高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT教学课件
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导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__导__数____的乘积．
想一想 下列函数是由哪两个函数复合而成的？ (1)y＝cos 3x； (2)y＝log2(x2－x)． 提示：(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成． (2)y＝log2(x2－x)由函数y＝log2u，u＝x2－x复合而成．
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
＝3a2ln x＋b，其中 a＞0.设两曲线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在公共点处的切线相同． (1)若 a＝1，求 b 的值； (2)试写出 b 关于 a 的函数关系式．
抓信息 破难点 (1)两曲线在公共点处的切线相同，可知在切点处，两函 数值及切线斜率均相等，故可先求导，参考所给数据列 方程组求b. (2)依照上述思路可得a与b之间的函数关系．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
(3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)__． 特别地： [cf(x)]′＝ cf′ (x)．
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
(1)y＝ln(3x＋1)； (2)y＝cos(2x－π)；
3 (3)y＝ 2x2＋ 3x＋ 1；
(4)y＝(2x＋3)2.
【解】 (1)∵y＝ln u，u＝3x＋1， ∴y′＝(ln u)′·(3x＋1)′ ＝1u·3＝3x3＋1.
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)． 【名师点评】 如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分 是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四 则运算法则求导数．
方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求 导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数 从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求 导法则进行求导．
精彩推荐典例展示
名师解题 两曲线在公共点处的切线问题 例4 已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝1x2＋2ax，g(x) 2
第一章 导数及其应用
1．2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二)
ห้องสมุดไป่ตู้
学习导航 学习目标
导数公式 ―理―解→ 复合函数的求导法则 ―掌―握→
导数的四则运算法 则 重点难点 重点：利用导数的四则运算法则求解导函数． 难点：运用复合函 数的求导法则进行复合函数的求导．
新知初探思维启动
1．导数运算法则 已知 f(x)，g(x)的导数存在，则： (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±__g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(_x_) _；
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的
想一想 下列函数是由哪两个函数复合而成的？ (1)y＝cos 3x； (2)y＝log2(x2－x)． 提示：(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成． (2)y＝log2(x2－x)由函数y＝log2u，u＝x2－x复合而成．
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
＝3a2ln x＋b，其中 a＞0.设两曲线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在公共点处的切线相同． (1)若 a＝1，求 b 的值； (2)试写出 b 关于 a 的函数关系式．
抓信息 破难点 (1)两曲线在公共点处的切线相同，可知在切点处，两函 数值及切线斜率均相等，故可先求导，参考所给数据列 方程组求b. (2)依照上述思路可得a与b之间的函数关系．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
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题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
(3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)__． 特别地： [cf(x)]′＝ cf′ (x)．
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
(1)y＝ln(3x＋1)； (2)y＝cos(2x－π)；
3 (3)y＝ 2x2＋ 3x＋ 1；
(4)y＝(2x＋3)2.
【解】 (1)∵y＝ln u，u＝3x＋1， ∴y′＝(ln u)′·(3x＋1)′ ＝1u·3＝3x3＋1.
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)． 【名师点评】 如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分 是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四 则运算法则求导数．
方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求 导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数 从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求 导法则进行求导．
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名师解题 两曲线在公共点处的切线问题 例4 已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝1x2＋2ax，g(x) 2
第一章 导数及其应用
1．2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二)
ห้องสมุดไป่ตู้
学习导航 学习目标
导数公式 ―理―解→ 复合函数的求导法则 ―掌―握→
导数的四则运算法 则 重点难点 重点：利用导数的四则运算法则求解导函数． 难点：运用复合函 数的求导法则进行复合函数的求导．
新知初探思维启动
1．导数运算法则 已知 f(x)，g(x)的导数存在，则： (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±__g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(_x_) _；
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的