第一章 量子力学基2013

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第一章
量子力学基础
§1.1 经典物理学的困难
1.1 经典物理学的困难和量子论的诞生
1.1.1 三个著名实验 1 黑体辐射 绝对黑体（理想模型）：指在任何温度下能够完全 吸收外来的辐射而不进行反射和透射的理想物体。 实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的 曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关， 而与空腔的形状及组成的物质无关。
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§1.1 经典物理学的困难
de Broglie波不仅对建立量子 力学和原子、分子结构理论有重要 意义，而且在技术上有重要应用。
使用de Broglie波的 电子显微镜分辨率 达到光学显微镜的 千倍,为人类打开 了微观世界的大门。
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§1.1 经典物理学的困难
量子理论诞生100年后, 我国科学家又在世界上首次 发现了新的物质波干涉现象。中国科学院大连化学物 理研究所发展了一种新的激光光谱方法来测量分子碰 撞传能截面，证明了分子与分子碰撞时也像光波一样 发生干涉效应，对分子碰撞传能有重要影响。我国科 学家在钠的碰撞实验中也观察到这一效应。这一成果 丰富了量子理论，受到国际同行的关注和高度评价， 是2000年中国十大科技进展新闻之一。
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§1.1 经典物理学的困难
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§1.1 经典物理学的困难
Wein公式： Wein由热力学推导，加上一些特殊 的假设得出公式，这个公式得到的曲线在短波部 分与实验还吻合，但在长波部分则明显不一致。 Rayleigh-jeans公式： Rayleigh-jeans 根据经 典动力学和统计物理学也得出黑体辐射能量 分布公式。这个公式得到的曲线在长波部分 与实验还吻合，但在短波部分则明显不一致。
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§1.1 经典物理学的困难
ΔE ⋅ Δt ≥ h
但能量-时间不确定关系使 跃迁发生在两个不同程度展宽 的能级ΔEa和ΔEb之间，导致 谱线加宽。 Eab Eb
Ea
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§1.1 经典物理学的困难
宏观物体的运动可以同时具有确定的位置和动量。 而对微观粒子，不能同时具有确定的位置和动 量，这就表明微观粒子不存在确定的轨道，只能用 其在不同位置出现的几率密度来考虑其性质，这也 正是德布罗意波的意义所在。
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§1.1 经典物理学的困难
注意： （1）微观领域并非所有物理量都不能准确测定， （跟算符的对易法则有关）
（2）单个物理量是可以准确测定的。
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§1.1 经典物理学的困难
例：一个100W的钠蒸汽灯，发射波长为590.0nm的 黄光，计算每秒发射的光子数。
Leabharlann Baidu
100 J = xhv = xh x= 6.626 × 10
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§1.1 经典物理学的困难
X-rays
Electron
电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所 固有的规律性。
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§1.1 经典物理学的困难
1.5.4 德布罗意波的几率解释 1927年波恩提出实物粒子波的几率的解释。 实物微粒在空间不同区域出现的概率呈波 动性分布。 波函数所描写的是处于相同条件下的大量粒子的 一次行为或者是一个粒子的多次重复行为，微观粒 子的波动性是与其统计性密切联系着的，而波函数 所表示的就是概率波。
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§1.1 经典物理学的困难
T = hv − W0
增加照射光强度，不能增加光电子动能，只能 光电子的数目增加； 光电子动能随照射光频率的增加 而增加。
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§1.1 经典物理学的困难
1.3 氢原子光谱实验 原子光谱：当原子被火焰、电弧、电火花等方法 加热时能发出光来，这样测得的谱线称为原子光谱。
1 2 e2 E = mv + (− ) 2 2 4πε 0 r
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2
ε 0h2 2 r= .n 2 π me
me4 1 1 E = − 2 2 2 = − R ⋅ 2 = −13.6 2 8ε 0 h n n n
1eV = 1.602 × 10−19 J
eV
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1 2 K max = mv = eVs 2
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§1.1 经典物理学的困难
按照光的电磁波理论，光的能量是由光的强 度决定的。光强越强，射在B打出来的光电子动 能应该也很大；只要光足够强，足以供应发射 光电子所需要的能量，那么光电效应理应对各 种频率的光都发生。 但实际上Kmax和光强无关，并且有一个临域 频率存在。
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§1.1 经典物理学的困难和量子论的诞生 §1.2 实物微粒运动状态的表示法 及态叠加原理 §1.3 实物微粒的运动规律—薛定谔方程
§1.4 定态薛定谔方程的算符表达式
第1-1章
第19题(a,c) 第20题(a,c) 第25题(b)
第144页
第26题(b,c) 第27题
−
第29题 P
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§1.1 经典物理学的困难
1.5.3 物质波的实验证实和统计解释 例：子弹的质量为0.01kg，运动速度为1000m/s，电 子质量为9.11×10-31kg，运动速度为5×106m/s，试 求子弹和电子的de Broglie波长。
结论：宏观物体的德布罗意波无实际意义。实物微 粒（微观粒子）——电子、分子、中子、质子等。
E = nhv0
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§1.1 经典物理学的困难
1600K时黑体辐射的理论预测与实验结果的比较
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§1.1 经典物理学的困难
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§1.1 经典物理学的困难
2 光电效应 2.1 微粒说的严重挑战——光电效应 对阴极B所用金属，有一固定的频率ν0，只有 当入射光的频率ν>ν0时，才有光电流产生， ν0 频率称为该金属的临域频率。 但当电压减小到0并逐渐变负时，i≠0,表明 B发射的光电子具有动能，故能克服反向电 场力的作用而仍向A运动。只有当V负得足够 大，才使i=0，这个电压称为遏止电压Vs。
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§1.2 实物微粒运动状态
1.2 实物微粒运动状态的表示法及态叠加原理
de Broglie波的存在被实验证明时，还缺少波 动方程。 比波动力学稍早出现的还有W.K.Heisenberg1925 年提出的矩阵力学。 1926年, E.Schrödinger发现这两种理论在数学上 等价。他于1926年创立波动力学，核心就是今天众 所周知的Schrödinger方程.
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§1.1 经典物理学的困难
2.2 Einstein光子学说 1 光的能量是量子化的。最小单位为“光量子”。
ε 0 = hv
2.光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）
ρ = lim
Δτ →0
ΔN dN = Δτ dτ
3.光子不但有能量，还有质量（m），但光子的静止质 量为零。 ε 0 hv h m= 2 = 2 = c c cλ
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§1.1 经典物理学的困难
ν= E / h
λ= h / p
强调实物微粒的波动性
这就是著名的德布罗意关系式。 数学形式上与爱因斯坦关系式一样，但这是一 个全新的假设，因为它可以应用到所有的实物微粒。 de Broglie波被称为物质波 模型→现有理论无法解释→假设→新理论的诞生
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−34
c
λ
100 J 3 ×10 m J .s × 590 ×10−9 m
−1 8
× 1s = 2.96 × 10
20
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§1.1 经典物理学的困难
例：当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量 子hv0,，若激发态的寿命10-9s ，问v的偏差是多少？由此 引起的谱线宽度是多少？（单位：cm-1）
2.5 不确定关系
1927年Heisenberg根据理想实验和德布罗意关系提出不确 定关系，后来又根据玻恩对波函数的统计解释加以严格证明。
粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相 应的动量。
Δx⋅ΔP ≥ h
不确定关系也存在于能量和时间之间：
ΔE⋅Δt ≥ h
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§1.1 经典物理学的困难
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§1.1 经典物理学的困难
后来，该模型又被A.Sommerfeld等人改进，增加 椭圆轨道和轨道平面取向量子化(即空间量子化）：
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§1.1 经典物理学的困难
1.4 旧量子论的局限性 人为假定量子化 没有注意到大量微粒流所具有的波动性特 征，更侧重了其粒子性。 这使更多物理学家认识到：对经典力学作小修小 补使之适用于微观体系的做法已行不通，需要进行 一场变革。
m= m0 1 − ( v )2 c
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§1.1 经典物理学的困难
4. 光子具有一定的动量
P = mc =
h
λ
5. 产生光电效应时服从能量守恒与动量守恒定律 光子学说对光电效应的解释 光电方程 临阈频率 遏止电压
1 2 hv = mv + W0 2
hv0 = W0
1 2 mv = eVs 2 h h Vs = v − v0 e e hv − hv0 =
ΔEτ ≥ h ΔE = hΔv ≥ h
τ
Δv ≥
−
1
τ
= 10 s
9 −1
Δv 109 s −1 Δv = = = 3 × 10−2 cm −1 c 3 ×1010 cm.s −1
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§1.1 经典物理学的困难
但在量子力学中,按照哥本哈根学派的观点, 概率则是原则性的、基本的东西。即使像氢原子中 的电子这样简单的体系,也必须用概率描述。原因 在于微观世界中不确定原理起着明显的作用。 概率作为一种基本法则进入了物理学,Ψ被称为 波函数, 这种波被认为是一种概率波。
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粒性观点：曝光强的地方，电子落在此处的机 会就多，即电子出现的概率大; 波性观点：曝光强的地方， |ψ(x,y,z)|2 大， 在化学中，电子在原子分子中各点的几率 密度分布叫电子云，即电子云是电子概率密 度的空间分布。
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§1.1 经典物理学的困难
为了克服经典物理无法解释实验事实的困 难 ， plank 提 出 了 黑 体 辐 射 的 物 理 模 型 ：——谐振子模型
M.Planck
黑体是由不同频率的谐振子组成，而谐振 子的能量是不能连续变化的，只能以某个最小 单位做跳跃性变化。
ε 0 = hv0
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§1.1 经典物理学的困难
1.3.1 玻尔原子模型要点 原子中电子运动的轨道是不连续的。 在玻尔轨道上运动的电子处于相对稳 定的状态。——定态 电子在不同的轨道间跃迁时，会吸收 或放出能量。
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§1.1 经典物理学的困难
频率定则
由玻尔理论推出的结果 1 轨道角动量是量子化的。
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§1.1 经典物理学的困难
1927年，C.Davission和L.H.Germer第一次得 到了电子在单晶体中衍射的现象。 X射线对单晶发生衍射，电子对单晶也发生衍 射。说明电子和X射线有相似性。 1927年，G.P.Thomson 电子衍射实验。 两种方式（一种是一次打大量电子；一种是多次打 一个电子）。直接证实了电子的波动性。 从衍射数据中求得的电子的物质波波长与从德 布罗意关系式中计算出的波长一致。 实验证实：物质波的假设适用于一切物质微粒。
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§1.1 经典物理学的困难
1.5 实物微粒具有波粒二象性 1.5.1 光的波粒二象性 爱因斯坦的光子学说(强调了粒性) E=hν 1905年 p=h/λ 1917年 1.5.2 实物微粒的波粒二象性 德布罗意在1923年9-10月一连写了3篇短文，并 于1924年向巴黎大学理学院提交了题为《量子理论 的研究》的博士论文。在这些论文中，他提出了所 有的物质微粒都具有波粒二象性这个具有深远意义 的假设。
例：宏观物体与微观粒子的不确定度计算 对于宏观物体，如质量为0.01kg速度为1000ms-1的子 弹，若其速度的不确定度为其运动速度的1%，则其位 置的不确定度
完全可以忽略
对微观粒子，如电子，其质量为9.1×10-31kg，如 其速度和速度不确定度均与子弹相同，在这种情 况下，其位置的不确定度为
不能忽略
nh M= =n 2π
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2 轨道半径是量子化的
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2 nh M= = mvr 2π
ε0 ⋅h 2 2 r= ⋅ n = 52.9 ⋅ n pm 2 π ⋅m ⋅e
2
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3 能量是量子化的