一致风险测度和基于凸风险测度下组合模型不稳定性

1 绪论1.1 引言现代金融理论的核心是研究在不确定条件下投资者以及市场如何对金融、货币及其他资产进行有效配置，从而获得最大的满足。

金融分析方法的发展使金融理论内容逐渐形成了三个主要方面，正如学者兹维·博迪所总结的——现代金融分析的三大支柱分别是：跨时期最优化，主要研究投资者生命期资产配置、消费选择等；资产估值，涉及的有资本资产定价、衍生品定价、估值折现模型等；风险管理与组合选择，包括风险测度理论、投资组合选择模型等[28]。

而本文研究主题就是三大支柱之一——金融风险管理和投资组合选择。

现代投资组合理论被认为是整个现代金融学的发端。

该理论发端于1952年Markwitz在《Journal of Finance》上发表的一篇论述理性投资者为获得最大效用从而如何分配其资产的论文，其使用均值方差模型代表理性投资者共同的选择模型，从而得到了最佳的资产配置方案，第一次将风险资产的期望收益与代表风险的方差结合起来研究资产组合选择问题，从而为现代投资组合理论(modem portfolio theory，MPT)的发展奠定了基础[13]。

其实分散化在经济和金融学届早有讨论，但都属于感性认知阶段，Markwitz这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态，数量化方法开始进入金融领域，“鸡蛋不能同时放在一个篮子里”这句投资领域的俗语被众多学者通过不同的数学模型展示和理论上证明出来。

但是不同模型所求得的最优组合解也存在差异，因而如何选择适合的风险度量工具作为约束条件，并高效地求解投资模型成为现代投资理论中极其重要的两个课题。

一方面，当深入考量市场参与者偏好、市场结构等因素时学者们发现以方差代表风险大小并不恰切[1]，因而风险度量理论随之兴起，其引发的就是半方差、平均绝对离差（MAD）、VAR、CVAR等度量工具以及一致风险测度、凸风险测度、谱风险测度等测度理论的相继出现。

另一方面，现实金融环境下小样本问题、资产历史收益数据波动问题（噪声）等对投资组合规划求解也构成了挑战。

为此，部分学者结合计算数学与投资理论，在适当修正投资模型的基础上将遗传算法、蚁群算法等引入投资规划问题的计算；而另一部分学者则试图从理论上探讨特定风险度量工具约束下投资组合模型求解不稳定的机理，并确定组合不可行的概率、不同风险测度下组合问题的不稳定解的存在性条件等。

本文研究重点即是分析基于凸风险测度的投资组合优化模型不稳定性是否存在共同机理，以及通过实例分析及理性推证，给出此类组合问题最优解存在的充分必要条件。

1.2 凸风险及凸风险测度下组合优化研究现状1.2.1风险度量理论历史发展的背景风险度量的研究被认为是金融学的第三次革命，是现代金融理论的重要支柱之一。

对风险的数学度量当从Markwitz的投资组合选择理论开始，其他的风险度量指标都是针对其中方差（标准差）的不足而提出来的。

方差（标准差）用于度量组合风险时，相对于期望效用模型和随机占优模型更易于计算和实施。

同时其拥有良好的统计特性，便于对组合进行风险收益分析。

特别的，当组合的收益服从正太分布或者假定投资者具有二次效用函数时，均值—方程模型被证明是恰当的组合选择模型，此时方差完全刻画了组合风险（Tobin 1958）[8]。

但是假设收益率服从正太分布在实际中不恰当。

例如Mandelbrot（1964）提出，股票市场的收益率服从稳定帕累托分布（stable Paretian distribution）[20]，故呈现尖峰厚尾特征。

Fama（1965）发现金融日收益序列比正太分布分别具有更厚的尾更高的峰，其分布是负偏斜的，即左边比右边观测值更多[3]。

因而此时必须考虑二阶以上的矩才能刻画组合风险。

同时假设投资者具有二次效用函数也不适合，因而当财富超过一定水平之后投资者边际效用为负，而且随财富增加其绝对风险厌恶程度也在增加，这两点都不符合实际。

另外，由于均值—方差模型面临大规模计算困难，今野和山崎（1991）提出平均绝对离差（MAD）来度量风险。

此时的好处是该模型可离散情形可转化为线性规划问题。

由于MAD对各个偏离值均赋予相同的权重，因而没有反映投资者的风险厌恶特征，为此，今野（1990）以及Michalwki和Ogryczak（2001）又分别提出拓展的MAD来充分刻画投资者的风险厌恶特征[18]。

以上的度量工具都将上行风险和下行风险不加以区分，即对组合的绩优表现和绩差表现都视作风险。

但在现实中投资者仅将组合收益相对于某一目标收益的下偏离视作风险，因而对下行风险更敏感。

Markwitz（1959）本人也发现了这一不足，提出可以使用半方差来替代方差作为求解约束。

可是实际上半方差比方差在统计上更难处理，而且若组合收益呈对称分布，半方差只是方差的一半，它就不再是真正意义上的下行风险。

自半方差提出以后，相继出现了各种下行风险度量指标。

巴瓦（1975）给出了LPM风险度量，这是一类包含内容广泛的下行风险度量指标，随着参数的不同LPM可分别适用于风险偏好者、厌恶者、中性者[24]。

LPM关于组合权重是凸的，但通常不满足子可加性和平移不变性。

不过LPM的应用难点在于目标收益率不易确定，基于LPM的模型也不易求解。

20世纪70年代到80年代，美国等世界主要经济体物价高涨、利率剧烈波动，汇率也随着大幅波动，金融机构面临的风险骤然增大，加强风险管理的需求十分迫切。

在此环境下各类衍生工具应运而生，金融创新虽然丰富了投资品种，提供了管理组合风险的工具，但也加大了组合的选择和风险管理难度。

在这一背景下，加之巴林银行事件、长期资本管理公司巨额亏损等案例出现，VAR作为一种直观的衡量下行风险度量工具应运而生。

时下也成为金融机构和监管当局进行风险管理和金融监管的基本工具之一。

VAR的优点在于它可以在整体一致的框架内仅用一个数字来度量由许多复杂工具构成的组合的市场风险。

Stambaugh （1996）概括了VAR的优点。

但其严重缺陷在于它不是一致风险度量，多数情况下不具有次可加性（Artzner（1999））[4]。

这意味着组合的VAR值可能大于各单项资产的VAR之和，从而违背了分散化具有优势这一规律。

Mausser和Rosen （1999）指出，使用包括历史模拟法在内的情景分析法得到的VAR相对于组合头寸是非光滑的、非凸的，因而会存在多个极值，因此基于VAR的投资组合模型得到的最优解只是局部最优解，未必是全局最优解。

此外，VAR的计算若选取不当会导致错误的VAR估计。

针对VAR的不足，Artzner（1997，1999）在《Coherent Measures of Risk》[4]一文中以公理的形式给出了一致风险测度的定义，该理论要求一个恰当的风险度量应满足四条公理：单调性、平移不变性、次可加性和正齐次性。

Artzner 的一致风险测度理论引起了巨大的反响，相关的研究随即展开。

例如CVAR（ES）被证明是一致的风险测度指标，其中，期望损失ES（Expected Shortfall）是指投资组合在给定置信水平决定的左尾概率区间内可能发生的平均损失，CVAR 是损失超过VAR部分的条件平均值，二者相似但有着很小的区别——在概率分布是连续时，ES与CVaR定义一致；当概率分布离散时，ES与CVaR不再一致，此时CVaR不再是一致性风险测度。

ES是CVaR的推广（广义）形式，而CVaR则是ES的特殊（退化）形式。

ES对于损失的分布没有特殊要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保持一致性风险测度这一性质，使ES不仅可以应用到任何的金融工具的风险测量和风险控制，也可以处理具有任何分布形式的风险来源，而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化预期收益组合的唯一性。

ES相比起CVAR来适用范围更广，在离散分布和连续分布下都能保证是一致性风险测度，且具有容易计算的特点。

不过有学者认为正齐次性和次可加性要求过严，因此Follmer和Schied （2002）在《Convex measures of risk and trading constraints》[2]一文中提出了较弱的凸性公理，并把满足单调性、平移不变性和凸性公理的风险测度称之为凸风险测度（convex risk measures ），凸风险测度也称为弱一致风险测度（weakly coherent risk measures）。

他们认为，随着组合头寸的增加，风险是以非线性的方式增加的，因此必须考虑到组合的流动性风险（例如巨额卖出、赎回风险）。

而且，如果组合模型是凸的，可以有效的避免多重极值问题，这是因为凸规划问题中局部最优解就是全局最优解，且最优点集合是一个凸集。

Acerbi等（2002）提出了谱风险测度，该理论除了要求风险度量是一致的以外，还要求其具有性质良好的风险谱密度从而能够刻画投资者的风险厌恶特征。

Acerbi等认为，谱风险测度具有良好的发展前景，它不仅在技术层面上对风险度量做了明确的要求，还以谱密度的形式刻画了投资者的风险厌恶特征，也为改进现有风险度量指标提供了重要依据。

实际上，谱风险测度属于一致风险测度，是后者的推广。

在谱风险测度框架内，CVAR（ES）和VAR都不算良好的测度，但CVAR的风险谱密度性质要好于VAR。

1.2.2 国外研究现状国外文献对于凸风险测度较早，起源于前文所提的Follmer和Schied（2002）[2]提出凸性公理之时，因而这部分文献很丰富。

关于投资组合求解问题的文献也不再少数，大多数使用各种计算方法来优化模型的求解。

然而深入探讨在特定风险测度下组合优化问题不稳定性的文献较少。

下面仅对部分做简述。

Imre Kondor、Szilard Pafka和 Gabor Nagy（2006）在《Noise sensitivity of portfolio selection under various risk measures》[7]中针对方差、绝对离差、ES和最大损失四种度量工具分别就各自组合优化模型进行求解的实证分析。

该文章目标在于探讨组合优化问题最优解关于收益数据波动的容忍性。

结果发现，四种工具噪声敏感性都很强，求解可行与不可行的区域划分出现了类似于一些复杂计算问题中出现的演化图形，即根据不同测度拥有不同N/T临界值分隔开可行与不可行区域。

他们发现，对于方差、MAD测度，在各自N/T临界值之下时组合问题永远可以解出最优解，而对于ES、ML（极大损失，可以看做ES的一个特例）两种一致风险测度工具，在即使N/T很小时也会随机性的出现组合没有最优解的情况。

对于ES与ML，在N/T临界值之下时，可以有最优解的概率与资产的分布函数有关。

如果分布函数给定，则一致风险测度工具的优化问题没有解得可以精确获得。