《平面向量数量积》课件ppt

b
O
a
B
A
返回
B
b
θ
a
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O
A
θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。
返回
当θ=0°时，它是|b|
O
b
B
Aa
返回
b
O
a
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
B
b
θ
a
O
A
当θ=90°，它是0。
返回
B
b
Oθ
a
A B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
b
θ
a
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0-- (× ) (3)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------- ( ×) (4)若a·b=0,则a=0或b=0 --------------------- (× ) (5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------- (√ ) (6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c ------------------- (× )
2、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求 BCCA
A
B
C
3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 3 ,
则 a在e方向上的投影为
4、 如 ,在 图平A 行 B 中 四 ,已 CD A 边 知 B 4 ,A 形 D 3 , D A 6B ,0
求 :1 .AB DC2.ABCD 3.ABDA
复习 引入 新课讲解 例题讲解
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
性质讲解 课堂练习 小结回顾
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则 有： ①λ(μa)=(λμ) a
小结回顾
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，
则， a在b上的投影为 b在a上的投影为
小结回顾
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b|
3 . 求 证 ： 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 .
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小
（2）若 a b 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 .
（3）已知b为非零向量因为0×a =0， a ·b = 0,所以a = 0
(4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a ·b ·c = a·（b ·c）
例题讲解
4 .若 a ,b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 且 (2 a 3 b ) 性质讲解 (k a 4 b ),求 实 数 k 的 值 . 课堂练习 5 . 已 知 a 2 1 , b 2 2 , ( a b ) a 0 , 求 a 与 b 的 夹 角 .
6 . 已 知 a + b c 0 ， |a| 3 ,|b| 5 ,|c| 7 ,
(1)abba;
( 2 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) a b ;
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
( 3 ) ( a b )c a c b c . 思考： (a b )2 (a b )2
课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0----- (√)
教 材 ： P.83.5. 14.
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1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义
3. 重要性质
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
当θ=0°时，a与b同向
b
O
a
B
A
返回
当θ=180°时，a与b反向。
(1)abba;
( 2 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) a b ;
( 3 ) ( a b )c a c b c .
思考： 若acbc，有ab吗？
反之成立吗？
复习 引入 新课讲解
设 向 量 a ,b ,c 和 实 数 ，
则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
例题讲解
a·b=|a| |b| cosθ
性质讲解 课堂练习 小结回顾
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即 ： a00
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b.
解：a·b=|a||b|cosθ
=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10.
小结回顾 求 a 与 b 的 夹 角 .
1 .已 知 a ,b 均 为 单 位 向 量 ， 它 们 的 夹 角 为 6 0, 求 | a 3 b | 2 .已 知 a ,b 满 足 ： |a| 1 ， |b|2 ,|ab|2 , 求 | ab| 3.已 知 平 面 上 三 点 A,B,C满 足 ： |AB|2，
D
C
解:1因为 AD与BC平行且方,向相同
60
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9 A
B
2
或ADBCAD9
2.A与 BC平 D ,行 且方向相反 120
AB与CD的夹角18是0
A C B A D C B c D 1 o8 s4 0 4 1 16 进行向量数量积
当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（4）cosθ= a·b |a||b|
（5）|a·b|≤|a||b|
复习 引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
设 向 量 a ,b ,c 和 实 数 ，
则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
复 习 练习：1.P.80
引 入 2 . 已 知 a 与 b 的 夹 角 为 1 2 0， |a|4 ,|b|2 , 求 ： |ab|;|3 a4 b|.
新课讲解 3 . 已 知 a , b ,c 满 足 a + b c0 ， |a| 3 ,|b| 1 ,
|c|4 ,求 ： ab bc ca 的 值 .
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与
7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直， 求a与b的夹角.
几何问题：
A O
C
C FH E
B
A
DB
2 . 求 证 ： 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 .
3 . 求 证 ： 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 .
|BC|1,|CA| 3, 求ABBCBCCACAAB 4.已 知 非 零 向 量 a,b 满 足 :(a2b) a, (b2a) b,求 a,b 的 夹 角
几 何 问 题 ：
1.求 证 ： 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 .
D
CA
CF
O
A
B
B
A
C HE
DB
2 . 求 证 ： 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 .
(2)若a//b？
(3)若ab？
小结回顾
复习 引入 新课讲解
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1， 则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.
θ=0°
θ=90°
θ=180°
例题讲解
θ为锐角时
θ为钝角时
性质讲解 课堂练习
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
复 习 向量的夹角
引入 新课讲解
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b， 则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）
叫做向量a与b的夹角。
B
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
Oθ
特殊情况
θ=0°
θ=180°
A
θ =90°
复习 引入 新课讲解
已知两个非零向量a与b，它们的夹角 为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b
②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
复习 引入 新课讲解
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作 用下产生位移s（如图）
F
θ S
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ
其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
2
计算时,既要考
或AB CD AB16
虑向量的模,又
要根据两个向量
3. A与 BA的 D 夹6角 0 ,AB是 与DA的夹角12是0 方向确定其夹角。
AD B AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6 2
例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b）， 求证： | a + b |= 2 | b |.