《直线的点斜式方程》教案-公开课-优质课(人教A版必修二精品)

《直线的点斜式方程》教案

教学目标

1．使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程，并能根据条件，熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程.

2．会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题，并能根据方程画出方程所表示的直线.

3．培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力.

4．理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围.

教学重点与难点

重点：直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程.

难点：直线方程点斜式推导过程的理解.

教学过程

一、创设情景

师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么，我们能否用给定的条件(点P 0的坐标和斜率k ，或P 1，P 2的坐标)，将直线上的所有点的坐标(,x y )满足的关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程.

二、探求新知

师：若直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，求直线l 的方程.

生：(给学生以适当的引导)设点P (,x y )是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，

由斜率公式得：

00

y y k x x -=-，可化为： 00()y y k x x -=- ①

〖探究〗：思考下面的问题：(不必严格地证明，只要求验证)

(1)、过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程①吗？

(2)、坐标满足方程①的点都在过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线l 上吗？

生：经过探究和验证，上述的两条都成立.所以方程①就是过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线l 的方程.

因此得到：

(一)、直线的点斜式方程：

其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率.

方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.

师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？(让学生思考，互相讨论) 生1：不能，因为不是所有的直线都有斜率.

生2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示.

师：very good ！

那么，x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程又是什么？

生：因为x 轴所在直线的斜率为k =0，且过点(0，0)，

所以x 轴所在直线的方程是y =0.(即：x 轴所在直线上的每一点的纵坐标都等于0.) 而y 轴所在直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。但y 轴所在直线上的每一点的横坐标都等于0.

所以y 轴所在直线的方程为：x =0.

师：那些与x 轴或y 轴平行的直线方程又如何表示呢？

生：(猜想)与x 轴平行的直线的方程为：0y y =；

与y 轴平行的直线的方程为：0x x =.

师：当直线l 的倾斜角为0°时，

0tan 00=，即k =0，直线l 与x 轴平行或重合，直

线l 方程为：00y y -=，或0y y =.

当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。这时直线方程为：00x x -=，或0x x =.

经过分析，同学们的猜想是正确的.

师：已知直线的斜率为k ，与y 轴的交点是P (0，b )，求直线l 的方程.

生：因为直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是P (0，b )，代入直线方程的点斜式， 得直线l 的方程为： )0(-=-x k b y 即：

b kx y +=

(二)、直线斜截式方程： ②

我们把直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l

在轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式.

师：截距是距离吗？

生：不是，b 为直线l 在y 轴上截距，截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，是一个实数，可正可负可为零；距离是线段的长度，是非负实数.

师：观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？

生：左端y 的系数恒为1，右端的系数k 和常数b 均有几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.

师：当直线倾斜角为90°时，它的方程能不能用斜截式来表示？

生：不能，因为直线没有斜率.

师：方程b kx y +=与我们学过的一次函数的表达式之间有什么关系呢？

生：当0≠k 时，直线斜截式方程b kx y +=就是一次函数的表示形式.

三、例题分析

例1、直线l 经过点P 0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .

师：分析并根据已知条件，先求得直线方程的斜率.代入直线的点斜式方程即可求得. 生：(思考后自主完成解题过程)

解：直线l 经过点P 0(-2，3)，斜率是：145tan =︒=k .

代入点斜式方程得325y x y x -=+=+，即.

这就是所求的直线方程，如右图中所示.(画图时，

只需要再找到满足方程的另一个点即可.)

例2、已知直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，，

试讨论：(1)12//l l 的条件是什么？(2)12l l ⊥的条件是什么？

师：让学生回忆前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论.

生：(思考后互相交流意见、想法。)总结得到：

对于直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，， 121212//,l l k k b b ⇔=≠且；

12121l l k k ⊥⇔=-

四、课堂精练

课本P 99-100练习1，2，3。

说明：通过加强练习来熟悉直线方程的点斜式与斜截式.

五、课堂小结

师生：通过本节内容的学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.求直线方程需要两个独立的条件(斜率及一点)，根据不同