级珠江学院期末考试复变函数试卷
复变期末考试试卷
复变期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数的模是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 复数z=a+bi（a,b∈R）是纯虚数的条件是（）。
A. a=0, b≠0B. a≠0, b=0C. a=0, b=0D. a≠0, b≠03. 复数z=a+bi（a,b∈R）的辐角的主值是（）。
A. arctan(b/a)B. arctan(a/b)C. arctan(-a/b)D. arctan(-a/b)4. 若复数z1和z2满足z1z2=1，则z1和z2互为（）。
A. 共轭复数B. 倒数C. 相反数D. 相等复数5. 复数z=a+bi（a,b∈R）的实部是（）。
A. aB. bC. a+biD. a-bi6. 复数z=a+bi（a,b∈R）的虚部是（）。
A. aB. bC. a+biD. a-bi7. 复数z=a+bi（a,b∈R）的模是（）。
A. √(a²+b²)B. √(a²-b²)C. √(a²+b²)iD. √(a²-b²)i8. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1+z2=（）。
A. (a+c)+(b+d)iB. (a-c)+(b+d)iC. (a+c)-(b+d)iD. (a-c)-(b+d)i9. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1-z2=（）。
A. (a+c)+(b-d)iB. (a-c)+(b+d)iC. (a-c)+(b-d)iD. (a+c)-(b+d)i10. 若复数z1=a+bi和z2=c+di，则z1z2=（）。
A. (ac-bd)+(ad+bc)iB. (ac+bd)+(ad-bc)iC. (ac-bd)-(ad+bc)iD. (ac+bd)-(ad-bc)i二、填空题（每题4分，共20分）11. 复数z=3+4i的共轭复数是______。
【复变函数期末考卷】复变函数试题
3.复变函数 的周期为.
4.曲线积分 .
5.已知复变函数 ，若 ，则 关于变量 的
表达式为.
6.复变函数 的周期为.
7. 若 可导，则 .
8.计算乘幂 .
9.曲线积分 .
10.已知 ，若 ，则复变函数 关于变
量 的表达式为.
三．计算题
1．若复数 满足 ，试求 的取值范围．
2．.对于映射 ，求出圆周 的像
3．设 ，求 .
4．已知 ，试确定解析函数 .
5、计算积分 ．
6.利用留数计算积分1.
2． 3．
7．设 ，在复数集 中解方程 。
8.解方程 .
四．解下列方程
1.利用Fourier变换，解积分方程
2.应用拉氏变换解满足初始条件 的微分方程
3.求如下微分方程组 满足初始条件： 的解。
14．设 为负向， 正向，则 ( )
（C） （B） （C） （D）
15.若 ，则双边幂级数 的收敛域为( )
（A） （B）
（C） （D）
16.积分 ( )
（A） （B） （C） （D）
17．积分 ( )
（A） （B） （C） （D）
18．函数 在 内的奇点个数为( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（B）若 是函数 的奇点，则 在点 不可导
（C）若 在区域 内满ຫໍສະໝຸດ 柯西-黎曼方程，则 在 内解析（D）若 在区域 内解析，则 在 内也解析
5．设 为负向， 正向，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
6．下列级数中，绝对收敛的级数为( )
（B） （B）
(C) （D）
7．若幂级数 在 处收敛，那么该级数在 处的敛散性为( )
复变期末考试试卷
复变期末考试试卷复变函数是数学中的一个重要分支，它在工程学、物理学以及许多其他科学领域中有着广泛的应用。
本期末考试试卷旨在测试学生对复变函数理论的理解和应用能力。
以下是复变期末考试的题目：一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 如果 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，那么 \( f(2 - i) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 以下哪个是解析函数的必要条件？A. 可微B. 可积C. 连续D. 有界...二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果 \( z = x + yi \)，那么 \( \overline{z} \) 是 ______ 。
2. 复数的乘法满足 \( (z_1 z_2) \overline{z_1} = \) ______ 。
3. Cauchy-Riemann 方程是 ______ 的必要条件。
...三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。
2. 描述复平面上的共轭曲线，并给出一个具体的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列积分：\[\int_{|z|=2} \frac{1}{z-1} dz\]2. 给定 \( f(z) = \frac{z^2 - 1}{z^2 + 4z + 3} \)，求 \( f(z) \) 在 \( z = -1 \) 处的留数。
五、证明题（每题10分，共10分）证明：如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个邻域内解析，并且\( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 都成立，那么 \( f(z) \) 在\( z_0 \) 处的留数存在。
六、应用题（每题10分，共10分）考虑一个简单的 RLC 电路，其阻抗 \( Z(z) \) 可以表示为复数函数。
复变函数期末考试及答案(珍藏版)
一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
完整版《复变函数》期末试卷及答案A卷
学号和姓名务必正确清楚填写。
因填写错误或不清楚造成不良结果的，均由自己负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。
系别专业班级姓名XXXX学院 2016— 2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30 20 30 30复查人得分答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一吻合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。
）勿1. Re(i z) ( )超过 A. Re(i z) B. Im(i z)此 C. Im z D. Im z密2. 函数f ( z)2( )封z 在复平面上线 A. 各处不连续 B.各处连续，各处不可以导， C. 各处连续，仅在点z 0 处可导 D. 各处连续，仅在点z 0 处剖析否1，则a b的值则 3. 设复数a与b有且仅有一个模为( )视1 abA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D.为无量大无4. 设z x iy， f ( z) y i x ，则 f ( z) ( )效 A. 1 i B. i C. 1 D. 0。
C z 1sin z2 i ，则整数n 等于设是正向圆周，5. C z n dz ( )A. 1B. 0C. 1D. 26. z 0 是f (z)e z 1的( )z2A. 1 阶极点B. 2 阶极点C. 可去奇点D. 本性奇点7. 幂级数( 1)n z n 的和函数是( )n 02n n!z zA. e zB. e2C. e 2D. sin z8. 设C是正向圆周z 2 ，则dz( )C z2A. 0B. 2 iC. iD. 2 i9. 设函数f ( z)在0 z z0 R (0 R ) 内剖析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是( )A. lim f (z) a （a为复常数）B. lim f ( z)z z0 z z0C. lim f (z) 不存在D. 以上都对z z010. ln z 在 z 1处的泰勒级数张开式为( )A. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11B. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 1 n 1 n 1 nC. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11D. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 0 n 1 n 0 n得分评卷人复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )11. z 1 2i 的共轭复数 z ________ .12. 设 z (2 3i )( 2 i ) ，则arg z ________ .13. 在复平面上，函数 f (z) x2 y 2 x i (2xy y2 ) 在直线________ 上可导 .14. 设 C 是正向圆周z 1 ，则cos5z________ .dzC z15. 若级数z n收敛，而级数z n发散，则称复级数z n为________ .n 1 n 1 n 1《复变函数》试卷第 1页（共 4 页）《复变函数》试卷第2页（共4页）1 / 3得分评卷人复查人5 小题，每题8 分，共 40 分 ) 1 i 2dz .三、计算题 ( 本大题共20. 计算积分z16.利用柯西 - 黎曼条件谈论函数 f (z) z的剖析性 .17. 判断数列2017 ni 的收敛性 . 若收敛，求出其极限 . 得分评卷人复查人z n三、证明题 ( 本大题共 1 小题，每题 15 分，共 15 分 )n 121. 试证明柯西不等式定理: 设函数f ( z)在圆C : z z0 R 所围的地域内剖析，且在 C上连续，则f ( n) ( z0 ) Mn! ( n 1,2,...)R n其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.18. 求在照射w z2下， z 平面上的直线z ( 2 i )t 被照射成 w 平面上的曲线的方程.19. 求e z在z0 处的泰勒张开式.《复变函数》试卷第 3页（共 4 页）《复变函数》试卷第4页（共4页）2 / 33 / 3XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试复变函数 答案（ A 卷）一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1 －5 C C B B D 6-10 A C A B C二、单项选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11. 1 2i 12. arctan813. 1y 14. 2 i 15.2条件收敛三、计算题（本大题共 5 小题，每题 8 分，共 40 分） 16. 解：因 f ( z)z x iy ，故 u( x, y)x, v(x, y)y ，从而u 1,u 0,u 0,u 1,x yxy因此在任何点 ( x, y) 处，uv，因此 f (z) 在复平面内各处不剖析。
复变函数期末试卷(含答案)
解：令，则
因在处连续，故在处连续。
又，故在处不可导。
16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。
证：因在内解析，故
已知等式两边分别对求偏导，并用上式得：
同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。
17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。
解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故
②在内部，在外部，由高阶导数公式
《复变函数》期末试卷
1、 单项选择题（每题2分，共20分）
1． 以下命题正确的是
A．
B．零的辐角为零
C．
D．对任意复数有 [ A ]
2．若，则
A．
B．
C．
D．
[D ]
3．设在区域内解析，则
A．
B．
C．
D．
[B]
4．下列说法正确的是
A．如果存在，则在处解析
B．如果和在区域内可微，则在区域内解析
C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析
[ A]
B．二级零点
C．三级零点 10．设则 A．
D．四级零点 B．
[C ] [C]
C．
D．
[D ]
Hale Waihona Puke 二、填空题（每空2分，共10分）
11．
12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则 或0
13．的主值等于
14．函数在处的主要部分为
，
在处的主要部分为
0
2、 解答题
15．讨论函数在原点的连续性与可导性。
D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析
5．下列等式中不正确的是
A． （为整数） B．
C． （为整数）
D． [ B ]
6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则
(完整)复变函数_期末试卷及答案,推荐文档
复变函数与积分变换 第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（ ）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换 第 2 页 共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（ ）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.
复变函数期末考试试题
复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
复变函数与积分变换期末考试卷北理珠
1 / 4一、填空、选择题（每小题3分，共21分）【得分： 】 1. 以下说法错误的是（ ）A. ()f z 是解析函数，则在任何一个含原点的简单闭曲线C 上，()0cf z dz =⎰B. ()f z 在含原点的简单闭曲线C 上有()0cf z dz =⎰，则()f z 必为解析函数C.()df z v vi dz y x∂∂=+∂∂.在()f z 的解析点成立，此处()(,)(,)f z u x y iv x y =+ D. ()f z 若为解析函数，则每一个0z 处展开的洛朗级数，就是泰勒级数.2. 以下结论错误的是 （ ）A. ln z 是单值函数，ln(1)-有意义B. Lnz 是多值函数，(1)Ln -有意义.C. ln z 可求导，且1(ln )z z'=，但z 不包括负实轴上1x -∞<≤- D.cos z 是周期函数，是偶函数，且cos 1z ≤3. 以下结论错误的是（ ）A. ()f z .以0z 为本性奇点，则必有0[(),]0.res f z z ≠B. ()f z .以0z 为可去奇点，则必有0[(),]0.res f z z =.C. ()f z .仅以1,2z z ==为两个孤立奇点，则3()0z f z dz ==⎰也是可能发生的.D. ()f z .仅以1,2zz ==为两个孤立奇点，C为简单闭曲线，且内部不含1z =，也不含2z =，则必有()0c f z dz =⎰4. 下列级数中，不收敛的是 （ ）A. 211nn i n ∞=-∑ B.12!n nn n n ∞=⋅∑ C. 1(1)nn n i ∞=+∑ D.21(1)ln nn n n∞=-∑5 ln().e i =6. 计算||11.sin z dz z==⎰7.1-的主幅角arg(1).-=二、计算题（每题7分，共21分）【得分：】 1. a bi +形式表出.2. 已知解析函数实部是22cos x x y e y -+，且(0)1f =，求这个解析函数()f z 的表达式.3. (sin )z 和sin()z 有什么联系和区别？计算(sin ).iiz dz -⎰积分为z i =-到z i =的直线.三、解答题（每题7分, 共28分）【得分： 】 1.计算 (1)12ln(1)z z dz =+⎰. (2)12ln(1)z z dz z =+⎰. (3)212ln(1)z z dz z =+⎰.3 / 42. 1()(1)(2)f z z z =--在圆环域2z <<+∞内展开为洛朗级数.3．31()(2)z dz z i z =-+⎰4．求ln(1)z +在0z =为中心的泰勒级数，指出收敛半径，写出()[ln(1)]?n z z =+=.四、解答题（前3小题每小题7分，第4小题9分，共30分）【得分： 】 1．()t δ为单位冲激函数. (1)求(1)t dt δ+∞-∞-⎰.（2）求[()]F t δ（Fourier 变换）.2.设2,0()0,t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，求[()]F f t .3．设(),0f t t t =≥，求Laplace 变换[()]L f t .4．已知2,0()0,0t e t f t t -⎧≥=⎨<⎩，3,0()0,0t e t g t t -⎧≥=⎨<⎩，求()()f t g t *.。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印
------14 分
1i
1．
的幅角是（
2k , k 0 1,2,L
）；
2
4
2. Ln(1 i) 的主值是（ 1 ln 2 i
z
ez 1)
2
z0
2i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
共 6 页第 2 页
3/8
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
， Re
s[
f
( z ), ]
（-1
）；
二．选择题（每题 4 分，共 24 分）
1．解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 的导函数为（B ）；
（A） f (z) u x iu y ； （B） f (z) u x iu y ； （C） f (z) u x iv y ； （D） f (z) u y ivx .
（D）函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y) 、
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2/8
v(x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D
( A)、
、
sin
1、、、、、、 z
）．
(B)、 、 sin z、、、、、、
(C )、 、 1 、、、、、 1
2．C 是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
3
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数与积分变换期末试题一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是；2.)1(i Ln +-的主值是〔〕；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z z z -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题3分，共15分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 〕，则0d )(=⎰Cz z f ． 〔A 〕 23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z +=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；〔C 〕如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数期末考试题大全
____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔 〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔 〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔 〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔 〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔 〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔 〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔 〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕对任何复数z,22z z =成立2、〔 〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔 〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔 〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔 〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔 〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔 〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔 〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔 〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔 〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔 〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔 〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔 〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔 〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔 〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔 〕解析函数的零点是孤立的 四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明： 设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
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华南农业大学珠江学院期末考试试卷
2009--2010学年 上 学期 考试科目： 复变函数
考试年级：__2008__级 考试类型：（闭卷）A 卷 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．i
e。
2．设11i
z i
-=
+，则zz = 。
3．设2
1()(1)f z z z
=++，则()f z '= 。
4．0z =为函数3
1
()z e f z z -=的 级极点。
5．
1z dz
z ==⎰ 。
（1z =为正向圆周） 6．幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为 。
7．Ln(1)。
8．当||1z 时，21
n
z
z z 。
9小题6分，其余每小题10分，共76分） 9．判断函数2()||f z z 在何处可导，在何处解析。
10．计算积分
(1)C
z dz ，其中积分路径C 为从点0到点2i 的直线段。
11．计算积分2
2
1
z
z e dz z。
（2z =为正向圆周）
12．计算积分
5
11
z z
e dz z 。
（1z =为正向圆周）
13．将12
()z
f z z e 在0
z
内展开成罗朗级数。
14．计算()
cot f z z 在每个有限奇点处的留数。
15．求函数 1 , ||1()
0 , ||1
t F t t 的傅里叶变换及其积分表达式。
16．求阶跃函数 1 , 0()
0 , 0
t u t t
的拉普拉斯变换。
参考答案
一．填空题
1．1 2．1 3．21
2(1)z z
+- 4．二 5．2i 6．1 7．(21) (0,1,2,)k
i k
8．
11z
二．计算题 9．解：因为2
2
2()
||f z z x y ，所以2
2(,)
u x y x y ，(,)
0v x y ．则．
．．．1分 2 ,
2 ,
0 ,
0 .u
u v v x y x
y
x
y
．．．．．．．．．．．．3分
上述四个偏导数处处连续，但仅当0x y 时C-R 方程成立。
因此函数仅在0z 可导，
从而在复平面内处处不解析。
．．．．．．．．．．．6分
10．解：曲线C 的方程为
(2) , (0
1)z i t t ．
．．．．．．．．．．2分 10(1)[(2)1][(2)]C
z dz i t d i t ．
．．．．．．．．．．．6分 120
[(2)2]i t i dt ．
．．．．．．．．．．7分 1
2
3
[(2)(2)]2i t
i t ．
．．．．．．．．．．9分 732
i ．．．．．．．．．．．10分
11．解：被积函数2()
1
z e f z z 在||2z 的内部有两个奇点1z
，在2z =的内部作
两个互不包含互不相交的正向圆周1C 和2C ，其中1C 的内部只包含奇点1z ，2C 的内部只包
含奇点1z
，则由复合闭路定理有 ．
．．．．．．．．．．2分 1
2
2222
11
1z
z
z
z C C e e e dz
dz dz z z z ．．．．．．．．．．．．5分 1
2
1
1
11
11
z
z
C C e e dz
dz z z z z ．．．．．．．．．．．．7分
1
1
2211z z z
z
e e i
i
z z ．．．．．．．．．．．．9分
11()ei
e i e e i ．．．．．．．．．．．．10分
12．解：令()
1z
f z e
，则
5
5
1
1
1
()
z
z z e f z dz
dz z
z 。
而()1z
f z e 在复平面内
解析，则由解析函数的高阶导数公式得 ．．．．．．．．．．．2分
(4)
5
511
1
()
2(0)4!
z z
z e f z i dz dz f z
z ．．．．．．．．．．．．6分 0
2 4!
12
i i
e ．
．．．．．．．．．．10分
13．解：由于
2
1
2!
!
n
e
n ．．．．．．．．．2分
在||
内成立，故在0
z
内，有
121
111
2!!z
n
e
z
z n z ．．．．．．．．．5分
于是，在0z
内，有
1
2
22111()(1
)2!!z
n
f z z e
z z z n z ．．．．．．．．．9分
2
2
1
112!3!!n
z z
z n z ．．．．．．．．10分
14．解：cos ()
cot sin z
f z z
z
的有限奇点为 , (0,1,2,)k
z k k
．．．．．．5分
由于cos cos (1)0k
k
z k
，(sin )
cos 0k
z z z k ， ．．．．．．．．6分
所以k z 是()
cot f z z 的一级极点；()
cot f z z 在k z 处的留数为
cos cos Res[cot ,]
1(sin )
cos z k
z k z k z k
．
．．．．．．．10分 15．解：
11
()()
iwt
iwt
F t e
dt
e
dt G w ．
．．．．．．．3分 11
1
1
2sin ()
.iwt
iw
iw w
e e e iw
iw w
．
．．．．．．．5分 11
sin (cos sin )
()()2
iwt w wt i wt F t G w e dw
dw w
．
．．．．．．．8分 1sin cos sin sin
w wt i
w wt
dw dw w w
1
sin cos w wt
dw w
．
．．．．．．．．．．．10分 16．解：
[()]
()st st u t u t e dt
e dt L ．
．．．．．．．．．．．7分 0
1
st
e
s
s
．．．．．．．．．．．．10分。