二次函数综合问题之抛物线和直线交点个数问题

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数2）．3，40，﹣2），B（y=2x1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线+mx+n经过点A （（1）求抛物线的表达式及对称轴；（包B之间的部分为图象GC，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，（2）设点B关于原点的对称点为纵坐标t的取值范围．CD 与图象G有

公共点，结合函数图象，求点D含A，B两点）．若直线

考点：待定系数法求二次函数解读式；待定系数法求一次函数解读式；二次函数的最值．

专题：计算题．

分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解读式求出m与n的值，确定出抛物线解读式，求出对称轴即可；

（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC 解读式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．

2解答：+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，解：（1）∵抛物线y=2x4），

代入得：，

解得，2∴抛物线解读式为y=2x﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；

2（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x﹣4x﹣2的最小值为﹣4，

由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，

设直线BC解读式为y=kx+b，

将B与C坐标代入得：，，解得：k=，b=0x，y=∴直线BC解读式为，当x=1时，y=

．≤t≤4的范围为﹣t

则．

此题考查了待定系数法求二次函数解读式，待定系数法求一次函数解读式，以及函数的最值，熟练掌握待点评：

定系数法是解本题的关键．

4）．（0，，0），与y轴交于C（．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B42 的坐标；）求抛物线顶点（1D，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛F轴的垂线，交直线CD于点轴于点E，过点B作x（2）设直线CD交x总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长EF物线与线段度？

考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解读式．

专题：探究型．

分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解读式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解读式；

（2）先用待定系数法求出直线CD解读式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平

移m各单位所得抛物线的解读式，再将此解读式与直线CD的解读式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位

解答解：）设抛物线解读式y=x+））

点坐标为）

∴a=﹣，（1分）

2，x+x+4∴解读式为y=﹣2分）坐标为（1，）；（顶点D

．y=kx+b）直线CD解读式为（2，则，∴，

∴直线CD解读式为y=x+4，（3分）

∴E（﹣8，0），F（4，6），

2），0＞m（m﹣+x+4x﹣y=个单位，其解读式m若抛物线向下移2，﹣m=0y，得﹣x+x由消去∵△=﹣2m≥0，

∴0＜m≤，

∴向下最多可平移个单位．（5分）

2），＞0x+x+4+m（m若抛物线向上移m个单位，其解读式y=﹣36+m，y=﹣8时，﹣方法一：当x= y=m，当x=4时，6，0或m≤要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤7分）m≤36；（∴0＜m=36，，0）时，解得方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8 m=6，，6）时，当平移后

的抛物线过点F（4 7分）由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（个单位，向下最多可平移个单位．EF有公共点，向上最多可平移36综上，要使抛物线与本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解读式、二次函点评：数与一次函数的交点问题，有一定的难度．

2，﹣4）．y=x+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（13．（2013?丰台区一模）二次函数（1）

求二次函数的解读式；轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合x轴下方的部分沿x（2）将二次函数的图象在n的取值范围．新图象回答：当直线y=x+n与这个新图

象有两个公共点时，求

考待定系数法求二次函数解读式；二次函数图象与几何变换

分析）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解读式

）求出两个边界点，继而可得的取值范围

解答+的顶点坐标yx+）因，）是二次函解：所y4=2

）23=

解之得=两点的坐标分别（））

如图，当直线y=x+n（n＜1），

经过A点时，可得n=1，

当直线y=x+n经过B点时，

可得n=﹣3，

∴n的取值范围为﹣3＜n＜1，

2翻折后的二次函数解读式为二次函数y=﹣x+2x+3

2的图象只有一个交点时，+2x+3x﹣y=与二次函数y=x+n当直线

2 +2x+3，x+n=﹣x2，﹣﹣x+n3=0整理得：x2=b△，=13﹣4n=04（n﹣3）﹣4ac=1﹣，解得：n=

∴n的取值范围为：n＞，

由图可知，符合题意的n的取值范围为：n1或﹣3＜n＜．＞

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解读式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值．

2 k为正整数．+4x+k2x﹣1=0有实数根，4．（2009?北京）已知关于x的一元二次方程k的值；（1）求2个单位，求平移后的图象向下平移8+4x+k﹣12（）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x 的图象的解读式；轴翻折，图象的其余部分保持不变，x）的条件下，

将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿2（3）在（的取值范b＜k）与此图象有两个公共点时，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b

围．

考点：二次函数综合题．

专题：综合题．

分析：（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；

（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后

的解读式；

（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值．

解答：解：（1）由题意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．

∴k≤3．

为正整数，k∵．∴k=1，2，3；

2（2）设方程2x+4x+k﹣1=0的两根为x，x，则21

x+x=﹣2，x?x=．21212当k=1时，方程2x+4x+k﹣1=0有一个根为零；

2当k=2时，x?x=，方程2x+4x+k﹣1=0没有两个不同的非零整数根；212 1．+4x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣当k=3时，方程2x k=3符合题意．k=1和k=2不合题意，舍去，综上所述，22 6；y=2x+4x﹣，把它的图象向下平移当k=3时，二次函数为y=2x+4x+28个单位得到的图象的解读式为2）．1，0（（﹣3，0），B﹣3）设二次函数y=2x+4x6的图象与x轴交于A、B两