第七章3-割平面法

第三节 割平面法
分别代入（ 分别代入（3）式，得：
k
xi + ∑ N ik xk − N i = f i − ∑ f ik xk
k
3 、 现在提出变量 （ 包括松弛变量 ） 为整数的条件 现在提出变量（ 包括松弛变量） 当然还有非负的条件） 这时， （当然还有非负的条件），这时，上式由左边看 必须是整数， 但由右边看， 因为0 必须是整数 ， 但由右边看 ， 因为 0<fi<1 ， 所以不 能为正， 能为正，即
3 3 − x 4 4
3
+
1 x 4
4
≤0
-3x 3 - x 4 ≤ -3
第三节 割平面法
这就得到一个切割方程，引入松弛变量x 这就得到一个切割方程，引入松弛变量x5，得到 等式： -3x3- x4+ x5 =-3 等式： 将这新的约束方程加到表上面的最终计算表， 将这新的约束方程加到表上面的最终计算表，用 对偶单纯形法计算得下表： 对偶单纯形法计算得下表： 由于x 的值都已经是整数解，解题已完成。 由于x1,x2的值都已经是整数解，解题已完成。 其实，若把（ ）（2 中的x 其实，若把（1）（2）中的x3、x4代入上面的切割方 程-3x3- x4 ≤-3 中，切割方程就会化为：x2≤1 切割方程就会化为：
第三节 割平面法
由最终计算表得到变量简单关系式为：
1 1 3 x1 − x3 + x4 = 4 4 4 3 1 7 x2 + x3 + x4 = 4 4 4
第三节 割平面法
将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和， 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和，如：
3 1 − = −1 + 4 4 7 3 , =1+ 4 4
再移项，以上两式变为： 再移项，以上两式变为：
3 3 1 x1 − x 3 = − x 3 + x 4 4 4 4 3 3 1 x2 − 1 = − x3 + x4 4 4 4
第三节 割平面法
现考虑整数条件， 要求x 都是非负整数， 现考虑整数条件 ， 要求 1 、 x2 都是非负整数 ， 于是由条件（ ） 于是由条件 （ 1）、 （ 2）可知 3 、 x4 也都是非负 ） 可知x 整数。在上式中（其实只考虑一式即可） 整数。在上式中（其实只考虑一式即可）从等式 左边看是整数；在等式右边的（ 内是正数； 左边看是整数；在等式右边的（）内是正数；整 个等式右边不可能大于1， 个等式右边不可能大于 ， 那么只能小于或等于 零，所以等式右边必是负数。就是说整数条件约 所以等式右边必是负数。 束条件可由下式所代替， 束条件可由下式所代替，即：
第三节 割平面法
这个方法是Gomory提出来的，又称为Gomory的割 提出来的，又称为 这个方法是 提出来的 的割 平面法，我们只讨论纯整数规划情形。现举例说明。 平面法，我们只讨论纯整数规划情形。现举例说明。
例3 求解 max Z=x1+x2 -x1+ x2 ≤1 3x1+ x2 ≤4 x1,x2 ≥0 x1,x2 是整数 如不考虑整数约束，可求得相应的线性规划的最优解为： 如不考虑整数约束，可求得相应的线性规划的最优解为： x1 =3/4, x2 =7/4, max z=10/4
第三节 割平面法
1、现把求一个切割方程的步骤归纳为： 、现把求一个切割方程的步骤归纳为： 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个 基变量， 基变量，由单纯形表的最终表得到
xi + ∑aik xk = bi
k
(3)
其中i∈ 构 指构成基变量号码的集合 其中 ∈Q（Q指构成基变量号码的集合）； Q 合） （ 指 （ 指构成基变量号码的集合）； 成基 号 集 ） 变量 码的 合 k∈K（K只构成非基变量号码的集合） 只构成非基变量号码的集合） ∈ （ 只构成非基变量号码的集合
f i − ∑ f ik x k ≤ 0
k
第三节 割平面法
这就是一个切割方程。 这就是一个切割方程。 由以上三式可知： 由以上三式可知： （ 1） 切割方程真正进行了切割 ， 至少把非整数 ） 切割方程真正进行了切割， 最优解这一点割掉了。 最优解这一点割掉了。 （ 2） 没有割掉整数解 ， 这是因为相应的线性规 ） 没有割掉整数解， 划的任意整数可行解都满足切割方程的缘故。 划的任意整数可行解都满足切割方程的缘故。
第三节 割平面法
x2 x2
O （a） ）
x1
O （b） ）
x1
第三节 割平面法
在原问题的前两个不等式中增加松弛变量（ ） 使两式成等式约束： ，使两式成等式约束 在原问题的前两个不等式中增加松弛变量（≥0） 使两式成等式约束： ， -x1+ x2 + x3 3x1+ x2 =1 （1） （2） 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/4 -1/2 +x4 =4
不考虑整数条件，用单纯型表解题，请见下表。 不考虑整数条件，用单纯型表解题，请见下表。 Cj→ 1 1 CB XB b X1 x2 初始计 0 x3 -2 -1 1 算表 0 x4 -3 3 1 1 1 Cj-Zj 最终计 1 x1 3/4 1 0 算表 1 x2 7/4 0 1 Cj-Zj 0 0
第三节 割平面法
割平面算法 这个方法的基础仍然是用解线性规划的方法去解 整数规划问题。 首先不考虑变量x 是整数这一条件， 整数规划问题 。 首先不考虑变量 i 是整数这一条件 ， 但增加线性约束条件（用几何术语称为割平面） 但增加线性约束条件（ 用几何术语称为割平面 ）从原 可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但 可行域中切割掉一部分， 这部分只包含非整数解， 没有切割掉任何整数可行解。 没有切割掉任何整数可行解 。这个方法就是怎样找到 适当的割平面（不见得一次就找到） 适当的割平面 （不见得一次就找到） ，使切割后最终 得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点（ 得到这样的可行域 ，它的一个有整数坐标的极点（ 顶 恰好是问题的最优解。 点）恰好是问题的最优解。
第三节 割平面法
就是图（ ） 中域R的极点 的极点A， 就是图 （ a） 中域 的极点 ， 它不符合整数条 我们想，如能找到象BC那样的直线去切割 件。我们想，如能找到象 那样的直线去切割 域 R（ 图 (b)） ， 去掉三角形域 （ ） 去掉三角形域ACB， 那么具有 ， 整数坐标C 整数坐标 点（1,1）就是新域的一个极点，如 ）就是新域的一个极点， 在新域上求解线性规划， 在新域上求解线性规划 ， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题的整数解 点就得到原问题的整数解， 巧在 点就得到原问题的整数解 ， 所以解法的 关键就是怎样构造一个这样的“割平面” ， 关键就是怎样构造一个这样的“割平面”BC， 尽管它可能不是唯一的， 尽管它可能不是唯一的 ， 也可能不是一wenku.baidu.com能求 到的。下面仍就本例说明： 到的。下面仍就本例说明：
第三节 割平面法
CB 1 1 0
Cj→ XB X1 X2 X3 Cj-Zj
b 1 1 1
1 x1 1 0 0 0
1 x2 0 1 0 0
0 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 -1 -1/3
0 x5 1/12 1/4 -1/3 -1/6
第三节 割平面法
切割示意图如下： x2
x2 由 于 （ x 1， x 2） 的 值 已 都 是 整 数 ， 解 题 已 完 成 。
第三节 割平面法
2、将bi和aik都分解成整数部分 与非负真分数 之 、 都分解成整数部分N与非负真分数 都分解成整数部分 与非负真分数f之 和，即： bi = Ni+fi 其中 0<fi <1 aik =Nik + fik 其中 0≤fik <1 表示不超过b的最大整数 而N表示不超过 的最大整数。例如： 表示不超过 的最大整数。例如： 若 b=2.35 ， 则N=2，f=0.35 ， 若 b=- 0.35 ，则N=-1，f=0.65 ，