排列数与组合数的计算

目标检测 1 2 3 4 5 6
2.
C x2 x2
C x3 x2
1 10
Ax33的值为
（C ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【提示】Cxx22
C x3 x2
=Cxx32
C5 x3
1 10
A3 x3
5！xx32！！
x 3!，
10 • x
得：x2 x 12 0
分析提示
解得：x
显示答案
2.方程C2x8 C328x12的解为x A.10或6 B.10 C.6
D.28
（ C）
【提示】①由Cmn Cnnm，x 3x 12 28，得x 10. ②由x 3x 12,得x 6.
基础过关
3.若A3n 6C4n，则n等于
（C ）
A.9 B.8 C.7 D.6 【提示】由题意得n(n -1)(n - 2) 6（n n 1）(n 2)(n 3) ,
C39 ,则x
本题主要考查排列数、组 合数公式与性质应用，只要 牢记公式，就可轻松解答。
.
C
解：C8x
C x1 8
C9x
C93 ,
得：x 3或6
对于组合数性质的逆运用， 是组合数运算化简中常用方 法。
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析 【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练3】 C73 C74 C85 C96 __2_1_0__ .
C37
3!
；
2
C22
C32
C24
C2 100
；3
C94 96
C95 97
C96 98
C97 99
.
(1)原式 60 24 35 6 55. 3 原式 C926 C927 C928 C929
(2)原式
C33
C32
C42
C2 100
C3 101
166650.
C396 C926 C927 C928 C929 C396
用排列数符号表示为
A15
69n .
对排列数公式掌握透彻.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
典例剖析 【例1】 【例2】【例3】 方法总结
【变式训练2】若Amn 3 4 5 6 7 8，则n 8 ，m 6 .
显示答案
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例3】
若C8x
C x 1 8
3
4 舍
目标检测 1 2 3 4 5 6
3.若x 3n！！，则x
A.A 3n
B.A nn3
C.A 3n
D.A3n3
【提示】n! n(n 1)(n 2)3 21
3!
3 21
n(n 1)(n 2) 4
An3 n
分析提示
显示答案
（ B）
目标检测 1 2 3 4 5 6
4. Anm gAnnmm的值为
C93 , 得x
3或6.
6.如果A1m0 10 9 8 5，那么m 6 .
【提示】由10-m+1=5得m=6.
知识要点
1.排列
排列 组合 排列数公式
组合数公式
组合数的性质
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素，按照一定的次序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
数学好玩。 ——（美-中）陈省身
排列数与组合数的运算
陕西省秦岭中学——王 琪
教学目标
1. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数 的计算公式，理解组合数的两个性质；
2. 掌握排列数、组合数求值与证明技巧。
基础过关
1.若C3n Cn4,则n的值为 A.5 B.6 C.8 D.7
（ D）
【提示】由Cmn Cnnm得n 3 4 7.
4 3 2 1
化简得n 3 4,n 7.
4.解方程：3Ax3 =2Ax21+6Ax2，得x等于
A.5
B.6
C.7
D.8
【提示】3x(x
1)(x
2)
2( x
x 3
1)x
6x(x
1)
,
得x
5.
（A ）
基础过关
5.若C8x
C x 1 8
C93 , 则x
3或6
.
【提示】由C8x
C x1 8
C9x
目标检测 1 2 3 4 5 6
1. Cmn +2Cmn1+Cmn2的值为
CA.
Cn m 1
B.
Cn m2
C.
C n1 m
D.
C n1 m 1
【提示】C
n m
+2Cmn1
+Cmn2
=（C
n m
+C
mn1）+（Cmn1
++C
n2 m
)
Cn m 1
C n1 m 1
Cmn 2.
分析提示
显示答案
（ B ）.
Cmn
Amn Amm
nn 1n 2n m 1
m!
n!m!
n m!
(m
n)
.
知识要点 排列 组合 排列数公式
5.组合数的性质：
组合数公式
组合数的性质
（1）Cmn
Cnm n
;
（2）Cmn1
Cmn
Cm1 n
（m n,且m,n N）.
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例1】计算:(1)A136
…
C3 100
C396
18820.
显示答案
典例剖析 【例1】【例2】 【例3】 方法总结
【例2】（1）若Amn 17 16 15 … 5 4，
则n 17 ，m 14 ；
本题是排列数的逆用. 通过排列数公式的特点推 导出n和m的值.
（2）若n N，则(55 n)(56 n) (68 n)(69 n)
知识要点
2.组合
排列 组合 排列数公式
组合数公式
组合数的性质
从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素组成一组
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
，叫做从
知识要点 排列 组合 排列数公式 组合数公式 组合数的性质
3.排列数公式
从n个不同元素中取出m（m n）个元素的所有排列的个数，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示.
【提示】C73 C74 C85 C96 =C84 C85 C96 =C95 C96 =C160 =C140 =210
分析提示
显示答案
典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 方法总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要注意等价转化思想的运用. 2.如果想不到该怎么作，那么将排列数或者组合数都化作阶乘.
A. Amm
B.
An1 n
C. Ann
D.
Am m1
【提示】展成阶乘看看.
（ C）
分析提示
显示答案
目标检测 1 2 3 4 5 6
5.计算：C5m
C5 m1
Cm4
0.
【提示】C5m
C5 m1
C4m
C5m
C4m
C5m1
C5 m1
C5m1=0.
分析提示 显示答案
目标检测 1 2 3 4 5 6
A
m n
nn 1n 2n m1 ，该公式一般适用于运算.
当n
m时为全排列，A
n n
n(n 1)(n 2) 3 2 1
n!
.
排列数公式还可以表示成：Amn 公式用于化简较多.
n! （规定0！ 1），该
n m!
知识要点 排列 组合 排列数公式
4.组合数公式
组合数公式
组合数的性质
从n个不同元素中取出m（m n）个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn 表示.
71！03！！
10 98 3！
120.
例题分析
显示答案
关键点拨
变式练习
本题考查排列数、 组合数公式的应用，培 养学生的计算能力.
本题第（4）小题利用 组合数的性质解决问题， 要比纯用组合数的方式解 决问题方便得多.
典例剖析 【例1】 【例2】 【例3】 方法总结
【变式训练1】求值：1
3A52
A
4 4
,(2)A66
,(3)A
4 6
,(4)C170.
【解】（1）A136 161514 3360.
（2）A66 6！ 720.
（3）A64 6 5 4 3 360.
（4）（解法一）C170
10 98 7 7！
65
4
120.
（解法二）C170
C130
10 98 3!
120.
（解法三）C170
6.(1)若A5m 2A3m，则m的值为
5；
(2)若Cnn2 28,则n
8.
【提示】（1）m(m 1)(m 2)(m 3)(m 4) 2m(m 1)(m 2)，
化简得m2 7m 10 0, 解得m （2 舍去）或m 5.
（2）Cnn2
28
C2n
28，可得 （n n 1） 21
秦中
万物皆为数！——毕达哥拉斯
高
所有问题都可以转化为数学问题！——笛卡尔
问题才是数学的心脏。！——（美）（P·R·Halmos)哈尔莫 斯 数学就是解题。 ——（匈-美）G·波利亚
1.依葫芦画瓢地模仿；2.利用现成的方法解决新的问题；3.提 出新的思路,创造新的方法,开辟新的研究领域。——华罗庚先 生在谈及数学研究时,提到了三种境界
28,
n2 n 56 0，解得n 8或n （7 舍去）.
分析提示
wk.baidu.com
显示答案
小结
1、排列数的生成，组合数的生成； 2、组合数两个性质公式如何理解与证明； 3、牢记公式，多练习！
高