2017-2018(1)线性代数期末考试-A卷参考答案

A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;
B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.
6. 若二次型222
123123
(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;
D. 1k >-.
二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）
1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。

（请填“数表或数值”）
2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
210104350⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. 3. 行列式11
1
111
x x x
= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．
4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．
5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
正交，则λ= -6 ．
6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）
7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =
1
*
1
32__.2
A A -+=
三、计算题 （共60分）
1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
1) 判断A 是否可逆；（4分）
2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）
解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。

(4分)
2）用初等行变换求得1
1/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（6分）
2. （10分）计算行列式2004310050100232
D =
.
解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：
2004200431003100501050100232-15202
D ==
（2分）
对2
00431005
010-15202
按第三列展开，得：
204
310-1522
D = （3分）
将204
310-1522
第二行的-2倍加到第三行，得： 204
3
10-2102
D = （2分） 按第二列展开得
24
88-212
D ==。

（3分）
3. （10分） 设1234102-11,4,4,10231-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
αααα，求出向量组1234
,,,αααα的秩与一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。

解：令()102114410231A --⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
123
4αααα，
用初等行变换将A 化成行标准形： ()10211021102110211441~0462~0462~013/21/20231023100000000A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
23
4αααα （4分）
所以向量组的秩为2 ； （2分） 根据A 的行标准形可得向量组1234,,,αααα的一个极大无关组为12,αα；（2分）
并且3123=-2+2ααα，4121
=-+2
ααα. （2分）
4. （15分）求解非齐次线性方程组
123412341234
21422221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
+-+=⎨⎪+--=⎩
1) 写出非齐次线性方程组的增广矩阵A (2分)；
2) 对1)中的增广矩阵A 做初等行变换，求其行标准形(5分)； 3) 求非齐次线性方程组导出组的一个基础解系(4分)； 4) 求非齐次线性方程组的通解(4分).
解：1）211114*********A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2）11110
21111222422120001021111000
00A ⎛
⎫
- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
--⎝⎭ ⎪⎝
⎭
所以求得A 的行标准形为11110
2220
0010000
00⎛
⎫
- ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
3）由2）可得该非齐次线性方程组导出组的基础解系由2个解向量构成，令23,x x 为自由未知量量；若231,0x x ==，得141,02
x x =-=，若230,1x x ==，得
141
,02x x ==，则12112210,0100ηη⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为非齐次线性方程组导出组的一个基
础解系。

4）由2）可得非齐次线性方程组的一个特解为12000ξ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，再结合3）可得非齐
次线性方程组的通解为：1211221134(,)x x k k k k x x ηηξ⎛⎫ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭
5. （15分） 设2
2
121212(,)4f x x x x x x =+-，
1) 写出二次型的矩阵A ；（2分）
2) 求出A 的特征值和对应的特征向量. （8分）
3) 正交变换化二次型为标准形，写出所用的正交变换及标准形. （5分）
解：1）二次型f 的矩阵1221A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
.
2）A 的特征多项式为12
(3)(1)21A E λλλλλ
---=
=-+--,因此特征方程为(3)(1)0λλ-+=，解得A 的特征值为123,1λλ==-。

将13λ=代入齐次线性方程组()x 0A E λ-=，得该其次线性方程组的一个
基础解系为111ξ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，因此A 属于特征值13λ=的特征向量为11k ξ，其中
110k k ∈≠且；
将21λ=-代入齐次线性方程组()x 0A E λ-=，得该其次线性方程组的一个基础解系为211
ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，因此A 属于特征值21λ=-的特征向量为22k ξ，其中
220k k ∈≠且.
3)由2）可知该二次型的矩阵的特征值均不相等，则12,ξξ正交。

将12,ξξ单位化后得：
121212,||||||||ξξωωξξ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪=
=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 令(
)12Q ωω⎛
== ⎝，则Q 为正交矩阵，因此，原二次型在正交变换x y Q =作用下，化为标准形为：2
2
1212(,)3f y y y y =-.。