尹逊波高等数学(上)深刻复知识题参考资料答案解析
《新步步高》2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第13章推理与证明、算法、复数13.2文档
1．直接证明(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q 表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × )(3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.2．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形．答案 等边解析 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．题型一 综合法的应用例1 对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数．(1)证明 取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0.又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0，∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.(2)解 对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f (x )＝2x ，(x ∈[0,1])不是理想函数．对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1.任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)．∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③.∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设知(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 题型二 分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立，因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，错误！未找到引用源。
【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习——答案
【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习【必修第一册】P 92探究与发现探究函数1y x x=+的图象与性质P 256复习题第264题（指引我们会用泰勒展开式进行放缩证明）【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习【必修第二册】63∠=-∠BOC OB OC BACcos边城高级中学高三数学高考复习资料【内部资料请勿转载】—张秀洲整理CM交正确；故选：ABD．P117圆台（台体）的表面积和体积，的正四面体，23，又该瓷凳底面圆的直径为4，高为6，=.244πP186获取数据的途径1．【解析】该地的气象记录和本次降雨量数据都是通过观察获取数据的，故选：C2．【解析】因为某市2019年高考各高中学校本科上线人数的相关数据有存储，所以，获取数据的途径通过查询的方式较为合适.故选：D.P201总体百分位数的估计【解析】对A，百分位数的计算结果可能是数据中的某一项，也有可能是某两个数据的平均数，故A错误；对B，第k百分位数为数据中的某一项，也有可能是某两个数据的平均数，恰有k%的数据，若此数据与下个数据相等，则k%的数据不一定比第k百分位数小，故B错误；对C，样本的第k百分位数计算结果和整体的第k百分位数计算结果不一定是同一个数据，故C错误；对D，根据百分位数的定义，可知一组数据中不同的百分位数可能相等，故D正确.故选：D.P216第11题分层抽样样本的平均数和方差的公式（证明方法：平均数参照P182，P246事件的相互独立性（与老教材的定义有所不同）【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习【选择性必修第一册】P33用空间向量研究距离、夹角问题（特别是距离、面面角）P 128探究与发现为什么b y x a =±是双曲线22221x y a b-=的渐近线【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习【选择性必修第二册】P 10阅读与思考斐波那契数列P 44数学归纳法【谨记】新教材新增加的知识点——重点复习【选择性必修第三册】P 98样本相关系数公式与意义【详解】对于A 选项，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，A 对；对于B 选项，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，B 对；对于C 选项，样本相关系数[]1,1r Î-，C 对；对于D 选项，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，D 错.故选：D.P 109最小二乘法的原理【详解】解：因为最小二乘法的原理是使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，即使得()21niii y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑最小，故选：C.。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22214(40)b ac x x b ac --=->，2()f x x bx c =++的最大值是224444ac b b aca a --=-．依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍240,4b ac a ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b aca--=>-，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例4．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围． 【答案】（1）右图；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞． 【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.【答案】1316-（,0） 【解析】由定义运算“*”可知 2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是13-（,0）. 【变式2】设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5． 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞；（2）单调递增 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误例6．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数21()32f x x x=+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值14，没有最大值． （1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，当0＜u ≤4时，114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，10u<，即()0f x <． ∴()0f x <或1()4f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=<，当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即24()4af x ac b≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或24()4af x ac b ≤-，即()f x 既无最大值，也无最小值．②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a-==，此时，u ≥0，∴＜10u>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=>，即2404ac b u a-≥>． ∴21404a u ac b <≤-，即240()4af x ac b <≤-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值244aac b-，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值． 当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值． 【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴2m M =．故选C 项． （2）设2, ||1(), ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域是（ ）A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞） 【答案】C【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项． 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．类型三：函数的零点问题例7．若函数2()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围． 【答案】204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】 二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得2053k <<，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2（3）0162k∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3 （4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622f k=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5 综上所述k 的取值范围是204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【总结升华】二次函数2()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）12120()0()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩（3）1202b x x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）1121()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩或2122()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：【变式1】试讨论函数2()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数． 【解析】由2()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令222,0,()()12,0,x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩ (),()g x h x 的图象如图所示，(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点． 当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点． 当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点． 所以，当2a <-时，函数()f x 无零点． 当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点． 当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点． 当1a =-时，函数()f x 有三个零点．【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．类型四：函数的综合问题例8．（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值； （2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析； 第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定． 【答案】（1）－3或38；（2）略 【解析】（1）2()(1)1f x a x a =++-．①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a＞0时，函数()f x在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814f a=+=，38a=；③当a＜0时，函数()f x在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14f a-=-=，a=―3．综上，a的值为－3或38．（2）222()22()2f x x ax x a a=-+=-+-，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a≥1时，函数()f x在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32f a=-；当―1＜a＜1时，函数()f x在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2()2f a a=-；当a≤―1时，函数()f x在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32f a-=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．举一反三：【变式1】设函数2()22f x x x=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数()f x的最小值．【答案】2222,1()1,011,0t t tf x tt t⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．22()22(1)1f x x x x=-+=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数()f x在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为2(1)1f t t +=+；当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2()22f t t t =-+．综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．例9．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值；（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）略．【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0． 由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]． （2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有2222223(), ()2()||33()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩①② （i ）当a ≥0时，2()2f a a -=-，由①②知2()2f x a ≥-，此时2()2g a a =-．（ii ）当a ＜0时，22()33af a =．若x ＞a ，则由①知22()3f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a ＜0，由②知222()23f x a a ≥>．此时22()3g a a =．综上得222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．（3）（i）当2(,[,)22a ∈-∞-+∞时，解集为（a ，+∞）； （ii ）当22a ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，解集为3a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭； （iii ）当2a⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，解集为3,33a a a ⎛⎡⎫+-+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 类型五：函数的实际应用【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
xe x e x 0 3
0 cos2 d (令 x 1 sin )
2
2e3 1 4
12. 解：由 f (0) 0 ，知 g(0) 0 。
x
1
f ( u ) du
xt u
g ( x ) f ( xt )dt 0
0
x
(x
x
xf ( x ) f (u)du
g ( x)
0
x2
x
( x 0)
f (u )du
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
3 4 3 )e4 x 4
通解 y x ( 1 x 3 )e4x 44
C1e2 x
C 2e4x
五、证明题 (8 分 )
得分 评阅人
1、设 f ( x )在 [0，1]上连续， 证明：
2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx
0
0
证 令x
t，则 dx dt
2
2 f (sin x )dx
0
0
2
2
当x
1 时 f ( x) 取极小值， 极小值为 f ( 1 )
11 e
2
22
2x
2x
f (x ) 4e
4 xe
令f (x ) 0得 x 1
当 x 1时， f ( x ) 0，当 x 1时， f ( x ) 0 拐点为 (1，e 2 )
得分 评阅人
.
精品文档
2、求微分方程 y 6 y 8 y ( x 1) e4 x 的通解 .
.
3、设y (cos x ) sin x，求 dy.
解 两边取对数得 ln y sin x ln cos x
高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案必考知识点归纳
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案必考知识点归纳单选题1、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 2、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√323、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．574、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]5、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．0C ．7D ．176、《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半2，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3（）A．6m2B．9m2C．12m2D．15m27、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8、所有与角α的终边相同的角可以表示为k⋅360°+α(k∈Z)，其中角α（）A ．一定是小于90°的角B ．一定是第一象限的角C ．一定是正角D ．可以是任意角 多选题9、已知tanθ=2，则下列结论正确的是（ ） A ．tan(π−θ)=−2B ．tan(π+θ)=−2C ．sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17D ．sin2θ=4510、下列四个函数中，以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数有（ ） A ．y =cos |2x |B ．y =sin2x C ．y =|tanx |D ．y =lg |sinx | 11、下列各式中，值为√32的是（ ） A ．√1−cos120°2B ．cos 2π12−sin 2π12C ．cos 15°sin 45°−sin 15°cos 45°D ．tan15°1−tan 215°填空题12、关于函数f （x ）=sinx +1sinx 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =π2对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．13、如果角α是第三象限角，则点P(tanα,sinα)位于第_______象限部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(二十五)参考答案1、答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；解：因为tanθ=−2，所以sin2θ+2sinθcosθ−cos2θ=sin2θ+2sinθcosθ−cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ+2tanθ−1tan2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A 2、答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos2π12−cos25π12=cos2π12−sin2π12，再由二倍角公式即可得解.由题意，cos2π12−cos25π12=cos2π12−cos2(π2−π12)=cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32.故选：D.3、答案：A分析：设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA|+R，竖直高度为2R，根据题意求得OA=52R，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO=25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ， ∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725，故选：A ． 4、答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )， 可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )， 由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解， 则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]． 5、答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D 6、答案：B分析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答. 依题意，弦=2×4sin π3=4√3(m)，矢=4−4cos π3=2(m)， 则弧田面积=12(4√3×2+22)=4√3+2≈9(m 2)，所以弧田面积约是9m 2. 故选：B 7、答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 8、答案：D分析：由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.因为结论与角α的终边相同的角可以表示为k ⋅360°+α(k ∈Z )适用于任意角，所以D 正确， 故选：D. 9、答案：ACD分析：对于A ，B 利用诱导公式可求解；对于C ，D 利用齐次式化简可判断. 对于A 选项，tan(π−θ)=−tanθ=−2，故A 选项正确； 对于B 选项，tan(π+θ)=tanθ=2，故B 选项错误；对于C 选项，sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17，故C 选项正确；对于D 选项，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45，故D 选项正确. 故选：ACD 10、答案：CD分析：由单调性判断出A 选项，由奇偶性判断B 选项，C 选项可画出函数图象进行判断，D 选项，先判断出y =|sinx |的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断. y =cos |2x |在(0,π2)上不单调，故A 错误； y =sin2x 为奇函数，故B 错误； y =|tanx |图象如下图：故最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，故C 正确；y =|sinx |最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，则y =lg |sinx |也是以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD11、答案：AB分析：结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.解：选项A：√1−cos120°2=√sin260°=sin60°=√32；选项B：cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32；选项C：cos15°sin45°−sin15°cos45°=sin(45°−15°)=sin30°=12；选项D：tan15°1−tan215°=12×2tan15°1−tan215°=12tan30°=12×√33=√36.故选：AB.12、答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx+1cosx，f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx+1cosx，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x<0时，sinx<0，则f(x)=sinx+1sinx<0<2，命题④错误.所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13、答案：四分析：由角α是第三象限角，可判断出tanα>0,sinα<0，从而可判断出点P的位置因为角α是第三象限角，所以tanα>0,sinα<0，所以点P(tanα,sinα)位于第四象限，所以答案是：四。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_ 一次函数和二次函数
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案一次函数和二次函数 撰稿： 审稿：【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )． (3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标．求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。
高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十三章 几何证明选讲 理
第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：452．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90° 对应学生用书P172考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5. 即BF ∶FD ＝25.答案：252.(2014·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝________. 解析：由平行线分线段成比例定理得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 答案：1[备课札记] [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质[典例] (2013·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PE PA，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6. [答案]6[备课札记] [类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2014·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD＝AE AC， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2. 答案：4 2考点三射影定理的应用[典例] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得：DF AF ＝AB BC ， ④由②④得：DF AF ＝AE EC.[备课札记] [类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm. 解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn(m ，n >0)，取CF的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn.两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn.答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72.答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ， ∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED . ∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 35．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BABC ＝33，所以∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：212[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BFAD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上且CD ＝1，若∠CAD ＝∠B ，求BD 的长．解：作出图形(如图)，依题意， 有tan ∠CAD ＝tan ∠B ， 即12＝21＋BD . 故BD ＝3.3.已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BPCP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ， 交BF 的延长线于点G . ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ， ∴AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2014·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2014·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35.答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ， 所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.答案：83 2．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC＝________.解析：连结OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定 [典例] (2014·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段[典例] (2014·锦州模拟)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连结DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，所以BE BA ＝DE CA， 而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE . 求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF . 由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2. 对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2014·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7. 答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.答案： 23．(2014·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能] 1．(2013·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°，又∠EDO ＝∠ECO ，∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME .(2)∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3， ∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°， CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2. 4．(2014·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB. 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC 2＝AE ·AF . 6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.。
合肥学院高数(上册)答案解析
第一章 函数与极限习题1.1 A 组1.（1）{,}x x k k Z π≠∈ (2) {1,}x x x R ≠±∈.2. 2x x -；2132x x-+；2()(23)x x x +-.；0；sin 2；0.4.(1) 21,sin ,y u u v v x===； (2) ,sin ,21uy e u v v x ==-=. 5.(1)1arcsin(lg ),10.10x x ≤≤ (2)2,0.1xx x ≠+ 6. 有界，10()3f x <<.7. V =8.3,010;30 2.7(10),10.W W P W W ≤≤⎧=⎨+->⎩B 组1.（1）22.()k x k k Z πππ≤≤+∈. （2）当12a >时，定义域为∅；当12a =时，定义域为1{}2；当12a <时，定义域为[],1a a -. 2. 12ln ,01;()1, 1.x x f x x x -<<⎧=⎨-≥⎩；4.(1) 2arctan ,,,sin ,x y u u v w v e w t t x ==+=== (2)212,arcsin ,,1uy u v v t x t====+. 5.(1) 2;;a na （2）0a =习题1.21.（1）无极限 （2）0; (3)无极限.2. (1)错误；（2）错误.3.略.4.略.5.略.习题1.3 A 组 1.(1) 6；（2）10；（3）4；（4）2.2. X >3.(1)0lim ()lim ()1;lim ()1x x x f x f x f x +-→→→=== (2)0lim ()1,lim ()1x x f x f x +-→→==-；0lim ()x f x →不存在 4.32； 1-；2.B 组1.不存在；不存在.2.0lim ()1x g x +→=-； 0lim )1x g x -→=（；0lim ()x g x →不存在习题1.4 A 组1.(1)34-； (2)2； (3)2x ； (4)0； (5)0； (6)4. 2.(1)∞； (2)13 ；(3)∞ ；(4)∞ ；(5)14-.3.(1)53；(2)1；(3)9；(4) 3e ；(5)2e ；(6)2e .4. 1. B 组1.(1)102()3；(2)0 . 2. 3,4a b ==. 3.2e -. 4. 1;4a b ==-.习题1.5 A 组1.(1)224211x x x +-++ ；(2)222321x x x +-++ ；(3)22431x x -++. 2. 232(2),0x x o x x x -=-→. 3.(1)同阶不等价； (2)等价. 4.(1) 1k =;(2) 2k =;(3) 1k =;(4) 3k =. 5.(1)0; (2)2; (3)12; (4)2; (5)2; (6)1-;(7)221()2b a -;(8)ab;(9)1;(10)0. B 组1.（1）0; (2)12. 2. 2,3n c ==. 3. 1. 4. 12.习题1.6 A 组1.(1)正确; （2）错误; （3）错误; （4）错误;（5）错误 ;（6）错误;2.略.3.(1) 1x =为跳跃间断点;(2)2x =为无穷间断点;1x =为可去间断点,补充定义(1)2f =-; (3) 0x =为振荡间断点；(4) 0x =为可去间断点，补充定义(0)1f =；,(1,2,)x k k π==±±为无穷间断点；,(0,1,2,)2x k k ππ=+=±±为可去间断点，补充定义()02f k ππ+=(0,1,2,)k =±±4. (,3),(3,2),(2,)-∞--+∞；12 ；85- ； ∞. 5. 1a =-32e -.B 组1.1,1x x =-=均为跳跃间断点.2. 2,1a b ==-.3.略.习题1.7 略总复习题一 一、 基础知识1. {11|42x x -≤≤}.2. 220;[()](1)10;1 1.x x g f x x x xx ⎧->⎪=-+-<≤⎨⎪+≤-⎩3.不存在， 反例：当0110sin0,limsin x x x x x→→→时，但不存在4.(1)∞； (2)∞； (3) π; (4)e ; (5)1; (6)2cos2.5. ()f x 在0x =处不连续.6. 略.二、技能拓展1．(1) [1,0]-; (2) [,]()2k k k z πππ-∈;2．4e ; (3) 35; (4)1e -.3. 1,1a b ==-.4. 2A .5.同阶.6.略.7.略.三、探究应用1 .(1) 1;=10.x F(x)x ⎧<<⎪-<< （2）F(x) ,[,1)x n n ∈+.2. (1)213()(2)2n n -⋅-≥;（2）112[1()](2)2n n ---≥;(3) 3.3.略.4.221tan 59.5sec 59.5(0)4000y x x x =->. 5.略.第二章 一元函数微分学习题2.1 A 组 1．（1）错误. （2）错误. （3）错误. 2．（1）a ；（2）x sin -.3．1-； 14-. 4．（1）0；（2）1ln 2x ;（3）2313x -;（4）5ln 5x . 5． 112--；.6．（1）53.90/m s ;49.49/m s ; 49.0049/m s ;（2）49/m s ；（3）gt . 7． (0)1,(0)0,(0)f f f -+'''=-= 不存在. B 组1．略. 2．（1）)(0x f A '-=；（2）)(20x f A '=；（3）()0()A f x αβ'=-.3．0. 4.（1，1）或（1-，1-）. 5．或. 6．略. 7．略. 8．3.9．（1）连续且可导；（2）不连续且不可导；（3）连续但不可导；（4）不连续且不可导；（5）连续但不可导；：（6）连续且可导； 10．略.习题2.2 A 组1. (1)不成立；（2）成立.2.(1)292ln 23xxx e -+;（2）x x 22ln 1+;（3）22cos sin x x x x -; (4)21ln xx- .3.(1)(1)42π+;(2) 325;1715.4.(1)316(45)x +;(2)3sin(43)x -; (3)236x xe --;（4)2sec 2cot 412xx(5) xx x 3sin2e cos sin 3⋅..5.(1)32223)(2a x x a x ++; (2)21(cos36sin 3)2xe x x --+; (3)csc x ;（4）xx x 1cos 1sin 2-.B 组 1．(1)1||12-x x ; (2)211x -+;（3）22121sincot sin csc 332232x x x x - ; （4）221xx +;（5）322)1(arcsin 1x xx x -+-; （6.2.（1）)(22x f x ';（2）)](e e )()(e [e )(x x x x f f x f f '+';（3）[()]()f f x f x ''; （4）)](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'.3. 4aπ. 4．1-. 5. 35x y +=.习题2.3 A 组1.(1) 214x -;(2) 222arctan 1x x x ++;(3)()cos sin x x x xe e e e -;（4）322)(a x x --. 2.(1)2222()4()f x x f x '''+;（2）x x f x x f 2cos )(sin 22sin )(sin 222'+''. 3．略.4.(1)!n ;(2) 12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅; (3) 1(2)!(1)nn n x ---;(4) ()11(1)!!1n n n n n x x ++-+-. B 组 122211cos sin x x x x f f f f a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. ()()()()()()222ln ln 2.(1)f x f x f x f x f x x f x ''''''--+; (2) 222111111112sinsin 2cos sin cos sin f f x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.()(1)xn x e +; ()()()1(2)(1)1!n nn n n a c n a bx cx d -⎡⎤---⎢⎥++⎢⎥⎣⎦; (3)18sin 82sin 2222n n x n x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 4．略. 习题2.4A 组1.（1）cos()1cos()x y x y +-+;（2）yx y x x y++--ee ; （3） y x y x -+. 2．（1）xx x x x x cos ))](sin ln(sin sin cos [cot ⋅-;（2）3222424)1()1()1(316-+-++x x x x x x x ;(3)1()(ln )111x x x x x x++++145[]2(2)31x x x +-+-+.3. a y x 22=+; 0x y -=. 4 .(1)(6)2(23)t t t ++ (2)cos sin sin cos t tt t-+5. (1)113(1)1(1)3y x y x -=--=--；; (2) 43120x y a +-=;3460x y a -+=.B 组1．(1)()2324cos sin 1sin 1x y y y ---； (2)()23(3)2y e y y --. 2.(1)42sec csc 3b t t a ；(2) 31cos a t.3．（1）（1，0）；（2）-2，16；（3）-2；8. 4/s . 5. π2516/min m . 6．（1m ;（2）7/8m s -; （3）43s .习题2.5 A 组 1．（1）（2）（3）都正确.2. (1)22dx x ⎛-+ ⎝; (2) 4ln 1x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (3)22(1)xx x e dx +;(4)[sin(3)cos(3)]xe x x dx ----;(6) 2228tan(12)sec (12)x x x dx +⋅+.3．(1) sin t C +; (2) C e x +--221; （3）ln ||x C +; （4）C x+-1;（5）sin ;cos sin x x x -. (6)2tan 2xC +. 4．(1)3.979 ; (2)0.001 .B 组 1．11dx ⎡⎤+⎥⎥⎦；cos()(2)cos()x y e y xy dx e x xy +-.2． 111dx e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3．（1）精确值增加了2105.2cm ，近似值增加了2104.7cm ；（2）精确值减少了243.6cm ，近似值减少了243.6cm ； 4．9%dGG≤.习题2.61. 略.2. 略3. 略4. 略.5.略.6.略.7.略. B 组 略. 习题2.7 A 组1.（1）D ；（2）C ；（3）A 、B ；（4）A ；（5）C ；2..（1）12;（2）0;（3）－12;（4）12e -;（5）23-. 3. 32.4. π1)1(=f .B 组1. （1）1； （2）1； （3）1；（4）0.2.3.2 3.16-.习题2.8 A 组1. 23(1)2(1)(1)(1)2!!nen e e e x x x n ++-+-++-1)1()!1()1(+-++++n x n e n ξξ;（ξ介于1与x 之间）。
高等数学(上)课后习题参考答案
0 ,极大值
f
(e2 )
=
4 e2
2. x = 2 , x = 0 5
3.最大值为 2,最小值为 -2.
4.最小值 y x=−2 = 12
5.
x0
=
16 3
,
Smax
(16 3
)
=
151.7
3.6 函数图形的描绘
1. 水平渐近线 y = 0 .
区间 (0,1), (1, 2), (2,3) 内.
3.提示：利用反证法.
1、(1) arctan x ~ x ；
4、-1 6、0
7、2 x 8、3
(2) a = e 时等价; a ≠ e 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
9、(1) a ； (2) 2 e n
(3) 3 abc 10、0
2、(1) n = 6 ； (2) n = 1； (3) m = 1 ，n = 2 ． 2
2
分别补充定义 1,0；
2.1 导数概念 1、（1）-20 （2）1
2、（1） f ′(0) （2） − f ′(x0 ) （3） 2 f ′(x0 )
x = kπ（k ≠ 0）为第二类无穷；
（3） x = 0 第二类无穷． 3、（− ∞，− 2），（− 2，1），（1，+ ∞）
f（x）⎯⎯x→⎯−2→ − 1，f（x）⎯⎯x⎯→1→ ∞. 3
高等数学作业答案（14-15-1）
第一章 函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(2)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0， x≤0
1．(1) f（x）与 h（x）相同；
g（x）与 f（x），h（x）不同．
高二数学推理与证明数系的扩充与复数试题答案及解析
高二数学推理与证明数系的扩充与复数试题答案及解析1.下列命题中正确的是A．任何复数都不能比较大小；B．若，则；C．若，且，则；D．若，且，则或．【答案】C【解析】略2.演绎推理“因为对数函数（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】当时对数函数才为增函数,所以错误的原因为大前提错误．故A正确．【考点】1演绎推理；2对数函数的单调性．3.顺次列出的规律相同的个数中的前四个数依次是，，，，第个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由以上规律可知第15个数为，故选B.【考点】数列的通项公式.4.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由于复数对应的点为在第三象限；故选C．【考点】复数的运算及几何意义．5.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是________________．【答案】【解析】第三行各数为，第四行各数为，依次规律第n行各数为系数和为去掉每行的1后之和为【考点】1．组合数性质；2．等比数列求和6.为虚数单位，若，则（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】根据复数的运算，可知，所以，故选A．【考点】复数的除法运算，复数的模．7.设i是虚数单位，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（）A．2B．1＋i C．i D．－i【答案】D【解析】由对称性可得z2=1+i，代入要求的式子化简即可．∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称且z1=1-i，∴由对称性可得z2=1+i，，故选D.【考点】复数的代数形式的乘除运算8.如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第100个图形由多少个点组成（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第个图案中点的个数为，由题意可得故由此可得，，以上各式子相加得整理可得【考点】归纳推理，数列求和9.下面几种推理中是演绎推理的为A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B．猜想数列的通项公式为；C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为【答案】C【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，结合定义可知只有C项为演绎推理【考点】演绎推理10.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用补全法，运用题中所给算法将第6行前三个数字以及第7行前四个数字分别写出，可知第7行第4个数字应该为，故正确选项为A．【考点】列举法求数列的某一项．11.从中，可得到一般规律为________．【答案】【解析】归纳推理是由特殊到一般的一种推理，本题中利用前四个式子，可推得式子的左边为项，即，等式的右边为，所以．【考点】归纳推理．12.设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．【答案】存在，证明见解析．【解析】由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明．试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立．（1）当时，由上面计算可知，等式成立；（2）假设且时，等式成立，即成立，那么当时，，∴当时，等式也成立．由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．【考点】归纳猜想及数学归纳法的应用．【方法点晴】本题主要考查了归纳猜想、数学归纳法的应用，属于中档试题，本题中根据的值，归纳猜想，再用数学归纳法的一般步骤：（1）验证时，命题成立；（2）假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立；（3）由上述（1）（2）得命题成立，其中假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立过程中，忽视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜想也是本题的一个难点．13.已知圆M的方程为x 2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】（1）或（2）x+y-3=0或x+7y-9=0（3）详见解析【解析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标;（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得;（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标试题解析：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m-2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=-1或，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x 2+y 2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，故x 2+y 2-2y=0且（2x+y-2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或【考点】圆方程的综合运用14.已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以的共轭复数的虚部为，故选B.【考点】复数的基本概念及运算．15.“设的两边，互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥中三边、、两两互相垂直，则___________”．【答案】【解析】与点，连接．，面，面，，，面，面，．，即．【考点】1类比推理；2线线垂直，线面垂直．16.（2014•北京校级模拟），先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【答案】，见解析【解析】由f（x）计算各和式，得出结论然后归纳猜想，再证明一般性结论．解：∵，∴f（0）+f（1）=+==，同理可得：f（﹣1）+f（2）=，f（﹣2）+f（3）=．．证明：设x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=+==．【考点】进行简单的合情推理．17.（2015春•咸阳校级期中）=（）A．﹣1B．1C．4D．﹣4【答案】B【解析】==﹣i，即可得出．解：∵===﹣i，∴原式=（﹣i）4=1．故选：B．【考点】复数代数形式的乘除运算．18.（2013•陕西）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．【答案】（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）【解析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【考点】归纳推理．19.已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）arccos（Ⅲ）﹣【解析】（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC 中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC与PB所成的角为arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN×MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．20.用反证法证明命题：“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A．至少有二个不小于2B．中至少有一个不小于2C．都小于2D．中至少有一个小于2【答案】C【解析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于”的否定为“都小于”，故选C．【考点】反证法．21.设为虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．故选A．【考点】复数的运算22.已知,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论【答案】【解析】由f（x）计算各和式，得出结论然后归纳猜想，再证明一般性结论试题解析：由，得,,.归纳猜想一般性结论为证明如下：【考点】合情推理23.用数学归纳法证明：时,从“到”左边需增加的代数式是__________.【答案】【解析】用数学归纳证明时，从“到”左边需增加的代数式是．【考点】数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法的应用、从“到”左边是式子的添加项问题，着重考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档试题，本题的解答中根据给定等式的结构规律，准确找到等式左边“到”左边需增加的代数式是，即可化简得出结论，在数学归纳法的添加项中，正确理解等式的结构规律是解答此类问题的关键．24.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由题意得，所以复数在复平面内对应的点在第一象限，故选A.【考点】复数的运算与复数的表示.25.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____.【答案】【解析】因为复数与对应的点关于虚轴对称，且，所以，所以.【考点】复数相关的概念与运算.26.如果复数是实数，则实数( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知是实数，所以故选A.【考点】1、复数的运算；2、复数的定义．27.在用数学归纳法证明不等式的过程中，当由n=k推到n=k+1时，不等式左边应增加（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了B中的两项但减少了一项D．以上都不对【答案】C【解析】当时，左边=当时，左边=故选C.【考点】1、数学归纳法．28.若为纯虚数，则实数a的值为 ______.【答案】【解析】因为为纯虚数，所以【考点】1、复数的运算；2、复数的定义．29.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数都是奇数B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选D．【考点】命题的否定．30.复数，则（）D．的共轭复数为A．B．的实部为1C．的虚部为【答案】D【解析】因为，所以，其实部为，虚部为，共轭复数为，故选D．【考点】1、复数的相关概念；2、复数的运算．31.设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】：∵z∈C，|z|=1，∴∴|z++i|的最大值为3【考点】复数求模32.已知复数满足，则的最大值是________【答案】7【解析】：∵|z+3+4i|=2≥|z|-|3+4i|∴|z|≤2+|3+4i|=2+5=7，故|z|的最大值是7，【考点】复数求模33.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】反证法的假设是否定结论，“假设三角形内三内角都大于60度”，故选B.【考点】反证法34.复数的共轭复数为【答案】【解析】由共轭复数得定义可知复数的共轭复数为【考点】共轭复数35.已知，若为实数，则_____________.【答案】.【解析】因为为实数，所以，得.【考点】复数的定义和运算.36.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理：A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【答案】A【解析】所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于演绎推理【考点】演绎推理37.用反证法证明：“”，应假设为：A．B．C．D．【答案】B【解析】反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设【考点】反证法38.在平面几何里，已知直角△SAB的两边SA，SB互相垂直，且，则边上的高；拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直,且,则点到面的距离【答案】【解析】：∵在平面几何里，已知直角三角形SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，则AB边上的高，∴由类比推理三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到面ABC的距离【考点】类比推理39.复数（是虚数单位），则的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，复数的虚部为【考点】复数运算40.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立从平面图形到空间图形的类比，三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：【考点】类比推理41.因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【答案】A【解析】大前提：指数函数是增函数错误，只有在时才是增函数【考点】推理三段论42.已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，故选D．【考点】复数的运算．43.选修4-1：几何证明选讲如图，四边形中，于，交于，且.（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，求四边形的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）要证明四点共圆，实际上就是要证明同弦所对的圆周角相等.本题即是证明即可.有已知条件易证，所以，而，所以有得证；（2）由（1）知，且，由于，所以.试题解析：（1）证明：在中，，又，.又、、、四点共圆.（2）由、、、四点共圆，，而正三角形中易知为正三角形且，且，四边形的面积.【考点】几何证明选讲.44.复数（为虚数单位）等于（）A．2－2B．C．2＋D．2－2【答案】B【解析】由题；，则,【考点】复数的运算．45.下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电；B．猜想数列5,7,9,11，…的通项公式为；C．由正三角形的性质得出正四面体的性质；D．半径为的圆的面积，则单位圆的面积．【答案】D【解析】由演绎推理的定义可知它的推理为；由一般到特殊；与归纳推理相反。
高等数学上_复旦大学出版_习题一答案
(2) y =ln( x +2) + 1; (4) y =1 +cos 3 x , x ∈ [0, π].
1− x 1− y 解得 x = , 1+ x 1+ y
所以函数 y =
1− x 1− x 的反函数为 y = ( x ≠ −1) . 1+ x 1+ x
(2)由 y = ln( x + 2) + 1得 x = e y −1 − 2 , 所以,函数 y = ln( x + 2) + 1的反函数为 y = e x −1 − 2
1 x .即函数 y = 有上界. 2 1 + x2
x 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称 ,由对称性及函数有上界知 ,函数必有下界 ,因而 1 + x2
4
高等数学上（复大版）习题一
x 函数 y = 有界. 1+ x2
又由 y1 − y2 =
x1 x ( x − x )(1 − x1 x2 ) 知,当 x1 > x2 且 x1 x2 < 1 时, y1 > y2 ,而 − 2 2 = 1 22 2 2 1 + x1 1 + x2 (1 + x1 )(1 + x2 )
1
高等数学上（复大版）习题一
综上所述 , f 是单射 .,但不是满射 . 5. 下列函数是否相等 ,为什么 ?
(1) f ( x) = x 2 , g ( x) = x ; (3) f ( x ) =
解: (1)相等 .
(2) y = sin 2 (3 x + 1), u = sin 2 (3 t + 1);
13. 判断下列函数的奇偶性 :
《高等数学》上册习题参考答案(天津科学技术出版社)
习题答案与提示习题1.11.（1）21(12)33，，123x -<；（2）13(1)44-，-，114x +<；（3）41(1)(11)55，，，1015x <-<.2.（1）不同；（2）不同；（3）相同.3.（1）1x ≠-且3x ≠，即(1)(13)(3+)-∞- - ∞，，，，，； （2）1≤x ≤3, 即[1,3]；（3）x ≤5且0x ≠，即(0)(05]-∞ ，，，； （4）2x >或2x <-，即(2)(2+-∞- ∞，或，）； （5）2k π≤x ≤(21)()k k π+ 为整数；（6）x ≥1x <与-1≤010]1-∞，即（，与[,+）； （7）110110x x >≠且，即（，），10+∞（，）； （8）300x x <≠∞且，即（-，），03（，）. 4.2(2)0(2)4()1a f f f a a -=-=-=+，，.5.1()()()(2)06244πππϕϕϕϕ=--=，.8.（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）非奇非偶函数；（6）偶函数. 9.（1）单调增加；（2）单调增加；（3）单调减少；（4）在22ππ∞（-,-）,(0,)单调增加；在22ππ∞（-,0）,(,+)单调减少. 10.（1）周期为π；（2）不是周期函数；（3）周期为4π；（4）不是周期函数；（5）周期为2π； （6）周期为π.11.（1）1102x y -=-；（2）11xy x-=+； （3）dx by cx a-+=-，当0a d +=或0b c ==，0a d =≠时反函数与直接函数相同.12.（1）0sin 2y x y ==，（2）0y y ==（3）220x y e y e -==，.· 297 ·13. （1）2u y e u x ==，；（2）2ln 1y u u v x ==+，；（3）2sin y u u x ==，；（4）sin n y u u x ==，；（5）3arcsin 1y u u v v x ===-，，；（6）23sin u y u v v x ===，，. 14. （1）1-≤x ≤1, 即[-1,1]；（2）221)01n n n ππ+=±⋅⋅⋅[，(]，(，)； （3）a -≤x ≤1, 1a a a -- -即[，]；（4）若0a <≤12，则a ≤x ≤1, 1a a a - -即[，]；若12a >，则函数无处有定义.16. 2f l =.17. 3()0<<45()4107()10<20.x y x x ⎧⎪= ⎨⎪ ⎩角，，角，≤≤，角，≤ 18. 232223[()]r h v r h h r r π=<<+∞--，.19. v =. 习题1.21.（1）0；（2）1；（3）0；（4）没有极限；（5）没有极限；（6）0. 8.（1）(10)0(10)0f f -=+=，，极限为0；（2）(10)1(10)0(10)(10)f f f f -=+=-≠+，，，极限不存在. 9. 00000()1()1()1x x x lim f x lim x lim x ϕϕ→→-→+==-=，，，极限不存在.习题1.31. 两个无穷小的商不一定是无穷小，例如：3 x x αβ= =，，当0x →时都是无穷小，但αβ当0x →时不是无穷小.2. 两个无穷大的和不一定是无穷大. 5. cos y x x =在()-∞+∞，上无界，但当x →+∞时，此函数不是无穷大.· 298 ·习题1.41.（1）5；（2）34；（3）0；（4）25；（5）∞；（6）3；（7）0；（8）∞；（9）12；（10）23x ； （11）2；（12）203050235⋅；（13）2；（14）3；（15）12；（16）1-；（17）0；（18）0.2.（1）27；（2）k ；（3）1；（4）1；（5）2；（6）π；（7）x ；（8）12；（9）2e -；（10）2e ；（11）2e ；（12）1e -；（13）12；（14）e ；（15）3e . 习题1.51. 等价的.2.（1）同阶，不等价；（2）等价无穷小.3.（1）二阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）一阶；（5）三阶；（6）三阶.4.（1）a b；（2）m n <时为0，m n =时为1，m n >时为∞；（3）12；（4）222b a -.习题1.62.（1）3x =-是第二类间断点；（2）1x =是第一类的可去间断点. 补充123x y ==. 2x =-是第二类间断点； （3）0x =是第一类的跳跃间断点； （4）0x =是连续点； （5）0x =是第二类间断点； （6）0x =是第一类的跳跃间断点； （7）0x =，2x k ππ=+是第一类的可去间断点，(0)x k k π= ≠第二类间断点；（8）0x =是第一类的跳跃间断点. 3. 0a =时，()f x 在其定义域内连续.· 299 ·4. （1）1；（2）0；（3）14；（4）cos a ；（5）1；（6）a ；（7）2-；（8）14；（9）1；（10）e . 总习题一4.（1）(0]-∞，；（2）[1]e ，；（3）[0]4π，；（4）[22+]0122n n n ππππ-=±⋅⋅⋅，，，，. 5. 22x -.6. [()]()[()]0[()]0[()]()f f x f x g g x f g x g f x g x ====，，，.9.（1）6π；（2）12e -；（3）116；（4）αβ-；（5）1.10. 0x =是第一类的跳跃间断点.11. 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点. 12.（1）1a =时，()f x 在0x =连续；（2）1a ≠，0a >时，0x =是()f x 的跳跃间断点.13. ln3a =. 14. 76a b =-=，.习题2.11. 15.2.（1）34x ；（2）99100x ；（3）1x ππ-；（4）；（5）32x-；（6）1e ex -. 3.（1）0()f'x -；（2）(0)f'；（3）02()f'x ；（4）0()()f'x αβ+. 5. 0gt . 7. 0. 8.1(1)02y +-=；法线方程为102y -+=. 9.21a b ==-，.10.cos 0.()10.x x f'x x <⎧=⎨ ⎩，，≥11.（1）在0x =处连续，不可导；· 300 ·（2）在0x =处连续，不可导； （3）在0x =处连续，不可导； （4）在0x =处连续且可导.习题2.21.（1）310x x +；（2）2tan sec x x x +；（3）32522x x +；（4）22sec tan 2x x x e x x -+；（5）11sin x-+； （6）11n n n nx x-+-；（7）(2cos sin )x x x x -；（8）ln x x a a e +；（9）2(2)x e x x --；（10）sec (2sec tan )x x x +；（11）2212(1)x x x +-++；（12）22(1)x +；（13）3(2)x e x x-；（14）2sec 2cos t t +；（15）2102ln10(101)x x ⋅+；（16）2222csc [(1)cot 2](1)x x x x x ++-+；（171(1)z+； （18）231(2cos cos sin )()2x xe x x x x x x+--；（19）21cos sin (1cos )t t t +++；（20）cos2x . 2.（1）(1)14f'-=-，(1)6f'=；（2)2π+；（3）211x y'ππ==-；（4）123x y'e ==+.3. 08t t ==，.4. 相切.5. 切线方程为220x y --=和220x y -+=.6.（1）38(25)x +；（2）3sin(43)x -；（3）236x xe --；（4）221xx +；（5； （6（7）；（8）222sec ()x x ；（9）21xx e e +；（10； （11）22tan ln 2xx -；（12）tan x -. 7.（1）144ln 22x --⋅；（2）1cos[ln(3)]3x x ---；（3（4（5）22sec tan csc cot 2222x x x x+；（6）2arcsinx；（7）2222cos(1)1sin (1)x x x +++；（8）222ln 22x x x x ++；· 301 ·（932arcsin 2xx -；（10. 8.（1）()sh shx chx ⋅；（2）2()chxe chx sh x +；（3）2112sh x +；（4（52x（6）3th x ；（7）222sin 2sin()2sin cos()x x x x x +；（8）21sin 212sin xe x x -⋅；（9；（10）3232322(12)1ln()x x xe x e x e +++++++；（1122))x x x x ++；（12）21ch t .9..10. （1）22()xf'x ；（2）22sin 2[(sin )(cos )]x f'x f'x -；（3）[()]()f'f x f'x ⋅；（4）()[()()()]f x x x x e f'e e f e f'x +.习题2.31.（1）214x-；（2）214x e -；（3）2sin cos x x x --；（4）2cos t e t --；（5）23222()a a x --；（6）22sec tan x x ；（7）222sin 2cos 2cos 2ln x x x x x x -⋅--；（8）5323484x x --++；（9）23(22)x e x x x -+；（10）222arctan 1x x x ++. 2.（1）2222()4()f'x x f''x +；（2）22()()[()][()]f''x f x f'x f x -.5.（1）(1)nxe --；（2）1(1)(1)!(1)n n n x ---+；（3）12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅；（4）1111(1)(1)nn n n x x ++----；（5）!n ；（6）1(2)!(1)nn n x --- （n ≥2）. 6.（1）20222(2095)x e x x ++；（2）50212252(sin 250cos 2sin 2)2x x x x x -++； （3）0cos()2ni xn i C e x i π=+⋅∑或22cos()4n x e x n π+⋅；· 302 ·（4）100xshx chx +. 7. 2()a ϕ.习题2.41.（1）(1)(1)y x x y --；（2）cos cos()sin cos()y x y x y x y -+++；（3）y y x -；（4）22ay x y ax --；（5）1y y e xe -+；（6）x y e ye x -+.3. 222(5)(10)15x y +++=.4.（1）(ln 1)xx x +；（2）1(ln )[ln(ln )]ln xx x x+；（3）2sin cos cos cos (sin )(sin ln(sin ))sin x x x e x x x x x +-； （4）1()(ln )111x x x x x x⋅++++；（5212[]55(2)xx x --+； （6cot ]2(1)x x e x e +--；（7）cot 221(tan 2)(csc ln tan 28cot csc4)222xx x x x x --；（8）211[]2(1)1x x x x ---+. 5.（1）3sin()[cos()1]x y x y ++-；（2）423b a y -；（3）232csc ()cot ()x y x y -++；（4）31y -. 6.（1）2312t t -；（2）tan θ-；（3）cos sin cos sin t t t t -+；（4）cos sin 1sin cos θθθθθθ---.7.（1）切线方程为43120x y a +-=，法线方程为3460x y a -+=； （2）切线方程为20y +-=，法线方程为410y --=； （3）切线方程为240x y +-=，法线方程为230x y --=.8.（1）31t ；（2）21(1cos )a t -- （2t n nπ≠，为整数）；（3）1()f''t ；（4）322(1)t --.9. 面积变化率为2500平方厘米/秒； 对角线变化率为0.4厘米/秒.· 303 ·10.160.20425π≈米/分. 习题2.61. 0.02，0.0201，0.0001.2.（a ）000y dy y dy ∆>>∆->，，； （b ）000y dy y dy ∆>>∆-<，，； （c ）000y dy y dy ∆<<∆-<，，； （d ）000y dy y dy ∆<<∆->，，.3.（1）(103)x dx + ；（2）2(348)x x dx -- ；（3）(sin 22cos 2)x x x dx + ；（4）1001x x <<⎪<<⎪⎩，；（5）4(ln 1)x dx x + ；（6）[sin(3)cos(3)]x e x x dx ---- ；（7）421xdx x -+；（8）sec t dt . 4.（1）2x c +；（2）arctan x c +；（3）1c x+；（4）x e c --+；（5）1cos 22x c -+；（6c ； （7）414x x e c ++；（8）2x e c +；（9）sin cos sin x x x -，；（10）2sin sin2x x ，；（11）122323x x ++，； （12）ln sin lnsin sin xe x x，.5.（1）1.0067；（2）0.485； （3）o 3047''； （4）0.01； （5）0.10025；（6）0.77；（7）9.9867；（8）2.0052.7. 0.995.总习题二1.（1；（2）211xe +；（3）21cot(1)sec [2csc (1)cot(1)tan ]222x x x x x --+-；· 304 ·（4）(1)(1)[1ln(1)]x x x ---+-；（5）221[1a ；（6）1[1ln ]x x x ++； （7）22ay x y ax --；（8）[1sin()]sin()y xy x xy -+；（9）t te --；（10）sin cos cos sin t t tt t t+-.2.（1）21(dx x - ；（2）2228tan(12)sec (12)x x x dx ++ ；（3）222221arctan 2(1)14x x x dx x x +[-] ++； （4）sin t tdt ；（5）4sec xdx ；（6）2cos sin x x x dx x - ；（7）2ln (1)x dx x -；（8）221(3csc (ln )x dx x x -+) . 3. 函数处处连续，仅在0x =处不可导.4.（1）1(1)2!(1)n n n x +-⋅+；（2）2(1)sin 40cos 380sin x x x x x +--. 5. 6-. 6. 6. 7. 1-. 8. n t αα.9. csc cot (csc )2ln 2(2)x x x xf'x f'-+. 10.()(sin )cos ()cos ()()'x y 'x xdx 'y y 'x y ϕϕϕϕϕ+-⋅ -+.11.2a b ==. 12. 2.习题3.14. 先证存在性（根据介值定理），再证唯一性（根据罗尔定理）反证.5. 对()F x 连续两次应用罗尔定理.6. 因为(1)(1)(2)(3)0f f f f -====，由罗尔定理即证得所需结果.7. 用罗尔定理.10. 设()ln f x x =，区间为[1]x x +，，应用拉格朗日中值定理. 12. 设()()xf x x e ϕ=，先证()x ϕ为常数.· 305 ·13. 令()ln ()x f x ϕ=，又()()()f'x 'x f x ϕ=，应用拉格朗日中值定理即得证. 14. 取1()ln ()0g x x g'x x==≠，，应用柯西中值定理即得证. 习题3.21.（1）1；（2）2；（3）∞；（4）1；（5）∞；（6）1；（7）1；（8）1；（9）1；（10）12；（11）∞；（12）12-；（13）12；（14）1e；（15）1；（16）1；（17）e α；（18）1；（19）1.3. 连续.习题3.31.由21cos 2cos 2xy x +==代入cos2x 展开即可. 2.22x ex 换成x 2即可：242444400[1()][1()]2828x x x x x x o x o x lim x →→+-+-+++= 14=-.3.2321sin (3sin cos )2!3!x x x x ξξξ-=++ 231(3sin cos )3!x x ξξξ=-+ ξ在0与x 之间. 4.234()5621(4)37(4)11(4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.5.12121(1)[1(1)(1)(1)](1)[1(1)]n n n n x x x x x x θ++++=-+++++⋅⋅⋅+++--++ (01)θ<<.6.23412sin ()tan 3cos ()x x x x x θθ+=+(01)θ<<.7.在x e 的麦克劳林公式中取1x =得111111!2!3!!(1)!e e n n θ=++++⋅⋅⋅+++ (01)θ<< 于是111111!2!3!!e n ≈++++⋅⋅⋅+； 3(1)!(1)!n e R n n <<++，取7n =时， 2.7183e ≈， 误差30.00018!n R <<. 8.（1）o sin100.17365≈ 5310R -<；（2 3.10724≈ 53 1.8810R -<⨯.习题3.41.（1）在(,1]-∞-内，y 单调减少，在[1,)-+∞内，y 单调增加； （2）在(,)-∞+∞内，y 单调增加；（3）在(,1]-∞-，[0,1]内，y 单调减少，在[1,0]-，[1,)+∞内，y 单调增加； （4）在(,0]-∞内，y 单调增加，在[0,)+∞内，y 单调减少；（5）在(,2]-∞-，[0,)+∞内，y 单调增加；在[2,1)--，(1,0]-内，y 单调减少； （6）在1(0,]2内，y 单调减少，在1[,)2+∞内，y 单调增加；（7）在[0,2]π内单调增加；（8）在[0,]n 上单调增加，在[,)n +∞内单调减少.4.（ⅰ）1a e >时没有实根；（ⅱ）10a e <<时有两个实根；（ⅲ）1a e=时只有x e =一个实根.5. 不一定，()sin f x x x =+在(,)-∞+∞内单调，但()f'x 在(,)-∞+∞内不单调.6. 应用拉格朗日中值定理和反证法.习题3.51.（1）极大值07x y==；极小值23x y==；（2）极小值11x y=-=-；极大值11x y ==；（3）极大值1232x y==； （4）极小值00x y==；极大值224x ye -==；（5）极小值150x x yy=-===；极大值12x y==； （6）极大值23x y==；（7）极大值00x y==；极小值25x y== （8）极小值3274x y ==； （9）极小值00x y==；（10）极大值1ex eye ==；（11）无极值； （12）极小值121ln 22x y==+.3. 2()3a f π==，.4.（1）最小值(1)4y ±=，最大值(2)13y ±=； （2）最大值(4)80y =，最小值(1)5y -=-； （3）最大值3() 1.254y =，最小值(5)5y -=-（4）最小值(0)0y =，最大值11()(1)22y y -==.5.半径:高1:1=.2..9.长为10m ，宽为5m .10. 2.366()m = . 11.当o arctan arctan0.25142u 'α==≈时可使力F 最小.12.(b 公里.13.杆长为1.4m .14.ϕ=. 15.最小面积S a b =⋅.习题3.61.（1）在13∞（-，）内是凹的，在1+3∞（，）内是凸的；（2）在∞（-，及0（内是凸的，在0（）及)+∞内是凹的； （3）在1∞-（-，），(1)+∞，内是凸的，在11-（，）内是凹的；（4）在∞（-，0（内是凸的，在（），∞）内是凹的； （5）在2∞-（-，）内是凸的，在2+-∞（，）内是凹的； （6）在∞∞（-，+）内是凹的. 2.（1）凹区间为2(0)3-∞∞，，(，+)；凸区间为2(0)3，，拐点为(01),及211()327,； （2）凸区间为(1)-∞，；凹区间为1+∞（，），无拐点； （3）没有拐点，处处是凹的； （4）凸区间为01（，）；凹区间为1+∞（，），拐点为(17)-,. 5. 3922a b =-=，.6. 132416a b c d ==-=-=，，，.7. K =.8.（1）水平渐近线0y =； （2）水平渐近线0y =；（3）铅直渐近线0x =；（4）铅直渐近线1x =-；水平渐近线0y =； （5）斜渐近线y x =；（6）铅直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.习题3.71. ds =.2. ds =.3.（1）211ach ；（2）3226(94)t +；（3）2ba ；（4）2；（5）23sin 2a t . 4.（1）cos K x =，sec x ρ=； （2）2K =，12ρ=.5. ln 2)2-处曲率半径有最小值. 7. 约1246（N ），沿曲线运动的物体所受的向心力2mv F ρ=，这里m 为物体的质量，v 为它的速度，ρ为运动轨迹的曲率半径.总习题三1. 先证明在(,)a b 内至少有一点c ，使得()0f c =，然后分别在[,][,]a c c b , 上应用罗尔定理即得证.2. 由罗尔定理即得证.3. 设()()F x xf x =，则(0)()0F F a ==. 应用罗尔定理即可.4. 设()()[()()]x b x f x f a ϕ=--，由()()0a b ϕϕ==，用罗尔定理即可得证.5. 设0()x x a b ∈，，，在0[]x x ，上应用拉格朗日中值定理.6. 由()f x 在(0,)a 内取得最大值有()0f'c =，(0)c a ∈，，在[0,][,]c c a , 上应用拉格朗日公式.7. 先用罗必塔法则，然后应用导数定义. 8.（1）0；（2）13；（3）3；（4）1；（5）12；（6）12n a a a ⋅⋅⋅.9.12212(1)2ln ln 2()()()2222n nn x x x x R x n -----=+-+⋅⋅⋅++111(1)22()()()12n n n n x R x n ξ-++--=+ （ξ在2与x 之间）.10. 利用拉格朗日中值定理. 11. 利用介值定理和泰勒公式. 12.（1）设tan ()xf x x=，用单调性证； （2）令111()(1)()(0)122p p p F x x x F F -=+-==，，，只须证()F x 在[01]，上的最小值为112p -，而最大值为1即可；（3）令312(1)x p x px =-+，则132x x x <<用拉格朗日中值定理即得证； （4）利用单调性. 13. 3个根.14.（1）无极值；（2）最大值121()2f e e-=-. 15. 最大值45，最小值1-.16. 等边三角形.18. (1)2π，处，曲率半径有最小值1. 习题4.11．（1）252y x c =+；2552y x =+． 2．（1）42524x x x c -++；（2）3223x c --+；（3）ln 3arcsin +x x c -；（4）31123x x c x-++；（5）53222212523u u u u c +--+； （6）322ln 3x x e x c ---++；（7）tan sec x x c -+；（8）2cos ln 2xx c -+；（9）1arctan x c x-+；（10）cot x x c --+； （11）4cot x c -+；（12）1(cot tan )4c θθ-++.习题4.21．（1）41(32)8x c --+；（2）322(25)15x --；（3）arcsin2xc +；（4）1cos(12)2x c -++；（5）1ln 522x c --+；（6）()21ln 12x c ++；（7）ln(1cos )x c -++； （8）21ln(1)2x e c ++；（9）1ln 12ln 2x c ++；（10）23e c +；（11）3221(1)3x c --+；（12）c ；（13）c ；（14）1cos c x+；（15）21(arcsin )2x c +；（16）212x e c --+；（17）21arctan 2x c +；（18）4ln 4x x c -++；（19）1)2x c +； （20）121ln 723x c x++-；（21）233(sin cos )2x x c -+；（22）21tan ln cos 2x x c ++；（23）52cos 5x c -+；（24）11sin 2sin8416x x c ++；（25）1sin 2()24t at b c a+++； （26）cot csc x x c -++；（27）1ln(2)22t t e c -++； （28）12arcsin 23x c .2．（1）c +；（2c ；（3）1ln 2x c +； （4）32221arctan 22()x x c a a a x a +++；（5c +；（6）arcsin x c +；（7）提示：利用倒数代换3222231().3a x x c t a x -=-+； （8）提示：先令sin x t =，原积分=cos sin cos tdt t t+⎰1(cos sin )(sin cos )2sin cos t t t t dt t t-++=+⎰=11arcsin ln 22x x c ++.3.（1）32221()3a x c ++；（2c .习题4.31.（1）arccos x x c ；（2）(1)x e x c --++；（3）ln2x x x c -+；（4）11(sin 2cos 2)22x x x c ++；（5）21tan ln cos 2x x x x c +-+；（6）22111(1)ln(1)242x x x x c ----+；（7）22113(3)22t t t e c -++； （8）32sin cos sin 62x x x x x x c ++-+；（9）21arctan 2ln(14)4x x x c +++；（10）2(ln )2ln 2x x x x x c -++；（11）21(5cos52sin5)29xe x x c --++；（12）321(ln 3ln 6ln 6)x x x c x -++++；（13）1(sin cos )2x e x x c --+；（14）21)c +；（15）[sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+；（16）2(arcsin )2x x x x c +-+；（17）2421(1)2x e x x c --+++；（18）提示：换元积分法与分部积分法综合运用. t ，再用分部积分法；或先用分部积分法，再用换元法.2c .2.211ln(22a x c +. 习题4.41.（1）2ln 12x x x c -+++；（2）15ln 27ln 1x x c ---+；（3）2311ln(25)arctan 222x x x c --+++；（4）212(arctan )424x x c x -++；（5）提示：令4x t =. 4481arctan()88(1)x x c x +++； （6）221(1)ln 61x c x x +-+；（7）2211ln(1)ln 121x x x c x -+-++++；（8）提示：令32x t -=.7891114[(32)(32)(32)]27729x x x c -----+-+-+.2.（1）3tan12ln 33tan 2x c x ++-；（2）ln 1tan 2x c ++；（32tan 1xc +； （4）1ln sin cos 22x x x c +++；（5）)x x c +；（6）111cos ln cos 21cos x c x x +-+-； （7）tan sec x x x c -++；（8）532224(32)(32)4527x x c +-++； （9）c ；（10）3ln 1c ； （11）c ；（12）ln 12x c ++. 习题4.5（1）1(34ln 34)9x x c -++；（2）31(ln 21)421x c x ++++；（3）1arctan x c x--+； （4）322(4)2arcsin 42x x x c --+；（53ln 2x c ； （6c ；（7）cos ln(1sin )1sin x xx c x-++++；（82tan 32tan 322x x c +++；（9）41(ln )44x x c -+；（10）21(2sin 44cos4)20x e x x c --+；（11）1)c +；（12）)x x c +；（13）12c ；（14）2(1)arcsin 22x x c -.总习题四1. ln ln 23y x =+.2.（1）26cos v t t =+；（2）32sin 3S t t =+-.3.（1）c ；（2）21ln ln(1)2x x c -++；（3）21tan 2x c +；（4）tan sec x x c ++；（5）3223x c +；（6）ln 2ln x c ++；（7）ln 1x c +；（8）11ln 21x x e c e -++；（9）43c ；（10）c +；（11）arctan(sin )x c +；（12）c -；（13）ln (ln ln 1)x x c -+；（14）a c ；（15）(1)2x x c -+；（16）ln 1x e x c --+； （17）arcsin()x e c +；（18）ln x x c ；（19）arctan xc x -+；（20）211(1)2u e c --++；（21）c +；（22）221(1)2x x e c -+； （23）12211()(1222x x x c ---；（24）21ln tan csc 2x x c -+；（25）(x c +；（26）1)t c -+；（27）44x c +；（28）tan x x c -+；（29）c ；（30）1arctan 2t c +；（31）2111ln 4824x c x x x -++++；（32）(cos 22sin 2)/5xe x x c ++；（33）csc cot 22x x c -+；（34）ln sin cot x x x c -+；（35）2111sin 2cos 2448x x x x c +++； （36）8910111131(1)(1)(1)(1)831011x x x x c -----------+；（37）611ln ln(4)424x x c -++；（38）tan2x x c +；（39）2212)arctan (6)9x x x x c +-++； （40）提示：解法1由于1sin 2sin cos 2sin cos )4x x xx x x π⋅=++· 316 ·原式2cos(2)12sin ()24sin()sin()44x x dx dx x x ππππ+-+-=++csc()cot())444x x x c πππ=+-+++；解法2由于2sin cos 1(sin cos )1sin cos 2sin cos x x x x x x x x⋅+-=++ 原式11(sin cos )2sin cos x x dx x x=+-+⎰()14(sin cos )2sin()4d x x x x ππ+=-+1(sin cos )tan()228x x x c π=-++. 4.1arccos ac a x+. 习题5.11. 12.2.（1）122nn i lim n i→∞=+∑；（2）23231331(7)nn i i i i lim n n n n →∞=---∑.6.13. 7.（1）3-≤2321(23)x x dx -- ⎰≤0； （2）0≤420.5(2)x x dx 1.5 --+ ⎰≤2；（3）8≤222.53441x x dx x x 0.5-++ ++⎰≤12.8.（1）2x dx 1 0⎰较大；（2）22x dx 3 1⎰较大；（3）dx 0⎰较大；（4）x e dx 21⎰较大.· 317 ·习题5.21. 12e -.2.（1（2）222[()]()xf g x g'x .3.41ln t t-.4. 2y .5. 极小值74-.6.（1）1；（2）0.7.（1）142-；（2）2；（31；（4）13；（5）12；（6）42ln2-；（7）4；（8）211. 8.ln 26π+.9. 0a =，连续.10.31(232)016()1(32)16x x x f x x x ⎧-+ ⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩≤≤ .习题5.31.（1（2）43；（3；（4）1cos1-；（5）arctan()4e π-；（6）42ln3-；（7）584(31)5-；（8）132ln 417；（9）2315；（10）654；（11）7cos1cos5++；（12）2；（13）336e -；（14）1；（15）11ln 222-；（16）4916；（17）311()232ππ+；（18）21ln 24322ππ--；（19）8ln 24-； （20）0；（21）1(sin1cos11)2e e +-；· 318 ·（22）提示：设sin .x t = 2421115323111422m m m m m I m m m m m π-⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪+-=⎨-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪+-⎩偶数奇数.2.（1）23；（2）0；（3）16；（4）ln2. 4. 提示：（1）利用奇偶性；（2）定积分对积分区间的可加性. 6. 4111tan 222e -+-. 9. 0.习题5.41.（1）收敛22aa b +； （2）收敛 2； （3）收敛 π；（4）收敛 2； （5）发散；（6）发散； （7）2π-； （8）收敛 1-；（9）收敛 2； （10）发散. 3. 2x =为瑕点，收敛.4. 提示：令2sin x t =，利用公式20sin n tdt π⎰.习题5.51.（1）323；（2）1；（3）2e e -；（4）25(2)4a π-;（5）312π；（6）26a π；（7）238a π.2. a =.3. 23r h π.4.5. 0a b A ==，.7.81)27. 8. 8.· 319 ·9.1(28π-.10. 23((,)32a a π.11. 800ln2π焦耳. 12. 2214r h ρπ. 13.318rd π. 14. 21[(2)]26a b ch h a b r +++.15.，方向由质点指向细棒中点.总习题五1.（1）发散； （2）12π-； （3）发散； （4）0； （5）4π； （6）.2. 3.yye x-. 4. 161412e --.5.（1）343；（2）1(43-；（3）34π；（4）8.7. 1).9.22R h π. 10. π.1. 14.213ah γ.· 320 ·15.引力大小为2G ma πρ,方向由质点指向圆环的中心.习题6.11.（1）(2,3,1)-； （2）(2,3,1)-； （3）(2,3,1)-； （4）(2,3,1)--（5）(2,3,1)--；（6）(2,3,1)--； （7）(2,3,1)---.2. 5 . 5. 0,1,2（-）.6.（1）a b ⊥；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 同向；（4）a 与b 反向，且b ≤a .8. 1111()()()()2222MA a b MB a b MC a b MD b a =-+=-=+=-；；；.习题6.21. 模:2；方向角:23343πππ；；；与AB反向的单位向量为1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.2. 0a =或⎧⎨⎩. 3.（1）{}3,8,5；（2）{}8,0,23-；（3）{}32,52,3m n m n n m ++-. 4. (2,3,0)A -.5.（1）垂直于x 轴，平行于yoz 面； （2）指向与y 轴正向一致，垂直于xoz 面； （3）平行于x 轴，垂直于xoy 面.6.;3π ;4π;3π01122a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭.7. R αβγ=· 321 ·1.（1）13；（2）61-.2.（1）22；（2）200-；（3）. 3. 1122i j k +-. 4. 43()55j k ±-. 5. 16. 6. 30.7. 8.4π. 9. 提示：a b ⋅≤a b . 10.提示：利用混合积.11.提示：此四面体体积是相应六面体体积的1563⋅.习题6.41.（1）平行于z 轴；（2）垂直于x 轴；（3）通过x 轴；（4）通过原点；（5）yoz 面；（6）过z 轴.2. 281x y z -+=.3. 230x y ++=.4. 20y z +=.5. 5122y z x ++=. 6. 2y =.7. 340x y z +--=. 8. 320x y z -+=. 9. 1.10.(0,7,0);(0,5,0)-.· 322 ·1.123310x y z ---==--. 2.（1）238325x y z -+-==-；（2）238x y z -=+=-. 3. 23,62,1x t y t z t =--=--=+.4.325431x y z +--==---. 5. (1,1,1).6. ϕ=.7.（1）平行；（2）垂直；（3）直线在平面上.8. 20x z --=.9. 提示：过已知直线作一平面与已知平面垂直，该平面与已知平面的交线即为所求.31020x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩. 10.提示：过已知点作平面与该直线垂直，平面与直线的交点即为所求. (5,2,4)-.11. 提示：过点P 作平面II 垂直于已知直线，并求它们的交点Q ，则P ，Q 间的距离等于P 到直线的距离d =7.12.提示：参照例题6.26. 202160y z x y +-=⎧⎨++=⎩.习题6.61.222(1)(3)(2)14x y z -+-++=.2.2222y z k x +=；2222()y k x y =+.6.（1）22340x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩；（2）222280x x y z ⎧-+=⎨=⎩. 7. 22x y +≤ax ；22x z +≤2,a x ≥0,z ≥0.· 323 ·8. 22x y +≤4；2x ≤z ≤4；2y ≤z ≤4. 9.（1）3sin x t y t z t == ， ， （0≤t ≤2π）； （2）10x y z θθ=== ， ， （0≤θ≤2π）.总习题六1.(0,2,0).4..5.3)-.6.15W =.7.4z =-；4min πθ=.8.{}2,1,7；S ∆=. 9.（1）103λ>-；（2）103λ<-；（3）103λ=-；（4）6λ=. 10.30.11.5c a b =+. 12.58240x y z -+-=.14.330330x z x z +-= +-=或. 15.14161928x y z +-==. 16.（1）7；（2）2310020x y x z --=⎧⎨+=⎩. 19.220,(1)z x y =-+≤1；0,y =x ≤z220,(1)2zx y =-+≤1,z ≥0.。
高等数学(上)习题解答
习题参考答案第一章习题1.11.求下列函数的定义域：（1）1y x =（2）1ln(5)arcsin 6x y x -=-+； （3）1lg(1)y x =-；（4）1arctan y x=.解：（1）要使函数有意义，必有：0x≠且||1x ≥，所以此函数的定义域为：(,0)(0,1][1,)-∞⋃-⋃+∞； （2）要使函数有意义，必有：501116x x ->⎧⎪-⎨-≤≤⎪⎩所以此函数的定义域为：[5,5)-； （3）要使函数有意义，必有：301011x x x +≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以此函数的定义域为：[3,0)(0,1)-⋃； （4）要使函数有意义，必有：3x x ≤⎧⎨≠⎩ 所以此函数的定义域为：(,0)(0,3]-∞⋃. 2. 下列函数是否相等,为什么?（1）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（2）(),()f x x g x ==（3）()()f x g x x==；（4）21(),()11x f x g x x x -==+-.解：（1）不等，定义域不同； （2）不等，值域不同；（3）相等，定义域、对应法则相同； （4）不等，定义域不同.3. 判断下列函数的奇偶性: （1）22e e sin x x y x -=-+； （2）1log 1axy x-=+（0,1a a >≠）； （3）2x xe e y -+=； （4）233y x x =-.解：（1）奇函数；2()2()22()e e sin()sin x x x x f x x e e x -----=-+-=--22(sin )()x x e e x f x -=--+=-（2）奇函数；1()1()log log 1()1aa x xf x x x--+-==+--111log log ()11a a x x f x x x ---⎛⎫==-=- ⎪++⎝⎭（3）偶函数；()()()22x x x xe e e ef x f x ----++-===（4）非奇非偶函数.2323()3()()3f x x x x x -=---=+4. 求下列函数的反函数：（1）22y x x =-； （2）y =（3）2sin 3()66y x x ππ=-≤≤； （4）221xx y =+解：（1）220x x y --=，解得：1,21x =，习惯x y 与互换，可得反函数：当1y ≥时，1y =+1y <时，1y =-（2）y =x =当0y ≥时，y =，当0y <时，y =；（3）2sin 3()66y x x ππ=-≤≤，解得：1sin 32yx arc =，于是可得反函数：1arcsin 32xy =；（4）221xx y =+，解得：2log 1y x y =-，于是可得反函数： 2log 1xy x=-. 5. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?（1）133(1)y x =+； （2）2sin (15)y x =+；（3）23xy =； （4）arctan y e =解：（1）由函数31u x=+，13y u=复合而成；（2）由15v x =+，sin u v =，2y u =复合而成；（3）由函数2ux =，3u y =复合而成；（4）21w x =+，v =v u e =，arctan y u =.6. 设()ln(1)f x x =+，证明：2(2)(2)()f x f x f x ---=.证：22(2)(2)ln(21)ln(21)f x f x x x ---=-+--+2ln(1)ln(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x x =---=+--- ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x =++---=+ ()f x =7. 设)(x f 的定义域是[]1,0，求)(sin x f 的定义域.解：由题意知：0sin 1x ≤≤，所以)(sin x f 的定义域为：[]2,(21)n Zn n ππ∈+.8. .写出图1-1-9所示函数的解析表达式图1-1-9 图1-1-10解：1,0()2,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 9. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩，求(1)f x -. 解：1,01(1),13x f x x x ≤<⎧-=⎨≤≤⎩. 10. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图1-1-10所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.解： 200tan 40h S BC h =⋅+，00tan 40S h BC h =-，0sin 40h CD =所以函数关系式为：02cos 40,sin 40S L h h ︒︒-=+由00tan 40S hh< 可得此函数定义域为：h ∈习题1.21. 观察下列数列当n →∞时的变化趋势，如果有极限，写出其极限.（1）1(1)nn x n =-；（2）11n n x n -=+；（3）112n n x =- （4）(1)nn x n =-；（5）sin2n n x π=；（6）215n n nx -=解：（1）0n x →()n →∞； （2）1n x →()n →∞；（3）1n x →()n →∞；（4）发散； （5）发散； （6）0n x →()n →∞. 2. 对下列数列{}n x ，求li m n n x a →∞=，并对给定的ε确定正整数()N ε，使对所有()n N ε>，有：n x a ε-<(1)1sin 2n n x n π=，310ε-=；(2)n x =410ε-=. 解：(1)311|0||sin|102n n x n n π--=≤<，于是 3310,10.n N >取= 所以 lim 0n n x →∞=，310N =；(2)n x =4|0|10n x --<=<，于是 8810,10.n N >取= 所以 lim 0nn x →∞=，810N =.3.用极限定义（“N ε-”语言）验证下列极限(1)21limn n →∞=； (2)515lim 323n n n →∞+=-；(3)1n →∞=；(4)1(0)n a >.证：（1）因为2110n n-<0,ε∀>要使210,n ε-< 只需 1,n ε<即 1n ε>即可。
超星下高等数学尹逊波答案
1【单选题】
设有n阶导数，且有2n个不同的极值点?，则方程至少有（）A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：?分
2【单选题】
设函数在处可导，且则（）A、
B、
C、
D、
我的答案：B得分：分
3【单选题】
设在点的某邻域内连续，且具有一阶连续导数，并有，则（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
4
【单选题】
曲线的拐点是（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
5
【单选题】
设函数在的某邻域内连续，且满足，则（）A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
6
【单选题】
设，其中为有界函数，则在处（）。
A、
B、
C、
D、
我的答案：D得分：分
7
【单选题】
设函数在区间内有定义，若当时，恒有
，则必是的( ) 。
A、
B、
C、
D、
我的答案：C得分：分
8
【单选题】
设：，则函数在点处必然（）
A、
B、
C、D、
我的答案：D得分：分
9
【单选题】
设则在处( ) 。
A、
B、
C、
D、
我的答案：A得分：分
10
【单选题】
设在上连续，且，则下述结论正确的是：（）
A、
B、
C、
D、
我的答案：C。
尹逊波高等数学(上)复习题参考答案
新建试卷20180629205744一、单选题（共112题，112分）1、A、周期函数B、偶函数C、奇函数D、有界函数2、下列函数中为奇函数的是 .A、B、C、D、3、A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、奇偶性决定于a的值4、A、偶函数B、奇函数C、D、非奇非偶5、A、B、C、D、6、A、B、C、D、7、A、B、C、D、8、A、B、C、D、9、A、B、D、10、A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、无界函数11、A、B、唯一的C、任意的12、A、必要条件B、充分必要条件C、充分条件D、既非充分又非必要条件13、A、B、C、不一定收敛D、不收敛14、A、B、C、D、15、A、B、C、D、16、A、B、C、D、17、A、充分条件，但不是必要条件B、充要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件18、A、充分条件，但不是必要条件B、充分必要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件19、A、一个很小的函数B、任意给定的正的常数C、很小的与n有关的函数D、是n的函数20、下列叙述正确的是. A、有界数列一定有极限B、无界数列一定是极限值为无穷大C、极限值为无穷大数列必为无界数列D、无界数列未必发散21、A、B、C、D、22、A、2B、C、D、不存在23、A、B、1C、D、0 24、A、1B、C、0D、25、A、B、0C、1D、不存在26、A、B、C、D、27、A、B、C、0D、1 28、A、B、C、D、29、A、0B、C、1D、不存在30、A、B、C、D、无法确定正负31、A、1B、C、D、不存在32、A、2B、1C、0D、3E、4 33、A、B、1C、0D、E、34、A、3B、2C、0D、1 35、A、1B、0C、-1D、236、A、B、C、D、37、下列关于实数列的命题正确的为 . A、其他各项结论均不成立B、C、D、38、A、B、发散，但有界C、D、39、A、B、C、可能收敛，可能发散D、都发散40、A、2B、C、1D、0 41、A、B、C、D、42、A、-1B、1C、D、243、A、B、C、D、44、A、必要条件B、既非必要又非充分条件C、充分必要条件D、充分条件45、A、B、C、D、46、A、2B、1C、D、E、347、A、1B、3C、2D、448、下列极限中，不正确的是 . A、B、C、D、49、设有两命题：则.A、甲、乙都不成立B、甲成立，乙不成立C、甲不成立，乙成立D、甲、乙都成立50、A、极限值不能确定B、C、D、必为非零常数51、下列等式成立的是 . A、B、C、D、52、A、2B、1C、E、53、A、B、C、1D、2 54、A、B、C、0155、A、B、C、D、56、下列极限中不正确的是 . A、B、C、D、57、A、B、C、D、58、A、2B、-1C、1D、E、0 59、A、B、C、D、E、60、A、-1B、1C、2D、61、A、2B、-2C、3D、-362、A、无界，但非无穷大量B、无穷小量C、无穷大量D、有界，而未必为无穷小量63、A、-7B、7C、1D、-1E、64、A、同阶无穷小，但不是等价无穷小B、等价无穷小C、低阶无穷小D、高阶无穷小65、A、有界变量B、无界，但非无穷大量C、无穷大量D、无穷小量66、A、B、C、1D、-167、无界变量B、无穷大量C、无穷小量D、有界，但非无穷小量68、A、B、C、D、69、A、61 C、-6 D、-1 E、0 70、A、B、C、D、71、A、0个至少有1个C、无数多个D、无法确定72、下列两个命题：下面结论正确的是.A、甲、乙都正确B、甲正确，乙不正确C、甲、乙都不正确D、甲不正确，乙正确73、A、C、D、74、A、B、C、D、75、A、充分条件B、必要条件C、既非必要又非充分条件D、必要充分条件76、A、B、C、D、77、A、B、C、D、78、A、B、C、D、79、A、左连续，右不连续B、连续C、右连续，左不连续D、左右都不连续80、A、2B、-2C、4D、-481、A、1B、4C、3D、E、0 82、A、B、C、D、不可导83、A、1B、2C、D、-1E、-284、A、1B、-1C、-2D、2E、85、A、连续，可导B、连续，但不可导C、不连续，但可导D、不连续，必不可导86、A、B、C、D、87、A、B、C、D、A、连续但不可导B、可导C、左可导而右不可导D、右可导而左不可导89、A、B、C、D、A、B、C、D、91、A、B、C、D、A、B、C、D、93、A、B、C、D、A、可导B、连续但不可导C、不连续D、左导不等于右导95、A、B、C、D、A、B、C、D、97、A、0,2B、C、D、0,-3 98、A、B、C、D、99、A、1B、2C、3D、6E、0100、A、B、C、D、101、A、2B、C、D、E、-2 102、A、B、C、D、103、A、2B、1C、D、0 E、-1 104、A、B、C、D、105、A、B、C、D、。
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新建试卷20180629205744一、单选题（共112题，112分）1、A、周期函数B、偶函数C、奇函数D、有界函数2、下列函数中为奇函数的是 .A、B、C、D、3、A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、奇偶性决定于a的值4、A、偶函数B、奇函数C、D、非奇非偶5、A、B、C、D、6、A、B、C、D、7、A、B、C、D、8、A、B、C、D、9、A、B、D、10、A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、无界函数11、A、B、唯一的C、任意的12、A、必要条件B、充分必要条件C、充分条件D、既非充分又非必要条件13、A、B、C、不一定收敛D、不收敛14、A、B、C、D、15、A、B、C、D、16、A、B、C、D、17、A、充分条件，但不是必要条件B、充要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件18、A、充分条件，但不是必要条件B、充分必要条件C、必要条件，但不是充分条件D、既非充分也非必要条件19、A、一个很小的函数B、任意给定的正的常数C、很小的与n有关的函数D、是n的函数20、下列叙述正确的是. A、有界数列一定有极限B、无界数列一定是极限值为无穷大C、极限值为无穷大数列必为无界数列D、无界数列未必发散21、A、B、C、D、22、A、2B、C、D、不存在23、A、B、1C、D、0 24、A、1B、C、0D、25、A、B、0C、1D、不存在26、A、B、C、D、27、A、B、C、0D、1 28、A、B、C、D、29、A、0B、C、1D、不存在30、A、B、C、D、无法确定正负31、A、1B、C、D、不存在32、A、2B、1C、0D、3E、4 33、A、B、1C、0D、E、34、A、3B、2C、0D、1 35、A、1B、0C、-1D、236、A、B、C、D、37、下列关于实数列的命题正确的为 . A、其他各项结论均不成立B、C、D、38、A、B、发散，但有界C、D、39、A、B、C、可能收敛，可能发散D、都发散40、A、2B、C、1D、0 41、A、B、C、D、42、A、-1B、1C、D、243、A、B、C、D、44、A、必要条件B、既非必要又非充分条件C、充分必要条件D、充分条件45、A、B、C、D、46、A、2B、1C、D、E、347、A、1B、3C、2D、448、下列极限中，不正确的是 . A、B、C、D、49、设有两命题：则.A、甲、乙都不成立B、甲成立，乙不成立C、甲不成立，乙成立D、甲、乙都成立50、A、极限值不能确定B、C、D、必为非零常数51、下列等式成立的是 . A、B、C、D、52、A、2B、1C、E、53、A、B、C、1D、2 54、A、B、C、0155、A、B、C、D、56、下列极限中不正确的是 . A、B、C、D、57、A、B、C、D、58、A、2B、-1C、1D、E、0 59、A、B、C、D、E、60、A、-1B、1C、2D、61、A、2B、-2C、3D、-362、A、无界，但非无穷大量B、无穷小量C、无穷大量D、有界，而未必为无穷小量63、A、-7B、7C、1D、-1E、64、A、同阶无穷小，但不是等价无穷小B、等价无穷小C、低阶无穷小D、高阶无穷小65、A、有界变量B、无界，但非无穷大量C、无穷大量D、无穷小量66、A、B、C、1D、-167、无界变量B、无穷大量C、无穷小量D、有界，但非无穷小量68、A、B、C、D、69、A、61 C、-6 D、-1 E、0 70、A、B、C、D、71、A、0个至少有1个C、无数多个D、无法确定72、下列两个命题：下面结论正确的是.A、甲、乙都正确B、甲正确，乙不正确C、甲、乙都不正确D、甲不正确，乙正确73、A、C、D、74、A、B、C、D、75、A、充分条件B、必要条件C、既非必要又非充分条件D、必要充分条件76、A、B、C、D、77、A、B、C、D、78、A、B、C、D、79、A、左连续，右不连续B、连续C、右连续，左不连续D、左右都不连续80、A、2B、-2C、4D、-481、A、1B、4C、3D、E、0 82、A、B、C、D、不可导83、A、1B、2C、D、-1E、-284、A、1B、-1C、-2D、2E、85、A、连续，可导B、连续，但不可导C、不连续，但可导D、不连续，必不可导86、A、B、C、D、87、A、B、C、D、A、连续但不可导B、可导C、左可导而右不可导D、右可导而左不可导89、A、B、C、D、A、B、C、D、91、A、B、C、D、A、B、C、D、93、A、B、C、D、A、可导B、连续但不可导C、不连续D、左导不等于右导95、A、B、C、D、A、B、C、D、97、A、0,2B、C、D、0,-3 98、A、B、C、D、99、A、1B、2C、3D、6E、0100、A、B、C、D、101、A、2B、C、D、E、-2 102、A、B、C、D、103、A、2B、1C、D、0 E、-1 104、A、B、C、D、105、A、B、C、D、。