使用等价无穷小求极限造成误差的讨论

定理 １：
由定义 １必然有 ｂ＝［ｆｉ（ｘ）－ｇ（ｘ）］·α或 ｂ＝
或
（５）
Ｂ＝ｌｉｍｘ→ａ∑ｎ ｉ＝１ｆｉ（ｘ）
（６）
其余减和除的形式都可由这两种形式演变而
来。
在计算过程中，并非所有的无穷小量都可用等
价无穷小代换，因此明确等价无穷小代换的本质很
有必要［７］。下 文 将 讨 论 使 用 等 价 无 穷 小 作 为 近 似
值，替换极限中的某一项来求极限的本质，以及提供
时，也即 ｃ＝０时，ｂ对极限没有影响。
２）对于（２）式，若使用（ｘ－ｘ）替代（ｘ－ｓｉｎｘ），
有 ｌｉｍｘ→０ｘ－ｘｓ３ｉｎｘ＝ｘｘ－３ｘ ＝０，极限的计算结果为 ０，
结果错误。此时有
ｂ＝（ｘ－ｓｉｎｘ）ｘ３－（ｘ－ｘ）＝３ｘ！３ ＋ｘｏ３（ｘ３）
（４）
又 ｃ＝１６≠０，ｂ不为无穷小。此时错误的结果
０，与正确的结果 －１６相比，正好差了 ｃ，故推测当 ｃ
≠０，即 ｂ不为无穷小时，ｂ对极限会造成影响。
综上所述可以推测，如果极限存在，这个不为无
穷小的 ｂ，也就是不为 ０的 ｃ，便是使用等价无穷小
作为近似值替换去求极限时产生错误的根源。
若极限为∞，将这个极限的其中一项用其等价
无穷小替代后，极限必然仍为∞，已经没有讨论 ｂ的
结果为 ０，结果正确。可以根据局部泰勒公式［６］，当
ｘ∈Ｕ（０）时有
ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３ ＋ｏ（ｘ３）故当 ３！
ｘ→０时，将
用来替换的无穷小 ｘ，减去被替换的无穷小 ｓｉｎｘ，即
有值 ｘ－ｓｉｎｘ＝ｘ３ ＋ｏ（ｘ３） ３！
（３）
现把这个值称作“使用等价无穷小替换后的替
换前与替换后的误差”，简称“误差”，用斜体的小写
彻底解决使用这个方法求极限时产生错误的办法。
由此可令初学者放心地使用等价无穷小作为近似值
替换求极限。
２ 误差产生的必然性
若 ｆ（ｘ）在 ｘ∈Ｕ（ａ）时 ｋ阶可导，ｋ＞０，且有 Ｂ
形式的极限存在，且 ｉ∈Ｚ，ｉ∈［１，ｎ］时有 ｆｉ（ｘ）＝ ｆｉ（ａ）＋ｆ′ｉ（ａ）（ｘ－ａ）＋… ＋ｆ（ ｉｋ）（ａ）（ｘ－ａ）ｋ＋ ｏ［（ｘ－ａ）ｋ］。
第 １８卷 第 ３期 ２０１８年 ９月
兰州石化职业技术学院学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＰｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ
文章编号：１６７１－４０６７（２０１８）０３－００３３－０３
Ｖｏｌ１８Ｎｏ３ Ｓｅｐ．，２０１８
使用等价无穷小求极限造成误差的讨论
张 宇
（大连民族大学 计算机科学与工程学院，辽宁 大连 １１６６０５）
摘要：现行高数教材普遍回避了，使用麦克劳林公式和等价无穷小替换这两种方法来求
极限时，同是在使用等价无穷小作为近似值替换极限中某一项的方法来求极限的本质，
以及若这么求极限，有时会产生错误的根本原因。探讨使用等价无穷小作为近似值，替
换极限中某一项来求极限的本质，和使用这种方法可能会产生错误的根源，并提出对这
和、差运算的分式极限问题［２］，如果使用不当，会出 现错 误［３］，有 时 做 出 的 答 案 是 正 确，而 有 时 是 错 的［４］。
如下面一组对比：
ｌｉｍｘ→０（ｓｉｎｘ－ｘ）＝ｌｉｍｘ→０（ｘ－ｘ）＝０ ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘｘ３－ｘ＝－１６
（１） （２）
说明：
１）对于（１）式，若使用 ｘ替代 ｓｉｎｘ，极限的计算
又令 ｇｉ（ｘ） ＝ｆｉ（ａ）＋ｆ′ｉ（ａ）（ｘ－ａ）＋… ＋ｆｉ（ｊ） （ａ）（ｘ－ａ）ｊ（０≤ｊ≤ｋ）
若有 ｆｉ（ｘ）为 ｘ→ａ时的无穷小，则由如果 β是 比 α高阶的无穷小，那么 α＋β与 α等价［８］。所以
有 ｘ→ａ时 ｆｉ（ｘ）～ｇｉ（ｘ）。 定义 １：若使用 ｇｉ（ｘ）近似替换 ｆｉ（ｘ），就有 ｌｉｍｘ→ａ［ｆ１（ｘ）…ｆｉ－１（ｘ）ｇｉ（ｘ）ｆｉ＋１（ｘ）…ｆｎ（ｘ）］
（１０）
若使用 ｇ０（ｘ）、ｇ１（ｘ）、ｇｔ（ｘ）分 别 近 似 替 换 ｆｌ （ｘ）、ｆｌ＋１（ｘ）、…、ｆｌ＋ｔ（ｘ），１≤ｌ≤ｎ－ｔ，１≤ｔ≤ｎ，则有
ｌｉｍｘ→ａ［ｆ１（ｘ）…ｇ０（ｘ）ｇ１（ｘ）…ｇｔ（ｘ）…ｆｎ（ｘ）］
（１１）
或
ｌｉｍｘ→ａ［ｆ１（ｘ）＋… ＋ｇ０（ｘ）＋ｇ１（ｘ）＋ｇ２（ｘ）＋
… ＋ｇｔ（ｘ）＋… ＋ｆｎ（ｘ）］
（１２）
这也称作利用等价无穷小作为ｘ）…ｆｉ－１（ｘ）ｆｉ＋１（ｘ）…ｆｎ（ｘ）
（１３）
β＝ｆ１（ｘ）＋… ＋ｆｉ－１（ｘ） ＋ｆｉ＋１（ｘ）＋ｆｎ（ｘ）
（１４）
α、β分别为积形式、和形式的 Ｂ未被替换的部分。
则有
收稿日期：２０１８－０５－０７ 作者简介：张 宇（１９９６ － ），男，广西南宁人．
字母“ｂ”表示；又 令 ｌｉｍ（ｘ→ａ）ｂ＝ｃ，ｘ→ ａ为 极 限 的 自变量的变化过 程，即 斜 体 的 小 写 字 母 “ｃ”表 示
的是 ｂ在这个变化过程中的极限，也即“误差”的
极限。
在（１）中，ｌｉｍ（ｘ→０）ｂ＝０，则 ｂ为无穷小，故推测 当 ｂ为极限中自变量在同一变化过程中的无穷小
种错误的彻底解决办法。
关键词：极限；等价无穷小；泰勒公式
中图分类号：Ｏ１７２．１
文献标识码：Ａ
１ 引言
等价无穷小量的代换是计算极限的一种重要方
法，如果用来代替的无穷小量选取适当，可以使极
限的计算 较 为 简 化［１］。 在 讲 授 等 价 无 穷 小 代 换 求
极限的内容时经常会遇到利用等价无穷小替换求有
必要，因为结果都是∞，都是正确的；若极限不存在
又不为∞，替换后 ｂ为不确定值。所以本文不对这
两种极限讨论。另外，通常当极限满足 ｌｉｍ ００型时，
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兰州石化职业技术学院学报
２０１８年
才能用等价无穷小作为近似值替换这种方法求极
限。现令 Ｂ为这种极限，而这种极限，有积的形式，
又有和的形式，也即 Ｂ有两种形式： Ｂ＝ｌｉｍｘ→ａ∏ｎ ｉ＝１ｆｉ（ｘ）
（７）
或
ｌｉｍｘ→ａ［ｆ１（ｘ）＋… ＋ｆｉ－１（ｘ） ＋ｇｉ（ｘ）＋ｆｉ＋１（ｘ）
＋…ｆｎ（ｘ）］
（８）
这就称作利用等价无穷小作为近似值，替换极限中
的某一项来求解极限。
然后，令条件与定义 １相同，此时若有
ｌｉｍｘ→ａ）ｆｌ（ｘ）＝０、…、ｌｉｍｘ→ａｆｌ＋ｔ（ｘ）＝０ 同样有
（９）
ｆｌ（ｘ）～ｇ０（ｘ）、…、ｆｌ＋ｔ（ｘ）～ｇｔ（ｘ） 定义 ２：