弹性力学基础

2-1 弹性力学简介
弹性力学的早期研究
追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的 研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关 系。
近代弹性力学的发展
可以认为是从柯西（A.L.Cauchy）1828年明确提出应力和应 变的概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律 开始的。柯西所做的工作是近代弹性力学和连续介质力学的 一个起点，他的工作使得弹性力学成为一门独立的固体力学 分支学科。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以 及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：有相同也有区别
�相同点： 都是研究弹性体
2-1 弹性力学简介
�不同点： 材料力学基本上只研究单个杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长 度远大于宽度和厚度的构件。 材料力学研究受到拉、压、剪、弯或扭的直杆或曲杆的应力和 位移。 结构力学主要研究杆件系统，如桁架，刚架。 结构力学研究杆件系统（例：桁架或刚架）的应力和位移。 弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板 与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺 寸相当的构件。 弹性力学研究块体、板和壳体的应力和位移，对杆件作更精确分 析。
τ
2-2 应力的概念
正应力
σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一 个角码，例如，正应力 σ x 是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。
剪应力
τ
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一 个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐 标轴。例如，剪应力 τ xy 是作用在垂直于x轴的面上 而沿着y轴方向作用的。
2-1 弹性力学简介 材料力学 — 区别与联系 —
y
弹性力学
q
y
q
σx
x
图 2-1a
σx
0
图 2-1b
x
2-1 弹性力学简介 材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
图 2-2a
图 2-2b
2-1 弹性力学简介
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们 都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研 究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更 精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的 变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问 题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算， 便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性 质的假定：
应变分量与位移分量的关系
’B’C’D’，求线素AB、AD的正应变 ε x、 ε y ，用位移 ABCD---A ABCD---A’ 分量来表示： A点在X方向的位移分量为u，
y
u+
∂v dy ∂y
∂u dy ∂y
C'
B点在X方向的位移： 线素AB的正应变为： ∂u (u + dx) − u ∂u ∂x εx = = dx ∂x 同理，AD的正应变为： ∂v (v + dy ) − v ∂v ∂y εy = = dy ∂y
2-1 弹性力学简介
3、研究的方法：有较大的区别
�相同点：
�静力学：脱离体力的平衡 �几何学：位移和应变的关系 �物理学：应力和应变的关系
2-1 弹性力学简介
�不同点： 材料力学： 对应变或应力情况作某些假定 材料力学是对构件的整个截面来建立静力学、几何学和物理学 条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假 设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。 弹性力学 : 对应变或应力情况不作假定，弹性力学是对构件的 无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分 析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以 用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它 们的适用范围。
2-1 弹性力学简介
弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发 展，特别是对促进造船、建筑、航空和机械制造等工业技术的 发展起了相当重要的作用。弹性力学为社会发展和人类的文明 进步起了重要的作用，例如造船，铁路，水利工程，机械制 造，建筑工程，航空航天，军事工程等领域的发展，都离不开 力学工作者的贡献。广泛的工程应用也使得弹性力学得以迅速 发展，并根据实际的需求形成了一些专门的分学科，如： 热弹性力学，弹性动力学，弹性稳定，断裂力学，复合材料弹 性力学等。
2-3 位移及应变、几何方程、刚体位移
体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角 度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称 ε 正应变)，用符号来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角 εy、 εz 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。 码，分别用 εx、 反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定 相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称 为角应变或剪应变，用符号 γ 来表示。两坐标轴之间的角应 变，则加上相应的角码，分别用γ xy、γ yz、γ zx来表示。规定当夹 角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应 (正的 τ xy 引起正的 γ xy ，等等)。
弹性力学中的几个重要概念
外力 应力 形变(应变) 位移 几何方程 物理方程 虚功原理及 虚功方程
2-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称载荷)可能有两种： 表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物 体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面 力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ 、 Υ 、 Ζ 来表示。 体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、 惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分， 用记号X、Y、Z表示。
2-2 应力的概念
应力的正负ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这 个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负 方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方 向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿 坐标轴正方向为负。
2-2 应力的概念 剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的 剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此 剪应力记号的两个角码可以对调。 由力矩平衡得出 简化得 剪应力互等
2-1 弹性力学简介
弹性力学的内容 弹性力学的理论简称为弹性理论或弹性力学，研究 弹性体由于外力和温度改变而引起的应力，应变和 位移，分析结构的应力，应变和位移，检查是否满 足强度，刚度和稳定性条件。 弹性力学是固体力学的一个分支 材料力学、结构力学、弹性力学
2-1 弹性力学简介
弹性力学与材料力学的区别： 1、研究的内容：基本上没有什么区别
2-1 弹性力学简介
弹性力学进入发展阶段
而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发 展阶段。 �1856年，圣维南（ A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论； �1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论； �1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论； �1898年，基尔霍夫 (G.R.Kirchoff )建立了平板理论， G.R.Kirchoff) �1930年，苏联人发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。 �另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于 )，乐 这些能量原理的近似计算方法。许多科学家，像拉格朗日 (J.L.Lagrange J.L.Lagrange) )，铁木辛柯(S.P.Timoshenko )做出了贡献。 甫(A.E.H.Love A.E.H.Love) S.P.Timoshenko) �中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦， 胡海昌等在弹性力学的发展，特别 是在中国的推广应用做出了重要贡献。
弹性力学基础 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 弹性力学简介 应力的概念 位移及应变，几何方程，刚体位移 应力应变关系，物理方程 虚功原理及虚功方程 两种平面问题
2-1 弹性力学简介 有限元法
本课程中所指的是有限元法在弹性力学问 题中的应用。因此要用到弹性力学的某些 基本概念和基本方程。本章将简单介绍这 些概念和方程，作为弹性力学有限元法的 预备知识。
dy dZ τ yz dX dZ − τ zy dX dy =0 2 2
τ yz = τ zy
τ xy = τ yx，τ yz = τ zy，τ zx = τ xz
(2-1)
平衡微分方程
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注 意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元 体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
2-1 弹性力学简介 弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不 同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个 物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而 应变和转角都远小于 1 ，这样，在考虑物体变形以后 的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的 尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变 形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不 计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
2-1 弹性力学简介 弹性力学中关于材料性质的假定
(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的 介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应 力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。 (2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去 以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。 (3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。 这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物 体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置而变。
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
2-2 应力的概念
弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素 dx , PB= dy , PC= dz PA= PA=dx dx, PB=dy dy, PC=dz
Z
Y X
每一个面上的应力分解 为一个正应力和两个剪 应力，分别与三个坐标 轴平行
正应力
图 2-3
σ
剪应力
2-3 位移及应变、几何方程、刚体位移
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变 形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个 坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向 为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分 量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不 是定值，而是坐标的函数。
∂u u + ∆u = u + dx ∂x
v+
D" β D '
D C
B'
dy
A'
u v
A dx B
α
v+
∂v dx ∂x
B"
∂u u + dx ∂x
0
x
图 3 -4
应变分量与位移分量的关系
求剪应变 γ xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 X向线素AB的转角 α ，Y向线素AD的转角 β
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + +X =0 ∂x ∂y ∂z ∂σ y ∂τ yx ∂τ yz + + +Y = 0 ∂y ∂x ∂z ∂σ z ∂τ zy ∂τ zx + + +Z =0 ∂z ∂y ∂x τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy
应力分量
可以证明：如果 σ x、 σ y、 σ z、 τ xy、 τ yz、 τ zx 这六个量在P点 是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应 力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称 为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹 性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、 y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 {σ } 来表示： ⎧σ x ⎫ ⎪σ ⎪ ⎪ y⎪ ⎪ T ⎪σ z ⎪ ⎪ σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ⎤ (2-2) {σ } = ⎨ ⎬ = ⎡ ⎣ ⎦ ⎪τ xy ⎪ ⎪τ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩τ zx ⎪ ⎭