中国科技大学概率论与数理统计习题集
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计习题(全)
其中，a 为正常数，求 （1）常数 A 和 B； （2） P
a x 2 a ； （3）X 的概率密度。 2
13．设随机变量 X 的概率密度为
概率论与数理统计习题全概率论与数理统计概率论与数理统计吧概率论和数理统计概率论与数理统计二概率论与数理统计c概率论习题概率论课后习题答案概率论习题集概率论与数理
第一章
1．写出下列试验的样本空间：
随机事件及其概率
（1）抛掷三颗质地均匀的骰子，观察三颗骰子出现的点数和的情况； （2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数； （3）在单位圆内任取一点，记录它的坐标； （4）记录一个班一次概率考试的平均分数。
4
10．某建筑物按设计要求使用寿命超过 50 年的概率为 0.8，超过 60 年的概 率为 0.6，该建筑物经历了 50 年之后，它将在 10 年内倒塌的概率有多大？
11．袋中有 r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察其颜色后放 回， 并再放入 a 只与所取的那只球同色的球。 若在袋中连续取球四次， 试求第一、 二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
第五章
大数定律与中心极限定理
1 n
1． 设X 1 ， X2， …， X n 是独立同分布的随机变量， 设 X i ~ U (a, b) ，X 求 E ( X ) 与 D( X ) 。
i 1
n
Xi ，
2．设 X 服从（－1，1）的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计 P{| X | 0.6} 的 下界。
7
第二章
随机变量及其分布
(完整word版)概率论与数理统计习题集及答案(word文档良心出品)
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计_国防科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计_国防科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.答案:选项B是正确的2.答案:选项A是正确的3.一项赛事需要经过两回合比赛晋级下一轮，第一回合通过率为0.4，通过后方能进入二回合，第二回合通过率为0.5，通过后即可晋级；第一回合未通过的有一次复活赛的机会，复活赛通过率为0.1，通过后直接晋级。
今某人晋级下一轮，则他是通过复活赛晋级的概率是答案:3/134.设是随机变量的分布函数:则下列说法中不正确的是答案:5.儿童智商,要设计定在答案:不高于75.256.股票价格在一固定时段内可表成，其中为已知常数，则密度函数为答案:7.设二维随机变量的分布函数满足则下列说法不正确的是答案:的密度函数为8.二维随机变量的密度函数为其中为待定常数，则下列说法不正确的是答案:9.有分布律 X Y -11-1 0.1 0 0.2 0 0.1 0.1 0.1 10.10.20.1实根的概率为答案:0.510.设与均服从指数分布，密度函数为且与独立，则答案:的密度函数为11.设与均服从正态分布确的是答案:12.某口岸检疫部门为防止某种疾病输入国内，须加强相关建设。
设该口岸每年输入疑是病例数服从泊松分布，所需建设经费（单位：万元），则期望值为答案:3.513.袋中有个红球及个绿球，先后以放回和不放回两种方式从袋中逐个取球至个，记为放回方式取出的红球数，为不放回方式取出的红球数，则下列选择中正确的是答案:与有相同的期望14.二维随机变量的密度函数为则下列结论不正确的是答案:与的相关系数15.布律为X0 1Y0 0.1 0.21 0.3 0.4则下列选择中正确的是答案:16.设是一列独立同分布的随机变量，服从（0,1）上的均匀分布，则下列结论不正确的是答案:17.当事件和同时发生时，事件必发生，则下列结论正确的是答案:18.答案:选项A是正确的19.设，则根据切比雪夫不等式有答案:7/3620.设随机变量，且已知，则答案: 221.设为取自总体的样本，则的极大似然估计为答案:22.设为取自总体的样本，则在的如下无偏估计量中，最有效的估计量为答案:23.设0.5, 1.25, 0.8, 2是来自总体X的简单随机样本，若，则的置信水平为0.95的置信区间为答案:(0.619, 4.39)24.设为取自总体的样本，其中未知。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
概率统计练习册习题解答
.科技学院《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P )(AB P=)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 0.62．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=-(2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。
概率论与数理统计练习册（内附答案）
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
中科大概率论与数理统计复习与期末试题(2012)
一.填空判断选择题(每题 3分，答题请写在试卷上):
1 掷3 个假 子 ， 恰 好 有 两 枚 点 数相 同 的 概 率 为
= 2 设 Xl ， ' " ， Xn 为相 互 独 立 的 N (O， (72) 变 量 ， 其 中 σ2 未 知 令x = 士 艺二I X i , S 2
~L:1Xf ， 则 立 的 分 布为
¤3X
6¶
© ÆÒ
•Ážm: 2010c7 14FþÌ8:30—10:30
˜. W˜ äÀJK(zK3©,‰Kž 3Áòþ)µ
1 •3‡ f § ® • n ‡ : ê ˆ Ø ƒ Ó § K Ù ¥ – k ˜ ‡ •6: V Ç
•
.
2 X1, · · · , X4 •ƒpÕá Ñlk•©Ù§Ka =
二· (15分)(l)098x?那弘99%= 些岛.3311 (2)09831需出izx99%= 0.9604
• 三叫(阳时称性， X平时相同的边际密度 ， f(
(2) 显 然X 和Y 不独 立 ， 不相 关 .
{ ~丁;: 一 l < x < O O<x<l
四· (Ui分 ) (1) ;U = 啡2 ; p= 呼 ， 其 中x= 川 2·t l h ; (2) 由 于 Eu} = up , Eon') = 2np, En3 = n(l - 3叫 ， 故 知卢耳IIp均 沟 x 偏 估 计 ， 容 易 得 到 υω1' (豆) =:: 咛且，而val'伊)=半，于是由叫) <叫知似然估计卢更有效
x2 = (279 - 444 * 577/980)2/(444 * 577/980) + (73 …120 牢577/980)2月120 * 577/980) 十 ( 225 - 577 * 416/980)2/(577 * 416/980) + (165 - 403 '" 444/980)2/(403 * 444/980) +(47 - 120 *403/980)2/ (120 非403/980) + (191 - 403 * 416/980)2/(403 * 416/980)
中国科大概率论与数理统计试卷(全)
（1）取得红笔的概率；
（2）在已知取得红笔的条件下，问笔从哪个盒子中取出的概
率最大？
五、某工厂生产线甲根据专利生产灯泡，生产线乙根据本厂原有技术生产。现分别在生
产线甲和乙两条生产线各抽取 8 个灯泡，测得其寿命分别为（千小时）
：
对生产线甲：10，9，3，11，5，7，9，11；
一、判断和填空：
（1） 设 P(A)=0，则 A 为不可能事件。
（2） 设(X,Y)服从二元正态，Cov(X,Y)=0,则 X、Y 相互独立。
（3） 设 X、Y 相互独立，则 X、Y 的联合分布可以由 X 和 Y 的边缘分布唯一确
定。
（4） 设 1 , ⋯ , 为 从 同 一 个 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本 ， 则 (1 , ⋯ , ) −
(1 , ⋯ , )+3 是统计量。
（5） 设θ > 0，X 的概率分布函数为：
() = �
−
�
, ≥
, <
1 − �−
0
则随机变量 X 的密度函数为（）
。
2
2
（6） 设 X、Y 服从单位圆 + ≤ 1上的均匀分布，则在给定 Y=0.5 条件下的
性和相关性。
三、在一家保险公司里有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一
个人死亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向保险公司领取 1000 元的保险金，问：
(1) 保险公司亏本的概率多大？
(2) 保险公司一年的利润不少于 40000 元、60000 元的概率各多大？
四、设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是从总体 X 中抽取的一个简单随机样本，已知 X 的概率密度函
中国科技大学概率论与数理统计习题集
= 1. 求
(1) 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. (2) 已知后抽到的 1 份是男生报名表, 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. 41. 装有 m (m > 3) 个白球和 n 个黑球的罐子中失去一球, 但不知是什么颜色的球. 为 猜测它是什么颜色, 随机地从罐中摸出两个球, 结果都得到的是白球, 试求失去的球 是白球的概率. 42. 假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为 0.98, 而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为 0.05, 设某城市乙肝患病率为 0.05. 现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查, 如果其被诊断为乙肝患者, 求该人确实患有乙肝的概率. 43. 盒中有三枚硬币, 一枚是双正面的硬币, 另外两枚是正反面硬币 (其中一枚是均匀的 硬币, 一枚是正面出现概率为 75% 的不均匀硬币). 当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时, 它出现正面. 问它是双正面硬币的概率是多少? 44. 假定某种病菌在群体中的带菌率为 10%. 在检测时, 带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为 0.95 和 0.01 . (a) 现有某人被测出呈阳性反应, 该人确为带菌者的概率是多少? (b)∗ 该人又独立地做了一次检测, 检测结果依然是阳性, 问在两次检测均呈阳性的情 况下, 该人确为带菌者的概率是多少?
(4)
D1
B C
D2
(5)∗
A1 C A2
B1
B2
31. 有 4 个一年级男生, 6 个一年级女生, 6 个二年级男生共上一门课, 为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立, 在这个班还需要出现多少个二年级女生? 32. 设敌机俯冲时被步枪击落的概率是 0.008, 求当 25 只步枪同时开火时, 击落敌机的概 率. 4
(正)概率论与数理统计练习册及其答案
B. P ( AB ) ≤ 1 D.P(A-B) ≤ P(A)
A. A,B 为对立事件 C. A B = φ 7.若 A ⊂ B, 则下面答案错误的是( A. P ( A) ≤ P(B ) C.B 未发生 A 可能发生
B. A = B D.P(A-B) ≤ P(A) ). B. P(B - A ) ≥ 0 D.B 发生 A 可能不发生
P( B2 ) P( A | B2 ) = P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P ( A | B2 ) + P( B3 ) P( A | B3 )
3 2 6 3 7 15
=
5 . 7
3.设 P（A）=0.4，P（A+B）=0.7，若事件 A 与 B 互斥，则 P（B）= 独立，则 P（B）= .
4.设 A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A－B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中 P(B)>0 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A)+P( A )=1 ）.
5.若 AB ≠ φ ，则下列各式中错误的是（ A． P ( AB ) ≥ 0 C.P(A+B)=P(A)+P(B) 6.若 AB ≠ φ ,则( ).
1
8. Ai (i = 1, 2,
, n) 为一列随机事件,且 P( A1 A2
n n
An ) > 0 ,则下列叙述中错误的是(
).
A.若诸 Ai 两两互斥,则 P (
∑ Ai ) = ∑ P( Ai )
i =1
n
i =1
B.若诸 Ai 相互独立,则 P (
∑ Ai ) = 1 − ∏ (1 − P( Ai ))
概率论与数理统计练习册(理工类) - 第7章答案
−θ (
e
∑ xi )
i =1
n
1
, 1 ), xi
2n ln θ − 3(ln( x1 xn )) − θ (∑ 取对数 ln L =
i =1
n
n 1 d ln L 2n n 1 ˆ= 0, 则θ 2n / ∑ . = −∑ = 两边求导得 dθ xi θ i 1= i 1 xi =
*4. 设 x1 , x2 , , xn 为来自正态总体 N ( µ0 , σ 2 ) 的简单随机样本，其中 µ0 已知，σ >0 未知， X 和
32
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 第七章 参数估计 §7.3 区间估计
2从正态分布 X ~ N ( µ , σ ) ，其中 µ 未知，σ 已知， X 1 , X 2 , , X n 为样本，则 µ 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (A) ( X − Z 0.95 [ D (B) ( X − Z 0.05 ]
σ
n
, X + Z 0.95
σ
n
)
σ
n
, X + Z 0.05
σ
n
)
(C) ( X − Z 0.975
σ
n
, X + Z 0.975
σ
n
)
2
(D) ( X − Z 0.025
2
σ
n
, X + Z 0.025
σ
n
)
2．设总体 X 服从正态分布 X ~ N ( µ , σ ) ，其中 µ 和 σ 都未知， X 1 , X 2 , , X n 为样本，则 µ 的 置信水平为 0.95 的置信区间是 (A) ( X − t0.95 (n − 1) [ (B) ( X − t0.05 (n − 1) D ]
中国科学技术大学概率论与数理统计试卷及答案
（1） 是否可以认为������������12 = ������������22？（������������ = 0.05） （2） 钢铁工人平均工资是否低于电厂工人平均工资？（������������ = 0.05）
中国科学技术大学
2003—2004 学年第二学期考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
������������(������������;
������������)
=
1 2
������������ , −������������−2������������
(������������
>
������������;
������������
∈
������������)
（1） 试求������������的矩估计�������������和极大似然估计������������∗； （2） 验证�������������和������������∗是否为������������的无偏估计，若不是无偏估计，试将其分别修正为无偏估
二、某种商品一周的需求量是个随机变量，其概率密度为：
������������(������������)
=
����0���������������,������
−������������
,
������������ ������������
> ≤
0 0
各周的需求量相互独立，试求：
（1） 两周需求量的概率密度；
（2） 三周需求量的概率密度。
三、利用中心极限定理求解： （1）设计算机在进行加法运算时，每次取整的误差相互独立，且服从[-0.5,0.5]上的均
匀分布，若要保证误差总和的绝对值不超过 20 的概率大于或者等于 0.95，问至多只 能进行多少次加法运算？
《概率论与数理统计》习题及答案 第一章
《概率论与数理统计》习题及答案第 一 章1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
< x < b)
均值为 µ, 方差为 σ 2 的正态分布 指数分布, 均值为 1/λ. 概率密度函数为 f (x) = λe−λx I (0 < x < ∞)
第一章
1. 写出下列随机试验的样本空间:
事件的概率
(1) 随机抽查 10 户居民, 记录家中有计算机的户数. (2) 统计某本书中印刷错误的字数. (3) 同时掷 n 枚硬币, 观察国徽向上的个数. (4) 以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点. 2. 设有 A, B, C 三个事件, 试用集合运算表示下列事件. (1) 只有 B 发生. (2) A, B 发生, 但 C 不发生. (4) 至少两个事件发生. (6) 至多一个事件发生. (3) 至少一个事件发生. (5) 仅有两个事件发生. (7) 至多两个事件发生. 3. 设 X 为随机变量, 其样本空间 [0, 2], 记事件 A = {1/2 < x ≤ 1}, B = {1/4 < x ≤ 3/2}, 写出下列各事件 (1) AB (2) A ∪ B (3) AB (4) A B .
33. 对同一目标进行三次独立射击, 第一、二、三次射击的命中率分别为 0.5, 0.6 和 0.8, 试求: (1) 在这三次射击中, 恰好有一次射中的概率. (2) 在这三次射击中, 至少射中一次的概率. 34. 设事件 A1 , · · · , An 相互独立, 记 P (Ai ) = pi > 0, i = 1, 2, · · · n, 假设 (1) 这些事件至少有一件不发生的概率. (2) 这些事件均不发生的概率. (3) 这些事件恰好发生一件的概率. 35. 假设某厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可以直接出厂, 以概率 0.3 需进一步调试. 经调 试后的仪器以概率 0.8 可以出厂, 以概率 0.2 被定为不合格品不能出厂. 假设该厂生 产了 n (n > 2) 台仪器 (各台生产过程相互独立). 试求下列事件的概率: (1) 全部能出厂. (2) 恰有两件不能出厂. (3) 至少有两件不能出厂. 36. 要验收一批乐器, 共 100 件, 从中随机地抽取 3 件进行测试 (设 3 件乐器的测试相互独 立), 如果 3 件中任意一件音色不纯, 就拒绝接收这批乐器. 设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为 0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01. 如 果这 100 件乐器中有 4 件是音色不纯的. 问这批乐器被接收的概率是多少? 37. 有甲、 乙两只口袋, 甲袋中有 5 只白球 2 只黑球, 乙袋中有 4 只白球 5 只黑球. 先从甲 袋中任取两球放入乙袋, 然后再从乙袋中任取一球, 求此球是白球的概率. 38. 某工厂的第一、 二、 三号车间生产同一种产品, 产量各占总产量的 1/2, 1/3, 1/6, 次品 率分别为 1%, 1% 和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件产品 (1) 求该产品是次品的概率. (2) 若发现该产品是次品, 求它是一号车间生产的概率. 39. 考卷中的某选择题有四个答案, 其中只有一个是正确的. 某考生可能知道哪个是正确 的, 也可能是乱猜一个. 假设此考生知道正确答案的概率为 p , 而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案. 如果已知他答对了这道题, 问他确实知道正确答案的概 率是多少? 40. 设有来自三个地区的考生报名表共 50 份, 三个地区分别有 10 , 15 和 25 份, 其中女生 的报名表分别为 3 份, 7 份和 5 份, 现随机地选一个地区, 从该地区的报名表中先后抽 出 2 份. 5
18. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制, 问哪一种比赛制度对甲更有利? 19. 一栋 20 层楼中的一架电梯在底层 (第一层) 上来 8 位乘客. 电梯在每一层都停, 设每 位乘客在每层离开是等可能的, 求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20. 某路公共汽车共有 11 个停车站, 由始发站开车时车上共有 8 名乘客. 假设每人在各站 (始发站除外) 下车的概率相同. 试求下列各事件的概率: (1) 8 人在不同的车站下车. (2) 8 人在同一车站下车. (3) 8 人中恰有 3 人在终点站下车. 21. 在一种双骰子博弈中, 玩家投两枚骰子, 如果其和是 7 或 11, 则玩家赢; 如果其和是 2, 3 或者 12, 玩家输; 若是其他结果时就继续玩, 直到玩家输或者赢为止. 计算玩家赢的 概率. 22. 掷三枚硬币, 已知其中有一枚出现了正面, 求至少出现一枚反面的概率. 23. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不相同, 求含有 1 点的概率. 24. 投掷两枚骰子, 问至少有一个是 6 的概率是多少? 若这两个面不一样, 求至少有一个 是 6 的概率. 25. 在某个社区, 60% 的家庭拥有汽车, 30% 的家庭拥有房产, 而 20% 的家庭既有汽车又 有房产, 随机选取一个家庭, 求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率. 26. 甲和乙两人同时独立地射击同一目标. 假设甲射中目标的概率是 0.7, 乙射中目标的概 率是 0.4. 已知恰有一个子弹射中目标, 求它是甲射中的概率. 27. 对于三个事件 A, B, C , 若 P (AB |C ) = P (A|C )P (B |C ) ¯ 条件独立, 且 成立, 则称 A 与 B 关于 C 条件独立. 若已知 A 与 B 关于 C 与 C ¯ ) = 0.2, P (B |C ¯ ) = 0.1, 试求 P (A), P (C ) = 0.5, P (A|C ) = P (B |C ) = 0.9, P (A|C P (B ), P (AB ) 并证明 A 与 B 不独立. 28. 证明 P (A|B ) = P (A|B ) 成立的充分必要条件是 P (AB ) = P (A)P (B ). 试对此结论给 出直观的解释. 29. 如果 B 的发生使得 A 更可能发生, 那么 A 的发生是否使得 B 更可能发生? 3
30. 求下列各系统能正常工作的概率, 其中框图中的字母代表元件, 字母相同但下标不同 的都是同一种元件, 只是装配在不同的位置上, A, B, C, D 类元件能正常工作的概率 分别为 pA , pB , pC , pD .
(1)
A
B A B C
C
(2)
(3)
A1 B1 C1
A2 B2 C2 A
n i=1 pi
= 1. 求
(1) 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. (2) 已知后抽到的 1 份是男生报名表, 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. 41. 装有 m (m > 3) 个白球和 n 个黑球的罐子中失去一球, 但不知是什么颜色的球. 为 猜测它是什么颜色, 随机地从罐中摸出两个球, 结果都得到的是白球, 试求失去的球 是白球的概率. 42. 假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为 0.98, 而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为 0.05, 设某城市乙肝患病率为 0.05. 现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查, 如果其被诊断为乙肝患者, 求该人确实患有乙肝的概率. 43. 盒中有三枚硬币, 一枚是双正面的硬币, 另外两枚是正反面硬币 (其中一枚是均匀的 硬币, 一枚是正面出现概率为 75% 的不均匀硬币). 当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时, 它出现正面. 问它是双正面硬币的概率是多少? 44. 假定某种病菌在群体中的带菌率为 10%. 在检测时, 带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为 0.95 和 0.01 . (a) 现有某人被测出呈阳性反应, 该人确为带菌者的概率是多少? (b)∗ 该人又独立地做了一次检测, 检测结果依然是阳性, 问在两次检测均呈阳性的情 况下, 该人确为带菌者的概率是多少?
(4)
D1
B C
D2
(5)∗
A1 C A2
B1
B2
31. 有 4 个一年级男生, 6 个一年级女生, 6 个二年级男生共上一门课, 为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立, 在这个班还需要出现多少个二年级女生? 32. 设敌机俯冲时被步枪击落的概率是 0.008, 求当 25 只步枪同时开火时, 击落敌机的概 率. 4
号全部对上 (不计次序), 为一等奖; 对上 6 个基本号和特别号, 为二等奖; 对上 6 个基 本号, 为三等奖; 对上 5 个基本号和特别号, 为四等奖. 试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8. 考虑上题彩票游戏的一个变种: 开奖方式不变, 每张彩票只填两个不重复的号码, 如 果这两个号码出现在基本号中即为中奖. 问此时中奖的概率是多少? 如果每张彩票可 以填三个不同的号码, 中奖的概率又是多少? 9. 一间宿舍内住有 6 位同学, 其中至少有 2 个人生日在同一个月份的概率. 10. 现投掷三枚均匀骰子, 试求恰好有两枚出现相同点数的概率. 11. 盒子中放有 10 个分别标有号码 1, 2, · · · , 10 的小球, 从中随机抽取 3 个球. 试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 (1) 三个球的号码都不大于 7 的概率. (2) 球上的最大号码为 7 的概率. 12.
目录
符号表 第一章 事件的概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 随机变量的数字特征 第四章 参数估计 第五章 假设检验
2 1 7 16 23 29
1
符号表
IA (x) B (n, p) P (λ) U (a, b) 集合 A 的示性函数, IA (x) = 1, 当 x ∈ A; IA (x) = 0, 当 x ∈ /A 二项分布, 0 < p < 1 参数为 λ 的泊松分布 区间 (a, b) (−∞ < a < b < ∞) 上的均匀分布, 概率密度函数 f (x) = N (µ, σ 2 ) Exp(λ)
4. 证明: 若 A, B 为两事件, 则 (1) A + B = A + (B − A), 右边两事件互斥. (2) A + B = (A − B ) + (B − A) + AB , 右边三事件互斥. 5. 试把任意 n 个事件 A1 , · · · , An 之和表示为 n 个互斥事件之和. 6. 根据英国某地区居民调查的材料知: 父子都是黑眼睛 (AB ) 的人数占调查人数的比例 ¯ ) 的比例为 7.9%, 父亲是浅色眼睛而儿 为 5%, 父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛 (AB ¯ ) 的比例为 8.9%, 父子都是浅色眼睛 (A ¯B ¯ ) 的比例为 79.2%. 试问这 子为黑眼睛 (AB 一调查材料是否有误? 7. 一种彩票游戏规则如下: 每张彩票可以从 1 - 33 中不重复的任选 7 个数字, 开奖时由 摇奖机在 1 - 33 中开出 7 个基本号和 1 个特别号 (均不重复). 彩票号码如果与基本 1