投影法的基本概念

直线对投影面的相对位置分类
（一）投影面平行线
水平线//水平面
正平线//正平面
侧平线//侧平面
特 殊
位
（二） 投影面垂直线
置
直 铅垂线水平面 线
正垂线正平面
侧垂线侧平面
（三）一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线
（一）投影面平行线——水平线
z
Z
a
b a b Va
b
x
o
yW
A
a
βγ B
b W
a
X
O
b yH
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
1) 投影面垂直面
铅垂面
正垂面 侧垂面
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
b
A a
a b
H
C PH c
投影特性：1、 abc积聚为一条线
c
b
2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
d’’
a’’
o
YW
结论：
空间直线
AB和CD是
两交叉直线
YH
例1 已知长方形ABCD中BC边的两投影、AB 边的正面投影（a’b’//OX)，求作长方形的两投 影。
d’
c’
a’
b’
X
a
b
d
c
第三部分 平 面
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任 作一条直线。
解法一
根据定理一
b
m a
n c
解法二
a
根据定理二
d b
c
mb a
b d
a
n c 有多少解？
c
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
10
a
m b b
m a
有多少解？ n
c 唯一解！
c n
2.平面上取点 面上取点的方法：
a’
x
1’(2’) c’
d’ b’
o
b 2
a
1d
c
交叉两直线的同面投影中，可能有一组或两组同面投影互相平
行，但它们的第三组同面投影是不平行的。
同理，交叉两直线的同面投影中，可能有一组、两组或三组同 面投影相交，但它们的交点不符合点的投影规律。
例1 . 判断空间两直线AB、CD的相对位置。
z
c’’
b’’
•2. a’b’OX ; a’’ b’’ OY
•3. a’b’ = a’’b’’ =AB
（二）投影面垂直线——正垂线
投影特性： •1. a’b’ 积聚 成一点 •2. ab OX ; a’’b’’ OZ •3. ab = a’’b’’ =AB
W H
（二）投影面垂直线——侧垂线
投影特性： •1. a’’b’’ 积聚 成一点 •2. ab OY ; a’b’ OZ •3. ab = a’b’ =AB
三、三视图间的投影规律
高
H
长 宽
宽
V
高度
Z
W O
主、俯视图长对正 主、左视图高平齐 俯、左视图宽相等
三
等
X
规 长度 律
Y
宽度
§ 2—3 点、直线和平面的投影
第一部分 点
一、点在一个投影面上的投影 P
● a
过空间点A的投射线与投影 A●
面P的交点即为点A在P面上的
投影。
P
点在一个投影面上的投
B1 ● b B2 ●
投影特性：
a βγ
b Y
1. a'b'//OX，a"b"//OY 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小
（一）投影面平行线——正平线
投影特性： 1. ab//OX ， a"b"//OZ 2. a'b'=AB 3. 反映、角的真实大小
（一）投影面平行线——侧平线
投影特性： 1.a'b'//OZ ， ab//OY 2.a"b"=AB 3.反映 、 角的真实大小
投影面平行线的投影特性
1. 在与其平行的投影面上的投影反映实长,其与相邻投影 轴的夹角反映直线对另外两投影面的真实倾角；
2.另两投影长度缩短,且分别平行与相应的投影轴。
（二）投影面垂直线——铅垂线
Z
Va
z
a
A
a
b
W xb
o
X
BOb
a
b yW
a(b)
a(b)
投影特性：
Y
yH
•1. a b 积聚 成一点
Z
oW
H
Y
三个投影面互 相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
Z
a 点A的正面投影
V a●
a 点A的水平投影 X
A
●
● a
o
W
a 点A的侧面投影
a●
H
Y
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
投影面展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
例1 已知线段AB的投影图，试将AB分成 AC:CB=2 : 1两段，求分点C的投影。
b
c
AC:CB
= ac:cb
a
=
X
Oa’c’:c’b’
b
= 2:1
c
a
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影 （一）平行两直线
bc
c’
ca
判别：
若两直线的 各同面投影均 a’ 互相平行 ,则它 们空间平行。 b’
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
Z
a ●
Z az
a
●
V
a
●
az
X ax
A
O
Y X ax
●
ay
●a
W O
a●
a●
ay
Y
H
点 的
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
ay
Y
投
② aax= aaz=y=A到V面的距离
影 规
aax= aay=z=A到H面的距离
律:
aay= aaz=x=A到W面的距离
Z
点的三面投影和坐标
a● ax
a●
az
a
●
例：已知点的两投影，求其第三投影
d’
x
a’ e’
da
z
d’’
f’
f’’
a’’
e’’ YW
0
f
e
YH
四、两点的相对位置
两点的相对位置指
a●
两点在空间的上下、前后、
b●
左右位置关系。
X
判断方法：
a●
●
b
▲ x 坐标大的在左
Z ●a ● b YW
YH
▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a’
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是 否属于该平面。
b
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
●
d
a●
c ● a●
● b ●b
a●
●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 两平行直线 两相交直线 平面图形 外一点
2、平面的迹线表示法
V
PV
P
H PH
V
QV
Q H QH
PV PH QV
QH
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
e d c
a
c a
e
d
b
§ 2—4 立体表面上点的投影 棱柱
取点的原理和方法与在平
棱柱表面取点：面上取点的原理和方法相同。
棱锥
棱锥由几个三角形的 侧棱面和一个多边形 的底面围成。各侧棱 面为共顶点的三角形。
圆柱
由圆柱面和顶圆平面、底圆平面 围成的。圆柱面是由一条直母线 绕与其平行的轴线旋转而成的。
影不能确定点的空间位置。
B3 ●
●
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
2、点在两投影面体系中的投影
V a
A
Z
X
X
O
Hale Waihona Puke Baidu
Y
Ha
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
3、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴 2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的
一、视图的基本概念
用正投影法所绘制的物体的投影
B1
A
B2
b
V
a
H
单面投影： 点不定位， 体不定形。
二、三视图的形成 Z
1. 三面视图 主视图
正面投影—
主视图
V
O
水平投影— 俯视图
侧面投影—
左视图
X
俯视图
W
左 视 图
Y
2. 形成三视图
Z
V
W
X
O
YW
Z
Z
W V
O
H
YH
XX
Y
Y
H
三视图
三视图与投影面的边界和投影轴无关。
水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。 点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
的距离.
三、点的三面投影
正面投影面（简称
V
投 正面或V面）
影 水平投影面（简称 X 面 水平面或H面）
侧面投影面（简称
侧面或W面）
投 OX轴 V面与H面的交线 影 OY轴 H面与W面的交线 轴 OZ轴 V面与W面的交线
平行
垂直
倾斜
投 影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性 类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
第二部分 一、 直线的投影
A
直线
C
B D
a
b c(d)
H
直线的投影一般情况下仍为直线，特殊情况 下为一点。
一、直线的投影
aAa
a za
b
γ βα
b
x
o
b
a
b
yW
Ba
b
b
yH
直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影 但不能确定直线对投影面的倾角
二、特殊位置的直线
三 棱 锥 各 棱 线 的 位 置 分 析
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
c
投影特性： H
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
2 、 水平投影abc反映 ABC实形
正平面
V
b
b
b
a
B
b
c
W
A a
c
a
a
c
C
c
c
投影特性：H
b
a
c
ba
1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、正平面投影abc反映 ABC实形
W H
（三）一般位置直线的投影特性
aAa
a za
b
b
x
o
b
yW
b
a
Ba
b
b
yH
1. 直线的三个投影均为长度缩短的直线; 2. 直线的投影中不能反映直线的实长和倾角。
四、直线上点的投影
V
a
c
A
C b
B ca
b
AC：CB = ac：cb = a’c’：c’b’ = a’’c’’：c’’b’’ 1.点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上； 2. 点分线段成定比，其空间比等于投影比。
若为一般 X 位置直线，由 a 两面投影互相 平行即可判断 b 两直线空间平 行。
Z d’ a”
c” c’
O c
d
YH
d” b” YW
（二）相交两直线 d
V
d
b
b
k'
k
a
'
cC K
B D
a c
X
O
c
b
X
A
c
O
b
a
k
d
a
k
d
相交两直线的同面投影必相交，且交
点的投影符合点的投影规律。
（三）交叉两直线
注意转向线 的意义
圆柱表面上取点:
当圆柱轴线处于垂直线位 置时，其圆柱面在轴线所 垂直的投影面上的投影有 积聚性，其顶圆、底圆平 面的另两个投影有积聚性。 例如，在图中，已知点M 的正面投影m′、点N的侧 面投影n″和点K的水平投 影k，求各点的另两面投 影。
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
投影特性： a
b
b
类似性
c c
βc b
a
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
2) 投影面平行面
水平面
V
a b c b a c
B点在A点之前、 之右、之下。
例: 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之 右8毫米，求A点的投影。Z
a
a
9
b
X
O
8
5
b
a YH
b
YW
重影点：
A、C为H面的重影点
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
a ●
●a
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
一般位置平面
b
a
B
b
b a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
a
c
c
a
投影特性
1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、 不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平 面内的方法
定 理一
若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
的关系为：
V a'
➢ 水平投影 a 反映A 点X和Y的坐标；
➢ 正面投影 a'反映A X
y Ax
W
a" O
点X和Z的坐标；
z
➢ 侧面投影a"反映A
点Y和Z的坐标。
Ha
Y
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
用分规直接量 取aaz=aax
正垂面
V
b
QV
a
A
c
C
b c
a α
W B
c
Q
a
b c
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线
b
2 、 abc、abc ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
侧垂面
b
V
S B
SW
b
a
W
b c β c
α a
c
b
C
a
c
A
H
a
投影特性：1、 abc积聚为一条线
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形
侧平面
b
V
c
B
b
a
b a
b
W c
c
a
A
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
第二章 制图原理
§ 2-1 投影法
一、投影法的基本概念
投影法 A
S 投射中心
投射线 投影面
C
Bc
a
投影
P
b
二、投影法的种类
1. 中心投影法 — 投射线汇交于一点的投影法。
2. 平行投影法—所有投射线都互相平行的投影法
1）斜投影法—
2）正投影法—
投射线与投影面倾斜
投射线与投影面垂直
§ 2—2 三视图