每个观测值的权重计算中位数。
适用于某些观测值比其他观测值更重要或具有更大的影响力的情况。
这些统计量可以用于提供不同视角的数据集中倾向的描述。
选择适当的统计量描述一组数据的集中趋势
补充练习
1、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某 种商品的月销售额，统计了者15人某月的销售量如下：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数
1 13 5 32
（1）求者15人营销人员该月销售量的平均数、中位数 和众数；平均数为320件,中位数为210件,众数为210件
平均数？中位数？众数？还是方差？标准差？
⑴这15名工人生产的机器零件的平均数是：约—1—0—.1个—； ⑵这15名工人生产的机器零件的中位数是：——9个——； ⑶这15名工人生产的机器零件的众数是：——8个——；
现在你确定的“定额”是————个？说说你的想法！
注意！在实际情景中，车间管理者在决策时可
涿州市孙庄中学 孙少奇
算术平均数的定义：
一般地，对于n个数 x1, x2,, xn
x
1 n
(
x1
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn
)
x
x1f1
x2f2 xnfk f1＋ f2＋fk
（1）中位数与数据的排列位置有关，当 一组数据中的 个别数据相差较大时, 可用中位数来描述这组数据的集中趋势；
（2）计算方法：将一组数据按一定的顺序
排列起来，处于最中间位置的一个数 （或两个数的平均数）；
众数是对各数据出现频数的考察， 其大小只与数据中部分数据有关，它可 能是其中的一个数或多个数；
平均数、中位数、众数 是描述一组数据集中程度的统计量。
平均数、中位数、众数是描述一组数据 集中程度的统计量；
例：工厂有15名工人，某一天他们生产的机器零件 个数统计如下：
生产零件的个数 （个）
第二章 集中趋势的统计描述
1.集中趋势(central tendency)：平均水 平,向中间集中,中等数据的人数最多。 2.离散趋势(tendency dispersion)：变 异水平,即随着红细胞数测量值逐渐变大 或变小，人数越来越少,向两端分散。
频数表的主要用途
1.作为陈述资料的形式,可以替代繁杂的原始资料， 便于进一步分析 2.便于观察数据的分布类型 3.便于发现资料中某些远离群体的特大或特小的 可疑值
xi x1 x2 xn x n n
例2.1 见书P10
式（2-1）
加权法
适用条件：当无原始数据或观察例数很多又 缺乏计算机及统计软件时，若用直接法很 容易出错，可以用加权法处理。
f i X i f1 X 1 f 2 X 2 f n X n x f i f1 f 2 f n
x
二、特征： ∑（X-
x ）=0
估计误差之和为0。
三、适用资料类型： 1.描述正态分布和近似正态分布资料集中 趋势的最好指标。 2. 适用于大多数正常人的生理、生化指标。 四、计算方法：
1.直接法
2.加权法
直接法
适用条件： 当观察例数不多时，或观察例数虽然 很多，但有计算机及统计软件，宜选择直接法。
0 .0 15 0 .0 14 0 .0 13 0 .0 12 0 .0 11 0 .0 10 00 9. 00 8. 00 7. 00 6. 00 5. 00 4. 00 3. 00 2. 00 1. 00 0.
400
300
200
100
0
TG
对数据的描述指标也分为两类： 1. 描述集中趋势(central tendency)或 平均水平的指标。 2. 描述离散趋势(tendency dispersion) 或变异水平的指标。
描述集中趋势常用的统计指标
描述集中趋势常用的统计指标在统计学中，描述集中趋势的统计指标用于衡量数据的中心位置。
以下是常用的描述集中趋势的统计指标：1. 平均数：平均数是数据集所有数值的和除以数值的数量。
它是描述数据集中趋势的最常用指标。
2. 中位数：中位数是一组数值排序后处于中间位置的数值。
对于未排序的数据，中位数是所有数值由小到大排列后位于中间的数值。
当数据量是奇数时，中位数是中间那个数值；当数据量是偶数时，中位数是中间两个数值的平均值。
3. 众数：众数是数据集中出现次数最多的数值。
如果存在多个数值出现次数相同且最多，则存在多个众数。
4. 几何平均数：几何平均数是数据集所有数值的乘积的平方根。
它用于处理包含幂次的数据，并且在处理增长率或比率时非常有用。
5. 调和平均数：调和平均数是数据集所有数值的倒数之和的倒数。
它与几何平均数类似，但在处理负数时表现更好。
6. 权重算术平均数：权重算术平均数是每个数值与相应的权重的乘积之和除以权重之和。
它适用于数据集中的数值具有不同重要性或误差的情况。
7. 众数离散趋势指标：除了描述集中趋势外，众数还可以用于描述数据的离散趋势或波动性。
离散趋势指标可以显示数据之间的变化或波动程度，如标准差、四分位数范围、变异系数等。
8. 相对集中趋势指标：相对集中趋势指标通过将数据的集中趋势与总体均值的相对位置进行比较来衡量数据的相对集中趋势。
这些指标包括相对偏差、相对误差等。
综上所述，以上是描述集中趋势常用的统计指标，它们具有不同的特性和适用范围。
在分析数据时，选择适当的指标可以帮助更好地了解数据的中心位置和特征。
什么是数据的集中趋势
什么是数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据中最具代表性的数值或趋势，它可以帮助我们了解数据的分布情况和总体特征。
常见的集中趋势包括均值、中位数和众数等。
首先，均值是指一组数据的总和除以数据的个数。
通过计算平均值，我们可以获得数据的总体水平。
均值具有较好的代表性，并且在数据分布近似对称的情况下特别有用。
但是当数据存在极端值或者数据分布不对称时，均值可能会受到影响。
此时，中位数和众数则可以提供一种更好的描述。
中位数是按照数据的大小将一组数据从小到大排序后，位于中间的数值。
中位数相对于均值更能体现数据的典型特征。
中位数的计算相对简单，适用于任何数据分布情况，并且不受极端值的影响。
因此，在处理极端值较多的数据集时，中位数比均值更为可靠。
而在对称分布的数据中，中位数与均值一般相近。
众数是在一组数据中出现次数最多的数值。
众数常用于描述离散型数据的集中趋势，特别是在具有不连续分布的数据中，众数可以提供最具代表性的数值。
例如，在一份学生人数统计中，众数可以帮助我们了解某个班级的人数分布情况。
需要注意的是，一个数据集也可能存在多个众数，这时我们称之为多峰分布。
除了上述常见的集中趋势指标，还有一些其他的指标可以用来描述数据的集中趋势。
例如，加权平均数可以通过给数据赋予不同的权重来计算，以考虑数据的重要性。
四分位数可以将数据按照大小分为四个等份，其描述了数据在不同位置的分布情况。
在实际应用中，选择合适的集中趋势指标依赖于数据集的特点和研究目的。
对于符合正态分布的数据，均值和标准差通常是最常用的指标。
如果数据集中存在异常值或者数据分布不对称，那么应该更加关注中位数和四分位数。
如果数据集为离散型数据，那么众数可能是最适合的描述。
总之，数据的集中趋势是指一组数据中最具代表性的数值或趋势，常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
不同的指标适用于不同的数据类型和分布情况，选择合适的集中趋势指标可以帮助我们更好地理解和描述数据的特点。
卫生统计学--集中趋势的统计描述(第一节 频数分布)
脉搏组段
(1) 56～ 59～ 62～ 65～ 68～ 71～ 74～ 77～ 80～ 83～85
合计
组中值（Xi）
(2)
57.5 60.5 63.5 66.5 69.5 72.5 75.5 78.5 81.5 84.5
频数， fi (3)
2 5 12 15 25 26 19 15 10 1
N＝∑f 130
料，特别是服从对数正态分布资料
第二节 集中趋势的描述
（三） 中位数 11个大鼠存活天数：
4，10，7，50，3，15，2，9，13，60， 70 平均存活天数? 1、中位数（median）
第二章 集中趋势的 统计描述
第一节 频数分布
第一节 频数分布
一、数值变量的频数分布 1、频数：即变量值的个数 2、频数表：同时列出观察指标的可能取值区间
及其在各区间出现的频数。 3、频数分布通常用频数分布表和频数分布图来
表示。 注意：了解频数分布是分析资料的第一步。 （一）频数分布表（frequency table）
之间，尤以组段的人数71~（次/分）最多。 且上下组段的频数分布基本对称。
3．便于发现一些特大或特小的可疑值
组段
频数 f
(1)
(2)
2.30～
12.60～02.90～03.20～
0
3.50～
17
3.80～
20
4.10～
17
4.40～
12
4.70～
9
5.00～
0
5.30～
0
5.60～5.90
8
合计
图 2-1 130 名 正 常 成 年 男 子脉搏的 频 数 分 布
第一节 频数分布
数值变量资料的集中趋势和离散趋势
2.几何均数（geometric mean）
常适用于一种特殊的偏态分布资料：等比资料或对 数正态分布资料（常见于抗体滴度）。
3.中位数（median，M） 10.12.9.7.11.39
主要适用于偏态分布资料。中位数是指将一组变 量值从小到大排列，位次居中的变量值。
S CV 100％ X
CV: 单位不同，均数相差悬殊 S : 单位相同，均数相近
5.四分位数间距（quartile interval，Q）：P75 、 P25分别表示第75百分位数和第25百分位数。
Q＝ P75－P25（上四分位数-下四分位数）
注：主要用于偏态分布资料离散程度的描述。
正态分布：集中趋势，平均数；离散趋势，方差 偏态分布：集中趋势，中位数；离散趋势，四分位数间距
最大值
统计结果
注：除了用“Frequencies”外，还可以使用 “Descriptives”进行统计描述 描述
三、用SPSS软件实现统计描述
操作步骤：
1.选择“Frequencies”
描述性统计
频数
操作步骤：
2.将变量选入变量框， 点击“Statistics”
操作步骤：
用Excel计算
2.选择相应描述性指标， 无几何均数，变异系数 点击“Continue” 均数
四分位数
间距 中位数 最小值 标准差 方差 极差
偏态分布பைடு நூலகம்集中位置偏向一侧，频数分布不对称的 分布。
正偏态
120 100
负偏态
80
60
40
20
0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0
集中趋势的统计描述
正态曲线下面积的分布规律
曲线下横轴上的总面积为100%或1。 下面是应用较多的三个区间的面积分布规 律。 （1）正态分布区间(-，+)下的面积，即 范围的面积占总面积为68.27%； （2）正态分布区间(-1.96，+1.96)，即 1.96范围的面积占总面积为95.00%； （3）正态分布区间(-2.58，+2.58)，即 2.58范围的面积为99.00%。(如图1-2)
式中，Σ是求和的符号 。
例题
例 14-1 10名12岁男孩身高(cm)分别为 125.5，126.0，127.0，128.5，147.0， 131.0，132.0，141.5.0，122.5，140.0。 求平均数。
X X n 125.5 126 ... 122.5 140 132.1 10
二、四分位间距
(inter-quartile range)
四分位间距是两个特定的百分位数之 差，即第75百分数P75(上四分位数QU)和 第25百分位数P25(下四分位数QL)之差， 用Q表示，适用于任何分布的计量资料， 尤其适用于偏态分布的资料.
Q＝ QU － QL
四分位间距比全距稳定，但仍然未 考虑到每个观察值的变异。
[例1-6]调查某地107名正常人尿铅含量 (mg/L)结果列于下表，计算中位数： 本例，第3组的累计频数为65，超过n/2＝ 53.5，即第3组为本组。
i n 4 107 M L fL 29 36 10.41(m g/ L) f2 65 2
（四）百分位数(percentile)
百分位数是一种位置指标，用PX表示。 百分位数是一个有序数列百等分的 分割值。第50百分位数(P50)也就是中位 数，中位数是一个特定的百分位数。 计算百分位数的计算公式为：
统计简答题
1.简述描述一组资料的集中趋势和离散趋势的指标。
集中趋势和离散趋势是定量资料中总体分布的两个重要指标。
（1）描述集中趋势的统计指标：平均数（算术均数、几何均数和中位数）、百分位数（是一种位置参数，用于确定医学参考值范围，P50就是中位数）、众数。
算术均数：适用于对称分布资料，特别是正态分布资料或近似正态分布资料；几何均数：对数正态分布资料（频率图一般呈正偏峰分布）、等比数列；中位数：适用于各种分布的资料，特别是偏峰分布资料，也可用于分布末端无确定值得资料。
描述离散趋势的指标：极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数。
四分位数间距：适用于各种分布的资料，特别是偏峰分布资料，常把中位数和四分位数间距结合起来描述资料的集中趋势和离散趋势。
方差和标准差：都适用于对称分布资料，特别对正态分布资料或近似正态分布资料，常把均数和标准差结合起来描述资料的集中趋势和离散趋势；变异系数：主要用于量纲不同时，或均数相差较大时变量间变异程度的比较2.举例说明变异系数适用于哪两种形式的资料，作变异程度的比较？度量衡单位不同的多组资料的变异度的比较。
例如，欲比较身高和体重何者变异度大，由于度量衡单位不同，不能直接用标准差来比较，而应用变异系数比较。
3.试比较标准差和标准误的关系与区别。
区别：⑴标准差S：①意义：描述个体观察值变异程度的大小。
标准差小，均数对一组观察值得代表性好；②应用：与均数结合，用以描述个体观察值的分布范围，常用于医学参考值范围的估计；③与n的关系：n越大，S越趋于稳定；⑵标准误SX：①意义：描述样本均数变异程度及抽样误差的大小。
标准误小，用样本均数推断总体均数的可靠性大；②应用于均数结合，用以估计总体均数可能出现的范围以及对总体均数作假设检验；③与n的关系：n越大，SX越小。
联系：①都是描述变异程度的指标；②由SX=s/n-1可知，SX与S成正比。
n一定时，s 越大，SX越大。
4.简述应用相对数时的注意事项。
chap32集中趋势的数据描述
第三章描述性统计分析3.1 3.23.4相关概念集中趋势的数据描述表示分布形状的统计量3.3离散趋势的数据描述3.2.1 表示集中趋势的统计量均值（Mean ）•均值是所有观测值的平均数，SAS 系统中的均值主要指的是算术平均数。
表示为：nx x x n x n ni i +⋯⋯+==∑=111•n ：样本含量•x i ：观测值中位数（Median 或Med ）•中位数的计算方法是：首先将数据从小到大排序为：x (1)，...，x (n) ，然后计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数中位数n x x n x n n n )(21)12()2()21(•如果n 为奇数，中位数是处于正中心位置的数据；•如果n 为偶数，中位数是处于正中心位置的二项数据的平均数。
例如：一单位6人，其中5个员工和1个经理，月薪分别：300，400，500，400，300，50000元月薪均值：8650元中位数：400元！！•中位数不受个别极端数据的影响，具有稳健性。
比均值更能代表数据的集中趋势。
优点•其它值比中位数大多少或少多少，无法反映出来。
•当样本量比较小时，中位数不太稳定。
缺点众数（Mode）•观测值中出现次数最多的数称为众数。
在属性变量分析中，常需要考虑频数，因此众数用的比较多。
百分位数（Percentile）将观测值按从小到大顺序排列，k百分位数(k-percentile)，是指有k%的观测值小于这个k百分位数0.5分位数就是中位数Q10.25分位数常称为下四分位数,记为Q1Q30.75分位数常称为上四分位数,记为Q3Q3-Q1表示中间50%的观测值，它排除了两边极端值的影响，具有很好的稳定性。
•百分位数，是一个位置指标，描述数据分布和位置的统计量。
3.2.2 PROC MEANS 分析实例其中：–统计关键字列表：指定要计算的统计量，省略此项，过程会自动计算观测数、均值、标准差、最大值、最小值5个统计量。
–分析变量列表：指定所要分析的所有变量，多个变量之间用空格隔开。
测度集中趋势的指标
测度集中趋势的指标
测度集中趋势的指标是用来衡量数据集中程度的统计量。
常见的测度集中趋势的指标有：
1. 平均值（均值）：将数据集中所有观测值相加后除以观测值的个数，反映数据集中趋势的中心位置。
2. 中位数：将数据集中的观测值按顺序排列，取中间位置的观测值作为中位数，反映数据集中趋势的中间位置。
3. 众数：数据集中出现次数最多的观测值，反映数据集中趋势的最常出现的位置。
4. 加权平均值：将每个观测值乘以对应的权重后相加，再除以权重的总和，反映具有不同权重的数据集中趋势的加权平均位置。
5. 几何平均值：将数据集中所有观测值相乘后开根号，反映数据集中趋势的几何平均位置。
6. 分位数：将数据集中的观测值按顺序排列，取指定位置的观测值作为分位数，例如四分位数、百分位数等。
这些指标可以帮助我们了解数据集中趋势的位置和分布状况，从而更好地理解和描述数据。
不同的指标适用于不同的数据类型和分布情况，选择合适的指标可以准确地反映数据的集中趋势。
总体分布的集中趋势是
总体分布的集中趋势是
总体分布的集中趋势是指数据分布中心的位置。
通常用平均值、中位数和众数等统计量来衡量数据的集中趋势。
根据实际情况，还可以使用四分位数、百分位数等指标来描述数据的集中程度。
平均值是一种常用的衡量数据集中趋势的统计量。
它表示一组数据所有观测值的总和除以观测个数。
平均值对数据的极值敏感，如果数据中存在异常值，或者分布是非对称的，平均值可能会受到影响。
然而，对于对称分布和无异常值的数据，平均值是一个有效的衡量集中趋势的指标。
中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的观测值。
如果数据的个数是奇数，则中位数就是最中间的观测值；如果数据的个数是偶数，则中位数就是中间两个观测值的平均值。
中位数相对于平均值更加稳健，对于有异常值的数据分布，中位数往往能更好地反映集中趋势。
众数是指一组数据中出现次数最多的观测值。
众数对于描述分类型数据的集中趋势非常有用，但对于连续变量的集中趋势描述相对有限。
四分位数和百分位数是将一组数据按大小排序后，分别将数据分为四等份和百等份，用于描述数据的分布情况。
第一四分位数是指将数据分为四个等份后，处于第一份内的观测值，第二四分位数即为中位数，第三四分位数是将数据分为四个等份后，处于第三份内的观测值。
同样地，百分位数指将数据按大小排序后，分
为100等份，可以用来描述数据的集中趋势和离散程度。
总体分布的集中趋势可以使用以上统计量来描述。
需要根据数据的特点和目标的要求选择合适的指标。
在实际应用中，常常综合考虑平均值、中位数和众数等指标，以全面地描述数据的集中趋势。
平均水平(集中趋势)的统计描述
平均水平(集中趋势)的统计描述统计描述是对数据集的基本特征进行总结和概括的过程。
其中，平均水平是统计描述的一个重要指标，用来表示数据集的集中趋势。
在本文中，我们将以2000字的篇幅探讨平均水平的统计描述。
平均水平是一个常见的统计量，指代数据集中的“平均值”。
平均值是将数据集中的所有值相加，然后除以数据个数得到的结果。
它是一种反映整体趋势的度量，能够提供关于数据集的中心位置的信息。
计算平均值的步骤相对简单，首先将所有的观测值相加，然后除以观测值的个数。
例如，假设我们有一个包含10个观测值的数据集，数据值分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
将这些值相加得到55，然后除以数据个数10，得到平均值为5.5。
平均值是一个重要的统计描述指标，它能够提供数据集的中心位置信息。
然而，平均值并不能反映出数据的全部特征。
有时候，数据集中存在异常值（极端值），这会对平均值产生较大的影响。
例如，如果一个数据集中有99个值都在0-1范围内，但存在一个异常值为1000，那么计算得到的平均值将会显著偏离数据集的整体特征。
为了更好地了解数据集的平均水平，我们可以使用更多的统计描述指标，如中位数、众数和四分位数。
中位数是指将数据集中的所有观测值按照从小到大的顺序排列，然后找到位于中间位置的值。
如果数据集的观测值个数为奇数，中位数就是位于中间位置的值；如果数据集的观测值个数为偶数，中位数可以通过将中间两个值相加再除以2来计算。
中位数具有一定的鲁棒性，它不会受到异常值的影响。
众数是指在数据集中出现次数最多的值。
它可以用来描述数据集的集中趋势，特别适用于离散型数据。
如果数据集中有多个值出现次数相同且都最多，那么这些值都可以被称为众数。
四分位数是将数据集按照从小到大的顺序排列后，分成四个等份的数值点。
其中，第一四分位数是将数据集平均分成四等份后，最靠近数据集最小值的一个数值点；第二四分位数是数据集的中位数，同时也是将数据集平均分成四等份后的两个分割点；第三四分位数是将数据集平均分成四等份后，最靠近数据集最大值的一个数值点。
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集中趋势的统计描述练习题一、单项选择题1. 某医学资料数据大的一端没有确定数值，描述其集中趋势适用的统计指标是A. 中位数B. 几何均数C. 均数D. 95P百分位数E. 频数分布2. 算术均数与中位数相比，其特点是A．不易受极端值的影响B．能充分利用数据的信息C．抽样误差较大D．更适用于偏态分布资料E．更适用于分布不明确资料3. 一组原始数据呈正偏态分布，其数据的特点是***正的反而小！A. 数值离散度较小B. 数值离散度较大C. 数值分布偏向较大一侧D. 数值分布偏向较小一侧E. 数值分布不均匀4. 将一组计量资料整理成频数表的主要目的是A．化为计数资料 B. 便于计算C. 形象描述数据的特点D. 为了能够更精确地检验E. 提供数据和描述数据的分布特征5. 6人接种流感疫苗一个月后测定抗体滴度为1：20、1：40、1：80、1：80、1：160、1：320，求平均滴度应选用的指标是A. 均数B. 几何均数C. 中位数D. 百分位数E. 倒数的均数答案: A B D E B二、计算与分析1. 现测得10名乳腺癌患者化疗后血液尿素氮的含量(mmol/L)分别为3.43,2.96,4.43,3.03,4.53,5.25,5.64,3.82,4.28,5.25,试计算其均数和中位数。
[参考答案]3.43+2.96+4.43+3.03+4.53+5.25+5.64+3.82+4.28+5.25X==4.26 (mmol/L)104.28+4.43M==4.36(m m o l/L)22. 某地100例30-40岁健康男子血清总胆固醇值（mg/dl）测定结果如下：202 165 199 234 200 213 155 168 189 170 188 168 184 147 219 174 130 183 178 174228 156 171 199 185 195 230 232 191 210 195 165 178 172 124 150 211 177 184 149159 149 160 142 210 142 185 146 223 176 241 164 197 174 172 189 174 173 205224221 184 177 161 192 181 175 178 172 136 222 113 161 131 170 138 248 153 165 182234 161 169 221 147 209 207 164 147 210 182 183 206 209 201 149 174 253 252 156（1）编制频数分布表并画出直方图；（2）根据频数表计算均值和中位数，并说明用哪一个指标比较合适；（3）计算百分位数5P、25P 、75P 和95P 。
[参考答案]（1）编制频数表：某地100例30-40岁健康男子血清总胆固醇值的频数表 甘油三脂(mg/dL) (1) 频数 (2) 累积频数 (3) 累积频率 (4) 110～ 2 2 2 125～ 4 6 6 140～ 11 17 17 155～ 16 33 33 170～ 27 60 60 185～ 12 72 72 200～ 13 85 85 215～ 7 92 92 230～ 5 97 97245～ 3 100 100 合计 100 — —画直方图：51015202530110125140155170185200215230245胆固醇含量频数图 某地100例30-40岁健康男子血清总胆固醇值的频数分布 （2）计算均数和中位数：(110 +7.5) 2 +(125 +7.5) 4+(245 +7.53182.9(mg/dl)100X ⨯⨯⨯==)501000.53317015179.4mg/dl 27M P ⨯-==+⨯=（）从上述直方图能够看出：此计量指标近似服从正态分布，选用均数较为合适。
（3）计算百分位数：51000.05212515136.25mg/dl4P ⨯-=+⨯=（）251000.251715515162.5mg/dl 16P ⨯-=+⨯=（）751000.757220015203.5mg/dl 13P ⨯-=+⨯=（）951000.959223015239mg/dl 5P ⨯-=+⨯=（）3． 测得10名肝癌病人与16名正常人的血清乙型肝炎表面抗原(HBsAg)滴度如下表，试分别计算它们的平均滴度。
肝癌病人与正常人的血清乙肝表面抗原(HBsAg)滴度滴度倒数 正常人数 肝癌病人数 8 7 1 16 5 2 32 1 3 64 3 2 128 0 1 256 0 1[参考答案]肝癌病人与正常人的血清乙肝表面抗原(HBsAg)滴度测定结果 滴度倒数(X) 正常人数（1f ） 肝癌病人数（2f ） lgx 1f lgx2f lgx8 7 1 0.90 6.30 0.90 16 5 2 1.20 6.00 2.40 32 1 3 1.50 1.50 4.50 64 3 2 1.81 5.43 3.62 128 0 1 2.11 0.00 2.11 256 0 1 2.41 0.00 2.41 合计 1610-19.2315.941119.23lg 15.9216G -⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭ 1215.94lg 39.2610G -⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭正常人乙肝表面抗原(HBsAg)滴度为1: 15.92肝癌病人乙肝表面抗原(HBsAg)滴度为1：39.26 （李 康）离散程度的统计描述练 习 题一、单项选择题1. 变异系数主要用于A ．比较不同计量指标的变异程度 B. 衡量正态分布的变异程度 C. 衡量测量的准确度 D. 衡量偏态分布的变异程度 E. 衡量样本抽样误差的大小2. 对于近似正态分布的资料，描述其变异程度应选用的指标是 A. 变异系数 B. 离均差平方和 C. 极差 D. 四分位数间距 E. 标准差3. 某项指标95%医学参考值范围表示的是A. 检测指标在此范围，判断“异常”正确的概率大于或等于95%B. 检测指标在此范围，判断“正常”正确的概率大于或等于95%C. 在“异常”总体中有95%的人在此范围之外D. 在“正常”总体中有95%的人在此范围E. 检测指标若超出此范围，则有95%的把握说明诊断对象为“异常” 4．应用百分位数法估计参考值范围的条件是A ．数据服从正态分布B ．数据服从偏态分布C ．有大样本数据D ．数据服从对称分布E ．数据变异不能太大5．已知动脉硬化患者载脂蛋白B 的含量(mg/dl)呈明显偏态分布，描述其个体差异的统计指标应使用A ．全距B ．标准差C ．变异系数D ．方差E ．四分位数间距 答案：A E D B E 二、计算与分析1. 下表为10例垂体催乳素微腺瘤的病人手术前后的血催乳素浓度，试说明用何种指标比较手术前后数据的变异情况较为合适。
表 手术前后患者血催乳素浓度（ng/ml ）例号血催乳素浓度术前 术后1 276 412 880 1103 1600 2804 324 615 398 1056 266 437 50025 8 1760 300 9 500 215 10 220 92[参考答案]血催乳素浓度术前均值＝672.4 ng/ml ，术后均值＝127.2 ng/ml 。
手术前后两组均值相差较大，故选择变异系数作为比较手术前后数据变异情况比较合适。
术前：672.4X =，564.65S =564.65100%83.98%672.4CV =⨯=术后：127.2X =，101.27S =101.27100%79.61%127.2CV =⨯=可以看出：以标准差作为比较两组变异情况的指标，易夸大手术前血催乳素浓度的变异。
2. 某地144例30～45岁正常成年男子的血清总胆固醇测量值近似服从均数为4.95mmol/L ，标准差为0.85mmol/L 的正态分布。
①试估计该地30～45岁成年男子血清总胆固醇的95%参考值范围；②血清总胆固醇大于5.72mmol/L 的正常成年男子约占其总体的百分之多少？ [参考答案]①正常成年男子的血清总胆固醇测量值近似服从正态分布，故可按正态分布法处理。
又因血清总胆固醇测量值过高或过低均属异常，所以应计算双侧参考值范围。
下限： 1.96 4.95 1.960.85 3.28X S -=-⨯=(mol/L) 上限： 1.96 4.95 1.960.85 6.62X S +=+⨯=(mmol/L)即该地区成年男子血清总胆固醇测量值的95%参考值范围为3.28 mmol/L ～6.62 mmol/L 。
②该地正常成年男子的血清总胆固醇测量值近似服从均数为4.95mmol/L ，标准差为0.85mmol/L 的正态分布，计算5.72mmol/L 对应的标准正态分布u 值：5.72 4.950.910.85u -=≈问题转化为求u 值大于0.91的概率。
由于标准正态分布具有对称性，所以u 值大于0.91的概率与u 值小于－0.91的概率相同。
查附表1得，()0.1814u Φ-=，所以说血清总胆固醇大于5.72mmol/L 的正常成年男子约占其总体的18.14%。
3. 某地200例正常成人血铅含量的频数分布如下表。
（1）简述该资料的分布特征。
（2）若资料近似呈对数正态分布，试分别用百分位数法和正态分布法估计该地正常成人血铅值的95%参考值范围。
表某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布血铅含量频数累积频数0.00～7 70.24～49 560.48～45 1010.72～32 1330.96～28 1611.20～13 1741.44～14 1881.68～ 4 1921.92～ 4 1962.16～ 1 1972.40～ 2 1992.64～ 1 200[参考答案]（1）从表可以看出，血铅含量较低组段的频数明显高于较高组段，分布不对称。
同正态分布相比，其分布高峰向血铅含量较低方向偏移，长尾向血铅含量较高组段延伸，数据为正偏态分布。
某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布血铅含量组中值频数累积频数累积频率0.00～0.12 7 7 3.50.24～0.36 49 56 28.00.48～0.60 45 101 50.50.72～0.84 32 133 66.50.96～ 1.08 28 161 80.51.20～ 1.32 13 174 87.01.44～ 1.56 14 188 94.01.68～ 1.80 4 192 96.01.92～2.04 4 196 98.02.16～ 2.28 1 197 98.52.40～ 2.52 2 199 99.52.64～ 2.76 1 200 100（2）因为正常人血铅含量越低越好，所以应计算单侧95%参考值范围。