《离散数学》教学大纲

离散数学

一、说明

（一）课程性质

离散数学是计算机专业重要的基础理论课程，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。离散数学与计算机科学中的许多后继课联系紧密，能够提供为专业课服务的基本理论。

（二）教学目的

对现实世界中被研究的对象进行抽象，建立必要的基本概念，运用数学工具和方法研究揭示对象发展变换的内在规律，为实验设计和工程设计实现提供方法和技术，并展开实验设计和实现工作是计算机科学的基本工作流程。以离散数学为代表的构造性数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具，本课程的目的在于使计算机专业的学生掌握必要的离散形式的数学概念和结构，培养学生的抽象概括能力和严谨的思维能力，为后继课程的学习和创新研究打下良好的基础。

（三）教学内容

本课程包括计算机专业所需要的离散数学基础知识，主要内容由数理逻辑、集合论、代数系统与图论四部分组成。数理逻辑是研究推理的科学，包括了命题逻辑和谓词逻辑，是计算机科学重要的逻辑基础；集合论包含了二元关系、函数、无限集合等；代数是对字母集合和字母组成的结构的计算，抽象代数是关于计算规则的学说，本课程主要讲述了群、布尔代数等；图论起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，现实中的许多问题可以用图来表示。上述概念在计算机科学中有着广泛的应用。它们为数据结构和数据表示理论奠定了数学基础，同时为许多问题从算法的能行性角度提供了抽象和描述的重要方法和数学基础。

（四）教学时数

教学时数为周4学时，共计72学时。

（五）教学方式

采用课堂讲授与辅导答疑相结合的教学方式。

二、本文

第一篇数理逻辑

第一章命题逻辑

教学要点：

逻辑学是一门研究人类思维形式和思维规律的科学，思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式就是推理。研究推理有很多种方法，数理逻辑借助于一套符号体系来研究推理的规律，引入了一种目标语言和一些公式符号，形成了数理逻辑的形式符号体系。本章首先概括介绍形式逻辑，然后引入数理逻辑的相关符号，介绍联结词的运算功能、命题公式的范式、等价式与蕴含式，最后详细介绍命题逻辑的推理规则和推理理论。

教学时数：约12学时

教学内容：

第一节命题及其表示法（1学时）

命题是数理逻辑中的核心概念，命题的定义和命题的符号化方法是本节的主要内容。命题又分为原子命题和复合命题，原子命题是数理逻辑最基本的表示单位，原子命题通过联结词构造出复合命题。

第二节联结词（2学时）

原子命题表达的思想是有限的，这就需要借助于联结词形成更复杂的表达方式。数理逻辑中主要的联结词有五种，分别对应自然语言中的联结词“非”，“与”，“或”，“如果，则”，“当切仅当”，这五种联结词的形式符号及真值表是本节的主要内容。

第三节命题公式与翻译（1学时）

本节给出由命题变元构造命题公式的严格定义，应较好的掌握其概念和由自然语言翻译成数理逻辑语言的一般方法。

第四节真值表与等价公式（2学时）

真值表是命题公式真值情况的列表示，其特点是直观，但真值表的大小是命题变元个数的几何级数增加的，所以真值表的构造只适合于命题变元较少的命题公式；两个命题公式等价是指在相同的变元指派下两个公式的真值完全一样。

第五节重言式与蕴含式（2学时）

重言式也叫永真式，是一种特殊的命题公式，在所有的变元指派下，公式的真值都为真；当一个条件式为重言式时称之为蕴含式。

第六节对偶与范式（2学时）

命题定理常常具有成对出现的特点，这就是对偶式的概念。从真值表和对偶律可以简化或推证一些命题公式。范式则是对命题公式的一种规范表示形式，分为合取范式和析去范式，又进一步分为主合取范式和主析去范式，任一命题公式的主合取范式及主析去范式都是唯一的，应掌握主合取范式和主析去范式的推演步骤，以及主合取范式和主析去范式在实际问题中的一些应用。

第七节推理理论（2学时）

在人们的思维活动中经常要考虑从一些前提能够推导出某个结论。推理的基本方法有（1）真值表法；（2）直接证法，其推理规则包括P规则和T规则；（3）间接证法，又细分为反证法和CP规则。推理理论是逻辑思维的高级阶段，命题逻辑中的推理理论是人类思维活动的基本方法和规则的符号化。本节知识是前面知识的应用和总结。在此基础上才能进入下一章谓词逻辑的学习，因此有关命题逻辑的概念和推理理论应较好地掌握。

考核要求：

熟练掌握命题的概念、命题和联结词的符号表示法和命题公式的翻译与真值表；熟记常用的等价式与蕴含式；熟练掌握命题公式的推理规则并能完成难度与例子和练习相当的逻辑推理。

第二章谓词逻辑

教学要点：

在命题逻辑中主要研究命题和命题演算，基本组成单位是原子命题，并把它们看作是不可再分的。这使得命题逻辑的推理有很大的局限性，有些简单的常识性的论断由命题逻辑无法完成推理。命题逻辑推理的局限性引起了人们对命题的内部关系进行深入研究，从而将命题逻辑拓展到谓词逻辑。本章介绍谓词逻辑的有关概念、等价式和蕴含式以及推理理论。谓词逻辑能完成一些在命题逻辑中无法证明的推理，其推理功能的增强在于对命题作了更进一步的分解，而且引入量词的概念扩大了符号逻辑的表达范围。对谓词逻辑的学习应注意与命题逻辑的联系，这样才能取得较好的学习效果。教学时数：约8学时。

教学内容：

第一节谓词的概念与表示（1学时）

命题是反映判断的句子，这类句子是由主语和谓语两部分组成，在谓词逻辑中的谓词是刻画客体的性质或关系。

第二节命题函数与量词（1学时）

由一个谓词、一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数，客