流体力学-第一讲场论与张量分析初步共82页

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1_场论与张量基础

2.张量表示法
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。并引进以下几种符号。（1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：

0 1
两个以上（含两个）下标相同下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量；

（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b

流体力学第一章讲优秀课件

图1.8 各种流线图
图1.9 直壁界或平面组合边界的流动
图1.10 绕固体各种流线图
流线具有的特性:
1.流线一般不能相交;
2.流线一般不能转拆;它只能是光滑的曲线或直线;
3.恒定流时流线就是迹线，并且形状保持不弯。
4.非恒定流时流线随时间变化而变化。流线形状随时都在改变,且与固体边界的形状有关,它的疏密程度与管道横断面的面积大小有关。
补充内容一、一元流二元流三元流 1.一元流的定义:
如果流动体的运动要素仅是一个变量的直线或曲线坐标的函数。 2.二元流的定义:
如果流体的运动要素仅是二个坐标变量的函数。
3.三元流的定义:
如果流体的运动要素仅是三个坐标变量的函数。
(二)流管元流总流
1.流管的定义: 在运动流体中取一封闭曲线,通过这条封闭曲线上每一
rx0, y0,
t
z0,t
3．流点的加速度
a
x
x
0
,
y0, z0,t
2 xx0 , y0 , z0 , t
t 2
a
y
x0
,
y0 ,
z0,t
2 yx0 , y0 ,
t 2
z0 , t
a
z
x
0
,
y0, z0,t
2 zx0 , y0 , z0 , t t 2来自a ax, ay , az
z z x0 , y0 , z0, , t
（1—6）
２．流点的运动速度
ux0 ,
vx0 ,
y0, z0,t y0, z0,t
xx0 , y0 ,
t
yx0 , y0 ,
t
z0 ,t z0 ,t

流体力学 1章讲稿

第一章数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。

充满流体的空间称为流场。

流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。

由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。

标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。

流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。

二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。

2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。

高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步

高等流体与气体动力学
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质三大规律守恒律本构律源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则：表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学实验流体力学计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :

第一讲(流体力学)

−φi−2 +16φi−1 − 30φi +16φi+1 −φi+2 + h(φi−2 −8φi−1 + 8φi+1 −φi+2 ) − 24h2φi = 0 (−1+ h)φi−2 + (16 −8h)φi−1 − (30 + 24h2 )φi + (16 + 8h)φi+1 − (1+ h)φi+2 = 0 −φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 8φ2 − 54φ3 + 24φ4 − 2φ5 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0
(2 − h)φi−1 + (−4 − 4h2 )φi + (2 + h)φi+1 = 0
− (2 − h)φi−1 + 4(1+ h2 )φi − (2 + h)φi+1 = 0 −φi−1 + 8φi − 3φi+1 = 0
φ4 = 0.3944
φ3 = 0.1552
φ2 = 8φ3 − 3φ4 = 61 4 − 24φ5 φ
dp
1
p ρ Π= γ p γ +1 ρ
不可压流体等熵流动的气体
ρ
p
gradp = gradΠ
ρ
γ
=C
例
~ f • dr = −dF
单位质量流体的质量力
dr • gradφ = dφ dr • a = dφ
z
力势函数
f =
mg =g m
g • dr = −gdz = −d( gz)
−φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 −φ2 + 8φ3 − 3φ4 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0

流体力学-第一讲场论与张量分析初步

ax ay az
10.01.2021
18
所以有：（向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field：大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为常数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk

流体力学讲义第一讲优秀课件

引进哈密顿算子：
i jk v
x y z vx vy vz
旋度运算基本公式
(ca)ca (a b ) a b
(a ) a a
()0
( a b ) b ( a ) a ( b ) (a)0
小总结
梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。
流体力学讲义第一讲
2、克罗内克尔符号
1,i j
ij
0,i j
3、交变符号
ijk
1,ijk1,2,3, 1,ijk3,2,1,
2,3,1, 2,1,3,
3,1,2 1,3,2
0
四、张量定义
任二下标相同时
定义1：张量作为向量定义的推广
当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量 P 按下
式变换
pi Pjij
1、 i jk 叫梯度（标量场的最大变
x y z
gradijk化率和变化率的方向）
x y z
2、微分形式和积分形式是否等价：
证明：取的二等值面和两二等值面之间的小圆柱, 如图
沿柱面积分 n d s ，该积分由三部分组成，即 s
n ds nQQ w nPP w
s
w
nQPl源自n散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的
通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场
为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca)ca （ c常数）
M
S
（2) (ab ) a b
V
（3) (a ) a a ( 为标量）

流体力学-第一讲场论与张量分析初步ppt课件

11.04.2020
.
7
对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为：
x=x1e1+ x2e2+ x3e3
uuxiuyjuzk
向量的加减：
a ＋ b c
a cb
11.04.2020
第一节第二节第三节
场论简述张量初步雅可比行列式
11.04.2020
.
4
第一节场论简述
• 基本概念 • 场的几何表示 • 标量场的梯度 • 向量的散度 • 向量的旋度 • 哈密顿算子▽和场论的基本运算公式
11.04.2020
.
5
一基本概念
• 1.场（field）：
• 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
11.04.2020
.
6
(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表
示，它独立于坐标系的选择。
流体的温度，密度等均是标量。
(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的
方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。
速度,加速度是向量.
常用黑体字母x、u 表示空间坐标位置向量和流速向量。也用 u、x类似表示。
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14
向量三重积：
a b c
a b c a c b a b c a b c a c b b c a
括号不能交换或移动
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.
15
二、场的几何表示
变化快

流体力学-第一讲,场论与张量分析初步

x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章场论与张量分析初步
第二章流体运动学
第三章流体力学基本方程组
第四章粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章边界层理论
第七章流体的旋涡运动
第八章湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积。
a b c
c a b = 0 ，是 a ,b ,c 共面的充分条件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：

第一章-场论及张量初步分析

全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等
定常场：场内函数值不随时间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc

张量分析及场论

示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos

其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。

点积的定义：设 u ，v 为两个任意不为零的矢量，设| u |， | v |分别为其大小（也称为模）。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张量分析及场论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82

场论和张量初步

w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =− ∂ρ =单位体积空间内的质量变化率的负值， ∂t
δτ
即单位时间从单位体积空间流出的质量。为精确表述空间任意一点 M 0 处的质量变化率，可
对 δτ 取极限， lim
w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =−
Σ→ M 0
δτ
K ∂ρ 。可见 div ( ρV ) 表示单位时间内从单位空间体积表 ∂t
δ ls
K
K M ( x + δ x, y + δ y , z + δ z , t ) ，密度沿方向 s 上的
变化率为
δ l →0
M ( x, y , z )
lim
ρ ( x + δ x, y + δ y, z + δ z , t ) − ρ ( x, y, z , t ) ∂ρ . = δl ∂l
K K 磁通量 w B ∫∫ ⋅ dS = 0
Σ
一般地，对于任意矢量场 m ，定义其散度 div m = lim 散度是标量。 3）散度计算公式（直角坐标系）
K
K
K K m w ∫∫ ⋅ dS
Σ
Σ→ M 0
Hale Waihona Puke τ。以体积通量为例。以 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 为中心取正六面体形状的闭合曲面 Σ ，边长分别为
⎛ ∂u ⎜ ∂x K ⎛ δ u ⎞ ⎛ gradu ⋅ δ r ⎞ ⎜ K ⎟ ⎜ ∂v ⎜ ⎟ ⎜ δ δ = ⋅ =⎜ v gradv r ⎜ ⎟ ⎜ K⎟ ⎜ δ w ⎟ ⎜ gradw ⋅ δ r ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜∂ w ⎜ ∂x ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ⎞ ⎟ ∂z ⎟ ⎛δ x ⎞ ∂v ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ δ y⎟ ∂z ⎟ ⎜ ⎜δ z ⎟ ⎝ ⎠ ∂w ⎟ ∂z ⎟ ⎠

高等流体力学—场论及张量初步

diva lim
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z

第一章场论和张量初步

第一章场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。

均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。

反之为不均匀场。

定常场：场内函数值不依赖于时间。

反之为不定常场。

1.2场的几何表示标量场：等位线。

矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。

1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。

在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。

梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。

2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。

定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。

例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。

I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。

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流体力学-第一讲场论与张量分析初步
16、自己选择的路、跪着也要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿Fra bibliotek谢谢！