电子科技大学 数值分析研究生期末考试

解：由于高斯求积公式为
1
f (x)dx
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
Ak
k 0
f (xk ) ,其中 xk 是 Pn1 (x) 的零点.
首先将积分区间转化
为[1,1] .令 x t 2 则 x [1,3] 时 t [1,1] .而
I 3 e x sin xdx 1 et2 sin(t 2)dt 令 g(t) et2 sin(t 2)
模拟题
1、考虑方程 x2 3x 2 0 ，迭代格式如下
xk 1
xk
xk2 3xk 2 , 2xk 3
k 1, 2,
分别求出使该迭代格式在 x* 2 和 x* 1有局部收敛性的 范围.
解： ( x)
x
x2 3x 2 ,(x) 2x 3
1
(2x
3)(2x 3) 2(x2 (2x 3)2
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)]
是二阶的，并求出局部截断误差的主项.
证：局部截断误差为
Tn1
y(xn1)
y(xn )
h[ f 2
(xn , yn )
f
(xn1, yn1)]
hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 3!
y(xn )
h 2
[
y(
xn
)
y(xn1)] O(h4 )
0
1xdx 1
0
2
x2dx 1.
3
,
解得 A 1,B 4,C 1 ，求积公式为 33 6
1 f (x)dx 1 f (0) 4 f (0.5) 1 f (0).
0
3
3
6
令 f (x) x3 时求积公式不精确成立，从而精度为 2.
5. (10 分)证明解 y f (x, y) 的梯形格式
4. 给定求积公式 1 f (x)dx Af (0) Bf (0.5) Cf (0) ，试确定 A, B, C ，使其代数精度尽可能的高，并 0
指明此时求积公式的代数精度.
解：分别将 f (x) 1, x, x2 ，代入求积公式，可得
1
A B
1
2
B 1B 4
C
1 0
1 dx 1,
hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 3!
y(xn )
h 2
[
y(
xn
)
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )] O(h4 )
h3 12
y(xn )
O(h 4
)
所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为
h3 12
y(xn ).
6.用 n 2 高斯公式计算积分 3ex sin xdx . 1
3、给定方程组 Ax b ，其中，
1 0 2 0
1
A
0 1
1 2
0 4
1
3
,
b
0 4
0
1
0
3
2
计算矩阵 A 的 LU 分解，并求出方程的解.
解：矩阵 A 的 LU 分解为
1
1 0 2 0
A
LU
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2
方程组的精确解为 x （1，-1,1,1）T .
) )
1 1
4
1
A
1 1
( (
x3 x4
) )
2 2
( (
x3 x4
) )
1 1
0
1
1(x5 ) 2 (x5 ) 1 4
记 x (a, b)T , y (2,1, 1,1,3)T ，求解法方程组 AT Ax AT y ，即
5 10
10 34
x
6 22
得 a 8 ,b 5 ，最小二乘似合曲线为 35 7 (x) 8 5 x2 35 7
1
1
两点公式为 n=1 的情况，高斯点取 3 ，求积系数均为 1. 代入高斯积分公式得 3
I
3 ex sin xdx
1
et2
sin(t
2)dt
e
3 2 3
sin(
3
2)
e
3 2 3
sin(
3 2)
1
1
3
3
3x 2)
, (2)
(1)
1
由局部收敛的条件知| (x*) ||1 | 1，0 2
2、根据下面数据求形如 (x) a bx 2 的最小二乘拟合曲线
xi
-2
-1
0
1
2
yi
2
1
-1
1
3
解 取基函数1(x) 1,2 (x) x2 ，令
1 ( x1 1 ( x2
) )
2 (x1 2 (x2