工科数学分析教程上册最新版习题解答4.96

f
(1)
0
பைடு நூலகம்
，
f
(2)
3 4
所以 max f (x) 2 ， min f (x) 0
[1, 2]
[1, 2]
2、
（1）、 y 2 x x ，[0, 4]
因为 y 1 1 1 x
x
x
当 x 0 时，令 y 0 得 x 1
而 y x 0 ， y x 1 1， y x 4 0
f
(x)
1 4
（13）、 y xe0.01x ， (0,)
由 y e0.01x 0.01xe0.01x e0.01x (1 0.01x) 0 有 x 100
而
f (0) 0 ，
f (100) 100 ， e
f
()
lim
x
x e 0.01x
lim
x
1 0.01e 0.01x
0
所以 max f (x) 100 ， lim f (x) 0
所以 f (x) 在 x 2 得取极小值 f (2) 2
（3）、 y x 4 2x 2 3
由 y 4x3 4x 4x(x2 1) 4x(x 1)(x 1) 0 有
x1 0 ， x2 1 ， x3 1 而 2 x 1 时， f (x) 0
1 x 0 时， f (x) 0
[0, 9]
[0,9]
（8）、
y
sin
2
x
x
，
[
2
,
2
]
由
y
2 cos
2x
1
0
有
x
6
而 f (4 )
3 2
6
，
f
(
6
)
3 2
6
，
f
(
2
)
2
，
f
(2 )
2
所以 max
[
2
, 2
]
f (x)
f
(
2
)
2
， min [2 ,2 ]
f
(x)
f
( 2
)
2
（9）、 y 5 3x ，[1, 1]
16 4x2 (4 x2 )2
0 有 x 2
而 f (2) 1， f (2) 1
（6）、
y
x2 2
8 x
8 ，[4,
1]
由 y x
8 x2
x
3 x2
8
0 ，有
x 2 ，由 y 不存在，有 x 0 [4, 1]
而
f
(2)
2
，
f
(4)
2 ，
f
(1)
1 2
所以 max f (x) 2 ， max f (x) 2
0 x 1 时， f (x) 0
所以 f (x) 在 x 1处取极小值 f (1) 2
在 x 0 处取极小值 f (0) 3
（4）、 y 3 2x 2 1
因为 y 3 2 0 ， x 0 时无导数。无极值。 33 x
（5）、
y
4
4x x2
由 y
4(4 x 2 ) 8x 2 (4 x2 )2
而 f (0) 1， f ( 2 1) 2 42 2
所以 max f (x) 1， min f (x) 2
[0, ]
[0, ]
42 2
(x 2)(x 1), （12）、 y | x2 3x 2 || (x 2)(x 1) | (2 x)(x 1),
(x 2)(x 1),
10 x 1 1 x 2 2 x 10
( 0 , )
e
( 0 , )
（14）、 y 3 2(x 1)2 (x 4) ， [0, 4]
两边取对数
ln
y
1 3
[ln
2
2
ln(x
1)
ln(x
4)]
两边求导
1 y
y
1 3
(
x
2 1
x
1
4)
所以由 y 3
2(
x
1)
2
(
x
4)
(
x
x3 1)(x
4)
3 2(x 2) 3 (x 1)(x 4)2
令
y
0
，得
x
4
又因为
y x
2
1
，
y
x
2
1
，
y
x
4
2
所以 max 1 ， max y 1
[
2
, 2
]
[
2
, 2
]
（5）、
y
tgx
x
，[
4
,
4
]
由 y sec2 x 1 0 有 sec2 x 1，即 cos2 x 1， cos x 1 ， x k
又因为
x
[
由
y
2
3 5 3x
不存在，有 x
5 3
[1,
1]
由 f (1) 2 2 ， f (1) 2 知
max f (x) 2 2 ， max f (x) 2
[1, 1]
[1, 1]
（10）、 y 4 x 2 ，[2, 2]
由 y x 0 有 x 0 4 x2
而 f (0) 2 ， f (2) 0
所以 max f (x) 1 ， max f (x) 0
[0,4]
[0,4]
（2）、 y
4 x2 4 x2
， [1,
3]
因为
y
1
4
8 x2
所以
y
16x (4 x2 )2
，由
y
0有
x
0
而
y
x
1
3 5
，
y
x
0
1
，
y
x
3
5 13
所以
max
[ 1,3]
y
1，
min
[ 1, 3]
5 13
（3）、
y
x
1、
（1）、 y x3 3x 2 1
4.8 典型计算题六
解：由 f (x) 3x 2 3x 3x(x 1) 0 ，有 x1 0 ， x2 1 而 1 x 0 时， f (x) 0
0 x 1 时， f (x) 0
1 x 4 时， f (x) 0
所以 f (x) x 0 处取极大值 f (0) 1，
[ 4, 1]
[4, 1]
（7）、 y x3 18x 2 96x ，[0, 9]
由 y 3x2 36x 96 3(x 4)(x 8) 0 有 x 4 或 x 8
而 f (4) 120 ， f (8) 128 ， f (0) 0 ， f (9) 135
所以 max f (x) 135 ， max f (x) 0
10
x
1时，由
y
x
1
x
2
2x
3
0有x
3 2
(10,
1)
1
x
2
时，由
y
x
1
2
x
2x
3
0
有
x
3 2
2
x
10
时，由
y
0有
x
3 2
(2,
10)
而
f
( 23)
(2
3 2
)(
3 2
1)
1 4
，
f (10) 132 ， f (10) 72
所以 max [10, 10]
f
(x)
132 ， min [ 10,10 ]
1 2
1
，
[
1 2
,
1 2
]
因为
y
2x (x 2 1)2
，令
y
0，
x [
1 2
,
1 2
]
，得
x
0
以因为
y
x
1 2
y
x
1 2
4 3
，
y
x
0
1
所以
max
[
1 2
,
1 2
]
y
1 ， max
[
1 2
,
1 2
]
4 3
（4）、
y
cos
2x
2x
，[
2
,
2
]
因为 y 2sin 2x 2 2(1 sin 2x) 2(cos x sin x)2
4
,
4
]
，所以
x
0
而
f
(
4
)
1
4
，
f
(4
)
1
4
，
f
(0)
0
所以 max
[
4
, 4
]
f
(x)
1
4
， max
[
4
, 4
]
f
(x)
1
4
在 x 1处取极小值 f (1) 1 。
（2）、 y x 2 16 14 x
解：由 y
2
x
16 x2
2(x3 8) x2
2(x 2)(x2 2x 4) x2
0有
x1 2 ，由 y 不存在，有 x2 0 [1, 4] 而1 x 2 时， f (x) 0
2 x 4 时， f (x) 0
所以 max f (x) 2 ， min f (x) 0
[ 2 , 2 ]
[ 2, 2 ]
（11）、
y
1 1
x2 x4
， [0,
)
由 y
2x(1
x 4 ) 4x3 (1 x 2 ) (1 x 4 )2
2x[(x2 1) 2] (1 x 4 )2
0有
x 0 或 x 2 2 1 ， x 2 2 1 （舍去）
0有x 2
由 y 不存在，有 x 0 或 x 4
而 f (2) 3 4 ， f (1) 0 ， f (4) 0
所以 max f (x) 0 ， min f (x) 3 4
（15）、
y
3
x
(x
4 2)2
， [1,
2]
由 y 1
8 (x 2)3
0 ，有 x 0
而
f
(0)
2
，