(完整版)同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分.doc

高等数学教案 §9 重积分
第九章
重积分
教学目的：
1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质， 知道二重积分的中值定理。

2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

教学重点：
1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ；
2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分；
2、 利用球坐标计算三重积分；
3、 物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1 曲顶柱体的体积
设有一立体
它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母
线平行于 z 轴的柱面
它的顶是曲面 z f(x y)
这里 f(x y) 0 且在 D 上连续 这种立体叫做
曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积
首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域
1
2
n
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线
作母线平行于 z 轴的柱面
这些柱面把原来的曲
顶柱体分为 n 个细曲顶柱体
在每个
i
中任取一点 (
i
i
) 以 f (
ii
) 为
高而底为
i 的平顶柱体的体积为
f ( i i ) i (i 1 2n )
这个平顶柱体体积之和
n
V
f ( i , i
) i i
1
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即
n
V lim f ( i , i )i
i 1
其中是个小区域的直径中的最大值
2平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M
用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域
12n
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量
(i i)i
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值
n
M( i , i )i
i 1
将分割加细取极限得到平面薄片的质量
n
M lim( i , i )i
i 1
其中是个小区域的直径中的最大值
定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域
12n
其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n
f ( i , i )i
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数
f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即
D
n
f ( x, y)d lim
f ( i , i
)
i
D
i 1
f(x y)被积函数 f(x y)d
被积表达式 d 面积元素 x y 积分变量
D 积分区域 积分和
直角坐标系中的面积元素
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D 那么除了包含边界点的一些
小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域 i 的边长为 x i 和 y i 则
i
x y 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作
i
i
f (x, y)dxdy
D
其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素
二重积分的存在性 当 f(x y)在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是 说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 f(x y) 在闭区域 D 上连续
所以
f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的
二重积分的几何意义 如果 f(x y) 0 被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的在点 (x y)处
的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果 f( x y)是负的 柱体就在 xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积
但二重积分的值是负的
二 二重积分的性质
性质 1 设 c 1、 c 2 为常数 则
[c 1 f (x, y) c 2 g(x, y)]d
c 1 f ( x, y)d
c 2 g( x, y)d
D
D
D
性质 2 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域
则在 D 上的二重积分等于
在各部分闭区域上的二重积分的和
例如 D 分为两个闭区域 D 1 与 D 2 则
f (x, y)d
f (x, y)d
f (x, y)d
D
D 1
D 2
性质 3
1 d
d
( 为 D 的面积 )
D
D
性质 4 如果在 D 上 f(x y) g(x y)
则有不等式
f (x, y)d
g(x, y)d
D
D
特殊地有
| f ( x, y)d || f (x, y) |d
D D
性质 5 设 M、 m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值为D的面积则有m f ( x, y)d M
D
性质 6(二重积分的中值定理) 设函数 f(x y)在闭区域 D 上连续为D的面积则在 D 上至少存在一点()使得
f (x, y)d f ( , )
D
§9 2二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X型区域
D1(x)y2(x) a x b
Y型区域
D 1(x) y 2(x) c y d
混合型区域
设 f(x y) 0 D {( x y)| 1(x) y 2(x) a x b}
此时二重积分 f (x, y)d 在几何上表示以曲面z f(x y)为顶以区域 D 为底的曲顶D
柱体的体积
对于 x [a b] 曲顶柱体在x x
0 的截面面积为以区间[
1
(x ) (x )]为底、以曲线
0 0 2 0 z f(x0 y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为
A(x ) 2 (x0) f (x , y)dy
1( x0 )
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为
V b b 2 (x)
A( x)dx [
1(x)
a a
即V f ( x, y)d b 2 ( x) [
1(x) a
D f ( x, y)dy]dx f ( x, y)dy]dx
可记为
高等数学教案
§9 重积分
f (x, y)d
b 2 (x)
dx
f (x, y)dy
D
a
1(x)
类似地 如果区域 D 为 Y 型区域
D (x) y (x) c y d
1
2
则有
f (x, y)d
d dy
2 (y) f (x, y)dx
c 1 (y)
D
例 1 计算 xyd
其中 D 是由直线 y 1、x 2 及 y x 所围成的闭区域
D
解 画出区域 D
方法一
可把 D 看成是 X
型区域 1 x 2 1 y x
于是
xyd
2 x
2
y 2
x
1 2
3
1 x 4 x 2
2 9
[
xydy]dx
1 [ x
2 ]1 dx
2 1 (x x)dx
2 [
4
2 ]1 8
D
1 1
xyd
2
dx x
2
x
ydy
注 积分还可以写成
1 xydy
1 xdx
D
1
1
解法 2 也可把 D 看成是 Y
型区域 1 y 2 y x 2 于是
2
2
2
x 2 2
2
y 3 2 y 4
2 9
xyd
[
xydx]dy
[ y
(2y
)dy
[ y
2 ] y dy
2 8 ]1
8
D
1 y
1
1
例 2 计算
y 1 x 2 y 2
d
其中 D 是由直线 y 1、 x 1 及 y x 所围成的闭区域
D
解 画出区域 D 可把 D 看成是 X 型区域 1 x 1 x y 1 于是
y 1 x 2
2
d
1 1
x 2 2 dy
1 1
2 2 )
3 1
1 1
3
2
y
dx y 1
y
3
[(1
x y ] x dx
3 (| x| 1)dx
D
1 x
1
1
2 1 (x
3 1)dx 1
3 0
2
也可 D 看成是 Y 型区域： 1 y 1 1 x<y 于是
y 1 x
2
y 2
d 1
y
1 x
2
y 2
dx
1 ydy 1
D
例 3 计算
xyd
其中 D 是由直线 y
x 2 及抛物线 y
2
x 所围成的闭区域
D
解 积分区域可以表示为 D D 1+D 2
其中 D 1 : 0 x 1,
x y x
D 2 : 1 x 4, 2 y
x 于是
xyd
1 x
xydy 4 x xydy
dx
x dx x 2
D
1
积分区域也可以表示为 D 1 y 2 y 2
x y 2 于是
xyd
2 dy
y 2
2 2 2
dy 1 2
2)2 y
5
]dy
y 2 xydx [ x y] y y 2 [ y( y
D
1
1
2
2 1
1 [ y 4 4 y 3
2 y 2 y 6 2
5 5
2 4
3 6 ] 1 8
讨论积分次序的选择
例 4
求两个底圆半径都等于
的直交圆柱面所围成的立体的体积
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x 2 y 2 2 及 x 2 z 2
2
利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积
V 1 然后再乘以 8 就
行了
第一卦限部分是以 D {( x y)| 0 y
R
2
x 2
, 0 x
} 为底 以 z
R
2 x 2
顶的曲顶柱体
于是
V 8
2
2 d
R
R 2 x 2
R 2
2
dy
R
2 2
y]0
R 2 x 2
R x
8 dx
x 8 [ R x
dx
D
R
8 ( R 2 x 2)dx 16 R 3
3
二 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分
积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便
且被积函数用
极坐标变量
、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分
f (x, y)d
D
n
按二重积分的定义f (x, y)d
limf ( i , i ) i
D
i 1
下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式
以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分为 n 个小闭区域 小闭区域的面积为
1 ( i i )
2 1
2 1
(2 i
i )i
i 2
i 2
i i 2 i i (
i
i
)
i
i
i
i
2
i
其中
i 表示相邻两圆弧的半径的平均值
在i 内取点 (
i , i )
设其直角坐标为 ( ii )
则有
i
i cos i
i i sin
i
n
n
于是
lim
f ( i , i )
i
lim
f ( i cos i , i sin i ) iii
i 1
i 1
即
f x y d
f ( cos , sin ) d d
( , )
D
D
若积分区域 D 可表示为
1
( )
( )
2
则 f ( cos , sin ) d d
2
(
)
d
f ( cos , sin ) d
D
1( )
讨论 如何确定积分限 ?
f (
cos , sin )
d d
d
( )
cos , sin ) d
f ( D
f (
cos , sin )
d d
2 ( )
cos , sin ) d
d
f ( D
例 5
计算
e x 2
y 2 dxdy 其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围成的闭区
D
域
解在极坐标系中闭区域D可表示为
0 a 0 2
e x2 y 2
2 2 a
2
2
1e 2 ]0a d
于是dxdy e d d [
0 e d ]d
[
D D 0
2
1 (1 e a
2 2 d (1 e a2
2 ) )
注此处积分e x 2 y2 dxdy 也常写成e x2 y2 dxdy
D x2 y2 a 2
利用
e x2 y2 dxdy (1 e a2 ) 计算广义积分e x 2 dx
x2 y2 a 2
设D1{( x y)|x2y2 D2{( x y)|x2y2
S {( x y)|0 x R
2
R x 0 y 0} 2R2 x 0 y 0}
显然 D1 S D2由于e x2
y2 0 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式
e x2 y2 dxdy e x 2 y2 dxdy e x 2 y2 dxdy
D1 S D2
因为
e x2 y2 dxdy R e x2 dx R e y 2 dy ( R e x2 dx)2
S
0 0 0
又应用上面已得的结果有
e x2 y2 dxdy (1 e R2 ) e x2 y 2 dxdy (1 e 2R 2 )
D1 4 D
2
4
(1 e R2 R e x2 dx)2 (1 e 2R2 )
于是上面的不等式可写成) (
4 0 4
令 R 上式两端趋于同一极限 4 从而0 e x2 dx 2
例 6 求球体 x2 y2 z2 4a2被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积
解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍
V
4
4a 2 x 2 y 2 dxdy
D
其中 D 为半圆周 y
2ax x 2
及 x 轴所围成的闭区域
在极坐标系中 D 可表示为
2a cos
2
于是V 4 4a
2
2 d d 4
2
d 2a cos 22 d
4a
D
0 0
32 a 2 2 (1 sin 3 )d 32 a 2 ( 2 2)
3 0
3
3
§9 3 三重积分
一、三重积分的概念
定义 设 f(x y z)是空间有界闭区域
上的有界函数 将 任意分成 n 个小闭区域
v v 2
v
1
n
其中 v i 表示第 i 个小闭区域
也表示它的体积
在每个 v i 上任取一点 (
i
i
i )
作乘积 f(
n ii
i )
v i ( i 1 2
n)并作和
f ( i , i , i ) v i 如果当各小闭区域的直径中的最大值
i 1
趋于零时 这和的极限总存在
则称此极限为函数
f(x y z)在闭区域
上的三重积分
记
作f (x, y, z)dv
即
n
f (x, y, z)dv lim
f ( i , i , i ) v i
0 i 1
三重积分中的有关术语 ——积分号 f( x y z)——被积函数
f(x y z)dv ——被
积表达式 dv 体积元素 x y z ——积分变量 ——积分区域
在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则 v i
x
i y i
z
因此也把
i
体积元素记为 dv dxdydz
三重积分记作
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
n
当函数 f (x y z)在闭区域 上连续时 极限 lim
f ( i , i , i ) v i 是存在的
i 1
因此 f(x y z)在 上的三重积分是存在的 以后也总假定 f(x y z)在闭区域 上是连续的
三重积分的性质 与二重积分类似
比如
[c 1 f (x, y, z) c 2g( x, y, z)]dv c 1 f (x, y, z)dv c 2
g(x, y,z)dv
f ( x, y, z)dvf (x, y, z)dv
f (x, y, z)dv
1
2
1
2
dv V 其中 V 为区域 的体积
二、三重积分的计算
1 利用直角坐标计算三重积分
三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算
设空间闭区域
可表为
z 1(x y) z z 2(x y) y 1 (x) y y 2 (x) a x b
则
f (x, y, z)dv
z 2 (x,y)
[
f (x, y, z)dz]d
z 1 (x, y)
D
b
dx y 2 (x) z 2 (x, y)
[ f ( x, y,z)dz]dy
a y 1( x) z 1(x,y)
b dx
y 2 (x) z 2 (x, y)
f (x, y, z)dz
a dy
z 1( x, y)
y 1( x) 即
f (x, y, z)dv
b y 2( x)
dy
z 2 (x,y)
f (x, y, z)dz
dx
y 1(x) z 1(x, y)
a
其中 D : y 1(x) y y 2(x) a x b 它是闭区域
在 xOy 面上的投影区域
提示
设空间闭区域 可表为
z (x y) z z (x y) y (x) y y (x) a x b
1
2
1
2
计算
f (x, y, z)dv
基本思想
对于平面区域 D y 1(x) y y 2(x) a x b 内任意一点 (x y) 将 f(x y z)只看作 z 的函数
在区
间 [z 1
2
y)]上对 z 积分 得到一个二元函数
F(x y)
(x y)
z (x
F (x, y) z 2(x,y)
f (x, y, z)dz
z 1 (x, y)
然后计算 F(x y)在闭区域 D 上的二重积分 这就完成了 f(x y z) 在空间闭区域 上的三重积
分
F (x, y)d
z 2 (x, y) b y 2 (x)
z 2( x, y)
[
f (x, y, z)dz]d dx
[
f ( x, y, z)dz]dy
D
D
z 1(x, y)
a
y 1(x) z 1(x,y)
z 2(x, y)
f (x, y, z)dz]d
则f ( x, y, z)dv [
z 1 (x, y)
D
b a
b a
y 2 (x)
z 2 (x, y)
dx [
f ( x, y,z)dz]dy y 1( x) z 1(x,y) y 2 (x) dy
z 2 (x, y)
dx
f (x, y, z)dz
y 1( x) z 1( x, y)
即
f ( x, y, z)dv
b y 2 (x) z 2 (x, y) f (x, y, z)dz
dx dy
z 1 (x, y)
a
y 1(x)
其中 D : y 1(x) y y 2(x)
a x
b 它是闭区域
在 xOy 面上的投影区域
例 1 计算三重积分
xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面
x 2y z 1 所围成的闭区
域
解 作图
区域 可表示为 :
0 z 1 x 2y
0 y 1
(1 x) 0 x 1
2
1 1 x
1 x
2 y
xdxdydz
2 dy xdz 于是
dx 0
0 0
1
1 x
xdx 2 (1 x 2y)dy
1 1 2
3 1
(x
2x
x )dx
48
4 0
讨论 其它类型区域呢 ?
有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域
{( x y z)|(x y) D z c 1 z c 2 } 其中 D z 是竖坐标为 z 的平面截空间闭区域
所得到的一个平面闭区域
则有
f (x, y, z)dv
c 2
f (x, y, z)dxdy
dz
c 1
D z
例 2 计算三重积分
z 2
dxdydz 其中
是由椭球面
x 2
y 2 z 2 1 所围成的空间闭
a 2
b 2
c 2
区域
解 空间区域 可表为 :
x 2 y
2 1
z
2
c z c
2 2
2
a
b
c
z 2
dxdydz
c
dxdy
c
z
2
4 于是
z 2
dz
ab c (1
2
3
c
c 2 )z dz
15 abc
D z
练习
1 将三重积分 I
f (x, y,z)dxdydz 化为三次积分
其中
(1) 是由曲面 z 1 x 2 y 2 z 0 所围成的闭区域
(2) 是双曲抛物面 xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所围成的闭区域
(3) 其中 是由曲面 z x 2 2y 2 及 z 2 x 2
所围成的闭区域
2 将三重积分 I f (x, y, z)dxdydz 化为先进行二重积分再进行定积分的形式
其
中 由曲面 z 1 x 2 y 2 z 0 所围成的闭区域
2 利用柱面坐标计算三重积分
设 M(x y z)为空间内一点 并设点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标为 P(
) 则这
样的三个数 、
、 z 就叫做点 M 的柱面坐标 这里规定 、 、 z 的变化范围为
0 < 0
2 <z< 坐标面
z z 的意义
点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系
x cos x cos y sin z z
y sin z z
柱面坐标系中的体积元素
dv d d dz
简单来说 dxdy
d d dxdydz dxdy dz
d d dz
柱面坐标系中的三重积分
f ( x, y, z)dxdydz
f ( cos , sin , z) d d dz
例 3 利用柱面坐标计算三重积分
zdxdydz 其中 是由曲面 z x 2 y 2 与平面 z 4 所
围成的闭区域
解 闭区域 可表示为
2
z 4 02 0 2
于是
zdxdydz
z d d dz
2
2 4
1
d
d
2
zdz 0
2
1 2
[8 2
1 6]
2 64
2 6 0 3
3 利用球面坐标计算三重积分
2 2 4
)d
d
(16
设 M(x y z)为空间内一点
则点 M 也可用这样三个有次序的数 r 、 、
来确定
其中
r 为原点 O 与点 M 间的距离
为 OM 与 z 轴正向所夹的角
为从正 z 轴来看自 x 轴按逆
时针方向转到有向线段
OP 的角 这里 P 为点 M 在 xOy 面上的投影 这样的三个数 r 、 、
叫做点 M 的球面坐标
这里 r 、 、
的变化范围为
0 r <
0 < 0
2
坐标面 r r 0
0 的意义
点 M 的直角坐标与球面坐标的关系
x r sin cos
y rsin sin z rcos
x r sin cos y r sin sin z r cos
球面坐标系中的体积元素
dv r 2sin drd d
球面坐标系中的三重积分
f (x, y, z)dv
f (r sin
cos ,r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d
例 4 求半径为 a 的球面与半顶角
为的内接锥面所围成的立体的体积
解 该立体所占区域
可表示为
0 r 2acos 0 0 2
于是所求立体的体积为
V
dxdydz
r 2
sin drd d
2 d
d
2acos 2
sin dr
0 r
2
sin d
2a cos 2
dr
r
16 a
3
cos
3
sin d
4 a
3
(1 cos 4
a)
3
3
提示 球面的方程为 x 2 y 2 (z a)2
a 2 即 x 2 y 2 z 2 2az 在球面坐标下此球面的方程为 r 2 2arcos 即 r
2acos
§9 4 重积分的应用
元素法的推广
有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理
这种元素法也可推广到二重积分
的应用中
如果所要计算的某个量
U 对于闭区域 D 具有可加性 (就是说 当闭区域 D 分成
许多小闭区域时
所求量 U 相应地分成许多部分量 且 U 等于部分量之和 ) 并且在闭区域
D 内任取一个直径很小的闭区域 d 时 相应的部分量可近似地表示为 f(x y)d
的形式 其
中 (x y)在 d 内 则称 f(x y)d
为所求量 U 的元素
记为 dU 以它为被积表达式
在闭区
域 D 上积分
U
f ( x, y)d
D
这就是所求量的积分表达式
一、曲面的面积
设曲面 S 由方程 z f(x y)给出 D 为曲面 S 在 xOy 面上的投影区域 函数 f(x y)在 D 上
具有连续偏导数 f x (x y)和 f y (x y) 现求曲面的面积 A
在区域 D 内任取一点 P( x y) 并在区域 D 内取一包含点 P( x y) 的小闭区域 d
其面积 也记为 d
在曲面 S 上点 M(x y f( x y)) 处做曲面 S 的切平面 T 再做以小区域 d
的边界曲
线为准线、母线平行于 z 轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的 小块曲面面积的近似值
记为 dA 又设切平面 T 的法向量与 z 轴所成的角为
则
dA
d 1 f x 2( x, y) f y 2( x, y) d
cos
这就是曲面 S 的面积元素
于是曲面 S 的面积为
A
1 f x 2(x, y) f y 2( x, y)d
D
或
A
1 ( z )
2 ( z )2
dxdy
D
x y
设 dA 为曲面 S 上点 M 处的面积元素 dA 在 xOy 面上的投影为小闭区域 d M 在 xOy
面上的投影为点 P(x y) 因为曲面上点 M 处的法向量为 n ( f x y
所以
f 1)
dA |n |d
1 f x
2 (x, y) f y 2(x, y)d
提示 dA 与 xOy 面的夹角为 (n ^ k) dAcos(n ^ k) d n k |n|cos(n ^ k)
1 cos(n ^ k) |n|
1
讨论 若曲面方程为 x g(y z)或 y
h(z x) 则曲面的面积如何求？
A
1 ( x
)
2
(
x
) 2 dydz D
yz y
z
或
A
1 ( y )2
( y )2
dzdx D
zx
z
x
其中 D yz 是曲面在 yOz 面上的投影区域
D zx 是曲面在 zOx 面上的投影区域
例 1 求半径为 R 的球的表面积
解 上半球面方程为 z
R 2 x 2 y 2 x 2 y 2 R 2
因为 z 对 x 和对 y 的偏导数在 D x 2 y 2 R 2
上无界 所以上半球面面积不能直接求出
因
此先求在区域 D 1 x 2 y 2 a 2 (a R)上的部分球面面积
然后取极限
R
dxdy 2
a
rdr
R
d
x 2 y 2 a
2
R 2 x 2
y 2
0 0
R 2 r
2
2 R(R
R 2 a 2 )
于是上半球面面积为 lim 2 R( R
R
2
a 2 ) 2 R
2
a R
整个球面面积为 A 2A 1 4 R 2
提示
z
R
2
x y
2
z
y y
2
1 ( z )2
( z
) 2
R x
x
2
y R 2
x
2
x
y
R 2
x 2
y
2
解 球面的面积 A 为上半球面面积的两倍
上半球面的方程为
z
R 2 x 2 y 2 而
z
x
z
y
x
R 2 x
2
y 2
y
R 2 x 2 y 2
所以A 2
1 ( z )2
( z )
2
x 2 y 2 R 2
x
y
2
R
dxdy 2
R
d
2R
d
R 2 x 2 y 2 x 2 y 2 R 2
R 2
2 2
2
R
2
4 R R
4 R
例 2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为 h 36000km 运行的角速度与
地球自转的角速度相同
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值
(地球半径
R 6400km)
解 取地心为坐标原点地心到通讯卫星中心的连线为z 轴 建立坐标系
通讯卫星覆盖的曲面
是上半球面被半顶角为
的圆锥面所截得的部分
的方程为
z
R 2 x 2 y 2 x 2 y 2 R 2sin 2
于是通讯卫星的覆盖面积为
A
1 ( z )
2 ( z )2
dxdy
R
dxdy D
xy
x
y
D xy R 2
x
2 y
2
其中 D xy {( x y)| x 2
y 2 R 2sin 2 } 是曲面 在 xOy 面上的投影区域 利用极坐标
得
2
d Rsin R d
Rsin
d 2 R 2(1 cos )
A
2 R
R 22
R 22
由于 cos
R
代入上式得
R h
A 2 R 2(1
R ) 2 R 2 h
由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
A h 36 106
42.5%
4 R2 2(R h) 2(36 6.4) 106
由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔 2 角度的
3
通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面
二、质心
设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D 在点 P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在 D 上连续现在要求该薄片的质心坐标
在闭区域 D 上任取一点 P(x y) 及包含点 P(x y)的一直径很小的闭区域 d (其面积也记为 d ) 则平面薄片对 x 轴和对 y 轴的力矩 (仅考虑大小 )元素分别为
dM x y (x y)d dM y x (x y)d
平面薄片对x 轴和对 y 轴的力矩分别为
M x y (x, y)d M y x (x, y)d
D D
设平面薄片的质心坐标为(x, y) 平面薄片的质量为 M 则有
x M M y y M M x
于是
M y
x ( x, y)d
M x
y ( x, y)d D D
x
(x, y)d y
( x, y)d
M M
D D
在闭区域 D 上任取包含点P(x y)小的闭区域 d (其面积也记为 d ) 则平面薄片对 x 轴和对 y 轴的力矩元素分别为
dM x y (x y)d dM y x (x y)d
平面薄片对x 轴和对 y 轴的力矩分别为
M x y (x, y)d M y x (x, y)d
D D
设平面薄片的质心坐标为(x, y) 平面薄片的质量为M 则有x M M y y M M x
于是
M y
x ( x, y)d
M x
y ( x, y)d
x D
y
D
M
(x, y)d
M
( x, y)d
D
D
提示 将 P(x y)点处的面积元素 d 看成是包含点 P 的直径得小的闭区域 D 上任取一
点 P(x y)
及包含的一直径很小的闭区域
d (其面积也记为
d ) 则平面薄片对 x 轴和对 y
轴的力矩 (仅考虑大小 )元素分别为
讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心 ( 称为形心 )如何
求？
求平面图形的形心公式为
xd
yd
x
D
y D
d
d
D
D
例 3 求位于两圆 2sin 和 4sin 之间的均匀薄片的质心
解 因为闭区域 D 对称于 y 轴 所以质心 C(x, y) 必位于 y 轴上
于是 x
yd
2
sin d d
sin 4sin 2
d
7
因为
d
D D
2 sin
d
22
12 3
D
yd 7 7 所求形心是 C(0, 7
) 所以 y
D d
3
3
3
D
类似地 占有空间闭区域 、在点 (x y z)处的密度为
(x y z)(假宽 (x y z)在 上连续 )
的物体的质心坐标是
x
1 x (x, y, z)dv
y 1 y (x, y,z)dv
z
1 z (x, y, z)dv
M
M
M
其中 M (x, y, z)dv
例 4 求均匀半球体的质心
解 取半球体的对称轴为 z 轴 原点取在球心上 又设球半径为 a 则半球体所占空间闭区可表示为
{( x y z)| x 2 y 2 z 2 a 2 z 0}
显然 质心在 z 轴上
故 x y 0
z dv
zdv
z
3a
dv
dv 8
故质心为 (0, 0,
3a
)
8
提示
0 r a
2 0
2
dv
2 d
2 d
a 2
sin dr
2
sin
2 a 2
2 a 3
0 r
d
d
r dr
3
0 0
zdv
2 2 d a r 2 sin dr
1 2 sin 2 d 2 a 3
1 2 a 4 0
d
r cos
2 0 d
r
dr
2 4 0
三、转动惯量
设有一平面薄片
占有 xOy 面上的闭区域 D 在点 P(x y)处的面密度为
(x y) 假定 (x
y)在 D 上连续
现在要求该薄片对于
x 轴的转动惯量和 y 轴的转动惯量
在闭区域 D 上任取一点 P(x y) 及包含点 P(x y)的一直径很小的闭区域 d (其面积也记为 d ) 则平面薄片对于 x 轴的转动惯量和 y 轴的转动惯量的元素分别为
dI x y 2 (x y)d
dI y x 2 (x y)d
整片平面薄片对于
x 轴的转动惯量和
y 轴的转动惯量分别为
I x
y 2 (x, y)d
I y
x 2 (x, y)d
D
D
例 5 求半径为 a 的均匀半圆薄片 (面密度为常量
) 对于其直径边的转动惯量
解 取坐标系如图
则薄片所占闭区域 D 可表示为
D {( x y)| x 2 y 2 a 2 y 0}
而所求转动惯量即半圆薄片对于
x 轴的转动惯量 I x
I x
y 2 d
2
sin
2
d d
D D
sin 2 a 3
d
4
sin 2 d 0
d
a 0
4 0
1 a 4
1 Ma 2
4
2 4
其中 M
1 a
2 为半圆薄片的质量
2
类似地
占有空间有界闭区域
、在点 (x y z)处的密度为 (x y z)的物体对于 x 、y 、 z
轴的转动惯量为
I x ( y 2 z 2
) (x, y, z)dv
I y ( z 2
x 2
) ( x, y, z)dv
I z
( x 2 y 2) (x, y, z)dv
例 6 求密度为
的均匀球体对于过球心的一条轴
l 的转动惯量
解 取球心为坐标原点 z 轴与轴 l 重合
又设球的半径为
a 则球体所占空间闭区域
{( x y z)| x 2 y 2 z 2 a 2}
所求转动惯量即球体对于
z 轴的转动惯量 I z
I z
( x 2 y 2
) dv
(r 2
sin 2
cos
2
r 2 sin 2 sin 2 )r 2
sin drd d
r 4 sin
3
2 d
sin
3
d
a 4dr
8 a 5 2 a 2M drd d r
15
5
其中 M 4 a 3
为球体的质量
3
提示
x 2 y 2 r 2sin 2 cos 2 r 2sin 2 sin 2
r 2sin 2
四、引力
我们讨论空间一物体对于物体外一点
P 0(x 0 y 0 z 0)处的单位质量的质点的引力问题
设物体占有空间有界闭区域
它在点 (x y z)处的密度为 (x y z) 并假定 (x y z)在
上连续
在物体内任取一点(x y z) 及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv)把这一小块物体的质量 dv 近似地看作集中在点 (x y z)处这一小块物体对位于 P0 (x0 y0 z0) 处的单位质量的质点的引力近似地为
dF (dF x,dF y,dF z)
(G ( x, y, z)( x x
)
dv,G
(x, y, z)( y y
)
dv,G
(x, y,z)( z z
)
dv)
r 3 r 3 r 3
其中 dF x、 dF y、 dF z 为引力元素 dF 在三个坐标轴上的分量
r ( x x )2 ( y y )2 (z z )2G为引力常数将 dF x、dF y、dF z在上分别积分即可
0 0 0
得F x、F y、F z从而得 F (F x、F y、 F z)
例 7 设半径为 R 的匀质球占有空间闭区域{( x y z)|x2 y2 z2 R2) 求它对于位于点M 0(0 0 a) (a>R)处的单位质量的质点的引力
解设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知F x=F y=0, 所求引力沿 z 轴的分量为
F z
G 0 z a
dv
[ x2 y2 (z a)2 ]3 /2
G 0 R ( z a)dz
dxdy
2 y 2 2 3/ 2
R x2 [ x (z a) ]
G 0 R ( z a)dz 2 d R
2 z2 d
R 0 0 [ 2
( z a)2]3 /2
2 G
R
(z a)( 1 1 )dz 0 R 2
a z 2az a
2
R
2 G [ 2R 1 R (z a)d 2 2az a 2 ]
R
0 a R
2G 0( 2R 2R 2R3 )
G 4 R3
3a2
1 G
M
4 R3 3 0 a2 a2
其中 M 0 为球的质量
3
上述结果表明匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力。