函数方程常用解法：

函数方程常用解法：

（1）配方法：利用配方的方法将)())((x g x f =ϕ的右端变成关于)(x ϕ的函数。例如 已知

221)1(x

x x x f +=+，求)(x f 。 解 )(x ϕ=x x 1+，利用配方的方法，设法将等式的右端变成以x

x 1+为变元的函数，即 2)1(212122222-+=-++=+x x x

x x x 于是有2)1(1)1(222-+=+=+x x x

x x x f 得到2)(2

-=x x f

（2）换元法：将函数方程的变量进行适当的变量替换，求出方程的解。 例如 已知x f x x 2)1

e 1e (=-+，求).(x

f 解 利用换元的方法，令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到1

1ln 2)(-+=y y y f ，即为

1

1ln 2)(-+=x x x f 有时得到一个新的函数方程，将函数方程的变量进行适当的变量替换，会得到一个或几个新的函数方程，则联立新旧方程，然后求得其解。

（3）待定系数法：当已知)(x f 是多项式函数时，可利用待定系数的方法求解函数方程。首先写出函数的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等来确定待定的系数。例如 已知函数23)1(2--=+x x x f ，求)(x f 。

解 由于)1(+x f 不改变)(x f 的次数，所以)(x f 为1二次函数，可设c bx ax x f ++=2)( 则c b bx ax ax c x b x a x f +--++=-+-+=+12)1()1()1(22

231)2(22+-=+-+-+=x x b c x b a ax

由已知条件得出4,1,1=-==c b a

故有4)(2+-=x x x f