数学悖论

悖论

一、悖论的概念

悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？

自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。

悖论有三种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

悖论的分类主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。

第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

（一）由自指引发的悖论

存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。如谎言者悖论、“我在说谎”、“这句话是错的”、理发师悖论、集合论悖论、书目悖论、苏格拉底悖论、“荒谬的真实”等。

（二）引进无限带来的悖论

《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。如：阿基里斯悖论、二分法悖论、“飞矢不动”、“飞鸟之景，未尝动也”、“一尺之捶，日取其半，万世不竭”、“点一样多？”等。

第二部份：由一因多果片面推理引致的悖论和由名实相悖引起的悖论。

（三）由一因多果片面推理引致的悖论

这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的，但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。如“什么是诡辩？”、“父在母先亡”、邓析赎尸诡论、公孙龙论秦赵之约、“彼亦一是非，此亦一是非。”、“我没有受贿”、囚犯诡论等。

（四）由名实相悖引起的悖论

古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派，他们的学说在于循名责实，但结果也往往被认为是流于诡辩。如“白马非马”、“杀盗非杀人也”、坚白石论、怎么翻译？等。

第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。

（五）由前提不自洽导致的悖论

这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。如“罗素是教皇”、“亚里斯多德是类概念”、自相矛盾、纸牌悖论、“悖论元”、“先有鸡，还是先有蛋？”、“上帝和石头”、“你会杀掉我”、“你会吃掉我的孩子”、两小儿辩日、爱瓦梯尔应不应该付学费？、梵学者的“预言”等。

（六）由权变遭遇的悖论

现象上的正确并非就能代表事物的本质。也许，当人们准备去观察或考究的时候，已经走在背离本质的道路上了。如6－1阿雷斯（Allais）悖论、纽卡（Newcombs）悖论、谷“堆”的定义、秃头的定义、“一整袋谷子落地没有响声”、预料之外的绞刑时间、“卵有毛”、宝塔从有到无、孪生子佯谬、“会变的尺”、夜空为什么是暗的？

二、悖论的背景

悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论"。

数学悖论曾经引起了三次数学危机。希帕索斯悖论引起了第一次数学危机，贝克莱悖论引起了第二次数学危机，罗素悖论引起了第三次数学危机。

三、悖论的研究意义

悖论指在逻辑上可以被推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。

悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。

四、悖论的原理、分析解决过程