3.1.2导数的概念
导数的概念
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 ( x0 ) lim f . x 0 x
注意:
这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
[ x1 , x2 ] 的平均变化率为
2、瞬时变化率
x 0 平均变化率就变为瞬时变化率
定义:
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
y x'(2)求比y （3）求极限 f ( x0 ) lim x 0 x
作 业
课本习题
3-2 A组第3题
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
3.1.2 导数的概念
石泉中学 张艳琴
一.复习 1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上
y f ( x2 ) f ( x1 ) f x1＋x f x1 － ＝ x x2 x1 x
平均变化率的几何意义就是表示曲线上两点连 线（就是曲线的割线）的斜率。
y lim (3x 6) 6 x x 0
第三步:求极限 lim x 0
即：f ' (1) 6
求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
y f (1 x) f (1) [(1 x) 2 (1 x)] [(1) 2 (1)] 解:第一步:做差 3x x 2
3.1.2导数的概念
§导数的概念【运用课时】：1课时【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程》一、课前打算(预习教材月J月6,找出怀疑之处)复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。
与起跳后的时间，的关系为：∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当____________ 时平均速度的极限，即1. ∆5V=Iun—= _________________ - .As。
Δ/Ac问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是八"。
+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆xA"→o∆r为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在..(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆xy=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AV Uo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x的函数y=/(x)在点/处改变的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热.假如在第Xh时，原油的温度(单位：0C)⅜∕(X)=X2-7X+15(0≤X≤8).计算第2h和第6h.时，原油温度的瞬时改变率，并说明它们的意义.总结：函数平均改变率的符号刻画的是函数值的增减；它的肯定值反映函数值改变的快慢.例2已知质点材按规律所2y+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当Q2,Δ户O.O1时，求a.NNs⑵当Q2,4户0.001时，求——.∖t(3)求质点"在片2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Ay=/(X t)+∆x)-f(%)；其次步：求平均改变率丝=∕α°+Aγ);∆x Ax第三步：取极限得导数/'(Λ0)=R%之.当堂检测1.在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时改变率,并说明它们的意义.2.已知函数y=f(x),下列说法错误的是()A、Ay=/(Xo+∆x)-f(Xo)叫函数增量B、包一/(/,A0一/一°)叫函数在［%,4+Ar］上的平均改变率∆x∆xC、f(x)在点X0处的导数记为y,D、/(X)在点/处的导数记为广(XO)3.求函数y=Vx在X=1处的导数4.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是S(Z)=J(位移单位：m,时间单位：s),求小球在/=5时的瞬时速度. 学习小结①导数即为函数片/U)在下M处的瞬时改变率；与上一节的平均改变率不同/.⑴尸Ii m旦二Ii m/(戈。
2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.1.2导数概念
4、如图，函数 的图象在点Ｐ处的切线方程是 ， ______，
【合作探究】
例题１．已知 = +2.
（1）求 在x=1处的导数。
（2）求 在x=a处的导数。
变式１ 求下列函数在已知点处的导数：
（１） 在 处的导数；（２） 在 处的导数；
3.已知曲线 在点M处的切线与x轴平行，则点ห้องสมุดไป่ตู้的坐标是
4.过点P（－1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线垂直的直线方程是
5.根据函数 图象，估计 ．
6.已知抛物线 过点（1，1），且在点（2，—1）处与直线 相切，求a、b、c的值。
课题：3.1.2导数的概念
姓名_____________班级日期：
【学习任务】
1．了解导数的概念．
2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．
3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．
【课前预习】
1、函数 在 时的导数为，在 时的导数为
2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度即为v(t)=
3.设 若 =2，则a=.
4.若 =__________
5已知曲线 在点x0处的切线互相平行，则x0=
６过点P（—1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线平行的直线方程。
3.1.2导数的概念课后巩固姓名________
1.质点运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ）则当 时速度分别为，
2求曲线 在点 处的切线的斜率
（３） 在 处的导数．
例题２ 已知曲线 上一点 ．求：（1）点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程．
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
导数的概念课件人教新课标
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
3.1.2导数的概念课件人教新课标1
二、问题探究
问题1.已知高台跳水运动员距水面的高度 （h 单位:m）
与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系 h(t) 4.9t2 6.5t 10
求运动员在 t=1时的瞬时速度.
分析：我们先考察在 t=1附近的情况.
在 t=1之后（或之前），任选一个时刻 1+t ，
计算 1，1+t（ 或1+t，1）上的平均速度，在表格
人教A版实验教科书 选修1-1 第三章 第一节 第二课时《导数的概念》
导数的概念
一、复习回顾
探究：某高台跳水运动员距水面的高度与起跳 后的时间存在函数关系：h(t) 4.9t2 6.5t 10 计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度；
49
思考并回答下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？如何解决这个问题？
x
分享课前作业：
收集你身边的“变化率”
三、抽象概念 数学表达
从数学的角度思考上述5个实例，在“过程与 方法”、“结果的情势”上有哪些共性？
过程与方法
结果的情势
1、用运动变化的观点 研究问题；
2、应用了极限的思 想；
3、用平均变化率 逼近瞬时变化率.
1、结果都是一个确 定的值；
2、具有一样的表现 情势.
0.000001
-3.3000049
-0.000001 -3.2999951
我们发现，当t 趋近于0 时，即无论1 t 从小于
1的一边，还是从大于1 的一边趋近于1 时，平均速
度都趋近于一个确定的值 3.3.
v h(1 t) h(1) 4.9t 3.3
t
从物理角度看，时间间隔 t 无限变小时，平均速 度 v 就无限趋近于 t=1 时的瞬时速度.
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
3.1.2导数的概念
令△x = x2 – x1 ，△ y = f (x2) – f (x1) ,则
yf(x 2)f(x 1 )f(x 1 x )f(x 1 )
x x 2 x 1
x
--刻画函数值在某区间上变化的快慢
问题3 如何从数学角度来刻画温度的“骤降”？
温度 oC
时间 日最高气温
11月7日
瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称。
问题9 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x 0 )与
x 0的值
lim
x 0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim y x0 x
有无关系？
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作f (x0 )
并说明它们的意义.
解: 根据导数的定义,
f(2x)f(2) 4x(x)27xx3
x
x
所以, f(2 )li m yli(m x 3 ) 3 . 同理可得 f(6)5.
x x 0 x 0
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3C / h的速率下降; 在第6h附近,原 油温度大约以5 C / h的速率上升.
或 y |xx0
,
即f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
f
(x0 )
.
f (x0)与x的取值 有无关系？
问题10 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: )为C f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算 f(2)和f(6)
第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数 (共37张PPT) 2017-2018学年高中数学(苏教)选修1-1 名师ppt课件
(x0，f(x0)) 导数 f ′ ( x ) 的几何意义就是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 0 几何 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念 (1)导函数的定义： 若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点 都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化， 因而也是 自变量 x 的函数， 该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ． 在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处 的 函数值 ．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度.
Δt v
2 4g
1
0.5
0.25
0.1
0.05g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？
提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
3.1
3.1. 2
瞬时 变化 率 导数
理解教材 新知
知识点一
知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三
第 3 章
导 数 的 概 念
把握热点 考向
应用创新 演练
考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇， 感受到“会当凌绝顶， 一览众山小”的豪迈， 当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？ 问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？
vt0＋Δt－vt0 如果 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于一个常数， 那么这 Δt 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对 于时间的瞬时变化率．
3.1.2导数的概念
h(2) h(2 t ) 4.9t 13.1t v 2 (2 t ) t 4.9t 13.1
2
h(2 t ) h(2) 4.9t 2 13.1t v (2 t ) 2 t
4.9t 13.1
当△t = -0.01时, v 13.051 当△t =-0.001时, v 13.0951
△t =0.000001, v
……
13.1000049
△t
t(s)
-13. 1
▼
v(m/s)
2
2.001 2.0001 2.00001 2.000001
2.01
-13. 149
-13. 1049
-13. 10049 -13. 100049
-13. 1000049
ks5u精品课件
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
▼
v(m/s)
-13. 09951 -13. 0951 -13. 051
1.99 1.999 1.9999
ks5u精品课件
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
h(2) h(2 t ) 4.9t 13.1t v 2 (2 t ) t 4.9t 13.1
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
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第三章第一节导数的概念及运算重点难点引领方向重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用难点：1•积商的导数公式.2.（理）复合函数的导数.夯实基础稳固根基一'导数及有关概念1.函数的平均变化率一般地，已知函数y=f(x), xo、xi是定义域内不同的两点，记zlx=Xi—Xo，zfy=yi_yo=f(Xi)—f(Xo)=f(Xo+/x)— f(x°),贝lj当/xHO时，商认+沽f(x。
)=殳.称为函数y =f(x)从X。
到X］的平均变化率.2. (1)平均速度设物体运动路程与时间的关系是s = f(t),在to 到to+Jt 这段时间内，物体运动的平均速度是Vo =(2)瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是S=f(t),当Jt 趋近于0/Is时，函数f(t)在to 到to+Jt 这段时间内的平均变化率不= 速度.f(to+/t)—f(to)At 趋近于常数,我们把这个常数称为to 时刻的瞬时3.导数设函数y=f(x)在X。
处及其附近有定义，当自变量在x = x0附近改变量为Jx时，函数值相应地改变量/y=f(xo+/x) -f(x0).如果当Jx趋近于0时，平均变化率条= Ax。
)趋近于_个常数1,那么常数1称为函数f(x) 在点xo处的瞬时变化率.函数在点X。
处的瞬时变化率通常称为f(x)在X=X0处的导数，又称函数f(x)在X=Xo处可导.一般地，函数y=f(x)的导数f‘(x) = 〃/®0卡f(x+Jx)-f(x)吗处0 —.如果f(x)在开区间(a, b)内每一点X都是可导的，则称f(x) 在区间(a, b)内可导.在区间(a, b)内，f‘(x)构成一个新的函数，这个函数称为函数f(x)的导数.4.导数的几何意义：函数y=f(x)在点xo处的导数f ' (xo),就是曲线y=f(x)在点P(x°, yd处的切线的斜率. 导数的物理意义：物体的运动方程s = s(t)在点to处的导数s' (to),就是物体在“时刻的瞬时速度.二、导数公式1.常用的导数公式C' =0(C为常数)；(x m) ' =mx in_1(x>0, mMO 且mEQ); (x n) ' =nx n_1(nGN+)(sinx)r == cosx；(cosx)z = —sinx；O' = e , (/)' = a\na；g)，=?； (log"=盒.特别沧）=2时，f （%）=_£, 沧）=&时,f （劝=点. 2・两个函数的四则运算的导数 O)±gC< =f r (%)±g z w ；t/wg (x )]‘ =f ‘ a )ga )+/(x )g ‘(x )・特别 k/wr =c( （x ）（c 为常数）;3.(理)复合函数的导数x =y' u^x'(其中％是兀的函数) 厂(x)g(x) ~/(x)g'(X ) (ggO)・疑难误区点拨警示1.导数公式(1)要注意公式的适用范围.如(%")' =nx n~l中，“WN+, 若n^Q且〃工0,则应有Q0.⑵注意公式不要用混，如(/)' = a Ina,而不是(/)' =xa t.还要特别注意(⑷)'工u‘ v',彳'工罕.2丿o(3)函数y=»在点旳处的导数厂仇)就是导函数厂(x) 在点兀=兀0处的函数值，即厂(-^0)=f '(兀)1兀=兀0.3.要正确区分曲线y=A%)在点P处的切线，与过点P的曲线y=»的切线.［例］已知函数f(x)=ax3 + b^~3x在x=±l处取得极值, 若过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程.解析:f ' (x) = ?>ax + 2bx— 3,由题意±i是方程厂a)=o的根，2b 1一〒=0, —_=_1，故a= 1, b = 0・ 5a a曲线方程为，点A(0,16)不在曲线上. 设切点为M(xo，yo),则为=£一3xo.(x o) = 3(xo—1),化切线方程为y—为=3(玮一l)(x—比).•••点4（0,16）在切线上,/. 16 —（品一3兀0）= 3（对一1）（0—兀（）），化简得并=—8,解得x（）=—2.切点为M（—2, —2）,切线方程为9x_y+16=0.点评:在求切线方程时很容易将A(0,16)理解为曲线y=f(x 上的一点，得出如下错解：•:f ' (^) = + 2bx~3, k=f 1 (0)=—3,切线方程为y—16=—3兀，即3x~\~y—16=0.1.对函数求导时，一要熟记基本导数公式，特别是积、商、对数的导数公式要记准，二要遵循先化简后求导的原则.2.利用导数求曲线的切线方程求过某点的曲线的切线时，要先判断该点是否在曲线上，然后依据不同情况有针对性的解答.（1）当点P（xo,为）在曲线c上时，过点尸的C的切线斜率f' do），切线方程为y_yo=f' （x o y（x—x o）.（2）当点P（xo,为）不在曲线c上时，常常是先设出切点，求出幷x）的导数利用切点在曲线上和切线过点戶来求解.3.（理）复合函数求导法复合函数求导时，可依据“从外到内层层剥皮”的方法.导数的概念[例1]若f r则lim心一0f{a + Ax) ~f{a—Ax)Ax解析:原式= lim0 +心)―畑+弘)—他_ Ax)Ax= lim 心〜0 弘+心）―他）Ax+ lim一心—0弘一Ax)—/(a)_Ax=A+A = 2A. 答案：2A跟踪练习❶线丁=/（兀）上点（1，貳1））处的切线斜率为（）设/W 为可导函数，且满足lim L 0几1)—/(l —2对1，则过曲A. 2 B・—1 C・1 De — 2则y=/（x ）在点（1,几1））处的切线斜率为一1,故选B. 答案：B 2x L O厶兀%f0 解析:命题方向导数的几何意义4［例2］已知点F在曲线y= /肓上，角Q为曲线在点尸处的切线的倾斜角，贝临的取值范围是（）7171 71A. ［0, 4）B.［才，㊁）兀3兀371C・（29y］ D・［才,71）分析：曲线在点尸（氐，为）处的切线的斜率为该点处的命题方向导数的几何意义导数y' \x=x（）,又倾斜角a与斜率关系为k=tana, .*.tana=y/ k =x0,由导函数的值域可求出倾斜角a的取值范围.4•••『>0，•••才+4 22（当且仅当兀=0时取等号）， 14 •••R+r+2$4, .\0<. W1, /. 一 1 WtanuVO, e v , 1e +r+2e3兀 解析：Ty'= 4孑宦+1尸4幺兀/,tana=_（7+i?=4/ （『）2 + 2/+1 "+r+2 e4 [0, 7i）, .••aW [寸，7i）,故选D・答案：D跟踪练习❷＜（文）曲线y=xsinx在点所围成的三角形的面积为（兀2 2X込B・7TC. 2T CD.|（2+TT）2、7T 71—□寸处的切线与兀轴、直线％=兀)=sinx+xcosx, •：y•••曲线/ 亠t 7T 7Ty = xsiax在点［—刁刖处的切线方程为y=-x,所围成的三角兀2 形的面积为亍・故选A.答案：A点评：求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数值，得到切线斜率.再写出切线方程.命题方向导数公式及运算法则［例3］设/o(x) = sia¥, fi(x)=f o f (Q，f2(Q=fJ (兀)，…, fn + M=fn' (%)，"WN,则力013(兀)等于() A・ sinx B・—sinxC・ cosx D・—cosx解析：办(x) = sinx,fx (x) —/o r (x) = (sinv)' — cosx?j^2(x) ~yi r (x) = (cosx) / = _ sinx,£(劝=九/ (x) = ( _sinx)r = _cosx,办(x)=為/ (x) = ( _cos%) / =sinx,•*•4 为最小正周期，•••£OI3(X)=/I(X)= COSJV・答案：C跟踪练习❸(1)已知f(x)=x2+3xf' (2),贝I」广(2)=(2)函Sy=cos|(sin|—cos|)的导数为—幺人+ 1(3)(理)y= x—的导数为_________ •解析：(l)Vf,(x) = 2x+3f r (2),:f (2)=4+3f z (2), :.f r (2)=—2.x x x(2) ■ j=cos^Csin^—cos^)x x 2x 1 1=cos ㊁sin ㊁—cos^=㊁sE—㊁(1 十cosx)1 1=2(sinx—cosx)—㊁,•/ I i . 7t「•y =2(cosx十siru)= ? sin(x十才).(e A+1)，(R — 1)—(才+ l)(e A— I)，(3)(理)» =e A-(e A— 1) —(”+])・” 一2e A=(e x~l)2 =(e A-lf、/2 71答案:(1)-2 (2)y f =*sin(x+a)(3)(理)综合应用[例4](文)己知函数»=?+x-16.⑴求曲线在点(2, —6)处的切线的方程；(2)直线I为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线I 的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线y= 一卜+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解析：(l)°・f (X)=3X2+1,.*.»在点(2, —6)处的切线的斜率为k=f (2)=13. •:切线的方程为13x—y—32 = 0.(2)解法1：设切点为(牝，为)，则直线/的斜率为厂仇)=3卅+1,・°.直线I的方程为y=(3x：+1)(%—尬+丘+丸一16, 又•・•直线/过原点(0,0),・°.0 = (3x$+1)(—xo)+£+x()—16,整理得，X Q=—8,・°・兀0=—2,・；yo=—26, k= 13.•：直线I 的方程为y= 13“切点坐标为（一2, —26）.解法2：设直线/的方程为y=kx,切点为（%0，为）， 又(x 0) = 3%o + b •: ~ =3并+1,兀0加牛得，x （）= —2，••）'（）= —26, £=13・直线I 的方程为y= 13“切点坐标为（一2，—26）. x⑶•••切线与直线a+3垂直, 则k= 为―0 £+沟—16兀0—0 x ()•••切线的斜率k=4・设切点坐标为为），则厂（兀0）= 3并+1=4,切点坐标为（1, 一14）或（一1，—18）,切线方程为y=4x —18 或y=4x—14.即4x一y_ 18 = 0 或4x~y一14 = 0.跟踪练习❹❷（文）（2011•镇江模拟）曲线尸$+少在点F（l, |）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）49 49_A,36 B-14449 49C—— D —»・72解析：•=异+兀，•・y' L=i =2, • • k=2；则函数y= |x3 + ^x2在点F(l, |)处的切线方程为y—1=2(%—1),与坐标一7 7轴的交点坐标为(0,—石)，(迁，0),所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1 7 7 495=2XI_6IX12=144 ・答案：B课堂巩固训练一、选择题1.（文）（2011•重庆文）曲线y=-? + 3＜在点（1,2）处的切线方程为（）A・y=3x—1 B・y=—3兀+5C ・ y —3x+5D ・ y~ 2x［答案］A［解析］•••» =—3/+6壮•••曲线在点(12)处的切线的斜率k=—3 + 6 = 3,・°・切线方程为y~2 = 3(x— 1).即y = 3x—l.2.（文）（2011・信阳高中月考）已知二次函数/仗）的图象如图所示，则其导函数厂（劝的图象大致形状是（）\yBAc D［答案］B［解析］因为二次函数在(一8, 0)上递增，在(0, +®) 上递减，所以其导函数在(一8, 0)上大于0,在(0, +°°)上小于0,故选B3・（2011-通州模拟、山东临沂质检）已知直线ax—by—2 =0与曲线在点P（l,l）处的切线互相垂直，贝吋为（）2 2A5 B. -51 1C3 D・飞［答案］D［解析］由得y‘ =3/, 即该曲线在点P(l,l)的切线的斜率为3.t CM> I—t 1由3X方=_1，付厶=_亍。