空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

一、选择填空

1. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，

M 为AC 与BD 交点，若,,1111A B a A D b ==u u u u r r u u u u r r 1A A c =u u u u r r ，则1B M =u u u u r

A. 1122a b c -++r r r

B. 1122a b c ++r r r

C. 1122a b c -+r r r

D. 1122

a b c --+r r r 2. 四面体ABCD 中，,,AB AC AD 两两垂直，则下列结论中不一定成立的是

A. ||||AB AC AD AB AC AD ++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

B. ()0AB AC AD BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r g

C. ||||||||2222AB AC AD AB AC AD ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r

D.AB CD AC BD AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 3. 已知,E F 分别为正方体1111ABCD A B C D -棱,1BC CC 中点，则截面1AEFD 与底 面ABCD 所成二面角的正弦为

A. 23

B. 3

C.

D. 3

4. 正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，12AB AA =

，则1DE 与1BC 所成角为 A. 90o B. 60o C. 45o D. 30o

5. 已知正三棱柱111ABC A B C -，各条棱长都相等，M 为1CC 中点，则异面直线1AB 与BM 所成的角为_____________________.

6. 已知六棱锥P ABCDEF -的底面为正六边形，PA ABCDEF ⊥，2PA AB =

则下列命题：（1）PA AD ⊥；（2）PAB PCB ⊥；（3）//BC PAE ；（4）PD 与 面ABC 成45o 角，其中正确的序号为__________________.

7. 在直三棱柱111ABC A B C -中，,12AA AB BC AB BC ===⊥，则11B A C C --

的余弦值为_____________________.

8. 已知,a b 为异面直线，a b ⊥，l 为其公垂线段，,A B 为垂足，,M a N b ∈∈且 ,M A N B ≠≠，P 在线段AB 内部，则PMN ∆为_______三角形（填直角、锐角

或钝角）

9. 正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，G 为11A D 中点，E 为1CC 中点，,F H 分

别在,CD AD 上，且GF EH ⊥，则FH 长的取值范围是_________________.

二、解答题

10. 直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，,D E 分别为,11AA B C 中点，DE ⊥ 1BCC

（1）证明：AB AC =；

（2）设二面角A BD C --为60o ，求1B C 与平面BCD 所成角的余弦值.

11. 在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=o 12AA =，,D E 分别为,11CC A B 中点，点E 在面ABD 内的射影是ABD ∆的重心 G

（1）求1A B 与面ABD 所成角的正弦值；

（2）求1A 到面ABD 的距离.

12. 已知四棱锥P ABCD -底面底面为直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=o ，AB BC = 2PB PC CD ===，侧面PBC ABCD ⊥.

（1）PA 与BD 是否垂直？证明你的结论；

（2）求二面角P BD C --的正切值；

（3）求证：PAD PAB ⊥.

13. 在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥，,60PA AB ABC =∠=o ，90BCA ∠=o ，

点,D E 分别在,PB PC 上，且//DE BC

（1）求证：BC PAC ⊥；

（2）当D 为PB 中点时，求AD 与PAC 所成角大小

（3）是否存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角？说明理由.

14. ABCD 为边长为1的正方形，MD ABCD ⊥，//MD NB ，1MD NB ==，E 为 BC 中点

（1）求异面直线,NE AM 所成角的余弦值；

（2）在线段AN 上是否存在点S 使得ES AMN ⊥？若存在则求出AS 长，不存在则说 明理由.

15. 四棱锥S ABCD -底面是正方形，SD ABCD ⊥，2SD a =，AD =

，点E 是

SD 上的点，且()02DE a λλ=<≤

（1）求证：(,]02λ∀∈，都有AC BE ⊥；

（2）设二面角C AE D --的大小为θ，直线BE 与ABCD 所成角为ϕ，若tan tan θϕ 1=，求λ的值.

16. 四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为正三角形，AB BC = 2=，1CD SD ==，

（1）证明：SD SAB ⊥；

（2）求AB 与面SBC 所成角的大小.

17. 正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段,1A D AC 上的点，且DE AF = 13

AC =，,M N 分别是,1BB CD 中点 （1）求证：//1EF BD ；

（2）求证：1EF A D ⊥；

（3）求证：11AM A D N ⊥