系统工程 系统决策分析

P( Bi A)
P(B )P( A B )
i i
P( Bi ) P( A Bi )
i 1,2,, n
计算出各事件的事后（后验）概率。
例：
某钻探大队在某地区进行石油勘探，主观估计 该地区有油的概率为P(O)=0.5；无油的概率为 P(D)=0.5。为了提高钻探的效果，先做地震试 验。根据积累的资料得知：凡有油地区做试验 结果亦好的概率为 P(F ｜ O)=0.9 ；做试验结果 不好的概率为 P(U ｜ O)=0.1 。凡无油地区做试 验结果好的概率为 P(F ｜ D)=0.2 ；做试验结果 不好的概率为 P(U ｜ D)=0.8 。问在该地区做试 验后，有油与无油的概率各是多少? 即求：做地震试验好与不好的条件下有油或无 油的概率各是多少。
决策树
A1 A2 A3
S1 S2 S3
1级决策
2级决策
决策树举例
有一钻探队做石油钻探，可以先做地震试验，
费用为0.3万元/次，然后决定钻井与否，钻 井费用为1万元，出油收入为4万元。根据历 史资料，试验结果好的概率为0.6，不好的概 率为0.4；结果好钻井出油的概率为0.85，不 出油的概率为0.15；结果不好钻井出油的概 率为0.1，不出油的概率为0.9。也可不做试 验而直接凭经验决定是否钻井，这时出油的 概率为0.55，不出油的概率为0.45，试用决 策树进行决策。
P(θk/Si) 无油(S1) 少油(S2) 富油(S3)
构造差(θ1) 一般(θ2) 0.6 0.3 0.3 0.4 0.1 0.4
良好(θ3) 0.1 0.3 0.5

根据全概率公式有：
P( k ) P( S i ) P( k
i 1
3
S)
i

P(θ 1)=0.41 ，P(θ 2)=0.35 ，P(θ 3)=0.24 根据贝叶斯公式有：

甲 乙 丙 丁
S1 (0.1) S2 (0.8) S3 (0.1) 40 60 15 50 40 30 60 40 10 50 30 5
EMV和EOL

决策目标考虑的是收益值，计算各方案的期望收益 值，从中选择期望收益最大的。 决策目标考虑的是损失值，计算各方案的期望损失 值，从中选取期望损失最小的。
用贝叶斯公式计算各事件的事后(后验)概率
做地震试验好的条件下有油的概率 P(O F )
P(O) P( F O) P( F )
P ( D) P ( F D) P( F )
0.45 9 0.55 11
0.10 2 0.55 11
做地震试验好的条件下无油的概率 做地震试验不好的条件下有油的概率

修正概率的方法——贝叶斯公式的应用
决策者常常碰到的问题是没有掌握充分的信息，于是决策者 通过调查及做试验等途径去获得更多的更确切的信息，以便 掌握各事件发生的概率，这可以利用贝叶斯公式来实现，它 体现了最大限度的利用现有信息，并加以连续观察和重新估 计。
其步骤为：
① 先由过去的经验或专家估计获得将发生事件的事前（先验） 概率。 ② 根据调查或试验计算得到条件概率，利用贝叶斯公式：
悲观主义准则
从各方案的最小益损值中选择最大的，也称“小
中取大”法，是一种万无一失的保守型决策者的 选择准则。 例如： S1 200 300 425 S2 125 200 210 S3 45 -50 -75 S4 -25 -175 -200
A1 A2 A3
乐观主义准则
决策者对客观情况总是抱乐观态度，从各方案最大益损值 中选择最大的，也称“大中取大”。是一种偏于冒进的决 策准则。 例如：
A1
S1 225 125 0
S2 85 10 0
S3 0 95 120
S4 0 150 175
A2 A3
等可能性准则
决策者不能肯定那种状态会出现，采取一视同仁
的态度，认为出现的可能性相等，有n个状态，其 出现的概率均为1/n，计算各方案的期望最大收益 值，从中选取最大的。 例如： S1 200 300 425 S2 125 200 210 S3 45 -50 -75 S4 -25 -175 -200 ER 86.25 68.75 90
决策分析是为解决风险型和不确定型问题提供
一套推理方法和逻辑步骤。
决策分析框架
确定结构
评定后果
评定不确定因素
评价方案 灵敏度分析 收集信息
选择方案
决策分析框架
确定决策模型结构：确定决策过程的阶段、
相应的环境信息、各阶段的状态和备选方案 以及他们间的层次结构关系 评定后果：估计备选方案在不同环境状态下 所付出的代价和取得的收益后果值 评定不确定因素：估计未来环境中各种状态 出现的概率 评价方案：按估计的后果和概率计算备选方 案的效益（效用）指标，按照效益（效用） 最大者为最优方案
(3) 条件概率 P(x=1｜20，p) 0.2725 0.3774 0.2701 0.1368 0.0577
(4)联合概率 P(x=1∩p) 0.10900 0.11319 0.04052 0.01368 0.00288 P(x=1) =0.27927
(5)事后概率 P(p｜x=1) 0.39030 0.40531 0.14509 0.04899 0.01031 1.0000
次品率 p 事前概率 p0 (p)
0.02 0.4
0.05 0.3
0.10 0.15
0.15 0.10
0.20 0.05
解： 为了便于计算，将上表的数据填 入下表的(1)、(2)列中。
(1) 次品率 p 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 合计
(2) 事前概率 P０(p) 0.4 0.3 0.15 0.10 0.05 1.00

决策树法
描述多级决策（序列决策）的工具 “•”表示决策节点，从它引出的分枝为方案
枝，分枝数量与方案数量相同，分枝上要注 明方案名称。 “O”表示状态节点，从它引出的分枝为状 态分枝或概率分枝，分枝数量与可能出现的 自然状态数量相同，分枝上要注明状态出现 的概率。 “△ ”表示结果节点，不同方案在各种状态下 所取得的结果（益损值），标注在结果节点 的右端。
P( S i

k)
P( S i ) P( k P( k )
S)
i
P(Si/θk) 无油(S1) 0.7317 构造差(θ1) 0.4286 一般(θ2) 0.2083 良好(θ3)
少油(S2) 0.2195 0.3428 0.3750

A1 A2 A3
S1 200 300 425
S2 125 200 210
S3 45 -50 -75
S4 -25 -175 -200
最小机会损失准则
决策者一般易于接受某状态下收益最大的方案，
但由于无法预知那一状态一定出现，当决策者没 有采纳收益最大的方案，就会感到后悔，最大收 益值与其他收益值之差作为后悔值或机会损失值， 然后按悲观主义准则决策。 例如：
A1 A2 A3
三、风险型问题决策
风险型决策也称随机型决策或统计型决策 最大可能性法 最大期望收益准则（Expected Monetary Value, EMV） 最小机会损失准则（Expected Opportunity Loss, EOL） 决策树法

最大可能性法
从可能出现的状态中，选择一个概率最大的状态进行决策， 而不考虑其他状态，问题转化为确定型决策 应用条件：在收益矩阵中的元素差别不大，而各状态中某 一状态的概率明显地大的多；如果各状态概率很接近，而 益损值相差较大时，不宜采用。
决策分析框架

灵敏度分析：由于后果值和概率的主观性和不确定 性，确定决策模型中参数的变化范围
收集信息：对灵敏度高的参数需收集更多信息进行 研究，但考虑信息价值问题 选择方案

二、不确定型问题的决策

决策者根据自己的主观倾向进行决策，根据决策者 主观态度不同有以下四种常用的决策准则和方法： 悲观主义准则 乐观主义准则 最小机会损失准则 等可能性准则
状 态 概 率 按原工艺生产的益损值
引进 （成功0.8）
价跌 0.1Βιβλιοθήκη Baidu-100
价平 0.5 0
价涨 0.4 125
产量不变
产量增加
-250
-400 -250 -350
80
100 0 -250
200
300 250 650
产量不变 自行设计 （成功0.6） 产量增加
贝叶斯决策（条件概率）
多级决策中，各种状态之间是相关的，其出现的概 率是条件概率。 为了准确预测各种状态出现的概率，一般需要将某 状态看成独立于其他状态，将条件概率简化为非条 件概率，给出最后一级决策可能出现状态的概率， 称为先验概率，然后通过试验或其他手段获取新信 息，用贝叶斯定理修正先验概率，从而转化为后验 概率（条件概率）。
第(4)列的数字是按(4)=(2)×(3)求得的。 然后求
P( x 1) P( x 1 pi ) 0.27927
事后概率按(5)=(4)/0.27927求得。
由以上两例可见， 求修正概率时，可用树形图或表格计算。
举例

某石油公司考虑在某地钻井，结果可能出现三种情况： 无油(0.5)、少油(0.3)、富油(0.2)，钻井费用为7万 元，如少量出油可收入12万元，大量出油27万元，不 出油收入为零；为了避免盲目钻井，可以先进行勘探 试验以了解地质结构情况，勘探费用为1万元，勘探结 果可能会是：地质构造差、构造一般、构造良好，根 据过去的经验，地质构造与油井出油的关系如表所示， 试用决策树进行决策。
解 ： 先计算做地震试验好与不好的概率。
做地震试验好的概率 P(F)=P(O)·P(F｜O)+P(D)·P(F｜D)
=0.5×0.9+0.5×0.2 =0.55 做地震试验不好的概率 P(U)=P(O)·P(U｜O)+P(D)·P(U｜D) =0.5×0.1+0.5×0.8=0.45 利用贝叶斯公式计算各事件的事后（后验）概 率。
P(O U ) P(O) P(U O) P(U )
P( D F )
0.05 1 0.45 9
做地震试验不好的条件下无油的概率
P( D U ) P( D) P(U D) P(U ) 0.40 8 0.45 9
以上计算可在下图上进行。
例 某厂生产电子元件，每批的次品率的概率分布 见下表。该厂不进行100%的检验，现抽样20件，次 品为1件，试修订事前概率.
第(3)列的数字表示在次品率为P的母体中抽20个 检验，有1个次品的概率，这概率可用以下计算得 到。因产品抽样检验的次品率是服从二项分布的， 可得到
n! x n x P( x n, p) p q x !( n x ) !
查表得到 p(x=1｜20，0.02)= 0.2725 p(x=1｜20，0.05)= 0.3774 ……
第七章 系统决策分析
一、决策分析框架 二、不确定型问题的决策 三、风险型问题的决策——决策树 四、效用理论 五、决策支持系统
一、决策分析概述
决策是一种过程：情报活动、设计活动、抉择
活动、实施活动 决策分类：
确定型：对未来情况可以获得精确、可靠的数据 风险型：未来有几种可能的状态和相应后果，其出 现的概率可以预测 不确定型：未来可出现的状态和后果难以估计
决策树计算
2.4 1.44 1.2 试验 -0.3 不试验 1.2
钻井 -1
好 0.6
钻井 -1 不
钻井 -1
3.4
0.85
不出油
4 0 0
0.15
不好 0 0.4
0.4
0.1
0.9
4 0
0
2.2
0.55 0.45
4
0 0
结论：不试验直接钻井，期望收入为1.2万元。
讨论练习
某企业对产品生产工艺进行改进，提出两个方案：一 是从国外引进生产线，另一是自行设计生产线。引进 投资较大，但产品质量好成本低，成功率为80%；自行 设计投资相对较小，产品质量也有一定保证成本也较 低，只是成功率低些为60%。进一步考虑到无论引进还 是自行设计，生产能力都能得到提高。因此企业又制 订了两个生产方案：一是产量与过去保持相同，一是 产量增大。为此又需要决策，最后若引进与自行设计 不成功，则企业只能采用原工艺生产，产量保持不变。 企业打算该产品生产五年，根据市场预测，五年内产 品价格下跌的概率为0.1，不变的概率为0.5，上涨的 概率为0.4，通过估算各种方案在不同价格状态下的益 损值如表所示，试用决策树进行决策。