《刚体动力学》PPT课件

i 1
i 1
n
式中 M zi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外
力矩Mz 。
20
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为
A
2 1
M z d
力矩的瞬时功率可以表示为
P
dA dt
Mz
d
dt
Mz
式中是刚体绕转轴的角速度。
力矩, 所以
Mz
f
d 2
2.5 102 0.30m N 75m N
摩擦力矩的方向沿z轴的负方向, 故取负值。根据
转动定理 , 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角
加速度，为
M z 75 rad s-2 30rad s-2
J
2.5
28
(1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转
解：两平行轴的距离
d
1 l
, 代入平行轴定理，
得
2
J J C md 2
1 ml 2 m( l )2 1 ml 2
12
23
13
例 6：求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通
过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。
解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为
m
R2
y
R
dr
取半径为r、宽为 dr的
圆环如图所示，其质量为
15
例7 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m， 半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）
解： 摆杆转动惯量：
O
J1
1 3
m2r 2
4 3
mr2
摆锤转动惯量：
r
J2
JC
md 2
1 2
mr2
m3r 2
19 2
mr2
J
J1
J2
4 3
mr2
19 2
mr2
65 6
mr2
16
三、力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴
的角度 可由下式求得:
2 02 2
所以
2
02
0 130 2 rad
2.8 102rad
2 2 30
(2) 摩擦力矩所作的功
A M z 75 (2.8102 ) J 2.1104 J
29
例 10:质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于桌子 边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r 的 圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间的 绳子的张力 T1 、滑轮与 m2 之间的绳子的张力T2 以
功为零。
F
d r
dr
P
18
力矩作的功
在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功 。
假设 作用于以 z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别
是 F1, F2 ,, Fn 。
在刚体转动中,外力 Fi 所作的元功为
d
d
Ai
Ai
Fi d
Fi d ri
ri
cosi
Fi d
si
转动 而发生角位移时，就称力矩对刚体作功。
力F
对P
点作功：
O
d A F dr
F d s cosπ 2
F
d r
dr
F d s sin
O′
P
d s r d
17
因 Fr sin M
故 d A M d
力矩作功：
O
A
M
d
M
0
d
对于刚体定轴转动
情形，因质点间无相对 位移，任何一对内力作 O′
dt
0 /2 d
tK
dt , 得t
J
ln 2.
0
0J
K
26
例9：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦
与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
(1) 从开始制动到停止,
飞轮转过的角度；
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。
24
刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动
v dx dt
a dv d2 x dt dt2
p mv F
Ek
1 2
mv2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d d2
dt dt2
L J
Ek
1 2
J2
M
J
d A M d M dt
求：（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离；（2）
绳子的张力。
解：FT
R
1 2
m0 R 2
a R
FT
1 2
m0a
mg FT ma
a mg 810 m s2 5 m s2
m0
m m0 2 8 8
h 1 at 2 1 512 m 2.5 m
FT
1
d
J
d .
dt
dt
23
或者写为
Mz
J
d
dt
,Mz
J
上式就是转动定理的数学表达式。
在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量 与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对 同一转轴的合力矩。
转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似 的,合外力矩与合外力相对应 , 转动惯量与质量相 对应, 角加速度与加速度相对应。
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与 质点的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的
质量是质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体 的转动惯量是刚体转动惯性的量度。
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求 和号
用积分号J代替 r 2dm r 2 dV
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、 转轴的位置、 刚体的形状。
§5-2 刚体动力学
一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic ener设gy刚)体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量
分别为m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。
n 个体元绕Oz轴作圆周
x
运
动的动能的总n 和1为：
cosi
因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以
dAi Firi sini d Mzid 19
dAi Firi sini d Mzid
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的
总功为
n
n
dA dAi ( M zi )d Mzd
1.7 102J
8
例2 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解： J r2dm
z
dm dx m dx
l
Oo
dm
r2 x2
x dx
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。
9
例5-3 如图半圆形匀质细杆，半径为 R,
3
回转半径
一个实际刚体的转动惯量，可用一个等效刚 体的转动惯量来表示。这个刚体可看成是所有
的质量集中在距转轴为 r的G 地方， rG 称为该刚体的回转半径（图5－11）。回
转半径可用来形象了解一个刚体的转动惯量。 根据转动惯量的定义，回转半径为：
rG J / m
式中 m m为i 刚体的总质量。
·r
o
x
dm 2 rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
14
J z
Rr2 dm
0
R 2πr 3 d r
0
2π R r 3 d r 1 mR 2
0
2
根据垂直轴定理
Jz Jx Jy
由于对称性, J x J y , 所以
Jz
2J x
1 mR2 2
解得
Jx
1 mR 2 4
ox
l xຫໍສະໝຸດ Baidu
2
为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx,
其质量为
m dm dx
l
7
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 l / 2
x
2
m l
dx
1 3
m l
x3
l /2 l / 2
1 ml2 8.3 102 kg m2 12
棒的转动动能为
Ek
1 2
J 2
1 0.083 632 J 2
盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解： dm 2π rdr
J r2dm 2π r3dr J 2π R r3dr
0
π R4 1 mR2
22
o r dr R
11
两个定理
Jz
R
1. 平行轴定理
m
J JC md 2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。
F ma
M J
F d t p p0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
25
例8：飞轮转动惯量 J，制动力矩M=-kω，由ω0减小 到ω0/2，问此过程所需时间和制动力矩所作功＝？
解：
A
1 2
J (0
2
)2
1 2
J02
3 8
J02
M J d K,
因为
J
1 2
Mr 2 ,
v r
, 所以得
m2 gh
1 2 (m1
m2
1 2
M )v 2
由此解得
v2
2m2 g
h
1
m1 m2 2 M
（6）
33
将 v 2 = 2 a h 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速
a
m2 g
1
m1 m2 2 M
根据
T1h
1 2
m1v
2,
立即可以求得张力T1
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
N
解：为了求得飞轮从制 飞轮
f
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
27
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与
正压力的乘积
f N 0.50 500 N 2.5 102 N
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦
21
四、动能定理 (theorem of kinetic energy )
根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作 的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内 力所作的功都为零。对定轴转动的刚体 , 外力 的功即为外力矩所作的功; 系统的机械能为刚 体的转动动能。
dA dEk
将转动动能的具体形式代入上式并积分, 得
质量为 m, OO过' 圆心和圆弧中点，试求细杆对轴
OO' 的转动惯量。
解 在细杆上选一质量微元：
dm m Rd R
质量微元到转轴的转动半径：
整个刚体的转动惯量：
r Rsin
J
r2dm
2 2
(R
sin
)2
m
R
Rd
2 2
R2
m
1 2
(1
cos2
)d
1 mR2 2
10
例4 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过
2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz Jx Jy
12
例5：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
J 1 ml 2 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。
a
m2 g
1
m1 m2 2 M
T1
m1m2 g 1
m1 m2 2 M
1
T2
( m1
2
M )m2 g 1
m1 m2 2 M
此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落 了高度h时, 可以列出下面的能量关系
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
（5）
32
式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率, 是此时滑轮的角速度。
及物体运动的加速度 a 。
m2
m1
30
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。
列方程 T1 =m1 a
（1）
FN
m2 g T2 = m2 a （2）
T1 T1 α
对于滑轮
T2r T1r
J
1 2
M r2
（3）
m1g
T2 T2
a
辅助方程
r = a （4）
m2 g
解以上四个联立方程式, 可得
31
T1
1 2
m1v 2
1 h
m1
m1m2 g
m2
1 2
M
34
根据
(m2 g T2 )h
1 2
m2
v
2
或
T2 r
T1r
J
可以立即算出张力T2
T2
( m1
1 2
M )m2 g
m1
m2
1 2
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
35
例11 质量为m0 =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
A
1 2
J
2 2
1 2
J
2 1
22
定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动 能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。
五、转动定理 (Theorem of rotation)
将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子
dA dEk
M zd
d(1 2
J2)
Jd
得
Mz
J d dt d dt
J d
dt
Ek i1 2 Δmi
vi2
o ri vi
mi
1 2
n i1
Δmi ri 2
2
1
式中
n
mi
ri2
称为刚体对转轴的转动惯量
。
i 1
用J 表示：
n
J mi ri2
i 1
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2
J2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是
相似性的。
2
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
4
几
种
常
见
形
状
的
刚
体
的
转
动
惯
5
6
例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l =
1.0 m 的均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂
直的转轴以角速度 = 63 rads-1 旋转, 求转动
动能解。：先求细棒对转轴 的
y
dx
转动惯量J, 然后求转动
动 将棒的中点取为坐标原 l 2
能点E,k。建立坐标系Oxy,取y 轴