高中数学易错知识点梳理

高中数学易错知识点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合
A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.
（1）已知“集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2
+1,x ∈R},求M ∩N”；与“集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2
+1,x ∈R}求M ∩N ”的区别.
（2）已知集合{}{}A B ==圆，直线，则A B 中的元素个数是____个.你注意空集了吗？
（3）设()f x 的定义域A 是无限集，则下列集合中必为无限集的有
①{|(),}y y f x x A =∈ ②{(,)|(),}x y y f x x A =∈
③{|()0,}x f x x A ≥∈ ④{|()2,}x f x x A =∈ ⑤{|
()}x y f x =
3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合
的子集B A ⊆时是否忘记A =∅.
例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了
2a =的情况了吗？
4． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) , (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)； ,A B B B A A B B A B =⇔⊆=⇔⊆ ,
对于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n
如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个？（特别注意∅）
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图.
某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6． 两集合之间的关系.},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==
7． 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题. （1）原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. （2）“命题的否定”与“否命题”的区别：____________________ 练习：
（1）命题“异面直线,a b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”，求出该命题的否命题. （2）命题“2
,3x Q x ∃∈=使成立”，求该命题的否定.
（3）若存在．．
[13]a ∈，，使不等式2
(2)20ax a x +-->，求x 的取值范围.
8、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？
例如：函数()x f y =与直线a x =的交点的个数有 个 9、函数的几个重要性质：
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），
那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是
递增函数．
④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递
减函数．
⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位
得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移
a 个单位得到的；
函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.
⑥函数()y f x a =-+与函数()y f x b =+的图象关于直线2
a b
x -=
对称 例如：（1）函数()x f y =满足()()11f x f x +=-+则关于直线 对称
（2）函数()1y f x =+与()1y f x =-+关于直线 对称 （3）函数2log 1y ax =-（0a ≠）的图象关于直线2x =对称，则a=
（4）函数sin 3y x =的图象可由1cos3y x =-的图象按向量a = （a
最
小）平移得到.
10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？ 例如：（1）若(sin )cos2f x x =，则()f x = （2）若3311
()f x x x x
+
=+，则()f x = 11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？ 例如：（1）函数y=)3lg()
4(--x x x 的定义域是 ；
（2）函数
)
(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域.
（3）函数(2)x f 的定义域是（0,1],求2(log )f x 的定义域.
函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域
12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要记得讨论. 例如（1）已知函数()x f y =的值域是[b a ,]，则函数()1y f x =-的值域是
（2）函数y x =的值域是
（3）函数y x =+的值域是
（4）函数21
21
x x y -=+的值域是
13、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称．．．．．．．．．．．这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
例如：（1）函数()2
(0)f x x x =≥的奇偶性是
（2）函数()x f y =是R 上的奇函数，且0x >时，()12x
f x =+，则()f x 的表达
式为
14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间或求解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？
例如：（1）函数2
12
log (23)y x x =--的单调减区间为
（2）若函数212
log (3)y x ax a =-+在区间[)2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范
围是
（3）若定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调增函数，则不等式()
1f ()lg f x <的解集为
15、你知道钩型函数()0>+
=a x
a
x y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)
+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]
a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
例如：函数2
y =
的值域为 2y =
的值域为
16、幂函数与指数函数有何区别？ 例如：（1）若幂函数()()()
2
23
2
33f x x
α
αα
α--=
-+是()0,+∞上的单调减函数，则α=
（2）若关于x 的方程4210x x
a a +++=有解，则实数a 的取值范围是
17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a
b
b a n a
c c a n log log ,log log log ==）你还记得对数恒等式吗？（b a
b
a =log ）
例如：（1）x 、y 、z ()0,∈+∞且346x y z ==，则3x 、4y 、6z 的大小关系可按从小到大的
顺序排列为
（2）若集合111log 2,23n A n n N ⎧⎫⎪⎪
=-
≤≤-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则A 的子集有 个 18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！ 例如：（1）方程1
22
log (2)x x -=+的解的个数是
（2）不等式(1)(1)log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是
19、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042
≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
已知函数(
)
()2
2
lg 111y a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦
（1）若函数的定义域为R ，求a 的取值范围是
（2）若函数的值域为R ，求a 的取值范围是
二．三角
1． 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公
式:_________________解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,
基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 2． 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域
内是 否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3． 在三角中，你知道1等于什么吗？
（22
1sin cos x x =+tan cot tan
sin
cos 014
2
x x π
π
=⋅====这些统称为1的代换)
常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．诱导公试：奇变偶不变，符号看象限 4． 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,
)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβ
α222
等）
5． 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、
且能求出值的式子，一定要算出值来） 6． 你还记得三角化简的通性通法吗？（切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异
角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2
x=(1-cos2x)/2
7． 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？
4
1
518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=
︒+=︒=︒-=
︒=︒ 练习： （1）tan (0)b
a a
θ=
≠是cos 2sin 2a b a θθ+=的 条件.
解析：
sin tan sin cos sin sin cos sin cos 1cos 2sin 2cos 2sin 222
b b a b a b a a
a b a b a
θθθθθθθθθθθθθ=
⇔=⇔=⇔=-⇔=⇔+=
反之，若cos 2sin 2a b a θθ+=成立，则未必有tan ,b a θ=取0,2a π
θ==-即可，
故为充分不必要条件
易错原因：未考虑tan θ不存在的情况
（2）已知34
sin
,cos ,2525θ
θ==-则θ角的终边在 解析：因为34sin ,cos ,2525θθ==-故2θ是第二象限角，即22()22
k k k Z πθ
πππ+<<+∈，
故424()k k k Z ππθππ+<<+∈，在第三或第四象限
以上的结果是错误的，正确的如下： 由34sin ,cos ,2525θ
θ==-知322()42
k k k Z πθπππ+<<+∈ 所以
3424()2
k k k Z π
πθππ+<<+∈，故在第四象限 易错原因：角度的存在区间范围过大
8． 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 2
1
,==扇形α) 9． 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a,
b 的符号确定，θ角的值由a
b
=
θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10. 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ）
三角函数性质要记牢.函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：
振幅|A|，周期T=ω
π
2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为 ， 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零
后再用上面的结论.
五点作图法：令ϕω+x 依次为ππ
ππ
2,2
3,
,2
求出x 与y ，依点()y x ,作图 练习：
如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处，（1）试确定在时刻min t 时点P 距地面的高度；（2）摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距地面超过70m ?
11.三角函数图像变换：
（1）将函数为()y f x = 的图像向右平移
4
π
个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数cos 2y x =的图像，则()f x =
（2）()2sin()2cos 6f x x x π
=+
-的图像按向量m
平移得到()g x 的图像，若()g x 是偶函
数，求||m
最小的向量m
12.有关斜三角形的几个结论：
在Rt ABC ∆中，222,,AC AD AB BC BD BA CD AD BD ===
内切圆半径2
a b c
r +-=（S 为ABC ∆的面积）
在ABC ∆中，
①sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=-
tan tan tan tan an tan A B C A t B C ++=
sin cos ,cos sin 2222
A B C A B C
++== ②正弦定理
③余弦定理
④面积公式111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B === ⑤内切圆半径2s
r a b c
=++
13．在ABC ∆中，判断下列命题的正误
（1）A B >的充要条件是cos 2cos 2A B <
(2) tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形
（3）若ABC ∆是锐角三角形，则cos sin A B <
三、数列
1．等差数列中的重要性质：
（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；
（2）仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S --数列；
（3）若{n a }，{n b }是等差数列，,n n S T 分别为它们的前n 项和，则
21
21
m m m m a S b T --=； （4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项（负项）k a ，那
么max(min)()n k S S =
B
练习：
①在等差数列{n a }中，若9418,240,30n n S S a -===，则n =
②{n a }，{n b }都是等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，且2132n n S n T n -=
+，则99
a
b = ③若{n a }的首项为14，前n 和为n S ，点1(,)n n a a +在直线20x y --=上，
那n S 最大时，n =
2．等比数列中的重要性质：
（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅； （2）k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；
（3）若{n a }是等差数列，则{n a
b }是等比数列，若{n a }是等比数列且0n a >，则{log n a b }是等差数列；
（4）类比等差数列而得的有关结论
练习：
①若{n a }是等比数列，4738512,124a a a a =-+= ，公比q 为整数，则10a =
②已知数列{n x }满足312
12313521
n n x x x x x x x x n ====++++- ，并且128n x x x +++= ，那么1x =
③等差数列{n a }满足
12212n
n a a na b n
+++=+++ ，则{n b }也是等差数列，类比等比数列{n A }满足 3．等差数列的通项，前n 项和公式的再认识：
①1(1)n a a n d An B =+-=+是关于n 的一次函数， ②1()
2
n n n a a S n a +== 中， ③2n S An Bn =+ 等比数列呢？ 练习：
等比数列{n a }中，前n 项和123n n S r -=⨯+，则r = 4．你知道 “错位相减” 求和吗？（如：求1
{(21)33}n n --⋅-的前n 项和）
你知道 “裂项相消” 求和吗？（如：求1
{
}(2)
n n +的前n 项和）
5．由递推关系求通项的常见方法： 练习：
①{n a }中，112,21n n a a a +==-，则n a =
②{n a }中，1112,22n n n a a a ++==+，则n a = （注：关系式中的2换成3呢）
③{n a }满足123,2a a ==且2121
2n n n a a a n n
++=-+
-，则n a =
④{n a }满足11a =且212n n n a a a +=+，则n a = ⑤{n a }满足12a =且1121
()2
n n a a a a +=
+++ ，则n a = ，n s = 6．善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会 练习：
①正项数列{n a }中，111,21n n a a a +=<+，求证：
121111
11112n n a a a +++>-+++ 分析：111111
2112(1)121
n n n n n n a a a a a a +++<+⇒+<+⇒>
++ 231211111111
()()()111122222
n n n a a a +++>++++=-+++ ②已知{n a }中11
1,(2,)(1)!
n a a n n N n +==
≥∈-，求证：1233n a a a a ++++< 分析：11111
(3)(1)!123(2)(1)(2)(1)21
n a n n n n n n n n =
=<=-≥------- 123111111
11133223211
n a a a a n n n ++++≤++-+-++
-=-<---
四、不等式
1、同向不等式能相减，相除吗？
2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
3、分式不等式
()()
()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
6、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意
到a ，b +
∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是
定值？(一正二定三相等)
7、) R b , (a , b
a 2a
b 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当
c b a ==时，取等号）
； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；
8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．
9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
五、向量
1．两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意λ=是向量平行的
充分不必要条件.(定义及坐标表示)
2．向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：||2
=·
，
cos ||||
a b
a b θ∙==
3．利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意：
(1)
0,(,],0,,022
a b a b a b a b a b πππ∙<⇔<>∈∙=⇔<>=∙> ,[0,)2
a b π⇔<>∈
（2）0<∙是向量和向量夹角为钝角的必要而非充分条件.
4．向量的运算要和实数运算有区别：（1）如两边不能约去一个向量，即a b a c ∙=∙
推不出b c = ，（2）向量的乘法不满足结合律，即c b a c b a )()(∙≠∙，（3）两向量不能相除.
5．你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？
6．几个重要结论：（1）已知,OA OB 不共线，OP OA OB λμ=+
，则A ，P ，B 三点共线的
充要条件是1λμ+=；（2）向量中点公式：若C 是AB 的中点，则1()2
OC OA OB =+
；（3）
向量重心公式：在ABC 中，0OA OB OC ++=⇔
O 是ABC 的重心.
例：设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，
则||||||FA FB FC ++=
__________.
7．向量等式OC OA OB λμ=+
的常见变形方法：（1）两边同时平方；（2）两边同时乘以
一个向量；（3）合并成两个新向量间的线性关系.
8．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量.
例1．ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=
，求数量积
,,OA OB OB OC OC OA .
例2．平面四边形ABCD 中，313,5,5,cos ,5
AB AD AC DAC ===∠=
12
cos 13
BAC ∠=，设AC xAB yAD =+ ，求,x y 的值.
例3．如图，设点O 在ABC 内部，且有230OA OB OC ++=
，则:A O C A B C S S =
____.
六、导数
1．导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形. 2．几个重要函数的导数：
①0'=C ,（C 为常数） ②()
'
1(x
x αααα-=为常数）
③'()ln (0x x a a a a =>且1)a ≠ ④'
1
(log )(0ln a x a x a
=>且1)a ≠ ⑤'()x x e e = ⑥'
1(ln )x x
=
⑦'(sin )cos x x = ⑧'(cos )sin x x =-
导数的四运算法则 ①()()()
()()'
'
'f x g x f x g x ±=±
②()()'
'
Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦（C 为常数）
③()()
()
()()()()'
''f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅
④()()()()()()()()'''2
(0)f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦
3． 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当'()0f x ≥或'()0f x ≤，带上等号.
例.已知20,a b =≠ 且关于x 的函数3211()32
f x x a x a bx =+⋅+⋅
在R 上有极值，则a 与
b
的夹角的范围为
4．0()0f x '=是函数f(x)在x 0处取得极值的必要非充分条件，f(x)在x 0处取得极值的充分必要条件是什么？ 5．求函数极值的方法： （1）先找定义域，求导数()x f '
；
（2）求方程()x f
'
=0的根n x x x ,,,21 找出定义域的分界点；
（3）列表，根据单调性求出极值.
已知()f x 在0x 处的极值为A ，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值.
6． 利用导数求最值的步骤：
（1）求函数在给定区间上的极值；
（2）比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值. 7．含有参数的函数求最值的方法：
看导数为0的点与定义域之间的关系. 8．利用导数证明不等式()()f x g x >的步骤：
（1）作差()()()F x f x g x =-；
（2）判断函数()F x 在定义域上的单调性并求它的最小值； （3）判断最小值0A ≥；
（4）结论：()0F x A >≥，则()()f x g x >. 9．利用导数判断方程的解的情况.
.已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则当0x →时(1)(1)
2f x f x
+-趋近于
解析：由定义得当0x →时，
'(1)(1)1(1)(1)11
(1)2222
f x f f x f f x x +-+∆-=⋅=⋅=∆
易错原因：不会利用导数的定义来解题.
例2.函数32()f x x ax bx c =+++，其中,,a b c R ∈，当2
30a b -<时，()f x 在R 上的
增减性是
解析：'2()32f x x ax b =++，则24(3)0a b ∆=-<在R 上'()0f x >，故是增函数. 易错原因：不善于利用导函数的""∆来判别单调性.
例3.若函数3
'21()(1)53f x x f x x =
--⋅++，则'(1)f -= 解析：设32
1()53
f x x ax x =-++，则'2()21f x x ax =-+.故'(1)22f a -=+.由
22a a =+知2a =-.有'(1)f -=-2.
易错原因：不会运用待定系数法解题.
例4.3
()f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，()f x 的值域为
解析：'2()31f x x =-，令'()0f x x >⇒>
，
()f x ∴在区间2⎤⎥⎣⎦上单调增，在区间⎡⎢⎣⎦上单调减，
()f x ∴的值域为⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊.
七.概率:
1.古典概型和几何概型的区别.
例如:(1)任意取实数x ∈[1,100],恰好落在[50,100] (2)任意取整数x ∈[1,100],恰好落在[50,100]2
事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率. （1）若A 、B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； （2）若A 、B 对立，则()1()P A P A =-.
3.概率题的解题步骤: (1)记事件
(2)交代总共结果数与A 事件中结果数(几何概率即D,d ) (3)计算 (4)作答
例如.1、在等腰直角三角形ABC 中，
（1）在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率；
（2）过顶点C 在ACB ∠内任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.
2．已知在矩形ABCD 中，AB=5，AC=7，在矩形内任取一点P ，求090APB ∠>的概率.
八、统计:
1.抽样方法主要有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体数目较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，主要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。

它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。

2.样本估计总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方形的面积为其频率.总体特征数的估计:
121122......n
n n x x x x x x x n
ηηη+++=
=+++（i x 表示各组的组中值，i η表示各组的频率）
()()
()
2
2
2
1
2
2
...n x x x x
x x
s
n
-+-++-=
s =
3.线性回归方程:
步骤:(1)由散点图初步判定是否线性相关; (2)列表求值; (3)代入计算; (4)交代结论 4.回归分析: (1)相关系数
r 具有如下性质:1r ≤,并且r 越接近于1,
越接近于0,线性
相关程度越 (2)相关性检验步骤
①提出统计假设0H ：变量,x y 不具有相关关系； ②计算出r 的值；
③与临界值0.05r 比较（0.05r 根据95%的要求与n-2查表可得）； ④作出统计推断：如果0.05r r >表明 如果0.05r r <表明 5.独立性检验
（1）2χ= ，2χ越大说明X 与Y （2）独立性检验的步骤 ①假设0H ②计算2χ
③与临界值比较 ④作出推断
九、立体几何:
(1) 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线⇔线//面⇔面//面,
线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面,垂直常用向量来证.
(2) 已知斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分别为300
和700
,那么第三个二
面角的大小为 .
解析:作斜三棱柱的直截面,则第三个二面角的大小为800
. 易错原因:不知道作直截面.
(2) 常见几个几何体的三视图,你都熟悉吗?
请根据下列几何体的三视图画出该几何体: ①
②
③
(3) 立体几何中的位置关系,你都搞清楚了吗?
1. 若α⊂⊥⊥n m n l m l ,,,,则α⊥l ( )
2. 若,,//α⊂n n m 则α//m ( )
3. 若,,,αα⊄⊥⊥n m n m 则α//n ( )
4. 若,,,βαβα⊥⊥⊥n m 则n m ⊥ ( )
5. 若n m ,是异面直线,,//,,ββαm n m ⊂⊂则α//n ( )
6. 经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ( )
7. 若,,βα⊥⊥l l βα,是两个不同平面,则βα// ( ) 8．过平面α外两点，有且仅有一个平面与α垂直（ ） 9．若l 上有两点到α距离相等，则α//l （ ） 10．若αββ⊂n m n m ,,//,//，则βα//（ ） 11．若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥（ ） 12．若,//,//,αβαm n m ⊥则β⊥n
（4）这些公式，你记住了没有？ 1．,2
1
,ch s ch s =正棱锥侧直棱柱侧＝ （c ：底面周长，h ：高，,h ：斜高） ,,)(2
1
h c c s +=
正棱台侧 （c 与, c ：上下底面周长，,h ：斜高） 2．rl s π2=圆柱侧 rl s π=圆锥侧 l r r s )(,
+=π圆台侧 （r ：底面半径，l ：母线长） 3．sh V =柱体 sh V 31=锥体 )(3
1
,,ss s s h V ++=台体
4．33
4
r V π=球 24r S π=球 十、解析几何
1．设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛--23,3，且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程.该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
2．倾斜角的范围： ；两直线夹角的范围： ；两向量夹角的范围：
（1）若a R ∈，则直线cos 10x y α+-=的倾斜角的取值范围是 解析：cos 1y x α=-+，设倾斜角为θ，则tan cos θα=-，
由cos 1α≤知1tan 1θ-≤≤，故30,
,44ππθπ⎡⎤⎡⎫
∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
. 易错原因：①倾斜角理解有误；②误以为倾斜角为3,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （2）直线l 过点（-4，-1），横截距是纵截距的两倍，则直线l 的方程是
解析：设直线方程为12y x
a a
+
=， 直线l 过点（-4，-1）
，有1412a a
--+=，故3a =-，则直线l 的方程为260x y ++=. 易错分析：错了！！！遗漏了直线过原点的情况，正确答案是1
4
y x =或260x y ++=.
（3）过点P （1，1）作直线l ，设l 与两坐标轴围成的三角形的面积为10，这样的直线有 条.
解析：设直线方程为1(1)y k x -=-，则在,x y 轴上的截距分别为1
,1k k k
-- 111102k S k k
-∴=⋅-=，k 有4解，故有4条.
易错原因：距离与截距概念模糊.
3．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
4．对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有
⎩⎨
⎧≠=⇔122
11
22121//C A C A B A B A l l ； 0212121=+⇔⊥B B A A l l ． 5．直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0. 6．直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可设为
1x y
a a
+=，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
7． 两直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离公式d=
8．直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L 的方向向量为=（x 0，y 0）时，直线斜率k= ；当直线斜率为k 时，直线的方向向量= 9．已知两直线分别过（-2，3）和（3，-2），若这两条直线分别绕者这两个点旋转且保持平行，则这两条直线间的距离的取值范围是
解析：这两条直线间的距离最大为d =(
错误原因：未注意“保持平行”.
10．处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
11．过直线y x =上的一点P 向圆C ：22
670x y x +-+=作切线，则切线长的最小值为
解析：P 点在哪里切线长最小呢？
设(,)P x y ，切点为A ，则在Rt PAC ∆中，2
2
2
PC AC
PA -=
22235
(3)22()22
x x x ∴-+-=-+
∴当P 在点33,22⎛⎫
⎪⎝⎭
4易错原因：找不到等量关系：2
2
2
PC AC
PA -=.
12．处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
15．在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质.
13．在求圆的方程及圆的切线方程时，不妨回忆一下其几何作图方法.尤其是三角形的外接圆、内切圆的作法，两圆内外公切线的作法.
14．垂径定理的几种形式：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直平分弦的直线过圆心.
15．圆的切线的判定：①圆心到直线的距离等于圆的半径；②经过半径外端垂直于半径的直线；③直线与圆的方程联立0∆=. 16．在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便.（焦半径公式：椭圆：|PF 1|=———— ；|PF 2|=———— ；双曲线：|PF 1|=———— ；|PF 2|=———— （其中F 1为左焦点F 2为右焦点 ）；抛物线：|PF|=|x 0|+
2
p
） 17．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0≥∆的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0>∆下进行）. 18．椭圆中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 双曲线中，a ，b ，c 的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为————
19．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
20．你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！ 21．你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的.求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
（1）1F 是椭圆22
1259
x y +=的一个焦点，M 在椭圆上，若12MF =，N 是线段1MF 的中点，则|ON|的长度是（O 是原点）
解析：考虑椭圆的定义，利用三角形的中位线，|ON|=4
易错原因：找不到快速解题的思路，对于三角形的中位线应用不熟练.
（2）已知过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60︒
的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆离心率为
解析：作图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，可知E 为AC 的中点.
1cos6033AE DB AB
BF
e
︒=
=
=
，故23e =.
易错原因：应用定义解题不够熟练，构造三角形ABE 有困难.
（3）若点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点，且
12121
0,tan 2
PF PF PF F ⋅=∠= ，则椭圆离心率为
解析：120PF PF ⋅=⇒ 12PF F ∆为直角三角形. 又121
tan 2
PF F ∠=，则122PF PF = ，设12PF x =
，则12F F =
故e =
. 易错原因：①12PF F ∆为直角三角形；②121
tan 2
PF
F ∠=未用好. （4）已知点1F 、2F 为椭圆2
214
x y +=的焦点，若P 为椭圆上的点，当12PF F ∆的面积为1时，12PF PF ⋅ 的值为
解析：猜想120PF PF ⋅= ，然后验证此时12PF
F ∆的面积为1，这种考虑抓住了填空题的特殊性，若设(2cos ,sin )P θθ，由点到直线的距离公式求12PF F ∆的高，同样可以完成解答. 易错原因：找不到解题的捷径.
（5）已知椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值为 解析：将椭圆方程转化为标准形式，注意焦点在y 轴，故1
4
m = 易错原因：未考虑
1
1m
>的条件. 附加题 ( 二项式定理,概率)
1.分类加法原理（加法原理）
12n N m m m =+++ . 2.分步计数原理（乘法原理）
12n N m m m =⨯⨯⨯ . 3.排列数公式
m
n
A =)1()1(+--m n n n =！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *
，且m n ≤)．注:规定1!0=.
4.排列恒等式
（1）1
1m m n n A nA --=；（2）11n n n n n n nA A A ++=-；（3）11m m m n n n A A mA -+=+； (4) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 5.组合数公式
m n C
=
m n m
m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *
，m N ∈，且m n ≤).
6.组合数的两个性质
(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+；注:规定10
=n C . 7.组合恒等式
（1）11m m n
n n C C m --=； （2）∑=n
r r n C 0
=n 2； （3）1
121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；
(4)135024
12n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= 8.排列数与组合数的关系：m m n n
A m C =⋅！ . 9.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;
二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，
=. 例题：函数
为实数并且是常数a x x
a
x f ()()(9+=)
（1）已知)(x f 的展开式中3x 的系数为
4
9
，求常数.a （2）是否存在a 的值，使x 在定义域中取任意值时，27)(≥x f 恒成立？如存在，求出a 的值，如不存在，说明理由.
解析（1）T r+1=C 9
239999
)
()(---=r
r r r
r r x
a C x x
a 由
392
3=-r
解得8=r
49
8989=
-a C 4
1=∴a （2）),0()(
)(9+∞∈∴+=x x x
a
x f 要使（27)9≥+x x
a
只需31
3≥+x x
a
10当0>a 时，设x x
a x g +=)(
3
22
1
2
)
2(02
1)(a x x ax
x g ==+-='--
9
434
3
)2()2()(3
13
13
3
23
2min ≥
∴≥
=
+
=
∴a a a a a
x g 20当0=a 时，不成立 30当1-<a 时，不成立 故当27)(9
4
≥≥
x f a 时
另解法 34322)(a x x x a x x a x g ≥++
=+= 只需9
4,34331
3≥≥⋅a a
即 10.等可能性事件的概率()m
P A n
=
. 11.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．
12.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 例题:. 由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
求：(1)至多有2个人排队的概率；
(2)至少有2人排队的概率．
解析:(1)设没有人排除为事件A ，1个人排队为事件B ，2个人排队为事件C ，则P (A )=0.1, P (B )=0.16, P (C )=0.3，依题意A 、B 、C 彼此互斥，所以至多2个人排队的概率为: P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)设至少2个人排队为事件D ，则D 为至多1个人排队，即D =A +B ，因此 P (D )=1-P (D )=1-P (A +B )=1-［P (A )+P (B )］=1-(0.1+0.16)=0.74.
13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).
14.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．
15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1)
.k k n k
n n P k C P P -=- 16.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥= ；（2）121P P ++= . 17.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++
18.数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p
ξ=
. 19.方差()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+
例题.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程
20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程2
0x bx c ++=有实根的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2
0x bx c ++=有实根的概率． 解析: （1）基本事件总数为6636⨯=，
若使方程有实根，则2
40b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =；。