生命周期表

注： 1. 因为 为常数，精算教材中将直属分布称为“常力” 分布。 2. 多用于非生命物体(如机器、电子器件等)的生存模型。 3. 不适用于长区间段的人类生存模型，可用于短区间段。
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§1.3 参数生存模型举例
1.3.3 Gompertz分布（1825年）： 定义危险率函数： x ( x) B c , x 0, B 0, c 1. (1.3.12) 生存函数: x ( y)dy exp B 1 c x . (1.3.13) S ( x) exp
则 (1.2.12)
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§1.2 T的分布函数
• T 的数字特征：
E (T ) t f (t )dt
0 2


0
S (t )dt;
2
Var(T ) ET ( ET ) .
非条件期望
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§1.2 T的分布函数
• 选择生存模型 率函数 ： 的期望
S (t , x) Pr(T t ) (1.1.2)
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1.1.2 精算生存模型
• 情形 3：(选择模型） 加入更多的对生存影响的伴随变量， 如：性别，吸烟与否等。 例：年龄为x岁的男性(m)吸烟者(s)的 生存模型为S(ｔ,x,m,s).
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1.1.2 精算生存模型
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(1.1.1)
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• 性质
(1)报废时间恒大于 ，即T 0; 0 (2) S (0) 1; (3) S (t )是t的非增函数，且lim S (t ) 0.
t
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1.1.2 精算生存模型
• 用途：人寿保险和养老金计划 • 对象：精算师所考虑的研究群体的精确 年龄（自然年龄）的生存概率
• 人口统计
用统计方法研究人口问题.
• 修匀法
对估计结果的偏差进行修正(检验).
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第一篇 生存模型及其应用
• 重点： 生存模型的统计估计和被估模型 的分析。 • 内容：共六章。预计30学时讲完。
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第一章 生存模型及其性质
§1.1 生存模型 1.1.1 基本概念 • 生存模型是一类特殊随机变量的概 率分布。
• 总量模型： 新生婴儿的生存模型，即x=0时， (1.1.2)式可简写成S(ｔ),此时也可用变量 X代替T，将生存模型写作：
S ( x) Pr(X x)
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1.1.3生存模型的其他形式
常见的生存模型：精算表格生存模型 （生命表或死亡表）.
含有伴随变量的生存模型：
S (t , x1 , x 2 ,, xm )
Pr(T t )
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1.1.2 精算生存模型
• 情形1： x岁（通常取整）投保群体的生存模型， 视签发保单的时刻 t 0 ，考虑的生存 概率为
S (t ) Pr(T t )
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1.1.2 精算生存模型
• 情形2： 众所周知，不同年龄的投保群体所对应 的生存概率是不同的，为了刻画 Pr(T t ) 对x(伴随变量)的依赖关系，精算师通常将 其记为
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例： 假定一台空调机在室温很高的实验室
中运转。空调机开始工作时相当于时间 t 0 ，一般说来，我们感兴趣的是未 来任何时间 t 空调机仍然运转着的概率。 我们用ｓ（ｔ）记这样一个概率。 用随机变量T(失效时间随机变量)表示 该设备从 t 0 到它失效的时间，则
S (t ) Pr(T t )
作业：p.27 1——5题。
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0

n 1

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§1.3 参数生存模型举例
1.3.6 其它分布： 非寿险精算中，对于索赔金额等随机变量， 可以用其他分布拟合，例如： 2 分布， 分布，正态分布，对数正态分布， Pareto分布等等。 但这些分布不适合本书所考虑的随机变量。
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§1.3 参数生存模型举例
1.3.5 Weibull分布： 危险率函数： ( x) k xn , x 0, k 0, n 0. (1.3.16) 生存函数: x ( y)dy exp k x n1 . (1.3.17) S ( x) exp
e t , t 0; f (t ; ) 0, 其他
生存函数：
S (t ) 1 F (t ) 1 (1 e ) e , t 0, 0.
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t
t
§1.3 参数生存模型举例
危险率函数：
f (t ) e t (t ) t . S (t ) e
f (t ) (t ) ; S (t )
S (t ) [ln S (t )] S (t )
(1.2.7)
(1.2.8)
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§1.2 T的分布函数
• (1.2.8)式两边积分得累积危险函数
t
：
(t ) ( y)dy ln S (t ); (1.2.11) 0

0

ln c

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§1.3 参数生存模型举例
• 注： 1. 概率密度函数 f ( x) ( x) S ( x) ，表达 式复杂。 2. 分布的期望不易求得。
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§1.3 参数生存模型举例
1.3.4 Makeham分布（1860年）：对 Gompertz分布进行了修正 定义危险率函数： ( x) A B c x , x 0, B 0, c 1, A B. (1.3.14) 生存函数: x ( y)dy exp B 1 c x Ax. S ( x) exp ln c (1.3.15) 0
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§1.2 T的分布函数
• 的性质：
S (t ) f (t ); S (t )
t
(1.2.3) (1.2.5)
f ( y)dy;
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§1.2 T的分布函数
• 危险率（死力）函数：在生存到时间ｔ的条件下，在 时间ｔ处的瞬间死亡密度， 记为 ；
死力：
t
生命表的构造理论
2008-2009第一学期 统计系 尹剑
本课程要求
• 上课要求：准时出席，注意课堂秩序， 独立完成作业； • 逢单周周一上课前交作业，过时不收； • 期末成绩=（出勤与作业成绩）*30%+ （期末试卷成绩）*70%。
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本课程讲授内容
• 生存模型及其应用
主要用数理统计方法研究寿命分布(估计).
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• 本书讨论的主要问题：用各种方法估计 Ｓ（ｔ）； • 研究过程：
1.1.3生存模型的其他形式
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§1.2 T的分布函数
• T——失效时间（或死亡时间） • ——生存分布函数（Survival Distribution Function）：
且
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§1.3 参数生存模型举例
• 注： 1. 将生存模型视为均匀分布是不合 适的。 2. 是第一个被提出的表示生存模型 的连续性概率分布。(Abraham& de Moivre ,1724年)
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§1.3 参数生存模型举例
1.3.2 指数分布：普遍使用的单参数分布
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•
一般说来，精算生存模型并非可归于参数 型的。根据经验数据描绘的S(x)的形状太复杂 以至不能用简单的一个参数的分布 (如均匀分 布或指数分布)来适当的描述。较好的描述是 用双参数的Gompertz分布或Weibull分布，而 用三参数的Makeham分布来描述甚至是更好。 • 尽管这些分布作为参数生存模型有某些应 用，然而精算界更倾向于用表格模型，而不是 参数模型。

和危险
e[ x ] E (T , x)
0
S (t , x)dt;
[ x ]t
d d S (t , x) S (t , x) ln S (t , x). dt dt
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§1.3 参数生存模型举例
1.3.1 均匀分布：
1 , t [a, b]; f (t ; a, b) b a 0, 其他 性质：见p.10 (1.3.2-1.3.6)式。