北京昌平区2017-2018高一数学上学期期末试题带答案
2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷(精品解析)
2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.计算：sin2π3=()A. −√32B. √32C. √22D. −√22【答案】B【解析】解：sin2π3=sin(π−π3 )=sinπ3=√32．故选：B．把所求式子中的角2π3变形为π−π3，利用诱导公式sin(π−α)=sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键．2.若0<a<1，则函数f(x)=a x+6的图象一定经过()A. 第一、二象限B. 第二、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限【答案】A【解析】解：当0<a<1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f(x)=a x+6的图象是把y=a x向上平移6个单位得到的，故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限，故选：A．根据函数y=a x经过第一、第二象限，可得函数f(x)=a x+6的图象经过的象限．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．3.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=lnxD. y=x3+x【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=e x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=tanx为正切函数，在其定义域内不是增函数，不符合题意；对于C，y=lnx为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=x3+x，有f(−x)=−(x3+x)=−f(x)，为奇函数，且其导数y′=3x2+1>0，在其在定义域内是增函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.已知函数g(x)=f(x)−x，若f(x)是偶函数，且f(2)=1，则g(−2)=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】解：∵函数g(x)=f(x)−x，f(x)是偶函数，若f(2)=1，则f(−2)=1，g(−2)=f(−2)+2=3，故选：C．由已知可得f(−2)=1，代入可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．5.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，则a⃗⋅b⃗ =()A. 0B. mC. −mD. m2【答案】A【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，∴|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，∴a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，∴a⃗⋅b⃗ =0．故选：A．推导出|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，由此能求出a⃗⋅b⃗ =0．本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．6.不等式3 −x2+6>3x的解集是()A. (−3,2)B. (−2,3)C. (−∞,−3)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：不等式3 −x2+6>3x等价于−x2+6>x，∴x2+x−6<0，−3<x<2，∴不等式的解集是(−3,2)．故选：A．根据指数函数的单调性把不等式化为一元二次不等式，再求解即可．本题考查了可化为一元二次不等式的指数不等式解法问题，是基础题．7.函数y=ln(−x2+2x+3)的减区间是()A. (−1,1]B. [1,3)C. (−∞,1]D. [1,+∞)【答案】B【解析】解：令t=−x2+2x+3>0，求得−1<x<3，故函数的定义域为(−1,3)，且y=lnt，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=−(x−1)2+4在定义域内的减区间为[1,3)，故选：B．令t=−x2+2x+3>0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质求得t=−(x−2)2+9在定义域内的减区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()A. A=3，T=2πB. B=−1，ω=2C. T =4π，φ=−π6 D. A =3，φ=π6【答案】C【解析】解：由图可得：{−A +B =−4A+B=2⇒{B =−1A=3T2=4π3−(−2π3)=2π⇒T =4π，ω=2πT=2π4π=12，12×4π3+ϕ=π2⇒ϕ=−π6．故选：C ．从图象可得最大值和最小值，相邻的最大值与最小值的横坐标之差的绝对值是半个周期，可求ω，由最值求ϕ． 本题很好的考查了由函数y =Asin(ωx +ϕ)+B 的部分图象求其解析式．9. 某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果( ) A. 提高了 B. 降低了 C. 不提不降(相同) D. 是否提高与m 值有关系 【答案】B【解析】解：设期中考试英语成绩为a ，数学成绩为b ，则(1+10%)2a =m ，(1−10%)2b =m ， 所以a =m1.21，b =m0.81，则a +b =m1.21+m0.81≈2.06m >2m ，所以总成绩比期中成绩降低了． 故选：B ．本题主要考查函数模型及其应用．本题考查了归纳推理的应用，和计算能力，属于比较基础的题目．10. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120∘，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC =λ，DFDC =μ.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则λ+μ=( )A. 12B. 23C. 34D. 56【答案】D【解析】解：由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120∘+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘=4λ+4μ−2λμ−2=1， ∴4λ+4μ−2λμ=3①．CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅=−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −⋅(−FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−②． 由①②求得λ+μ=56，故选：D ．利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求得4λ+4μ−2λμ=3①；再由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求得−λ−μ+λμ=−23②.结合①②求得λ+μ的值． 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 计算：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=______． 【答案】5【解析】解：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=(2×8) 14+1+2=2+1+2=5．故答案为：5．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12. 要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移______个单位． 【答案】π8【解析】解：要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移π8个单位， 故答案为：π8．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．13. 函数y =cos 2x +3cosx +2的最小值为______． 【答案】0【解析】解：函数y =cos 2x +3cosx +2， =(cosx +32)2−14．当x =−1时，y min =(−1+32)2−14=0． 故函数的最小值为0． 故答案为：0首先通过函数的关系式的恒等变换，进一步利用函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )，则实数λ=______．【答案】43【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2⋅√3⋅(−√32)=−3， 由于a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )， 则a ⃗ ⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=0， 所以：4−3λ=0， 解得λ=43． 故答案为：43．直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果． 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用．15. 已知函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，定义函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点，则实数k 的取值范围为______．【答案】[−1,1)【解析】解：函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，可得x >3时，f(x)=log 13x 递减， 可得f(x)<−1；当x ≤3时，f(x)=−x +4递减，可得f(x)≥1， 即有f(x)的值域为(−∞,−1)∪[1，+∞)， 由函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点， 则f(x)−k =0无解，即f(x)=k 无解， 则k 的范围是[−1,1)． 故答案为：[−1,1)．运用一次函数和对数函数的单调性，可得f(x)的值域，由题意可得f(x)=k 无解，可得k 的范围．本题考查函数方程的转化思想和函数零点问题解法，注意运用对数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．16. 已知数集X ={x 1,x 2,…,x n }(其中x i >0，i =1，2，…，n ，n ≥3)，若对任意的x k ∈X(k =1,2，…n)，都存在x i ，x j ∈X(x i ≠x j )，使得下列三组向量中恰有一组共线： ①向量(x i ,x k )与向量(x k ,x j )； ②向量(x i ,x j )与向量(x j ,x k )；③向量(x k ,x i )与向量(x i ,x j )，则称X 具有性质P ，例如{1,2，4}具有性质P ． (1)若{1,3，x}具有性质P ，则x 的取值为______(2)若数集{1,3，x 1，x 2}具有性质P ，则x 1+x 2的最大值与最小值之积为______． 【答案】13,√3,91003【解析】解：(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，当(1,3)与(3,x)共线时，可得x =9，此时另外两组不共线，符合题意， 当(1,x)与(x,3)共线时，可得x =√3，此时另外两组不共线，符合题意， 当(3,1)与(1,x)共线时，可得x =13，此时另外两组不共线，符合题意， 故x 的取值为：13，√3，9；(2)由(1)的求解方法可得x 1=13，√3，9， 当x 1=13时，由数集{1,3，13，x 2}具有性质P ，①若(1,3)与(3,x 2)；(1,x 2)与(x 2,3)；(3,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=9，√3；②若(1,13)与(13,x 2)；(1,x 2)与(x 2,13)；(13,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=√33，19；③若(3,13)与(13,x 2)；(3,x 2)与(x 2,13)；(13,3)与(3,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=127，27；故{1,3，13，x 2}具有性质P 可得x 2=127，19，√33，√3，9，27；同理当x 1=√3时，{1,3，√3，x 2}具有性质P 可得x 2=13，√33，√34，√274，3√3，9； 同理当x 1=9时，可得x 2=19，13，√33，√3，3√3，27，81；则x 1+x 2的最大值为90，最小值为13+127=1027， 故x 1+x 2的最大值与最小值之积为90×1027=1003．故答案为：(1)13，√3，9；(2)1003．(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，分别求出相应的x 的值即可；(2)由(1)知，可得x 1=13，√3，9，再利用新定义验证，得到{1,3，13，x 2}具有性质P 时的x 2=127，19，√33，√3，9，27，同理分别得到{1,3，√3，x 2}以及{1,3，9，x 2}具有性质P 时的x 2的值，即可得到x 1+x 2的最大值与最小值之积． 本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 17. 已知函数f(x)=2sin(x +π6).(I)若点P(1,−√3)在角α的终边上，求：cosα和f(α−π6)的值； (II)若x ∈[−π3,π2]，求f(x)的值域． 【答案】解：(I)点P(1,−√3)在角α的终边上， ∴cosα=22=12． f(α−π6)=2sinα=√x 2+y2=−√32． (II)由x ∈[−π3,π2]， 那么：x +π6∈[−π6,2π3].∴−12≤sin(x +π6)≤1． 故得f(x)的值域为[−1,2]．【解析】(I)根据三角函数的定义，即可求解cosα，f(α−π6)的值； (II)由x ∈[−π3,π2]，结合三角函数的性质可得f(x)的值域．本题考查三角函数的定义和函数的性质的应用，难度不大，属于基础题．18. 设函数f(x)的定义域为R +，且满足条件f(4)=1，对任意x 1，x 2∈R ﹢，有f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x 1≠x 2时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0．(1)求f(1)的值；(2)如果f(x +6)>2，求x 的取值范围．【答案】解：(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0． (2)由条件可得f(16)=f(4)+f(4)=2，由f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，可得函数f(x)在定义域R 上是增函数，再根据f(x +6)>2，可得f(x +6)>f(16)，∴x +6>16，x >10．【解析】(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1)+f(1)，由此求得f(1)的值． (2)由条件可得f(16)=2，再根据函数f(x)在定义域R 上是增函数以及f(x +6)>2，可得x +6>16，由此求得x 的值． 本题主要考查函数的单调性的判断，求函数的值，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．19. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A 、B 、C 三点共线；(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2的最小值为5，求实数m 的值．【答案】解：(1)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，故A 、B 、C 三点共线． (2)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+23sinx,cosx)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sinx,0)， 故 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+23sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，(x ∈[0,π2])． 从而f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =1+23sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2=cos 2x +(2m +1)sinx +1+m 2 =−sin 2x +(2m +1)sinx +2+m 2=−(sinx −2m+12)2+2m 2+m +94，关于sinx 的二次函数的对称轴为sinx =2m+12，∵x ∈[0,π2]，∴sinx ∈[0,1]，又区间[0,1]的中点为12．①当2m+12≤12，即m ≤0时，当sinx =1时，f(x)min =m 2+2m +2．由f(x)min =5得m =−3或m =1，又m ≤0，∴m =−3； ②当2m+12>12，即m >0时，当sinx =0时，f(x)min =2+m 2， 由f(x)min =5得m =±√3，又m >0，∴m =√3．综上所述：m 的值为−3或√3．【解析】(1)利用向量共线定理证明AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；(2)利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20. 已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断.定义：f 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])， f 2(x)=max{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])．其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最小值， max{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x)−f 1(x)≤k(x −a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶收缩函数”．(I)若f(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]，请直接写出f 1(x)，f 2(x)的表达式；(II)已知函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]，试判断f(x)是否为[−1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，f 1(x)=−1，f 2(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]； (Ⅱ)函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]， 可得f 1(x)={0,1<x ≤4(x−1)2,−1≤x≤1， f 2(x)={(x −1)2,3<x ≤44,−1≤x≤3，若f(x)为[−1,4]上的“k 阶收缩函数，则f 2(x)−f 1(x)≤k(x +1)在[−1,4]上恒成立， 当−1≤x ≤1时，f 2(x)−f 1(x)=4−(x −1)2， 有4−(x −1)2≤k(x +1)在[−1,1]上恒成立， x =−1显然成立； 当−1<x ≤1时，k ≥4−(x−1)2x+1的最大值，由4−(x−1)2x+1=3−x ∈[2,4]，可得k ≥4；当1<x ≤3时，f 2(x)−f 1(x)=4， 有4≤k(x +1)在(1,3]上恒成立， 即k ≥4x+1的最大值，可得k ≥2；当3<x ≤4时，f 2(x)−f 1(x)=(x −1)2． 有(x −1)2≤k(x +1)在(3,4]上恒成立，即k ≥(x−1)2x+1的最大值，由(x−1)2x+1=(x +1)+4x+1−4∈(1,95]，可得k≥9，5综上可得k≥4，则存在k=4，f(x)为[−1,4]上的“4阶收缩函数”．【解析】(Ⅰ)利用新定义，代入计算，可得f1(x)，f2(x)的表达式；(Ⅱ)运用新定义，求得f1(x)，f2(x)，可得f2(x)−f1(x)，再由恒成立思想和参数分离，可得k的范围，即可判断存在k．本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生对新问题的理解，考查学生的计算能力，属于难题．。
XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷
XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。
-2 B。
-1 C。
1 D。
22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。
- B。
C。
-2 D。
2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。
- B。
C。
-2 D。
23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。
3/33 B。
- C。
3 D。
33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。
3/33 B。
- C。
2017-2018高一数学上学期期末考试(带答案)
2017-2018学年上学期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题二、填空题13. 1314. {}6,5,2- 15.55-16. {}1,0,1-三、解答题17.解：{}1A aa=-，，{}2,B b =，.................................2分 （Ⅰ）若2a =，则{}12A =，，A B=∴11b a =-=.若12a -=，则3a =，{}23A =，，∴3b =.综上，b的值为1或3.......................................5分 （Ⅱ）∵{|24}C x x =<<，,A C C A C=∴⊆,.................................7分 ∴24,214a a <<⎧⎨<-<⎩∴34a <<. ∴a的取值范围是（3,4）.......................................10分 18.解：(I)直线BC的斜率32141BC k +==+.∴BC边上的高线斜率1-=k，........................... ......3分∴BC边上的高线方程为：()23y x-=-+即：10x y++=，......................... ..............6分(II) )2,1(),3,4(--CB由)2,1(),3,4(--CB得直线BC的方程为：10x y--=........................... ......9分A∴到直线BC的距离d==1152ABC S ∆∴=⨯=........................................12分19.解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为()48040152040x x--=-，.......................3分 由于x >，且520x ->，即0x <<，.......................................6分于是,可得()520y x =-240522,x xx =-+-<<.......................9分 易知，当6.5x =时，y有最大值，所以，只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.......................12分 20.证明（Ⅰ）CDEFABCD 平面平面⊥，CDCDEF ABCD =平面平面 ,在正方形CDEF中,ED DC ⊥∴ABCDED 平面⊥,ED BC∴⊥.................................2分取DC的中点G连接BG，12DG DC =,在四边形ABCD中，//,AB DC 12AB DC =,ABGD四边形∴为平行四边形，所以,点B在以DC为直径的圆上，所以DB BC⊥,............................4分 又ED BD D=,所以BBC 平面⊥,......................................6分 （Ⅱ）如图,取DC的中点G，连接AG,在DC上取点P使13DP DC =,连接NP13D ND P D ED C ==，//PN EC ∴,//PN BCE∴面,................8分连接MP，23DM DP G DC DA DG ∴==为中点，,//MP AG ∴.又//,,AB CG AB CG ABCG=∴为平行四边形，//AG BC∴,//MP BC∴,//MP BCE∴面,.................................10分 又MP NP P=，MNP BCE ∴平面//平面. MNPMN 平面⊂ ,所以MN//平面B........................................12分21.解：（Ⅰ）当3m =时， f(x)为R 上的奇函数。
北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题(精品解析含答案)
昌平区2018－2019学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，,那么等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【详解】集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，则A∪B＝{﹣1，0，2，3}．故选：A．【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.已知角α的终边经过点，那么的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a的终边经过点P，∴sin a，故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：诱导公式4.已知向量, 且，那么实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】∵，∴；∴m＝2．故选：C．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．6.已知那么a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．7.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4﹣4（）＞0，由此求得m的范围．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4﹣4（）＞0，求得m＜-1或m>2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题．8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得a＝5,b=20，故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,∴最少需要的时间为25min．故选C.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.10.已知集合，, 则__________.【答案】【解析】【分析】直接由交集的定义求得结果.【详解】，,∴A∩B＝．故答案为．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题．11.__________.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12.已知向量，向量与的夹角为, 那么__________.【答案】【解析】【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．13.已知函数的图象如图所示，那么函数__________,__________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式．【详解】由题意可得T•，解得ω＝2．再由五点法作图可得2＝，解得，故答案为(1). 2(2). ．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．14.已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可）【答案】（不是唯一解）【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．故答案为：f（x）＝x2．【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题．15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．（1）当时，__________；（2）若的值域是，则的取值范围为__________.【答案】(1). (2). （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,所以若f（x）的值域是R，则当x＞0时，f（x）＝必须满足：，或，解得a≥2或a≤-2，即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．三、解答题（共5个小题，共70分）16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.【详解】（1）由，解得.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题．17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得x的范围即得单调递减区间.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小值．【详解】（1）所以函数的最小正周期是.（2）由题意知故所以函数单调递减区间为.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故f（x）在时取得最小值为.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数；（3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由解得所以, 故函数的定义域是.（2）函数是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数是奇函数.(3) 由可得 .得解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数和的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，① 当，即时，==，所以当时，有最大值13600．当，即时，h=，因为的对称轴方程为，所以当时，是增函数，所以当时，有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．20.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：① 函数在上是单调函数；② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可. 【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因为函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，,所以，解出.所以，又因为，所以或.【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．。
北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
β（A）AD昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知抛物线的方程是y2=2x，则它的焦点坐标是（A）(1 ,0) 2 1（C）(0,)21（B）(-,0)21（D）(0,-)2命题意图：考查抛物线的定义。
基础题（2）已知平面α的法向量为(2,-4,-2)，平面β的法向量为(-1,2,k)，若α//，则k=﹙A﹚-2﹙C﹚1（B）-1（D﹚2命题意图：考查两个平行平面的法向量的关系。
知道空间向量平行的条件就可得出答案。
基础题（3）圆x2+y2=4与圆x2+y2-4y+3=0的位置关系是（A）相离（C）外切（B）相交（D）内切命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。
用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。
1（4）如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则AB+(B D+BC)等于2ADBGC（B）BG（C）CD（D）AG2命题意图：考查空间向量的加法。
熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。
（5）“直线 l 与平面 α 无公共点”是“直线 l 与平面 α 平行”的（A ）充分而不必要条件 （C ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件命题意图：考查直线与平面平行的定义，充要条件。
理解直线与平面平行的定义，理解充要条 件才不会错选。
（6）若方程 x 2 +（A ） (0,1)（C ） (1,2)y2 m = 4 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是（B ） (0 ,2)（D ） (1,+∞)命题意图：考查椭圆的定义，标准方程，性质。
此题若学生没有关注到方程非标准方程，错误认为1 > m,m > 0 也能得出正确答案。
北京市昌平区2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，则（∁U A）∩B=（）A. 2，4，5，B. 3，4，C. D.2.已知角θ的终边经过点（4，-3），则cosθ的值是（）A. B. C. D.3.已知向量=（m，-1），=（2，4），若 ⊥，则m的值为（）A. B. 2 C. D.4.设函数f（x）=a|x|（a＞0，a≠1），且f（2）=4．则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（）A.B.C.D.6.已知α，β都是锐角，若sinα＞cosβ，则下列结论正确的是（）A. B.C. D. 与大小关系不确定7.中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加．”“腊”指十二月，“冬”指十一月.2017年3月15日为星期三，记作：f（170315）=三．已知f（171111）=六，则f（171212）=（）A. 六B. 日C. 一D. 二8.对于函数，下列命题①函数图象关于直线对称；②函数图象关于点，对称；③函数图象可看作是把f（x）=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到．其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.函数f（x）=2x|lg x|-1的零点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，函数f（x）的图象为折线ACB，g（x）=2x-1．令函数H（x）=min{f（x），g（x）}，其中min{x1，x2}表示x1，x2这两个数中最小的数．则H（x）取最大值时对应的x的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知A（4，-3），B（-2，1），则=______．12.已知tanα=2，则=______．13.3-2，20.9，log25三个数中最大的数是______．14.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若，则cosβ=______．15.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=1，BC=2，点P是梯形ABCD边上的动点，沿着A→B→C→D→A方向运动．则=______；的取值范围是______．16.已知函数＞，．若f（9）=5，则a=______；若f（x）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1＜x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．（I）求A∩B，∁U A∪B；（II）若（A∪B）∩C=∅，求a的取值范围．18.已知函数f（x）=sin2x+2cos2x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（III）求函数f（x）在，上的最大值和最小值．19.已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+1（a∈R），且f（-1）=f（3）．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）设．判断函数g（x）的奇偶性，并证明．20.如图，已知A（-1，1），B（5，3），C（4，0）．（Ⅰ）求，＞；（Ⅱ）若，∈，求的值；（III）设点P（m，-m），若P，B，C三点共线，求m的值．＜r≤1）的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点P落在上，相邻两边CQ，CR落在正方形ABCD的边BC，CD上．设，记停车场PQCR的面积为f（θ）．（I）求f（θ）；（II）记f（θ）的最大值为g（r），求g（r）．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，∴∁U A={1，2，5，6}，则（∁U A）∩B={2，5}，故选：C．根据集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵角θ的终边经过点（4，-3），则x=4，y=-3，r=5，cosθ==，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量=（m，-1），=（2，4），若⊥，则=0，2m+（-1）×4=0，解得m=2．故选：B．根据⊥时•=0，列方程求得m的值．本题考查了平面向量的垂直关系应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=a|x|，若f（2）=4，则a2=4，则a=2，则f（x）=2|x|=，函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，0）上为减函数；依次分析选项：对于A，f（x）在（-∞，0）上为减函数，则f（-1）＜f（-2），A错误；对于B，f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（1）＜f（2），B错误；对于C，f（x）为偶函数，f（2）=f（-2），C错误；对于D，f（x）在（-∞，0）上为减函数，则f（-3）＞f（-2），D正确．故选：D．根据题意，由函数的解析式可得若f（2）=4，则a2=4，解可得a=2，即可得函数f（x）的解析式，分析函数f（x）的奇偶性与单调性，据此分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意求出a的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．根据向量加法的三角形法则知，，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．6.【答案】A【解析】解：α，β都是锐角，sinα＞cosβ，且cosβ=sin（-β），∴sinα＞sin（-β），又α，-β∈（0，），∴α＞-β，∴α+β＞．故选：A．根据诱导公式化cosβ=sin（-β），再根据正弦函数的单调性得出α＞-β．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了诱导公式的应用问题．7.【答案】D【解析】解：∵f（171111）=六，∴2017年11月11日是星期六，∵2017年12月12日是2017年11月11日之后的第：19+12=31天，31=7×4+3，∴f（171212）=二．故选：D．由f（171111）=六，得2017年11月11日是星期六，由2017年12月12日是2017年11月11日之后的第31天，能求出f（171212）．本题考查函数值的求法，考查阳历中星期几的判断，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：对于函数，下列命题①函数图象关于直线对称；即：当x=-时，f（-）=0，故错误：②函数图象关于点对称；当x=时，f（）=0，故正确．③函数图象可看作是把f（x）=sin2x的图象向左平移个单位而得到；故错误．④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到函数的图象．故正确．故正确的选项为：②④．故选：C．直接利用正弦型函数的性质：对称性平移变换和关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的图象的变换问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2x|lgx|-1，令2x|lgx|-1=0，即|lgx|=，在同一坐标系内分别作出函数y=|lgx|与y=的图象，易知两函数图象有且只有2个交点，即函数f（x）=2x|lgx|-1有2个零点．故选：B．令函数f（x）=0，然后转化为两个简单函数图象的交点问题．本题主要考查函数零点个数的确定方法--转化为两个简单函数的图象看交点的问题．是零点判定的常用方法之一．10.【答案】C【解析】解：由题意可得直线AB的方程为y=x+2，直线BC的方程为y=-x+2，∴f（x）=，由于g（x）=2x-1，当-≤x＜0，令f（x）＜g（x），解得-≤x＜-1，令f（x）＞g（x），解得-1≤x＜0，当0≤x≤2，令f（x）＜g（x），解得1≤x≤2，令f（x）＞g（x），解得-1≤x＜0，∴H（x）=min{f（x），g（x）}=，当则H（x）取最大值时对应的x的值为x=1，故选：C．先求出函数f（x）的解析式，并画出函数g（x）的图象，结合图象即可求出答案．本题考查了分段函数的解析式，和函数图象，以及函数的最值问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．11.【答案】（-3，2）【解析】解：A（4，-3），B（-2，1），=（-6，4）则=（-3，2）故答案为：（-3，2）由已知A（x1，y1），B（x2，y2）可根据=（x2-x1，y2-y1）求，进而可求的坐标．本题主要考查了向量减法的坐标表示，属于基础试题．12.【答案】【解析】解：∵tanα=2，∴=．故答案为：．利用同角三角函数的基本关系化弦为切，然后代值计算即可得答案．本题考查了同角三角函数基本关系的意义，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题．13.【答案】log25【解析】解：3-2=，1＜20.9＜2，log25＞2，故log25最大，故答案为：根据指数幂的运算性质判断即可．本题考查了指数函数的性质，指数幂的运算，是一道基础题．14.【答案】【解析】解：角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．则β=（2k+1）π+α，k∈Z，若，则cosβ=-cosα=，故答案为：．由题意得到β=（2k+1）π+α，k∈Z，由此由题意再利用诱导公式，求得cosβ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出β=（2k+1）π+α，k∈Z，是解题的关键，属于基础题．15.【答案】1 [0，2]【解析】解：点P是梯形ABCD边上的动点，沿着A→B→C→D→A方向运动．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=1，BC=2，则：，=，由于：点P为动点，则：=，所以：．故答案为：1，[0，2]由于：首先根据直角梯形的边角关系，进一步利用向量的数量积和夹角公式求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】3 （1，2]【解析】解：函数．若f（9）=5，则a=3；∵9＞2，∴f（9）=3+log a9=5，可得a=3；当x≤2时，f（x）=-x+6，递减函数，所以f（2）max=4．要使f（x）的值域是[4，+∞），那么：x＞2时，则f（x）=3+log a x的最小值大于等于4，即f（x）max≥4，且a＞1．即log a x≥1，∴a≤x．可得a∈（1，2]．故答案为：3；（1，2]根据分段函数的性质，9＞2，即f（9）=3+log a9=5，即可求解a的值！根据f（x）的值域是[4，+∞），则求实数a的取值范围．本题考查对数函数的单调性，分段函数的性质；属于函数函数性质应用题，较容易．17.【答案】解：（Ⅰ）集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1＜x＜3}，A∩B={x|-1＜x≤2}．因为∁U A={x|x＜-4或x＞2}所以∁U A∪B={x|x＜-4或x＞-1}；（Ⅱ）因为A∪B={x|-4≤x＜3}，因为（A∪B）∩C=ϕ，C={x|x≥a，a∈R}，所以：a≥3．即a的取值范围是[3，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据集合的基本运算即可求A∩B，∁U A∪B；（II）根据（A∪B）∩C=∅，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=，所以函数f（x）的最小正周期．（II）函数y=sin x的单调递增区间为，∈．由可得．所以函数f（x）的单调递增区间为，∈．（III）因为，所以．所以．所以．所以所以当，即时，f（x）min=-1；当，即时，．【解析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系是的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期．（Ⅱ）利用整体思想求出函数的单调区间．（Ⅲ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=ax2-（a+2）x+1（a∈R），因为f（-1）=f（3），则函数f（x）的对称轴为，即．所以a=2；所以f（x）=2x2-4x+1．因为2＞0，开口向上，所以函数f（x）有最小值，最小值为f（1）=-1；（Ⅱ）函数，其定义域为{x|x≠0，x∈R}，则函数g（x）为奇函数．证明如下：g（x）=2x+，则，所以g（x）为奇函数．【解析】（Ⅰ）根据题意，由二次函数的性质可得函数f（x）的对称轴为，即可得，解可得a的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论，分析可得g（x）的解析式，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查函数的最值以及函数奇偶性的判定证明，关键是求出a的值，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为A（-1，1），B（5，3），C（4，0），所以，，，．所以＜，＞．（Ⅱ）因为，，因为，∈，所以（-1，1）=λ（6，2）+μ（-1，-3）．所以．所以．所以．（III）因为P，B，C三点共线，不妨设∈．所以（-1，-3）=k（m-5，-m-3）．所以．所以．所以m=3．【解析】（Ⅰ）直接利用向量的坐标运算和向量的夹角公式求出结果．（Ⅱ）利用向量的坐标运算和共线向量求出结果．（Ⅲ）利用向量共线的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量坐标运算的应用，向量共线的充要条件的应用，向量的夹角公式的应用，平面向量基本定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则P（r cosθ，r sinθ）．∴|CQ|=1-r sinθ，|CR|=1-r cosθ．∴停车场PQCR的面积f（θ）=（1-r sinθ）（1-r cosθ）=1-r（sinθ+cosθ）+r2sinθcosθ（0≤θ≤）；（Ⅱ）设，∵∈，，∴∈，．∴=．对称轴，∵0＜r≤1，∴．∴当，即时，f（θ）的最大值为；当＞，即＜＜时，f（θ）的最大值为h（1）=1-r．∴，，＜＜．【解析】（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则P（rcosθ，rsinθ），求得|CQ|，|CR|．代入矩形面积公式可得停车场PQCR的面积f（θ）；（Ⅱ）设，由θ的范围求得t的范围，然后利用二次函数求最值．本题考查根据实际问题建立函数模型，训练了换元法及二次函数最值的求法，是中档题．。
北京市昌平区2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x33．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．6．已知函数的图象如图所示，则函数f （x）的解析式的值为（）A．B．C．D．7．在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=．10．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=．11．若x，y满足则2x+y的最大值为．12．已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．13．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是．14．设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．19．（14分）椭圆C的焦点为F1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】根据全集R及A，求出A的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A=[﹣1，1]，故选：A【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．【解答】解：若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．4．设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵e﹣2∈（0，），＞1，ln2∈（，1），∴＞ln2＞e﹣2．∴a＜c＜b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可得结论．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．【点评】本题考查三视图与直观图的转化，考查数形结合的数学思想，比较基础．6．已知函数的图象如图所示，则函数f （x）的解析式的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f （x ）的解析式；【解答】解：（1）由题设图象知，周期T=2×（）=π，即．∵点（0，）在函数图象上，可得：2sin （2×0+φ）=，得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=．故函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x +）．故选B ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．7．在焦距为2c 的椭圆中，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得PF 1⊥PF 2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆与半径R=c的圆满足条件．R≥b，即b≤c，则b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用椭圆的性质是解决本题的关键．8．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差源函数的定义、等差数列的定义即可判断出结论．【解答】解：①∵log21，log22，log24构成等差数列，∴y=log2x是等差源函数；②y=2x不是等差源函数，因为若是，则2×2p=2m+2n，则2p+1=2m+2n，∴2p+1﹣n=2m﹣n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；③假设a，b，c＞0，，则2a=b+c，因此只要满足：a，b，c＞0，2a=b+c，则y=是等差源函数．综上可得：只有①③正确．故选：D．【点评】本题考查了等差源函数的定义、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵i（1+ai）=2+i，∴i﹣a=i+2，∴﹣a=2，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=32．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的通项公式结合求和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＞0，由a1=2，a2+a3=12得2q+2q2=12，即q2+q﹣6=0得q=2或q=﹣3，（舍），则S5===62，故答案为：62．【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．11．若x，y满足则2x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，而A（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=3×2+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】先利用三角函数的定义，求出cosα，sinα的值，再利用二倍角的余弦公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4），∴cosα=，sinα=∴cos2α=cos2α﹣sin2α==故答案为：【点评】本题重点考查三角函数的定义，考查二倍角的余弦公式，正确运用公式是解题的关键．13．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=4；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是[﹣4，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得=•（﹣）=﹣4，求得•的范围，可得的取值范围．【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=，那么=AC•AB•cos∠CAB=•2•=4；若E为线段AC上的动点，则=•（﹣）=•﹣=﹣4；当点E和点A重合时，取得最小值为0，当点E和点C重合时，取得最大值为=5，故的取值范围是[﹣4，1]，故答案为：4；[﹣4，1]．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．14．设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为2；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【考点】分段函数的应用．【分析】把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数．【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3．故答案为：2，（﹣∞，﹣3）【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）（2016秋•昌平区期末）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）设AB=x．由△ABC是等边三角形，可求∠ABC的值，利用三角形面积公式可得x2+2x﹣24=0，进而解得AB的值．（Ⅱ）由余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求sin∠CAD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．…（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．所以．在△ACD中，因为，所以．…（13分）【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．16．（13分）（2016秋•昌平区期末）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，能求出B班的学生人数．（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布列及期望．（Ⅲ）利用数学期望的性质能求出μ1＞μ0．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为（人）．…（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，，，，则ξ的概率分布列为：．…（11分）（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．17．（14分）（2016秋•昌平区期末）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC 至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CE⊥BC，CE⊥平面A1BCD1．（Ⅱ）法一：连接A1C．推导出A1C⊥BD1，CE⊥BD1，从而BD1⊥A1E．由此能求出异面直线BD1与A1E所成的角．法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD1与A1E所成的角．（Ⅲ）求出平面BCE的法向量和平面A1D1E的法向量，利用向量法能求出平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面A1BCD1⊥平面BCE，且平面A1BCD1∩平面BCE=BC，四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，所以CE⊥BC．因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥平面A1BCD1．…解：（Ⅱ）法一：连接A1C．因为A1BCD1是正方形，所以A1C⊥BD1．因为CE⊥平面A1BCD1，所以CE⊥BD1．因为A1C∩CE=C，所以BD1⊥平面A1CE．所以BD1⊥A1E．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．设CD=1，则CE=2．则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）．所以．因为，所以．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）（Ⅲ）因为CD1⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量．设平面A1D1E的法向量．因为，所以，即．设y=1，则z=2．所以．因为所以平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值为．…（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（13分）（2016秋•昌平区期末）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（ii）问题转化为g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g （x）﹣k（x2﹣x），求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），则．当f'（x）＞0时，﹣1＜x＜0；当f'（x）＜0时，x＞0；所以f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（Ⅱ）（i）因为g（x）=f（x）﹣bx2=ln（1+ax）+b（x﹣x2），所以．依题设有即解得．…（8分）（ii））所以．g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立，即g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣k（x2﹣x）．则有．①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）；②当k＜1时，当时，F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减，故当时，F（x）＜F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）不恒成立．综上，k∈[1，3]．…（13分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．19．（14分）（2016秋•昌平区期末）椭圆C的焦点为F1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）法一：由题意可得关于a，b，c的方程组，解得即可，法二：直接根据椭圆的定义求出a的值，以及c的值，问题得以解决，（Ⅱ）法一：直线方程与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理，以及利用判断出存在定点Q满足条件，则Q（0，2），再根据斜率的即可判断A，D，Q三点共线．即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）．法二：直线方程与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理，求出直线AD的方程，再判断过定点．【解答】解：（I）法一设椭圆C的标准方程为．由已知得，解得．所以椭圆C的方程为+=1．法二设椭圆c的标准方程为．由已知得，．所以a=2，b2=a2﹣c2=2．所以椭圆c的方程为为+=1．（II）法一当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则特殊地，当A 为（2，0）时，k=﹣，所以2x 2=﹣，x 2=﹣，y 2=，即B （﹣，）所以点B 关于y 轴的对称点D （，），则直线AD 的方程为y=﹣x +2． 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为x=0，如果存在定点Q 满足条件，则Q （0，2）．所以K QA ===k ﹣，K QB ==﹣k +，又因为，所以K QA =K QB ，即A ，D ，Q 三点共线．即直线AD 恒过定点，定点坐标为Q （0，2）．法二（ II ）①当直线l 的斜率存在时（由题意k ≠0），设直线l 的方程为y=kx +1．由，可得（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则D （﹣x 2，y 2）．所以因为，所以直线AD 的方程为：．所以，=，=，=，=，=，=．因为当x=0，y=2，所以直线MD恒过（0，2）点．②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）．综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016秋•昌平区期末）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．【考点】数学归纳法．【分析】（Ⅰ）根据新定义即可求出a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）利用反证法即可证明，（Ⅲ）由新定义可得k min=5，相应的a1，a2，…，a k．【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2）若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4），故a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）证明：假设命题不成立，即∃k∈N*，使a k=（5，0）即∃b i∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+=a k，化简得=（5，0），所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，故假设不成立，即：∀k∈N*，a k≠（5，0），（Ⅲ）k min=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）．【点评】本题考查了新定义的知识的应用，关键是读懂新定义，以及反证法，属于中档题．。
北京市昌平区高一上期末数学试卷有答案-精品
2017-2018学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．CU （M∪N）D．CU（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1）C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x9．（5分）函数 y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x 的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B． C． D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120°D．60°12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1 cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|= ．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．18．（12分）已知集合 A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和 B；（2）求 A∩B．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2017-2018学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．CU （M∪N）D．CU（M∩N）【解答】解：CU M={1，4，6}，CUN={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，CU（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，CU（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4C．4D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1）C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x【解答】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数 y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x 的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数 y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B． C． D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120°D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成 k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1 ＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|= π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜x＜1故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）∴f（x）为奇函数．18．（12分）已知集合 A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和 B；（2）求 A∩B．【解答】解：（1）集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}={x|sinx＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2﹣x＞2}={x|x＜﹣1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈．由，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为﹣1，当即时，f（x）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（ I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“﹣函数”，③不是“﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣（4分）又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x∈A，则由x＜，故f（x）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。
2017-2018学年北京市昌平区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.经过点（-1，2）且斜率为2的直线方程为（）A. B. C. D.2.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是（）A. B. C. D.3.在△ABC中，b=7，c=5，，则a的值为（）A. 3B. 4C. 7D. 84.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.3米的概率是（）A. 1B.C.D.5.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A. ⊥，且B. ，且⊥C. ⊥，且D. ⊥，且6.某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人．现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为（）A. 12B. 14C. 16D. 187.在△ABC中，A=60°，AC=4，，则△ABC的面积为（）A. B. 4 C. D.8.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（）A.B.C. 6D. 79.在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，-2）的直线与圆C：（x-1）2+y2=2交于A、B两点，当△ABC的面积最大时，线段AB的长度为（）A. 1B.C. 2D.10.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面的面积为（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知点A（2，-1，3），B（3，1，2），则|AB|=______．12.已知圆C：x2+y2-2x+4y+a=0，则圆心C坐标为______，当圆C与y轴相切时，实数a的值为______．13.甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图．已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m=______；s2甲______s2乙．（填＞，＜，=）14.已知直线l1：x+ay-a=0，l2：ax-（2a-3）y-1=0互相垂直，则a的值为______．15.如图，已知△ABC中，∠BAD=30°，∠CAD=45°，AB=3，AC=2，则=______．16.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（0，3），动点M满足|MA|=2|MO|，则点M轨迹方程为______；若动点M在圆C：（x-3）2+（y-3）2=r2上，则r的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．∠A=，a=2，b=2．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）求c的长及△ABC的面积．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CA=CB，点D、E分别为AB、AC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面PAB19.（Ⅰ）完成下面的频率分布表及频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；天的温差在区间[15，17）内的概率．20.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段B1D1上一动点．（Ⅰ）求证：AC⊥BF；（Ⅱ）当时，求三棱锥B1-FBC的体积；（Ⅲ）在线段B1D1上是否存在一点F，使得A1E∥平面FBC？说明理由．21.已知圆O：x2+y2=1，直线l过点A（3，0）且与圆O相切．（I）求直线l的方程；（II）如图，圆O与x轴交于P，Q两点，点M是圆O上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l1，直线PM交直线l1于点E，直线QM交直线l1于点F，求证：以EF为直径的圆C与x轴交于定点B，并求出点B的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：经过点（-1，2）且斜率为2的直线方程为：y-2=2（x+1），即2x-y+4=0．故选：A．利用直线的点斜式方程直接求解．本题考查直线方程的求法，考查直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是p=1-0.25-0.03=0.72．故选：B．利用互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵b=7，c=5，，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：49=a2+25-2×，整理可得a2-5a-24=0，∴解得：a=8，或-3（舍去）．故选：D．由已知利用余弦定理即可计算得解a的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图线段AB=1，要使其中一段的长度小于0.3米，则满足条件的线段为AB=0.3或CD=0.3，∴根据概率公式可知所求的概率为，故选：C．根据几何概型的概率公式求出一段的长度小于0.3米的概率即可．本题主要考查几何概型的概率求法．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，是基础题．5.【答案】B【解析】解：α⊥β，且mα⇒mβ，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故B成立；α⊥β，且m∥α⇒mβ，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：B．根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．6.【答案】C【解析】解：由分层抽样原理知，应从高三年级学生中抽取的人数为42×=16．故选：C．根据分层抽样原理，利用样本容量与频率、频数的关系求得所抽取的人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：∵A=60°，b=AC=4，a=，由余弦定理：cosA=，即=，解得：c=2．那么△ABC的面积S=|AB|•|AC|•sinA==2．故选：C．根据余弦定理求解AB，那么△ABC的面积S=|AB|•|AC|•sinA可得答案．本题考查△ABC的面积的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用．属于基础题．8.【答案】D【解析】解：解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是2，∴正方体的体积是2×2×2=8，三棱柱的底面是腰长是1的直角三角形，高是2，∴三棱柱的体积是×1×1×2=1，∴几何体的体积是8-1=7．故选：D．判断几何体的形状，画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：如图，圆C：（x-1）2+y2=2的圆心C（1，0），半径r=，设C到直线AB的距离为d，则0＜d＜，则△ABC的面积S=•=，当且仅当2-d2=d2，即d=1时，S max=1，此时|AB|=．故选：C．由圆的方程求出圆心C坐标与半径r，设C到直线AB的距离为d，可得d的范围，求出AB的长，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值，进一步得到线段AB的长度．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．10.【答案】B【解析】解：取BC的中点H，作如图连接，易证平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1的上下底分别为，，腰长为，求得梯形的高为，进而求得梯形面积为，故选：B．先通过BC的中点得到三角形AHG，再补全截面得到等腰梯形，求解比较容易．此题考查了几何体截面问题，难度不大．11.【答案】【解析】解：=（1，2，-1），∴|AB|=||==．故答案为：．计算，利用摸的计算公式即可得出．本题考查了向量坐标运算法则、模的计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（1，-2） 4【解析】解：化圆C：x2+y2-2x+4y+a=0为（x-1）2+（y+2）2=5-a，可得圆心C坐标为C（1，-2），半径r=．当圆C与y轴相切时，有，解得a=4．故答案为：（1，-2），4．利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径，再由圆心横坐标的绝对值等于半径求解a．本题考查圆的一般方程化标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．13.【答案】6 , ＜【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．计算甲、乙得分的平均数，得出m的值；再求甲、乙的方差，比较即可．【解答】解：甲得分：76，78，80，82，84．平均数是80，乙得分：77，70+m，82，82，83；平均分为×（77+70+m+82+82+83）=80，解得m=6；甲的方差为×[（76-80）2+（78-80）2+（80-80）2+（82-80）2+（84-80）2]=8；乙得分的方差为×[（77-80）2+（76-80）2+（82-80）2+（82-80）2+（83-80）2]=8.4．∴s2甲＜s2乙．故答案为6，＜．14.【答案】a=0或a=2【解析】解：∵直线x+ay-a=0与直线ax-（2a-3）y-1=0互相垂直∴1×a+a×[-（2a-3）]=0，解得a=0或a=2故答案为a=0或a=2由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程1×a+a×[-（2a-3）]=0，解此方程即可得出a的值．本题考查两条直线垂直关系与两直线系数之间的关系，解题的关键是正确利用此垂直关系建立方程，本题考查了方程的思想15.【答案】【解析】解：过C作CE∥AB，与AD的延长线相交于E，则∠AEC=30°．在△AEC中，∵∠CAD=45°，∴，∴CE=2，∵CE∥AB，AB=3，∴===．故答案为：．过C作CE∥AB，与AD的延长线相交于E，则∠AEC=30°，在△AEC中，利用正弦定理，求出CE，再利用=，即可得出结论．本题考查正弦定理，考查平行线分线段成比例，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】x2+（y+1）2=4 [-7，-3]∪[3，7]【解析】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，即点M轨迹方程为：x2+（y+1）2=4；点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，D（0，-1），又∵点M在圆C：（x-3）2+（y-3）2=r2上，C（3，3），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴||r|-2|≤|CD|≤||r|+2|，∵，∴，解①得：-7≤r≤7，解②得：r≤-3或r≥3．∴r的取值范围为[-7，-3]∪[3，7]．故答案为：x2+（y+1）2=4；[-7，-3]∪[3，7]．设M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆；记为M的轨迹为圆D，由M 在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式组，求解得答案．本题考查了点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，是中档题．17.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，∠A=，a=2，b=2．所以．……………（2分）所以sin B=．……………（3分）因为sin2B+cos2B=1，∠B∈（0，），……………（4分）所以解得：cos B=．……………（6分）（Ⅱ）因为a2=b2+c2-2bc cos A，……………（7分）所以．……………（8分）所以c=4，c=-6（舍）．……………（10分）所以△ ．……………（13分）【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinB，结合范围∠B∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值．（Ⅱ）由余弦定理即可解得c的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点D、E分别为AB、AC中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面PBC，BC平面PBC，所以DE∥平面PBC．（II）因为CA=CB，点D为AB中点，所以CD⊥AB．因为PA⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PA⊥CD．又因为PA∩AB=A，所以CD⊥平面PAB．又因为CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB．【解析】（Ⅰ）要证DE∥平面PBC，需证DE∥BC，由D、E分别为AB、AC的中点可证；（Ⅱ）要证平面PCD⊥平面PAB，需证CD⊥平面PAB，需证CD⊥AB，PA⊥CD，由已知易得．本题考查了线面平行，面面垂直的判断定理，熟练掌握判断定理是关键．补充频率分布直方图，如下；由频率分布表知，a=÷2=0.225；……………（7分）（Ⅱ）依题意，日温差在区间[13，15）内的有3天，设为a1，a2，a3；气温差在[15，17）内的有2天，设为b1，b2．……………（8分）则从日温差大于等于13℃的这5天里随机抽取2天的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}；其包含的基本事件数为n=10；……………（10分）设事件A=“两天中至少有一天的温差在区间[15，17）内”，……………（11分）则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其包含的基本事件数m=7，……………（13分）则；所以这两天中至少有一天的温差在区间[15，17）内的概率为．…………（14分）【解析】（Ⅰ）根据题意填写频率分布表，补充频率分布直方图，计算a的值；（Ⅱ）依题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥DD1，BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1，∵F为线段B1D1上一动点．∴BF平面BDD1B1，∴AC⊥BF．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵，∴F（，，1），B1（1，1，1），B（1，1，0），C（0，1，0），=（-，-，1），平面BCB1的法向量=（1，0，0），∴点F到平面BCB1的距离d==，△ ==，∴三棱锥B1-FBC的体积：==△ ==．（Ⅲ）假设在线段B1D1上一点F（t，t，1），使得A1E∥平面FBC，∵A（1，0，0），E（1，，0），B（1，1，0），C（0，1，0），∴=（0，，0），=（t，t-1，1），=（1，0，0），设平面FBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），∵•==≠0，∴A1E不能平行于平面FBC，∴假设不成立．故在线段B1D1上不存在一点F，使得A1E∥平面FBC．【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDD1B1，由此能证明AC⊥BF．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，推导出平面BCB 1的法向量=（1，0，0），点F到平面BCB1的距离d==，由此能求出三棱锥B1-FBC的体积．（Ⅲ）假设在线段B1D1上一点F（t，t，1），使得A1E∥平面FBC，求出平面FBC 的法向量，由•≠0，故在线段B 1D1上不存在一点F，使得A1E∥平面FBC．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（I）由题意，直线的斜率k存在，设直线l的方程为y=k（x-3），圆O：x2+y2=1，圆心为（0，0），r=1直线与圆O相切．圆心到直线的距离等于半径，即d=∴k=直线l的方程为y=（x-3），（II）由题意，点M是圆O上异于P、Q的任意一点，那么直线PM和直线QM的斜率必存在．且直线PE垂直直线QF，设直线PE的方程为：y=k（x+1），则直线QF的方程为y=-（x-1）直线PE与直线QF交于M，联立，∴可得M（，）∵M在圆上，可得（）2+（）2=1．解得：k=±1∴直线PM的方程为：y=x+1，直线QM的方程为y=-x+1直线PM交直线l1于点E，直线QM交直线l1于点F，直线为l1为：x=3．可得E（3，4），F（3，-2），以EF为直径的圆C的圆心为（3，1），半径为r=3．圆C为（x-3）2+（y-1）2=9与x轴交于定点B，令y=0，可得x=2或-2点B的坐标为（2，0）或（-2，0）．【解析】（I）由题意，直线的斜率k存在，设直线l的方程为y=k（x-3），直线与圆O相切．圆心到直线的距离等于半径可得k，可得直线方程；（II）由题意，点M是圆O上异于P、Q的任意一点，那么直线PE和直线QF的斜率必存在．且直线PE垂直直线QF，设直线PM的方程为：y=k（x+1），则直线QM的方程为y=-（x-1），直线PM与直线QM交于M，联立，求解M，M在圆上带求解k可得直线方程，在求解E，F坐标，即可求解EF为直径的圆C，从而求解点B 的坐标．本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键。
XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷
XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1、已知全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|y=\pi x\}$，则$C_UA=$ $\{x|x\notin A\}$2、函数$f(x)=x^{-1}$在$(-\infty,0)$内的零点为$x=-1$3、关于$x$的方程$2^x=3$的解集为$\{\log_2 3\}$4、函数$f(x)=\dfrac{1}{x+a}$为奇函数，则实数$a$的值为$0$5、集合$A=\{x|x<a\},B=\{x|x<1\}$，若$A\subseteq B$，则实数$a$的取值范围为$a\leq 1$6、比较两数大小: $2^{e^{5031}}$ $>$ $e^{2^{5031}}$7、函数$y=f(x)$的定义域为$(0,1)$，则函数$y=f(2x)$的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})$8、幂函数$y=x^{-2}$的单调递减区间为$(0,+\infty)$9、函数$y=f(x)$过定点$(0,2)$，则函数$y=f(x-2)$过定点$(2,2)$10、不等式$|x|-a\geq 0$ 对任意$x\in[-1,2]$恒成立，则实数$a$的最大值为$a=2$11、若函数$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$，则$f(x)-f(2-x)=\dfrac{4x-10}{x-2}$12、方程$f(x+2018)+f(\dfrac{e-|2-x|}{x-2x-1})-a=0$在$(-\infty,5)$内有两个零点，则实数$a$的取值范围为$a\in(-\infty,4)$二、选择题(每题3分,共12分)13.四个说法中,与“不经冬寒,不知春暖”意义相同的是() C.若知春暖，必经冬寒14、已知实数$x>y$，下列不等式中一定成立的是() B。
北京市昌平区2017_2018学年高一数学上学期期中试题201801020213
2017~2018学年度上学期期中测试高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、表示正整数集的是（）A、QB、NC、N*D、Z2、如图中的阴影部分表示的集合是（）A、∁∪M∩NB、M∪∁∪NC、M∩∁∪ND、∁∪M∪N3、已知集合，则下列结论正确的是（）A、B、C、D、集合M是有限集4、已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x﹣4≤0}，则A∪B=（）A、{x|﹣1≤x＜4}B、{x|2≤x＜4}C、{x|x≥﹣1}D、{x|x≤4}5、如图，可表示函数y=f（x）的图象的可能是（）A、B、C、D、6、下列函数中与y=x为同一函数的是( )A、B、C、D、7、下列各函数中，是指数函数的是（）A、y=（﹣3）xB、y=﹣3xC、y=3x﹣1D、y=3﹣x8、将化成分数指数幂为（）A、B、C、D、9、与的图像关于( )A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、对称10、已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A、3x﹣1B、3x+1C、3x+2D、3x+411、为了得到函数y=2x+1的图象只需把函数y=2x上的所有点（）A、向下平移1个单位长度B、向上平移1个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位长度12、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是( )A、(-1,1)B、C、{x|x>0或x<-2}D、{x|x>1或x<-1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若集合{x|a≤x≤3a﹣1}表示非空集合，则a的取值范围是________．14、函数的定义域为________．15、已知幂函数的图象过点（2，16）和（，m），则m=________．16、函数f（x）= 的最小值为______；函数f（x）与直线y=4的交点个数是____个．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知f（x）= ，画出它的图象，并求f（f（﹣3））的值．18、（本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）（2）．19、（本小题满分12分）问k为何值时，|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？20、（本小题满分12分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），对于偶函数y=g（x）（x∈R），当x≥0时，g（x）=f（x）﹣2x．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求当x＜0时，函数y=g（x）的解析式，并在坐标系中，画出函数y=g（x）的图象；（3）写出函数y=|g（x）|的单调递减区间．21、（本小题满分12分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）．（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，9）点，求a的值；（2）比较f（lg）与f（-1.9）的大小，并写出比较过程；（3）若f（ln a）=e2，求a的值．22、（本小题满分10分）已知函数f（x）=log2（x+1）．当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点（，）在函数y=g（x）（x>-）的图象上运动．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）与x轴交点的横坐标．（3）函数F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．选做题（12分，不计入总分）我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[﹣1，3]是否为“和谐函数”？如果是，写出它的一个“和谐数”．（2）证明：函数g（x）=lg x，x∈[10，100]为“和谐函数”，是其“和谐数”；（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．高一数学答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】集合的含义【解析】【解答】解：表示正整数集的是N*．故选：C．【分析】Q是有理数集；N是自然数集；N*是正整数集；Z是整数集．2、【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于M或不属于N的元素构成，所以用集合表示为M∪∁∪N．故选B．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．3、【答案】A【考点】元素与集合关系的判断，集合的分类【解析】【分析】由于集合｜表示的为大于-2小于3的实数集合，那么可知，对于A, 成立，对于B．不能是含于关系，而是属于关系，对于C．是集合与集合的关系，不能用属于符号，对于D．集合M是无限集，因此选A.4、【答案】D【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x﹣4≤0}={x|x≤4}，∴A∪B={x|x≤4}，故选：D．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．5、【答案】D【考点】函数的概念及其构成要素【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，A，B，C对应的图象不满足y值的唯一性，故D正确，故选D．【分析】根据函数的定义和函数图象之间的关系即可得到结论．6、【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】函数的定义域为R，函数的定义域为，所以与函数的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域为R，且，与与函数为同一函数；函数的定义域为，所以与函数的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数.故选：B.7、【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【解答】解：根据指数函数的定义：形如y=a x（a＞0，且a≠1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．故选：D．【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可．8、【答案】D【考点】分数指数幂【解析】【解答】解：= ．故选：D．【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．9、【答案】D【考点】指数函数的图像与性质，对数函数的图像与性质，反函数【解析】【分析】因为与互为反函数，所以与的图像关于对称。
北京市昌平区2017-2018学年第二学期高一年级期末考试质量检测数学试题(含精品解析)
昌平区2017－2018学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷本试卷共5页，150分钟.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 经过点且斜率为的直线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的条件，直线所过的一个点和直线的斜率，利用直线方程的点斜式即可求得结果.【详解】由点斜式方程可得：，整理得，故选A.【点睛】该题所考查的是直线的方程的求解，需要明确直线方程的点斜式，需要注意最后都需要将直线方程化为一般式.2. 某产品分为优质品、合格品、次品三个等级. 生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03. 在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是A. 0.28B. 0.72C. 0.75D. 0.97【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，计算求得结果.【详解】根据题意，对该产品抽查一次抽得优质品的概率是，故选B.【点睛】该题考查的是有关随机事件发生的概率的求解问题，在解题的过程中，需要对题意进行分析，得到共有三种情况，其中两种情况的概率已经给出，所以应用对立事件发生的概率公式求得结果.3. 在△中，，，，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得，代入计算即可得到所求的值.【详解】因为，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去），故选D.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.4. 将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.3米的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出一段的长度小于0.3米的概率即可.【详解】如图，线段，要使其中一段的长度小于0.3米，则满足条件的线段为或所用根据概率公式可知所求的概率为，故选C.【点睛】该题考查的是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要明确事件对应的几何度量，利用公式求得结果.5. 已知和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面.下面给出的条件中一定能推出的是A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【解析】【分析】根据A,B,C,D所给的条件，分别进行判断，能够得出结果.【详解】，且，故A不成立；，且，故B成立；，且，故C不成立；，且，知不成立；故选B.【点睛】该题考查的是有关立体几何中涉及空间关系的有关命题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，需要注意的是在判断线面平行时，一定要注意直线在平面外的条件.6. 某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数.【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则在高三年级抽取的人数是人，故选C.【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题.7. 在中，，，，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.8. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先应用题中所给的三视图，还原几何体，其为一个直五棱柱，也可以看作是由一个正方体消去一个三棱柱，利用减法运算结合体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的三视图，还原几何体，该几何体为底面就是俯视图的直五棱柱，也可以看作是一个正方体消去了一个三棱柱，所以去体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关根据三视图还原几何体，从而求其体积的问题，所以一是要注意正确还原几何体，二是正确应用体积公式求得结果.9. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，当的面积最大时，线段的长度为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设出线段AB的长度，结合圆中的特殊直角三角形，利用勾股定理，求得圆心C到直线AB的距离为，利用三角形的面积公式将三角形的面积化为关于m的函数关系式，求得其取最大值时m所满足的条件，得到结果.【详解】设线段AB的长度为，则有圆心C到直线AB的距离为，根据三角形的面积公式可得，所以当，即时，三角形的面积取得最大值，所以当的面积最大时，线段的长度为，故选C.【点睛】该题考查的是有关圆中的三角形的面积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有圆中特殊的直角三角形，即半径、半弦长与弦心距构成直角三角形，利用勾股定理，得到弦心距，利用三角形面积公式求得其关于m的式子，利用配方法求得最值，也可以应用基本不等式求得结果.10. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先分析题意，根据面面平行的性质，到的对应的截面多边形，之后根据相应的公式求得边长，利用面积公式求得结果.【详解】在棱BC上取一点M，使得，连结，根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，利用梯形的面积公式可求得，故选B.【点睛】该题考查的是有关满足条件的截面多边形的面积问题，在解题的过程中，需要明确截面图形的形状，即根据面面平行的性质，得到截面与正方体的面的交线的位置，从而得到相应的多边形，之后应用面积公式求得结果.第二卷（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知点，，则________________ .【答案】.【解析】【分析】根据题中所给的两个点的坐标，利用两点间距离公式求得结果.【详解】因为，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关空间中两点间的距离公式，直接应用公式求得结果即可，属于简单题目.12. 已知圆，则圆心坐标为__________，当圆与轴相切时，实数的值为_____________.【答案】(1). . (2). 4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.【详解】由，配方得，所以圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得；故答案是，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图.已知甲、乙二人得分的平均数相同，则_______；_____.（填）【答案】(1). 6.(2).【解析】【分析】首先利用两个人的平均分相同，借助于茎叶图中茎是相同的，所以只算个位数即可，求得m的值，再就是利用方差公式求得方差，比较大小即可得结果.【详解】乙二人得分的平均数相同，所以有，解得，并且可求得其平均数是80，根据方差公式，可得，，所以，故填.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有根据茎叶图解决相关的问题，在解题的过程中，需要应用条件中所给的平均分相同得到m所满足的等量关系式，这里需要注意只算个位数即可，再者就是应用方差公式求方差比较大小即可，注意可以应用分散程度直接看出，得结果.14. 已知直线互相垂直，则的值为______ .【答案】.【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件，得到所满足的等量关系式，解方程，求得的值.【详解】因为直线互相垂直，则有，即，进一步化简得，解得或，故答案是0或2.【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用垂直的条件是，得到关于所满足的等量关系式，求得结果.15. 已知中，，，.则____ .【答案】.【解析】【分析】过C作，与AD的延长线相交于E，则，在中，利用正弦定理，求出CE，再利用，即可得出结论.【详解】过C作，与AD的延长线相交于E，则，在中，因为，所以，所以，因为，，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，相似三角形对应边成比例问题，在解题的过程中，注意辅助线的做法.16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，则点轨迹方程为_________________________；若动点在圆上，则的取值范围为______________ .【答案】(1). . (2). .【解析】【分析】根据，设出点M的坐标，求得M的轨迹方程，根据动点在圆上，从而得到M的轨迹与圆C有公共点，结合两圆的位置关系，得到两圆心之间的距离大于等于半径差的绝对值小于等于两圆半径和，从而得到r所满足的不等关系，求得结果.【详解】设，因为动点满足，所以，化简得，若动点在圆上，就是圆与圆有公共点，所以，解得，故答案是，.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求法，两圆的位置关系，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解步骤是建系、设点、列式、化简，从而求得动点M的轨迹方程，之后根据题意，得到等价的条件就是两个圆有公共点，利用两圆的位置关系，得到r所满足的关系式，从而求得结果.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 已知△ABC的三个角所对边分别为a，b，c.，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的长及△ABC的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）首先应用题的条件，应用正弦定理求得，再应用同角三角函数的平方关系，结合角的范围，求得，得到结果；（2）利用余弦定理，求得，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(Ⅰ)在中，因为，所以 .所以 .因为， ,所以.（Ⅱ）因为，所以 .所以，（舍）.所以.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，三角形面积公式，在解题的过程中，注意在求的时候，应用边的大小，得到其为锐角，得到结果.18. 如图，在三棱锥中，，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得到平行线，之后应用线面平行的判定定理证得结果；（2）根据题的条件，得到，利用，得到，之后应用线面垂直的判定定理得到，进一步应用面面垂直的判定定理证得结果.【详解】(Ⅰ) 因为点分别为中点,所以.又因为，，所以.(II)因为，点为中点,所以.因为,,所以.又因为,所以.又因为,所以.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键.19. 北京市某年11月1日—20日监测最高最低温度及差值数据如下:日期1234567891011121314151617181920最高温度2016142020201815121112121398613111014 (℃)最低温度54249693-10514-1-4-2-1013 (℃)差值(℃)15121216111491213117119101281411911（Ⅰ）完成下面的频率分布表及频率分布直方图，并写出频率分布直方图中的值；（Ⅱ）从日温差大于等于的这些天中，随机选取2天.求这两天中至少有一天的温差在区间内的概率.【答案】（1）见解析；.（2）.【解析】【分析】（1）利用题中所给的表格，求出每天的温差，数出落在内的频数，利用公式求得频率，完成频率分布表，完善直方图，利用直方图中长方形的面积等于对应的频率，求得的值；（2）先算出温差大于等于的天数，再找出温差在区间内的天数，列出所有的基本事件，再数出满足条件的基本事件数，利用概率公式求得结果.【详解】(Ⅰ)解得.(Ⅱ) 依题意，日温差在区间内的有3天，设为；气温差在内的有2天，设为.则从日温差大于等于的这5天里随机抽取2天的基本事件空间为其包含的基本事件数.设事件“两天中至少有一天的温差在区间内”.，其包含的基本事件数.则.所以这两天中至少有一天的温差在区间内的概率为.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有频率分布表，频率分布直方图，古典概型概率计算等，认真审图，熟练掌握基础知识是解题的关键.20. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段上一动点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面？说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在；理由见解析.【解析】【分析】（1）连结，借助于正方体的特征，结合线面垂直的判定和线面垂直的性质，得到；（2）根据题中的条件，确定出对应的点的位置，将三棱锥的顶点和底面转换，利用体积相等，求得结果；（3）借助于平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理，证得结果.【详解】(Ⅰ)连结.在正方体中，，，所以.因为为正方形，,所以.又因为,所以.因为，所以. (Ⅱ)过点作，交于点.在正方体中，因为，又因为，所以.所以为三棱锥的高.因为,所以.所以（III）存在.当为中点时，平面.设为中点，连结.因为、分别为、的中点,所以.因为，所以.所以.在正方形中,因为为中点,所以，且.所以四边形为平行四边形.所以因为,,所以平面.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，等级转换求三棱锥的体积，线面平行的判定，正确理解基础知识是解题的关键.21. 已知圆，直线过点且与圆相切 .（I）求直线的方程；（II）如图，圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆与轴交于定点，并求出点的坐标.【答案】（1）.（2）证明见解析；定点或.【解析】【分析】（1）由已知中直线过点，我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k的值，进而得到直线的方程；（2）由已知我们易求出P,Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P与Q的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论.【详解】(Ⅰ)由题意得，直线的斜率存在.设直线的方程为.因为直线与圆相切，所以.所以.所以直线方程为.(Ⅱ)由题意得，点，点.设点，则.直线的方程为.所以直线与直线的交点为点.直线的方程为.所以直线与直线的交点为点.设点.则，.因为以为直径的圆与轴交于定点,所以解得.所以定点或.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的方程的应用问题，涉及到的知识点有过圆外一点圆的切线方程的求法，圆与直线的交点，直线方程的点斜式，圆的方程的问题，直径所对的圆周角为直角，垂直应用向量的数量积等于零等，认真分析题意，求得结果.。
高一数学2017-2018年上学期期末题
高一数学 第1页，共6页高一数学 第2页，共6页2017-2018年高一数学期末考试一、选择题1. 已知元素a ∈｛0,1,2,3｝，且a ∉｛0，1,2｝，则a 的值为（）A 0B 1C 2D 3 2. 已知集合A=｛1,2,3｝B=｛2,3｝则（ ）A A=B B B ∈AC A ⊆BD B ⊆A 3. 已知集合M=｛x|31<<-x ｝N=｛x|12<<-x ｝则=N M （）A {}12|<<-x xB }{11|<<-x xC }{31|<<x xD }{32|<<-x x4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,21,1)(2x x x x x f 则=))3((f f （）A 51B 3C 32D 9135. 函数 32)(-=x x f 的图像在（）A 第一、二、三象限 B 第一、三、四象限C 第二、三、四象限D 第一、二、四象限6. 设31)32(=a ，3231(=b ，31)31(=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（） A a>c>b B a>b>c C c>a>b D b>c>a7.已知实数3log 2=a ，)21(=b ，2log 3.0=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（） A b<c<aB b<a<cC c<a<bD c<b<a 8. 如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（） A ①② B ①③ C ①④ D ②④9.二次函数122-+=x x y 中，则函数的零点个数是（） A 1 B 2 C 0 D 无法确定10.将梯形沿着某一方向平移形成的几何体是（）A 四棱柱B 四棱锥C 四棱台D 五棱柱11.用斜二测画法，画一个水平放置的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图12.若正方体的全面积为72，则它的对角线长为（） A 32 B 12 C6 D 613.已知圆锥的母线长为5，底面周长为π6，则它的体积为（）A π10B π12C π15D π3614. 三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的（） A 1倍 B 2倍 C 3倍 D 4倍 15. 下列图形中，不一定是平面图形的是（）A 三角形B 菱形C 梯形D 四边相等的四边形 16. 一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A 平行或异面B 相交或异面C 异面D 相交 17. 如果两直线b a //，且α平面//a ，那么b 与平面α的位置关系（）A 相交B α//bC α⊂bD αα⊂b //或bx高一数学 第3页，共6页高一数学 第4页，共6页18. 直线l 经过原点和点)1,1(--，则它的斜率是（）A 1B -1C -1 或1D 以上都不对 19. 已知)3,2(),1,2(N M ,则直线MN 的倾斜角是（）A 不存在B 45︒C 135︒D 90︒ 20. 直线012=++y ax 02=-+y x 与直线互相垂直，则a 等于（）A 2-B 32-C 31-D 121. 直线与直线的交点是（）A )1,2(-B )2,3(-C )1,2(-D )2,3(- 22. 若点),3(a P 到直线043=-+y x 的距离为1，则a 的值为（）A3 B33-C 3-33或 D 33-3或二、填空题1. 已知全集}{2,1,0=U ，}{0|=-=m x x A ,如果}{1,0=U C ，则=m _____2. 若集合}{3,2,1=A ,}{4,3,1=B ,则B A 的子集个数为_________ 3. 若函数3211)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域是__________4. 计算 ______5lg 2lg =+5. 连接球面上经过球心的两点形成的线段是球的_____6. 三条直线相交于一点，可确定的平面有_____个7. 已知直线l 的倾斜角︒=30α，则其斜率_____=k8. 直线012=-+ay x 与直线01)1(=---ay x a 平行，则a 的值_________ 9. 已知直线03=++y x ，则直线的斜率为__________10. 已知直线1l ，过点)1,2(P 且与直线1:2+=x y l 垂直，则1l 的点斜式方程_______ 三、计算大题1.已知函数[]4,1,32)(2-∈--=x x x x f ①求函数)(x f 的最大值、最小值 ②求函数)(x f 的单调区间。
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A. B. C. D.2.已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，点M是△ABC的重心，则为（）A.B.C.D.4.下列向量中不是单位向量的是（）A. B. C. D.5.已知向量=（-1，2），=（2，m），若 ∥，则m=（）A. B. 4 C. D. 16.已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A. B. C. D.7.设x∈R，向量=（3，x），=（-1，1），若 ⊥，则||=（）A. 6B. 4C.D. 38.在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A. B. C. D.9.函数y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（）A. 向右平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向左平移10.计算sin=（）A. B. C. D.11.与-60°角的终边相同的角是（）A. B. C. D.12.已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.比较大小：sin1______cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14.已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为______．15.已知函数f（x）=cos x（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tan x的图象交于M，N两点，则|+|=______．16.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=lg(x+1)-lg(1-x)．（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性．18.已知集合A={x|2sin x-1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合A和B；（2）求A∩B．19.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．20.已知（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈时，求f(x)的最大值与最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=-时，求α的值．22.如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X-函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x-3是否为“X-函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sin x+cos x+a是“X-函数”，求实数a的取值范围；∈ 是“X-函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A （Ⅲ）已知f（x）=∈与B．答案和解析1.【答案】C【解析】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．先求出集合M和集合N的补集，然后根据交集的定义和并集的定义进行逐一进行判定即可．本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．由角θ的范围得到sinθ，cosθ的符号，则答案可求．本题考查三角函数的象限符号，是基础题3.【答案】C【解析】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．考查向量加法法则及三角形重心的性质．4.【答案】B【解析】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．利用单位向量的模为1即可判断出．本题考查了单位向量的模为1的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵向量=（-1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=-4．故选：A．利用向量平行的性质能求出m．本题考查与已知实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，-1）∴3×（-1）=a解得，a=-3，故选：D．由A、B、C三点共线，得，共线；利用向量的知识求出a的值．本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答．7.【答案】C【解析】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（-1，1），⊥，∴=-3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．8.【答案】C【解析】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．根据三角函数的奇偶性和周期公式判断．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：sin=sin（π+）=-sin=-，故选：B．由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与-60°终边相同，故选：A．与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．本题考查终边相同的角的特征，凡是与α 终边相同的角，一定能写成k×360°+α，k∈z的形式．12.【答案】B【解析】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用13.【答案】＞【解析】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．利用在上的单位圆中的三角函数线及，即可得出sin1与cos1的大小关系．熟练掌握正弦、余弦、正切函数的单调性是解题的关键．14.【答案】【解析】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．利用两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角的余弦值．本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．15.【答案】π【解析】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．由题意，M，N关于点（，0）对称，即可求出|+|．本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M，N关于点（，0）对称是关键．16.【答案】（0，2）【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．17.【答案】解：（1）依题意有解得-1＜x＜1故函数的定义域为（-1，1）（2）∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）∴f（x）为奇函数．【解析】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；18.【答案】解：（1）集合A={x|2sin x -1＞0，0＜x＜2π}={x|sin x＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2-x＞2}={x|x＜-1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．【解析】（1）解不等式求得集合A、B；（2）根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．19.【答案】解：由题意A=1，，∴ω=1，易知点在函数图象上，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．【解析】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．20.【答案】解：（Ⅰ）因为，由，∈，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，，k∈Z．由，∈，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（Ⅱ）因为，所以，故有故当即x=0时，f（x）的最小值为-1，当即时，f（x）的最大值为2．【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．（Ⅰ）利用正弦函数的单调性、以及图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．（Ⅱ）当x∈[0，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值与最小值．21.【答案】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），，，，因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意∈，成立，所以，所以m=-2．M点的横坐标为-2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2-2m cosα-4cosα-4=0，（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=-2，M点的横坐标为-2．…10分．【解析】（I）利用三角函数的定义写出P（cosα，sinα）．（II）求出向量，利用，求出，即可得到，（Ⅲ）法一：设M（m，0），利用向量的平方，通过，求出m=-2．即可得到M点的横坐标．法二：设M（m，0），利用向量的平方，通过，推出α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，然后求解m，得到M点的横坐标为-2．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）①、②是“X-函数”，③不是“X-函数”；----（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0；因为f（x）=sin x+cos x+a，所以f（-x）=-sin x+cos x+a，故f（x）+f（-x）=2cos x+2a；由题意，对任意的x∈R，2cos x+2a≠0，即a≠-cos x；---（4分）又cos x∈[-1，1]，所以实数a的取值范围为（-∞，-1）（1，+∞）；---（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且-x∈B，则f（-x）=-x=-f（x），这与y=f（x）是“X-函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（-∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（-∞，0），符合题意．---（8分）【解析】（Ⅰ）根据“X-函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X-函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（-x）≠-f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。
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北京昌平区2017-2018高一数学上学期期
末试题（带答案）
北京市昌平区2017－2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
2018.1
考生须知：
1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可
以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的
均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不
得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
(1)设全集，，，则
(A)(B)(C)(D)
(2)已知角的终边经过点，则的值是
（A）（B）（C）（D）
(3)已知向量，，若⊥，则的值为
（A）（B）（C）（D）
(4)设函数，且.则下列结论正确的是
（A）（B）（C）（D）
(5)如图所示，是的边的中点，则向量
（A）（B）
（C）（D）
(6)已知都是锐角，若，则下列结论正确的是
（A）（B）
（C）（D）与大小关系不确定
(7)中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加.”『腊』指十二月，『冬』指十一月.2017年3月15日为星期三，记作：.已知六，则
（A）六（B）日（C）一（D）二
(8)对于函数,下列命题
①函数图象关于直线对称；
②函数图象关于点对称；
③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到
原来的(纵坐标不变)而得到.
其中正确命题的个数是
（A）（B）（C）（D）
(9)函数的零点的个数为（）
（A）（B）（C）（D）
(10)如图，函数的图象为折线，.令函数，其中表示这两个数中最小的数.则取最大值时对应的的值为
（A）（B）（C）（D）
第二卷（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
(11)已知，则.
(12)已知，则___________三个数中最大的数是
___________在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则__________如图，在直角梯形中，点是梯形边上的动点，沿着方向运动.则
_________；的取值范围是______已知函数.若，则_____；
若的值域是，则实数的取值范围是________．
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(17)(本小题满分13分)
已知全集，集合A=，，.
（I）求,；
（II）若，求的取值范围.
(18)(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）求函数在上的最大值和最小值．
(19)(本小题满分13分)
已知函数，且.
(Ⅰ)求函数的最值；
(Ⅱ)设.判断函数的奇偶性，并证明.
(20)(本小题满分15分)
如图，已知.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若,求的值；
（III）设点，若三点共线，求的值.
(21)(本小题满分15分)
如图，是一块边长为的正方形地皮，其中是一占地半径为的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点落在上，相邻两边落在正方形的边上.设，记停车场的面积为.
（I）求；
（II）记的最大值为，求。
 
参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
答案CABDAADCBC
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）（12）
（13）（14）
（15）；（16）；
（第一空3分，第二空2分）
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(17)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ).……………3分
因为，……………5分
所以.……………8分
（Ⅱ）因为，……………10分
因为，，
所以.……………13分
(18)(本小题满分14分)
解：(Ⅰ)因为
，……………3分
所以函数的最小正周期.……………4分(II)函数的单调递增区间为.
由
可得.
所以函数的单调递增区间为.…………9分（III）因为，
所以.
所以.
所以.
所以
所以当即时，；
当即时，.……………14分
(19)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)(法一)
因为，
所以函数的对称轴为.……………2分
即.
所以.……………4分
所以.
因为，开口向上，
所以函数有最小值，最小值为.……………6分(法二)
因为，
所以.……………2分
即：.……………4分
所以.
因为，开口向上，
所以函数有最小值，最小值为.……………6分(Ⅱ)函数，……………8分
所以函数的定义域为.……………10分
函数为奇函数.，证明如下：……………11分，
所以为奇函数.……………13分
(20)(本小题满分15分)
解：(Ⅰ)因为，
所以.……………2分
(Ⅱ)因为，……………6分
因为，
所以.
所以.……………8分
所以.
所以.……………10分
（III）因为三点共线，
不妨设.……………11分
所以.
所以.……………13分
所以.
所以.……………15分
(21)(本小题满分15分)
解：（I）如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
则.……………2分
所以.……………4分
所以停车场的面积.
所以.……………7分
（II）设
因为，
所以
.……………11分
因为对称轴，
因为，
所以.
所以当,即时，
的最大值为；
当，即时，
的最大值为.
所以.……………15分
【各题若有其它解法，请酌情给分】。