例3．当_____x 时，式子
435--x x 有意义． 例4..若3)3(-⋅=
-m m m m ，则m 的取值范围是 3、平方根与算术平方根:
一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根。记作a ±
。读作“正负
根号a ”
)0(≥a a 表示a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，即)0(0≥≥a a .
例5. 2的平方根是（ ）
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．2±
例6. 9的算术平方根是
A. ±3
B. 3
C. －3
D. 3
例7.若032=-+-b a ，则2a b -= ．
例8.()=-24_________。
注：因为二次根式)0(≥a a 表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数)0(≥a 的算术平方根是非负数，即)0(0≥≥a a ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。如下说法都是正确的：
①a 的平方根是±a ；
②a 是a 的平方根；
③-a 是a 的平方根；
④±a 是a 的平方根；其中a 是非负数。
⑤0的平方根是0.
4、二次根式的性质：
①()2a
())0(2≥=a a a 读作：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
例9.()=2
3_________ ②2a
⎩
⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 读作：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 例10.
()=-22____________
例11.()=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-225__________ 注：2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；
5、二次根式的计算与化简
二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式的加减运算：a m +b m =（a+b ）m ，（m ≥0）；
二次根式的乘法运算：a .b =ab ，( a ≥0, b ≥0)；
二次根式的除法运算：a ÷b =b
ab b a
= ，( a ≥0, b ＞0)； 二次根式的乘方运算：2)(a =a ，( a ≥0)；
二次根式的开方运算：2a =⎩⎨⎧-≥0
0,a ＜a a a ，
例12.下列计算正确的是（ ）
A ．632=⨯
B ．532=+
C ．248=
D ．224=
-
例13.计算：0(π1)123+-+-．
①最简二次根式：
被开方数中不含开方开的尽的因数或因式、不含分母、分母中不含根式，这样的式子叫作最简二次根式。 例14.把二次根式()0>y x
y x 化成最简二次根式为____________。 例15.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A x
B x y
C
D .....22511205+
②同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
例16.在下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）
A B C D (8101227)
例17.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A B C a b ab D a a (318)
31311
22
和和和和+-
三、中考直击
1.若代数式1
-x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. 1≠x B. 0≥x C. 0>x D. 0≥x 且1≠x
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. 9
B.37
C. 20
D.3
1． 3.计算14893
-的结果是（ ） A.3- B.3 C.1133-
D.1133-
4.化简：()
=----3624323_________． 5.计算：28-=
6.若实数a 、b 满足04|2|=-++b a ，则b
a 2
= ．
7.计算：0211-28）（）（++
8.先化简，再求值：244412222+-÷⎪⎭⎫
⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中a =2-1.
9.先化简，再求值：
23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x ＝3－2．
四、小结
1、二次根式的概念：形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
2、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当0≥a 时，a 有意义
3、平方根:一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 叫做a 的平方根。记作a ±。
读作“正负根号a ”
