直线倒立摆的稳定控制算法设计
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制
直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制（Simulink仿真）通过对倒立摆系统的力学及运动学分析，建立系统的非线性数学模型为可见，直线一级倒立摆为单输入双输出系统，利用Simulink可建立上式的框图模型，如图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统的非线性Simulink模型倒立摆的起摆问题，是控制理论中的一个经典实验，其实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态（垂直向下）在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态（垂直向上）。
在这个过程中，要求起摆快速，但又不能过于超调。
由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用。
基于非线性理论，目前常用的几种起摆方法为：Bang-Bang控制、能量控制、仿人智能控制等。
这里采用Bang-Bang控制作为起摆方法，LQR控制作为稳摆方法，Simulink框图如图2所示。
图2 倒立摆自动起摆控制Simulink框图（Bang-Bang + LQR）图2中，子系统“Inverted Pendulum”是直线一级倒立摆的非线性模型，如图1所示；S函数“ang_proc”模块用于摆杆角度的处理，即将任意角度信号转换为“ -π ~ π”之间的对应值；子系统“Bang-Bang Controller”为Bang-Bang控制器；子系统“LQR Controller”为LQR 控制器。
双击“Bang-Bang Controller”模块可打开Bang-Bang控制器框图如下：图3 Bang-Bang控制器框图图3中，bang_controller是为实现Bang-Bang控制算法而编写的S函数，信号Ang_s是Bang-Bang控制切换角，F_bang是Bang-Bang控制作用力。
双击“LQR Controller”子系统，打开LQR控制器框图如下：图4 LQR控制器框图运行图2中的仿真框图，则基于Bang-Bang控制和LQR控制算法的直线一级倒立摆自动起摆控制效果如图5所示。
大学课程设计-直线一级倒立摆控制系统设计
摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。
本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。
本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。
关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真目录第1章MATLAB仿真软件的应用 (9)1.1 MA TLAB的基本介绍 (9)1.2 MA TLAB的仿真 (9)1.3 控制系统的动态仿真 (10)1.4 小结 (12)第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (13)2.1 系统组成 (13)2.1.1 倒立摆的组成 (14)2.1.2 电控箱 (14)2.1.3 其它部件图 (14)2.1.4 倒立摆特性 (15)2.2 模型的建立 (15)2.2.1 微分方程的推导 (16)2.2.2 传递函数 (17)2.2.3 状态空间结构方程 (18)2.2.4 实际系统模型 (20)2.2.5 采用MA TLAB语句形式进行仿真 (21)第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (34)3.1 PID控制器的设计 (34)3.2 PID控制器设计MA TLAB仿真 (36)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)第1章 MATLAB仿真软件的应用1.1 MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。
倒立摆控制系统设计
倒立摆控制系统设计倒立摆是一种经典的控制系统设计问题，经常用于教学和研究中。
倒立摆是一个在竖直平衡位置上方的摆杆，通过控制一些关节的力矩使其保持平衡。
以下是一个倒立摆控制系统的设计过程。
第一步：建立动力学模型首先，需要建立倒立摆的动力学模型。
倒立摆的动力学模型可以通过运动方程来表达。
假设摆的长度为l，质量为m，可以得到摆杆的转动惯量I=m*l^2、摆杆在竖直方向上受到重力加速度g作用。
假设摆杆的角位移为θ，角速度为ω，则可以得到如下的转动方程：I*ω' = -mgl*sin(θ)第二步：线性化模型将非线性动力学模型线性化是控制系统设计中的常见做法。
在线性化之前，需要选择一个工作点作为参考点。
假设工作点为竖直平衡位置，因此θ=0，ω=0。
线性化的目的是在工作点处计算摆杆动态的近似线性表示。
通过对转动方程进行泰勒级数展开并忽略高阶项，可以得到线性化的模型：I*ω' = -mgl*θ第三步：设计控制器在线性化的模型中，我们可以引入一个控制器来控制摆杆的角度，并使之保持在竖直位置。
常见的控制器包括比例控制器（P控制器）、积分控制器（I控制器）和微分控制器（D控制器）。
通过控制器，我们可以得到一个控制信号u，作用于系统中的输入来控制倒立摆。
控制器的设计可以基于设计指标，如系统的快速响应性、稳定性和鲁棒性等。
第四步：模拟和验证在完成控制器设计之后，可以进行仿真和实验来验证系统的控制效果。
倒立摆系统通常可以用控制系统设计软件进行建模和仿真。
可以通过改变控制器的参数来观察系统的响应，并对控制器进行调整和优化。
第五步：系统实现和调试在模拟和验证阶段的成功之后，可以将控制器实现到实际的倒立摆系统中。
可能需要选择合适的硬件平台和传感器来实现对系统状态的测量。
实际实施过程中，可能还需要对控制器进行再次调整和优化，以适应实际系统的特点。
综上所述，倒立摆控制系统设计包括建立动力学模型、线性化模型、设计控制器、模拟和验证、系统实现和调试等步骤。
倒立摆的LQR稳定控制器设计
——现代控制理论实验
一、实验目的和要求
• 熟悉倒立摆的系统组成 • 学习利用MATLAB软件进行控制器的设计与仿真 • 运用LQR理论设计倒立摆的稳定控制器 • 设计的控制器能够成功进行倒立摆实时控制
二、倒立摆系统原理
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
倒立摆
光电码盘1 光电码盘2
• 倒立摆系统原理图
三、理论分析
•二次型最优调节器问题 ：
已知状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方 程为：
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0
确定下列最优控制向量：
u*(t) Kx(t)
使得下列二次型性能指标达到最小值:
J (u) 1 [xT (t)Qx(t) uT (t)Ru(t)]dt 20
0 27.83
0x 0
0 1
x
0.8832u 0
0
2.357
x
x 1
y
0
0 0
0 1
0 0
x
0 0u
LQR控制器的设计
• 开环仿真
LQR控制器的设计
• 使用完全状态反馈设计控制器
• 系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置， 小车可以到达新的指定位置。
LQR控制器的设计
可以通过改变Q阵的非零元素来调节控制器以得到期望 的响应。
(2)取Q=diag（3000 0 1000 0），R=1时：
K=[-54.772，-34.419，117.17，21.918]
此时的目标泛函:
J 2
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
直线一级倒立摆建模与控制
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
倒立摆控制方法
倒立摆控制方法介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它在控制理论中具有重要的地位。
倒立摆控制方法是指通过对倒立摆系统的动力学特性进行建模和分析，设计出合适的控制策略，以实现倒立摆的平衡控制或轨迹跟踪控制。
本文将系统介绍倒立摆的基本原理和控制方法，并深入探讨几种常见的倒立摆控制算法。
一、倒立摆的基本原理1. 倒立摆系统的结构倒立摆由一个挡板和一根连杆组成，挡板可以沿竖直方向进行运动，连杆可以绕某一固定点旋转。
倒立摆系统在无控制时，连杆会处于不稳定的倒立状态，因此需要对其进行控制以实现平衡或跟踪任务。
2. 倒立摆系统的动力学模型倒立摆系统的动力学模型可以通过拉格朗日方程建立。
对于单摆情况，可以通过连杆的长度、质量、重心位置等参数来描述系统。
通过对系统的动能和势能进行求解，可以得到系统的运动方程。
二、倒立摆控制方法1. PID控制器PID控制器是最简单且常用的控制方法之一。
PID控制器通过比较系统的实际输出和期望输出，计算出控制量，并输出给执行器。
PID控制器分别对系统的偏差、偏差的变化率和偏差的积分进行加权计算，得到最终的控制量。
2. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，适用于非线性系统或具有不确定性的系统。
模糊控制将系统的输入和输出进行模糊化，通过模糊规则的匹配和推理，得到最终的控制量。
对于倒立摆系统，可以根据系统的状态和偏差设计模糊规则集，以实现控制目标。
3. 强化学习强化学习是一种通过与环境的交互来学习最优策略的方法。
倒立摆控制可以被看作是一个强化学习的问题，控制器通过与倒立摆系统的交互，不断调整自己的策略以获得最优的控制效果。
例如，可以使用深度强化学习方法，如深度Q网络（DQN）来实现倒立摆的控制。
4. 模型预测控制模型预测控制是一种通过建立系统的动态模型，并根据模型进行预测和优化的控制方法。
倒立摆系统的动态特性是已知的，可以通过建立模型来预测系统的未来状态，从而进行控制决策。
模型预测控制可以考虑系统的约束条件，并通过优化算法求解最优控制策略。
直线一级倒立摆系统的PID控制算法设计
摘要直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。
设计直线一级倒立摆前,首先要应清楚直线一级倒立摆的定义及它的特性,其次用数学建模的方法建立直线一级倒立摆模型。
再次PID控制器的结构与参数设计，将直线一级倒立摆当作简单的单输入单输出系统（忽略了小车位移的控制），采用了 PID控制器设计方法进行了控制器结构设计和参数设计。
确定PID控制器主要参数KP、KI、KD,通过改变这三个参数的值,使直线一级倒立摆由开环不稳定系统变为闭环稳定系统。
直线一级倒立摆系统在PID控制器下用MATLAB进行仿真,通过改变控制器PID主要参数,使得仿真曲线更接近理论曲线。
这些便是直线一级倒立摆系统的PID控制算法设计的主要内容。
关键词：直线一级倒立摆；Matlab仿真；PID控制ABSTRACTInverted pendulum linear 1-stage stands upside down suspends is composed by the translation module and the level pendulum mass module, is most common stands upside down suspends one Front the design straight line level stands upside down suspends, first must be supposed the clear straight line level to stand upside down the definition and its characteristic which suspends, next stands upside down with mathematics modelling method establishment straight line level suspends the model. Once more the PID controller structure and the parameter design, stood upside down Inverted pendulum linear 1-stage suspends the regard simple single input list output system (to neglect car displacement control), used the PID controller design method to carry on the controller structural design and the parameter design. Determined PID controller main parameter KP, KI, KD, through change these three parameters the value, causes the straight line level to stand upside down suspends becomes the closed loop stable system by the split-ring unstable system. Inverted pendulum linear 1-stage stands upside down suspends the system to carry on the simulation under the PID controller with MATLAB, through the change controller PID main parameter, causes the simulation curve closer theoretical curve.These then are the straight line level stands upside down suspends the system the PID control algorithm design primary coverage.Keywords:Inverted pendulum linear；Matlab Simulation; PID control目录第1章绪论 (1)第2章倒立摆系统 (2)2.1 系统的组成 (3)2.1.1 倒立摆本体 (3)2.1.2 电控箱 (4)2.1.3 电机 (4)2.1.4 编码器 (4)2.1.5 控制卡 (5)2.2 系统使用说明 (5)2.2.1 直线一级摆硬件操作系统 (5)2.2.2 一级摆软件操作说明 (5)第3章自动控制及MATLAB软件介绍 (7)3.1自动控制概念 (7)3.2 自动控制系统的类型 (8)3.2.1 随机系统与自动调整系统 (8)3.2.2 线性系统和非线性系统 (9)3.2.3 连续系统和离散系统 (9)3.2.4 单输入单输出系统和多输入多输出系统 (9)3.2.5 确定系统与不确定系统 (9)3.2.6 集中参数系统和分布参数系统 (9)3.3 自动控制理论概要 (10)3.3.1 自动控制系统所要分析的问题 (10)3.3.2 自动控制系统的设计问题 (10)3.4 MATLAB实验软件 (10)3.5.1 MATLAB的基本介绍 (11)3.5.2 MATLAB程序设计基础 (12)第4章 PID控制 (13)4.1 PID控制原理 (13)4.2 数字PID控制 (14)4.2.1 位置式PID控制算法 (14)4.2.2 增量式PID控制算法 (15)4.3 常见的PID控制系统 (15)4.3.1 串级PID控制 (15)4.3.2 纯滞后系统的大林控制算法 (16)4.3.3 纯滞后系统的smith控制算法 (17)第5章直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 (19)5.1 微分方程的推导 (19)5.2 传递函数 (21)5.3 状态方程 (21)5.4 实际系统模型 (23)5.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (24)第6章直线一级倒立摆控制器设计及仿真 (27)6.1 PID参数的调整 (28)6.2 PID控制回路运行 (28)6.3直线一级倒立摆PID控制器设计 (29)6.4直线一级倒立摆PID控制器设计MATLAB仿真 (32)结论 (37)参考文献 (38)致谢 (39)附录 (40)第1章绪论计算机的诞生和发展给自动控制增添了先进的工具，现代控制理论的发展，又给自动控制提供了新的理论支柱。
直线倒立摆模糊控制系统设计
直线倒立摆模糊控制系统设计直线倒立摆是一种常见的非线性控制系统，本文将设计一种模糊控制系统用于直线倒立摆的稳定控制。
直线倒立摆是一个具有非线性特性的物理系统，其目标是使倒立摆保持竖直的状态。
在设计模糊控制系统之前，首先需要建立系统的数学模型。
以车辆平衡的直线倒立摆为例，可以使用角度和倾斜角速度作为系统的状态变量。
在模糊控制系统中，需要定义输入和输出的模糊集合。
对于直线倒立摆系统，输入可以选择为角度的变化率（如角加速度），输出可以选择为摆杆的控制力。
接下来，需要确定模糊集合的划分方式以及每个模糊集合的隶属度函数。
通过实验或经验，可以确定角度和角速度的划分方式，并为每个模糊集合分配名称，例如“大角度”、“小角速度”等。
接下来，根据规则库制定模糊控制系统的规则。
规则库是基于经验知识和专家经验构建的，其中包括输入和输出变量之间的条件关系。
在制定规则之后，需要根据实际情况确定模糊控制系统的输入和输出的隶属度函数。
一种常用的方法是使用高斯隶属度函数。
确定隶属度函数后，可以进行仿真和优化，以优化模糊控制系统的性能。
最后，需要实现模糊控制器。
可以使用模糊控制器的工具包或编程语言来实现控制器，并与直线倒立摆系统进行实时通信。
通过实时监测和调整输入变量，模糊控制器可以动态调整输出，以实现直线倒立摆系统的稳定控制。
总之，模糊控制系统是一种非线性控制系统，适用于一些复杂的控制问题。
通过定义模糊集合、规则库和隶属度函数，可以实现对直线倒立摆系统的稳定控制。
但是，模糊控制系统的性能取决于参数的选择和优化，因此需要进行多次仿真和实验来优化控制系统的性能。
单级倒立摆控制系统的稳定性算法设计
单级倒立摆控制系统的稳定性算法设计
倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型，本身是一种自然不稳定体，它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题，如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。
对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置，而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度，当倒立摆系统达到期望位置后，系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。
作为一种控制装置，它具有形象直观、结构简单、便于模拟实现多种不同控制方法的特点，作为一个被控对象它是一个高阶次、非线性、多变量、强耦合、不稳定的快速系统，只有采取行之有效的方法才能使它的稳定效果明了，因此对倒立摆的研究也成为控制理论中经久不衰的研究课题。
1 一级倒立摆系统的数学模型
对于倒立摆系统来说，如果忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承连接的匀质摆杆组成，如
倒立摆控制系统数学模型的建立方法一般有利用牛顿力学的分析方法和分析力学中的拉格朗日方程建模两种。
本文采用的是拉格朗日方程建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为：
式中：L 是拉格朗日算子;V 是系统动能;G 是系统势能。
式中：D 是系统耗散能;fi 为系统在第i 个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：。
直线型一级倒立摆系统的控制器设计
直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。
（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。
（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。
（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
直线一级倒立摆控制方法设计
直线一级倒立摆控制方法设计倒立摆的数学模型设计倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。
本设计是以一阶倒立摆为被控对象来进行设计的。
状态空间法：状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。
根据设计要求，给小车加一个阶跃输入信号。
此次用Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。
在这里给出一个state.m 文件，执行这个文件,Matlab 将会给出系统状态空间方程的A,B,C 和D 矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2m 的阶跃信号时系统的响应曲线。
直线一级倒立摆系统数学建模 在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。
如图所示：系统状态方程为：XAX Bu Y CX Du=+=+假设系统内部各相关参数为：M 小车质量 0.5kg m 摆杆质量 0.2kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.006kg*m*m T 采样时间 0.005s x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 应用牛顿-欧拉方法，可得到系统状态空间方程为：222222201()0()()0()0()()x I ml b m gl x I M m Mml I M m Mml lb mgl M m I M m Mml I M m Mml φφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥=⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢-+⎢⎥⎣⎦⎢++++⎣⎦ ０ 0 0 ０ 0 0ｍ 0 2220()0()x I ml x I M m Mml u ml I M m Mml φφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥+⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥++⎣⎦1000000100x x x Y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 以上就是一阶倒车摆系统的状态空间表达式。
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品
直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品1.引言直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。
该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。
LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。
2.直线倒立摆系统建模m*x''+b*v+m*g=f-u在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。
定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为：x1'=x2x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g)3.LQR控制器设计LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。
在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。
那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。
LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。
具体的设计步骤如下：1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式：x'=Ax+Buy=Cx+Du其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递增矩阵。
2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。
增益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A其中，S为Riccati方程的解。
3) 计算系统的控制器增益矩阵L。
增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C4.LQR控制器仿真在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。
可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。
在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测试控制器的稳定性。
通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以评估控制器的性能。
控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2013.9.2——2013.9.13哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。
第一章 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立1.1直线一阶倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。
b px图1-1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图本系统相关参数定义如下：M : 小车质量 m ：摆杆质量b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
直线二级倒立摆控制课程设计指导书
直线两级倒立摆控制课程设计指导书一、课程设计目的学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。
通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、课程设计内容1、应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的表达形式。
2、运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。
3、应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。
4、将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。
三、课程设计参数与要求1、控制对象示意图图1 直线两级倒立摆系统模型图2、对象的参数l摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m M 小车质量1.32 Kg1l摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m m1 摆杆1的质量0.04 Kg2m2 摆杆1的质量0.132 Kg F 作用在系统上的外力m3 质量块的质量0.208 Kg X 小车的位移θ1摆杆1与垂直向上方向的夹角θ2摆杆2与垂直向上方向的夹角注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时）※小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒；※小车位置X的波动幅度小于0.3m；※摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度※稳态误差小于2% 。
四、课程设计所需提交的内容1、系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。
2、给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。
3、计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。
4、应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。
直线单级倒立摆控制器的设计
成都理工大学工程技术学院毕业论文直线单级倒立摆控制器的设计作者姓名：李友良专业名称：自动化指导教师：杨明讲师摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统，在控制过程中反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题等，对倒立摆系统的研究在理论上和方法上都有深远的意义。
本次设计是在观察了直线一阶倒立摆的实验室模型的前提下，根据其工作原理，对其进行机理建模，并对倒立摆结构受力分析，进而得到一阶倒立摆的微分方程模型、传递函数模型一阶状态空间。
再利用牛顿力学方法建模，设计倒立摆PID控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。
建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。
本文以实验室的一阶倒立摆为实际研究对象，研究其PID控制器和状态空间极点配置控制器设计。
关键字：倒立摆MATLAB仿真PID控制极点配置控制AbstractInverted pendulum system is atypical multivariable nonlinear strong coupling and rapid movements of natural unstable system, the control process control many of the key problems reflect, such as the stabilization problem of nonlinear problems robustness, etc, to inverted pendulum in theory and methods on the research is of profound significance. This design is to observe the order in a straight line of inverted pendulum under the premise of laboratory model, according to its work principle, the mechanism modeling, and inverted pendulum structure stress analysis, and then got a order of the inverted pendulum differential equation model transfer function model of an order state space. Reuse Lagrange method modeling, design inverted pendulum quadratic optimal controller, by MATLAB simulation and actual experiment system, and to realize the inverted pendulum stability control. Set a model, determine the parameters, control algorithm design system commissioning and analysis steps realized. This paper by the laboratory of the first order for inverted pendulum actual research object, and study the PID controller and state space poles controller design.Keyword:Inverted pendulum, MATLAB simulation, PIDcontrol, pole assignment controller.目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)前言 (1)1 倒立摆的概述 (2)1.1 倒立摆的起源与国内外发展现状 (2)1.2 倒立摆系统的组成及分类 (2)1.3 倒立摆的控制方法 (3)1.3.1 倒立摆的稳定控制方法 (3)1.3.2 倒立摆的自动起摆控制方法 (6)1.3.3 算法的比较 (6)1.4本文研究的内容及安排 (7)2 理论模型的建立及分析 (8)2.1 直线一级倒立摆数学模型的推导 (8)2.2 系统可控性分析 (13)2.3 系统阶跃响应分析 (16)3 PID控制器设计与调节 (17)3.1 PID控制概述 (17)3.2 PID控制规律 (19)3.3 PID控制在倒立摆中的分析 (20)3.4 PID控制仿真 (23)3.4.1 摆杆角度讨论 (23)3.4.2 小车位置变化讨论 (26)3.5 PID 方法总结 (28)4 状态空间极点配置控制器设计 (29)4.1 极点配置 (29)4.2 仿真 (31)4.3 极点配置控制器方法总结 (33)结论 (34)致谢 (35)参考文献 (36)前言倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统。
倒立摆的LQR稳定控制器设计
采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
( M m) x bx ml cos ml 2 sin F ( I ml 2 ) mgl sin mlx cos
建立模型及分析
线性化后两个方程如下：
2 ( I ml ) mgl mlx ( M m) x bx ml u
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
LQR控制器的设计
(1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 小车位移 小车速度 摆杆角度 摆杆角速度
建立模型及分析建立模型及分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析有下图由图可以看出小车位移和摆杆角度都是发散的所以倒立摆系统不稳定2000400060008000100005010015050100150stepresponsetimeseconds建立模型及分析建立模型及分析系统能控性是控制器设计的前提由能控性矩阵mbab利用matlab可得出rankm4所以系统完全可控
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解 。
LQR控制器的设计
2.用完全状态反馈设计控制器
系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控 制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小 车可以到达新的指定位置。
单级倒立摆稳定控制实验
单级倒立摆稳定控制实验一．实验目的1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立；2.掌握LQR控制器的设计方法；3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。
二．实验内容图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。
系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。
光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。
图2直线一级倒立摆系统其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图3 （a ）小车隔离受力图； （b ）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：MxF bx N =-- (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dtθ=+ (2)即：2cos sin N mxml ml θθθθ=+- 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dtθ-= (3)即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- 力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--= (4) 注意：此方程中力矩的方向，由于θπφ=+，cos cos φθ=-，sin sin φθ=-故等式前面有负号。
直线倒立摆的稳定控制算法设计
直线倒立摆的稳定控制算法设计摘要本文首先利用牛顿力学分析的方法和拉格朗日法建立了直线一级、二级、三级倒立摆实物系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的和能观的。
基于此本文设计了直线倒立摆系统的机械本体部分，研究了直线一级、二级、三级倒立摆系统的PID、LQR和状态空间极点配置控制算法，同时利用MATLAB/Simulink对各个算法进行分析，由仿真结果表明：对于像倒立摆这样的非线性模型，通过对其数学模型的建立，设计相应的控制器,并对其实现控制是可行的。
关键词：直线倒立摆；PID；LQR；状态空间极点配置；仿真The stability of linear inverted pendulum control algorithmdesignAbstractIn this paper，we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1，level 2，level 3 inverted pendulum linear state equation of real system.In the meantime，the system is unstable by analyzing the linear state equation，but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted pendulum.This paper studied the linear level 1，level 2，level 3 of the inverted pendulum system PID，LQR and state space pole assignment control algorithm，at the same time analyze various algorithms with MATLAB/Simulink.By the simulation results show that：Be similary to inverted pendulum is for the non-linear model，through its mathematical model，the appropriate design of controller，and in its implementation control is feasiblly.Key words：linear inverted pendulum；PID；LQR；s tate space pole configuration；simulation目录1 绪论 (1)1.1前言 (1)1.2倒立摆系统研究背景及意义 (1)1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状 (2)1.4本文主要工作 (4)2 倒立摆机械系统设计及实现 (5)2.1 倒立摆简介 (5)2.2 倒立摆工作特性和工作原理 (5)2.2.1工作特性 (5)2.2.2系统工作原理 (5)2.3系统机械结构设计 (6)2.3.1底座设计 (6)2.3.2小车部分设计 (6)2.3.3 传动部分设计 (7)2.3.4 步进电机选择 (7)3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (10)3.1一级倒立摆模型分析 (10)3.1.1系统可观可控性分析 (13)3.1.2系统阶跃响应分析 (14)3.2一级直线倒立摆控制器设计与仿真 (15)3.2.1PID控制器设计及算法仿真 (15)3.2.2 LQR控制器设计及算法仿真 (18)3.2.3状态空间极点配置控制设计及仿真 (20)3.2.4小结 (22)4 二级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (24)4.1二级倒立摆模型的分析 (24)4.1.1二级倒立摆稳定性分析 (29)4.1.2能控性能观性分析 (29)4.2二级直线倒立摆控制器设计与仿真 (30)4.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (30)4.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (31)4.2.3小结 (32)5 三级直线倒立摆系统建模分析与仿真 (34)5.1二级倒立摆模型分析 (34)5.1.1三级倒立摆稳定性分析 (39)5.1.2能控性能观性分析 (39)5.2三级直线倒立摆控制器设计与仿真 (40)5.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (40)5.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (41)5.2.3小结 (43)6 总结与展望 (44)参考文献 (45)致谢 (46)毕业设计（论文）知识产权声明.................................... 错误！未定义书签。
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直线倒立摆的稳定控制算法设计摘要本文首先利用牛顿力学分析的方法和拉格朗日法建立了直线一级、二级、三级倒立摆实物系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的和能观的。
基于此本文设计了直线倒立摆系统的机械本体部分，研究了直线一级、二级、三级倒立摆系统的PID、LQR和状态空间极点配置控制算法，同时利用MATLAB/Simulink对各个算法进行分析，由仿真结果表明：对于像倒立摆这样的非线性模型，通过对其数学模型的建立，设计相应的控制器,并对其实现控制是可行的。
关键词：直线倒立摆；PID；LQR；状态空间极点配置；仿真The stability of linear inverted pendulum control algorithmdesignAbstractIn this paper，we firstly use the Newton mechanics analysis method and the Lagrange method to establish the linear level 1，level 2，level 3 inverted pendulum linear state equation of real system.In the meantime，the system is unstable by analyzing the linear state equation，but it is also controllable and observable.And then we describe on the physical system of the linear inverted pendulum.This paper studied the linear level 1，level 2，level 3 of the inverted pendulum system PID，LQR and state space pole assignment control algorithm，at the same time analyze various algorithms with MATLAB/Simulink.By the simulation results show that：Be similary to inverted pendulum is for the non-linear model，through its mathematical model，the appropriate design of controller，and in its implementation control is feasiblly.Key words：linear inverted pendulum；PID；LQR；s tate space pole configuration；simulation目录1 绪论 (1)1.1前言 (1)1.2倒立摆系统研究背景及意义 (1)1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状 (2)1.4本文主要工作 (4)2 倒立摆机械系统设计及实现 (5)2.1 倒立摆简介 (5)2.2 倒立摆工作特性和工作原理 (5)2.2.1工作特性 (5)2.2.2系统工作原理 (5)2.3系统机械结构设计 (6)2.3.1底座设计 (6)2.3.2小车部分设计 (6)2.3.3 传动部分设计 (7)2.3.4 步进电机选择 (7)3 一级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (10)3.1一级倒立摆模型分析 (10)3.1.1系统可观可控性分析 (13)3.1.2系统阶跃响应分析 (14)3.2一级直线倒立摆控制器设计与仿真 (15)3.2.1PID控制器设计及算法仿真 (15)3.2.2 LQR控制器设计及算法仿真 (18)3.2.3状态空间极点配置控制设计及仿真 (20)3.2.4小结 (22)4 二级直线倒立摆系统的建模分析与仿真 (24)4.1二级倒立摆模型的分析 (24)4.1.1二级倒立摆稳定性分析 (29)4.1.2能控性能观性分析 (29)4.2二级直线倒立摆控制器设计与仿真 (30)4.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (30)4.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (31)4.2.3小结 (32)5 三级直线倒立摆系统建模分析与仿真 (34)5.1二级倒立摆模型分析 (34)5.1.1三级倒立摆稳定性分析 (39)5.1.2能控性能观性分析 (39)5.2三级直线倒立摆控制器设计与仿真 (40)5.2.1LQR控制器设计及算法仿真 (40)5.2.2状态空间极点配置控制设计及仿真 (41)5.2.3小结 (43)6 总结与展望 (44)参考文献 (45)致谢 (46)毕业设计（论文）知识产权声明.................................... 错误！未定义书签。
毕业设计（论文）独创性声明. (47)附录 (48)1 绪论1.1前言倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是进行控制理论教学及开展各种控制策略的理想验证平台。
倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合等特性，使得许多现代控制理论研究人员一直将它视为最佳的理论方法验证试验研究对象，不断从研究倒立摆控制中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技、机器人学、海上钻井平台、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、太空探测器着陆控制和测量仪器展开稳定控制等各种高新科技领域[1]。
倒立摆系统在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。
作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。
倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观、显著。
1.2倒立摆系统研究背景及意义对倒立摆系统的研究不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题。
在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
倒立摆的典型性在于，倒立摆系统作为一个控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字多种不同的方式控制，通过引入适当的控制方式使之成为一个稳定的系统，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。
另一方面对系统的研究也比较有实用价值，从日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性。
倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。
它的工程背景如下：(1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。
(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。
(3)通信卫星中在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板直指向太阳。
(4)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭（多级火箭），其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
(5)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图象质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。
1.3国内外倒立摆控制研究发展及现状在国外，倒立摆系统研究最早始于上世纪50 年代，麻省理工学院机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。
但是正式提出倒立摆概念的是在60 年代后期。
在此基础上，世界各国专家和学者对倒立摆进行了拓展，产生了直线二级倒立摆、三级倒立摆、多级倒立摆、柔性直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、环形并联多级倒立摆以及斜坡倒立摆等实验设备，并用不同的控制方法对其进行了控制。
1976 年Morietc 首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制[2]。
1992 年，Furuta 等人应用最优状态调节器理论首次实现双电机三级倒立摆实物控制[3]。
80 年代后期开始，较多的研究了倒立摆系统中的非线性特性，提出了一系列的基于非线性分析的控制策略，1993 年，Wiklund 等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆[4]。
国内对倒立摆的研究始于80 年代，三级倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。
尹征琦等成功的以模拟的降维观测器实现了二级倒立摆的控制[5]。
梁任秋等针对二级倒立摆系统给出了三种实用的数字控制器和降维观测器[6]。
1994 年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制[7]。
2005 年，罗成等人实现了五级倒立摆的控制[8]。
对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，它在理论上和方法上都具有重要意义。
不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。
各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。
当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：(1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。
PID控制、状态反馈控制、LQR控制算法是其典型代表。
这类方法对一二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。
但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。
(2)预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论在倒立摆控制中的局限性，使得研究者不得不去寻求更加有效的控制方法，于是先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。
预测控制是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。
变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系统存在颤抖。
预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂、成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现[9]。