高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT教学课件
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5.2.1基本初等函数的导数 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
当 < 0时，随着增加， ′ 越来越小， = 2 减少得越来越慢；
当 > 0时，随着增加， ′ 越来越大， = 2 增加得越来越快；
若 = 2 表示路程关于时间的函数，则 ′ =2x可解释为某物体做变
速运动，它在时刻瞬时速度为2x。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
练习：求下列函数的导数．
π
1
x2
(1)y＝x5；(2)y＝ ；(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos2－x.
x
1
－
－
[解] (1)∵y＝x5＝x 5，∴y′＝－5x 6
=
−
=
= , ∴ ′ =
1
(3)∵y＝lg x，∴y′＝xln 10.
=
∆( +∆+)
1
=
,
+∆+
∆
∆→0 ∆
1
= ∆→0
+∆+
所以 ′ =
=
1
2
知识梳理
基本初等函数的导数公式
知识梳理
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
1. 函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数f (x ) 在x= x0处的函数值,
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
用了哪些方法
方程思想、待定系数法.
可能出错的地方： 不化简成基本初等函数
∆
∆
所以 ′ =
∆
=
∆→0 ∆ ∆→0
1=1
若 = 表示路程关于
当 > 0时，随着增加， ′ 越来越大， = 2 增加得越来越快；
若 = 2 表示路程关于时间的函数，则 ′ =2x可解释为某物体做变
速运动，它在时刻瞬时速度为2x。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
练习：求下列函数的导数．
π
1
x2
(1)y＝x5；(2)y＝ ；(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos2－x.
x
1
－
－
[解] (1)∵y＝x5＝x 5，∴y′＝－5x 6
=
−
=
= , ∴ ′ =
1
(3)∵y＝lg x，∴y′＝xln 10.
=
∆( +∆+)
1
=
,
+∆+
∆
∆→0 ∆
1
= ∆→0
+∆+
所以 ′ =
=
1
2
知识梳理
基本初等函数的导数公式
知识梳理
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
1. 函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数f (x ) 在x= x0处的函数值,
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
用了哪些方法
方程思想、待定系数法.
可能出错的地方： 不化简成基本初等函数
∆
∆
所以 ′ =
∆
=
∆→0 ∆ ∆→0
1=1
若 = 表示路程关于
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
基本初等函数的导数ppt课件
5．2 导数的运算 5．2.1 基本初等函数的导数
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求 出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立，看是否还有其他解即可．
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
(2)设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋π3， 则 yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin4x＋23π. (3)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
[一题多变]
1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线 2 2x－y＋1＝0 之间的距离即求点
P
到直线
2x－y＋1＝0
的距离，故所求的距离
d＝
|2e－e＋1| 22＋－12
＝
5e＋1 5.
2．[变结论]求本例(2)中过曲线上一点与直线 y＝－x 平行的 切线方程． 解：设切点为(x1，y1)，因为 y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率为 k＝ln x1＋1， 又 k＝－1，得 x1＝e12，y1＝－e22， 故所求的切线方程为 y＋e22＝－x－e12， 即 e2x＋e2y＋1＝0.
导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ． ②[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． ③gfxx′＝ f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0) ．
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．
与切线有关的综合问题
[典例] (1)设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y ＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1，则 b＝________，c＝ ________.
高二数学-2导数的运算法则公开课优秀课件(经典、值得收藏)
3
u2
2
1
2
x
3 2
即y
1
2
x
3 2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
(2)y＝log2(2x＋1)；
解：设 y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx log2 u2x 1
1 2 u ln 2
2x
2
1 ln
2
即y
2x
2
1ln
2
.
二、求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数.
1
(3) y (sin x2 )3
(1)y＝(x2＋1)(2x－3)；
【解法：二y】′ ＝y＝(x(2x＋2＋1)1′)((22xx－－33))+＝(2xx2＋3－13) x(22＋x－2x3－) ′3 【化为和、差】 y＝′＝[(x(22) x′ 3＋) ′ －(1)(′3](x22x) －′ ＋3)(+2x(x)2′＋－1)(3[()2′x) ′ － (3) ′] ＝＝26xx·2(－2x6－x＋3)+2.(x2＋1)·2 ＝ 6x2－6x＋2
需弄清函数是怎样复合的，
1
解 设y u 3 ,u sin t,t x2
求导时由外到里逐层求导. 注意一定要到底，不要遗漏.
则yx
u
1 3
sin
t
x2
1 3
u
2 3
c
ost
2
x
1 3
sin
t
2 3
2 3
c os x 2
即y
2x
sin x2
cosx；
5
解： y x 3cosx
【化成幂指数形式】
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
导数的四则运算法则(课件)-2024-2025学年高二数学同步课件
u(x)v(x)·…·w′(x)．
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
y′|x＝π ＝－
2
π 2
，切点为
πห้องสมุดไป่ตู้，0
，
∴切线方程为y－0＝－π2x－π2 ，
即2πx＋4y－π2＝0.
则直线l2的方程为
y－( x02＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－
2 3
.
∴直线l2的方程为y＝－13x－292 .
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－31x－292，
x＝16， 得y＝－52.
又直线 l1，l2 与 x 轴的交点分别为(1,0)，－232，0.
4．法则3：uvxx′＝u′xvxv－2xu xv′x
(v(x)≠0)． exx′＝__x_ex_x－_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x－3)2 ＝________； (2)cos x－x2＋2＝________.
答案：(1)8x－12 (2)－sin x－2x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. (3x2)′＝__6_x_____. 2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (x3＋x2)′＝_3_x_2_＋__2_x_.
3．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． (xex)′＝__ex_＋__x_e_x_.
∴所求三角形面积为 S＝12×－52×1＋232＝11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y＝xcos
x在x＝
π 2
处的切线方程．
分析：根据导数的几何意义可知，函数y＝f(x)在x0处的导 数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
基本初等函数的导数公式PPT教学课件
所。
1
2
1、叶片在植物生长过程中具有什么作用？
2、光合作用只在叶片中进行吗？
1、叶绿体主要存在叶片中，植物在生长过程 中需要的有机物几乎都是由叶片光合作用产生 的。
2、光合作用主要在叶片中进行，但存在叶绿体 的其他器官或组织也可以进行。比如植物幼嫩的 茎等处。
想一想： 银边天竺葵叶片边缘的白色部分能否进 行光合作用，为什么？
3.2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式：
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx；
(3)y＝1x＋x22＋x33；
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
练习：求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数．
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
补充练习:求下列函数的导数:
12 (1) y x x2 ; (2) y x ;
1 x2 (3) y tan x;
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
＝－sin 2x.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ axlna (a>0)
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求 导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数 从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求 导法则进行求导．
精彩推荐典例展示
名师解题 两曲线在公共点处的切线问题 例4 已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝1x2＋2ax，g(x) 2
＝3a2ln x＋b，其中 a＞0.设两曲线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在公共点处的切线相同． (1)若 a＝1，求 b 的值； (2)试写出 b 关于 a 的函数关系式．
抓信息 破难点 (1)两曲线在公共点处的切线相同，可知在切点处，两函 数值及切线斜率均相等，故可先求导，参考所给数据列 方程组求b. (2)依照上述思路可得a与b之间的函数关系．
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
第一章 导数及其应用
1．2.2 基本初等函数的导数数公式 ―理―解→ 复合函数的求导法则 ―掌―握→
导数的四则运算法 则 重点难点 重点：利用导数的四则运算法则求解导函数． 难点：运用复合函 数的求导法则进行复合函数的求导．
新知初探思维启动
1．导数运算法则 已知 f(x)，g(x)的导数存在，则： (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±__g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(_x_) _；
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
(1)y＝ln(3x＋1)； (2)y＝cos(2x－π)；
3 (3)y＝ 2x2＋ 3x＋ 1；
(4)y＝(2x＋3)2.
【解】 (1)∵y＝ln u，u＝3x＋1， ∴y′＝(ln u)′·(3x＋1)′ ＝1u·3＝3x3＋1.
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)． 【名师点评】 如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分 是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四 则运算法则求导数．
导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__导__数____的乘积．
想一想 下列函数是由哪两个函数复合而成的？ (1)y＝cos 3x； (2)y＝log2(x2－x)． 提示：(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成． (2)y＝log2(x2－x)由函数y＝log2u，u＝x2－x复合而成．
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的
(3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)__． 特别地： [cf(x)]′＝ cf′ (x)．
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．