中央电大直播课堂复习题

《信号处理原理》思考题四

1．根据信号)2

t (Eu τ

+绘图

（1）原信号减去)2

(τ-t Eu ，绘出差信号)t (f 的时域图。 （2）信号)t (f 的频谱为)2ωττ(

Sa E ，通过理想低通滤波器，频谱只剩下了主瓣)τ

π

τπ

-22( （3）将滤波器滤波后的信号)(1t f 与t cos ω相乘得)(2t f ，绘出)(2t f 的频谱。 （4）原频谱以

τ

π

=

τπ824/为周期进行周期重复。 解：（1）差信号是一个矩形信号，即)(EG )(0t t f τ=。可参见教材第9页的内容。 （2）)(EG t τ的频谱函数为)2

Sa(E ωτ

τ，在通过如题的理想低通滤波器后，频谱只剩下了

主瓣（范围为τ

π

τ

π

2~

2-

），可参见教材第60页和83页的内容。

（3）因为)]()([21]cos )([000ωωωωω++-=

F F t t f F ，而τπ

ω20=

，所以)(2t f 的频谱是原先)(1t f 的频谱在τπ2-和τ

π

2处分别重复，但幅度缩小到原先的0.5倍。可参见

教材第63页到64页的内容。 （4）新的抽样信号的频谱是原频谱以

τ

π

τπ84/2=

为周期进行周期重复，幅度是原先频谱的4

τ

分之一。可参见教材第74页的内容。

2．)ω=(F )]t (f [F ，有)F(F()(00ω+ω+ω-ω=ω)F ，求)]([ω-

F F 。

解：根据FT 变换的`线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，δ函数频移特性,t 0cos ω的FT （由直流信号的FT ，FT 的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出）

)(*)()(00ωωδωωω-=-F F )(*)()(00ωωδωωω+=+F F

)(*)()(01ωωδωω-=F F )(*)(0ωωδω++F

=

-)]([11

ωF )(*)([01

ωωδω--F )(*)(0ωωδω++F ]

π2=)]

([1

ωF -001

()([ωωδωωδ++--]

π

π1

)(

(2t f =)cos 0t ω

)(2t f =)cos 0t ω

3．证明：

)]()([2

1

)]([*ωωτF F t f +=, )]()([21)]([*ωωτF F j t f i -= 证明： =

)]([t f τ[2

)

()(*t f t f +]

[21

=

[)(t f ]+[)(*t f ]] )]()([2

1*

ωωF F +=

=

)]([t f i j

t f t f 2)]

()([*-

[21j

=

[-)](t f [)](*

t f ]

)]()([21

*ωω--=

F F j

4．证明：奇周期信号的傅立叶级数是否含有余弦项。 解：不会含有余弦项，因为：

根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为：

=

n a 1

2T dt t n t f T t t ⎰

+1

00

)cos()(1ω

由于f(t)是奇函数，所以)cos()(1t n t f ω还是奇函数，于是=n a 0- 即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。

5．设)n (x )n (x -=是偶序列，用Z 变换的定义证明：Z 是)z (X 的零点，

则Z

1

也是)z (X 的零点。

证明：因为x(n)=x (-n)，由z 变换的定义有：

∑∑+∞

-∞

=-+∞-∞=--==n n n n z n x z n x z X )1)(()1)(()1( 令n k -=,得

)()()1)(()1(z X z k x z k x z X n k n k

===∑∑+∞

-∞

=-+∞-∞= 所以有：0)()1(00==z X z X ，即0

1

z 也是X(z)的一个零点。

6．设一个有限频率信号)(t f 的最高频率为m ax f ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率s f 。

（1）)3(t f （2）)(2

t f （3）)2()(t f t f *

（4）)()(2

t f t f +

解1）：信号时域压缩则频域扩展，所以)3(t f 的最高频率是原来的3倍，即3m ax f ，于是

=s f m ax 6f

2）信号时域相乘则频域卷积，因此有： [)(2

t f ]=

)(*)(21

ωωπ

F F 由图解法可知 )(2

t f 的最高频率成分为max 2ω，所以=s f m ax 4f 3）信号时域卷积则频域相乘

=)2(*)(t f t f [)(t f ][ ])2

(21)(ω

ωF F •=

)2

()(21ω

ωF F •=

由信号（函数）的乘法运算性质知，这相当于在频域进行一种加窗作用，所以

[)2(*)(t f t f ]的最高频率成分为max ω即)2(*)(t f t f 的最高频率m ax f ，所以

=s f m ax 2f