高中数学_复数的概念与运算教学设计学情分析教材分析课后反思

复数的概念与运算教学设计

[考纲要求]

1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.

2.掌握复数的代数表示法及其几何意义.

3.能熟练进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义 一：知识点回顾

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部． 若_____，则a ＋b i 为实数，

若_____，则a ＋b i 为虚数，

若____________，则a ＋b i 为纯虚数．

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________ (a ，b ，c ，d ∈R)．

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔_______________ (a ，b ，c ，d ∈R)．

(4)复数的模：向量OZ →

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝_______

2．复数的几何意义

复数z ＝a ＋b i 对应复平面内的点_________也对应平面向量____________．

3．复数代数形式的四则运算

(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.

z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝_______________.

z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝____________________. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2

i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图4­4­1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝_________，Z 1Z 2→

＝_________.

二：典型考题

考向一：复数的有关概念

例1. (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( )

A:1 B:-1 C 45+35i D.45－35

i (2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.

[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i 2＋i

的虚部为( ) A ．－15 B ．－25 C.15 D.25

(2)设z ＝11＋i

＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32

D ．2 规律方法:1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．

2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．

考向2.复数代数形式的四则运算

例2 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )

A ．－2－I

B ．－2＋i

C ．2－I

D ．2＋i

(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b

的值为________． [变式训练2] (1)已知(1－i )2z

＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋I B ．1－I C ．－1＋I D ．－1－i

(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫21－i 2 018＝________. [规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．

2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i

＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋

3＝－i(n ∈N)．

考向3：复数的几何意义

例3： (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－3,1)

B ．(－1,3)

C ．(1，＋∞):

D ．(－∞，－3)

(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )

A ．－5

B ．5

C ．－4＋I

D ．－4－i

[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪

⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →

相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →

.

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

三：查缺补漏

1．如果复数z ＝2－1＋i

，则( ) A ．z 的共轭复数为1＋I B. z 的实部为1 C ．|z |＝2 D. z 的虚部为－1

2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

四：学情自测

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )

(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )

2.(教材改编)如图4­4­2，在复平面内，点A 表示复数z ，

则图中表示z 的共轭复数的点是( )