小波分析要点整理

小波分析的要点：
1.目的
小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。

现在广泛的应用于很多领域。

在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。

如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。

2.方法
小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。

小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。

小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。

它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。

小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。

小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。

用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。

小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。

小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et al., 2004）。

一个小波被称为母小波（mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。

子小波可以通过尺度（s，频率的反函数）函数和时间（n）位置或平移来描述。

利用一系列子小波，一个信号可以在不同的时间尺度上进行计算并显示出详细的特征尺度。

拉伸更大的小波窗口，使其宽度更大便可以分析时间系列中波动较大的部分并捕捉大尺度（低频）事件的特征。

相反，压缩较小的窗口将包含小尺度（高频）的事件信息。

当信号被子小波相乘，被s与n唯一的表达，我们可以计算出信号在时间频率域一个具体位置的系数。

如果信号在时间n上的谱成分可以与小波s比较，那么计算的小波系数具有相对较大的值。

在其它n与s的组合（如其它的子小波）上都进行这样的计算，那么将会产生一系列系数（小波变化）来表达信号在时间频率域内的分解。

通过这样的变化便可得到时间系列的波动模式（周期变化模式）以及这些模式随时间的变化（Furon et al., 2008; Jevrejeva et al., 2003）。

小波变化可以分为连续小波变化（the Continuous Wavelet Transform, CWT）与离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）。

离散小波变化DWT是数据的紧凑表示，长用于降噪与数据压缩。

连续小波变化CWT更适合于信号特征的提取（Grinsted et al., 2004）。

CWT
作为时间系列间歇式波动特征提取的工具被广泛的应用的地球物理学研究中（Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。

（1）连续小波变换CWT
可以将具有等时间步长δt 的离散时间系列x n (n=1,…, N)的连续小波变换定义为小波函数ψ0尺度化以及转换下的x n 的卷积：
∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10'*
'')()(N n n X
n s t n n x s t s W δψδ （1） 式中*表示共轭复数，N 是时间系列的总数据个数，(δt/s )1/2是一个用于小波函数标准化的因子从而使得小波函数在每个小波尺度s 上具有单位能量。

通过转换小波尺度s 并沿着时间指数n 进行局部化，最终可得到一幅展示时间系列在某一尺度上波动特征及其随时间变化的图谱，即小波功率谱（Torrence and Compo, 1998; Torrence and Webster, 1999; Grinsted et al., 2004）。

对一个时间系列进行小波转换时，母小波的选择显得尤为重要，Farge （1992）曾经讨论过母小波选择时需要考虑的因素，例如正交与非正交、负值与实值、母小波的宽度与图形等等。

正交小波函数一般用于离散小波变换，非正交小波函数即可用于离散小波变换也可用于连续小波变换（Torrence and Compo, 1998）。

通常在对时间系列进行分析时，希望能够得到平滑连续的小波振幅，因此非正交小波函数较为合适。

此外，要得到时间系列振幅和相位两方面的信息，就要选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以对相位进行很好的表达（Torrence and Compo, 1998）。

Morlet 小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian 调节的指数复值小波。

2/4/1020)(t t i e e t --=ωπψ （2）
式中t 为时间，ω0是无量纲频率。

当ω0=6，小波尺度s 与傅里叶周期（period ）基本相等（λ, λ = 1.03s ）（Torrence and Webster, 1999），所以尺度项与周期项可以相互替代。

由此可见，Morlet 小波在时间与频率的局部化之间有着很好的平衡（Grinsted et al., 2004）。

此外，Morlet 小波中还包含着更多的振动信息，小波功率可以将正、负峰值包含在一个宽峰之中（Torrence and Compo, 1998）。

（2）小波功率谱
为使计算更为快捷，公式5-1的卷积在傅里叶域内执行（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004）。

2
)(s W X n 定义为小波功率谱(wavelet power spectrum)，该功率谱表达了时间系列在给定小波尺度和时间域内的波动量级（Lafrenière and Sharp, 2003）。

由于我们
采用的Morlet 母小波为复值小波，因此)(s W X x 也为复数，其复值部分可以解释为局部相位（Torrence and Compo, 1998）。

将小波功率谱在某一周期上进行时间平均，我们可以得到小
波全谱（global wavelet spectrum ），
∑-==12
2)(1)(N o n n s W N s W （3）
小波全谱能够表明时间系列真实功率谱的无偏、一致估计（Torrence and Compo, 1998）。

由于小波全谱可以显示出背景谱量度，所以局部小波谱的峰值可以得到验证。

因为该特性，通过小波全谱图中可以清晰的辨别时间系列的周期波动特征及其强度。

（3）小波功率谱边缘效应及影响锥
由于小波变换假设数据是循环的，所以当我们处理有限长度的时间系列时，在小波功率谱中会出现边缘效应，即在功率谱的起始及末端部分出现误差。

由于该原因，需要我们在时间系列的末尾补零从而使得分析的时间系列的总长度N 大于2m 而小于2m+1。

但是，当我们采取这样的措施时会在小波功率图谱边缘引起端点不连续以及谱振幅下降的现象。

在这种情况下，需要明确一个概念，即影响锥（Cone of Influence, COI ），影响锥COI 表示小波谱区域以及相应的边缘效应。

在COI 的边缘小波谱值会下降e -2（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。

（4）小波功率谱的显著性检验
小波功率谱的统计显著性可以对照一个原假设进行评价，该原假设为假设信号由一个给定背景功率谱（P k ）的稳定过程产生，通常背景功率谱为白噪声或红噪声（Torrence and Compo, 1998; Lafrenière and Sharp, 2003）。

由于许多地球物理时间系列具有红噪声特征（即方差随着尺度的增加或频率的下降而增加），所以常采用红噪声作为背景谱对小波谱进行检验。

红噪声过程可以很好的由一阶自回归过程（AR1）来模拟（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004）。

一个由lag-1自相关α处理的AR1的傅里叶功率谱可以定义为：
22211k i k e P παα---=
（4）
式中k 为傅里叶频率指数。

通常在研究中，每个尺度上用COI 以外的值以5%的显著水平进行估计。

（5）尺度选择
在进行小波变换时，还需要选择一系列尺度s 。

本研究使用非正交小波变换，我们可以使用任意一组的尺度来构建较完整的图像。

一系列尺度可以用2的分数幂来表达：
j j j s s δ20=，j = 0, 1,…, J （5）
)/(log 021s t N j J δδ-= （6）
式中，s0为可分辨的最小尺度，J为确定的最大尺度。

s0应该被选择恰当以便使相等的傅里叶周期近似于2δt。

一个足够小的δj的选择依赖于小波方程谱空间的宽度。

3.具体步骤
（1）数据预处理
数据时间系列必须是连续等时间步长。

进行标准化处理
（2）母小波选择
可选择Mexican hat 小波，或Morlet小波。

通常在对时间系列进行分析时，希望能够得到平滑连续的小波振幅，因此非正交小波函数较为合适。

此外，要得到时间系列振幅和相位两方面的信息，就要选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以对相位进行很好的表达（Torrence and Compo, 1998）。

Morlet小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian调节的指数复值小波。

（3）尺度选择
如时间序列为47年的年降水数据，时间系列长度N=47，为了减小功率谱的边缘效应，在进行交互小波变换时选择26个数据。

时间步长dt=1，即一年一个数据。

δj可选择0.125。

（4）显著性检验
由于许多地球物理时间系列具有红噪声特征（即方差随着尺度的增加或频率的下降而增加），所以常采用红噪声作为背景谱对小波谱进行检验（在程序中lag1=0.72）。

在计算中，每个尺度上用COI以外的值以5%的显著水平进行估计。

参考文献
1.Farge M. Wavelet transforms and their applications to turbulence. Annual Review of Fluid
Mechanics. 1992. 24: 395-457.
2.Furon A, Wagner Riddle C, Smith C R, et al. Wavelet analysis of wintertime and spring thaw
CO2 and N2O fluxes from agricultural fields. Agricultural and Forest Meteorology. 2008. 148, 1305-1317.
3.Grinsted A, Jevrejeva S, Moore J. Application of the cross wavelet transform and wavelet
coherence to geophysical time series. Nonlinear Processes in Geophysics. 2004. 11: 561-566.
4.Jevrejeva S, Moore J C, Grinsted A. Influence of the Arctic oscillation and El Nino -southern
oscillation (ENSO) on ice conditions in the Baltic Sea: the wavelet approach. Journal of Geophysical Research. 2003. 108 (D21), 4677.
frenière M, Sharp M. Wavelet analysis of inter-annual variability in the runoff regimes of
glacial and nival stream catchments, Bow Lake, Alberta. Hydrological Process. 2003. 17, 1093-1118.
6.Stoy P C, Katual G G, Siqueira M B S, et al. Variablity in net ecosystem exchange from
hourly to inter-annual time scale at adjacent pine and hardwood forests: a wavelet analysis.
Tree Physiology. 2005. 25: 887-902.
7.Torrence C, Compo G P. A practical guide to wavelet analysis. Bulletin of the American
Meteorological Society. 1998. 79(1): 61-78.
8.Torrence C, Webster P J. Interdecadal Changes in the ENSO-Monsoon system. 1999. Journal
of climate. 1999. 12: 2679-2690.。