单因素方差分析与多重比较

方差分析
方差分析(analysis of variance ), 简称ANOV A，由英国统计学家，后人为纪念Fisher ，以F命名方差分析的统计量，故方差分析又称F 检验。

样本均数的差异，可能有两种原因所致。

首先可能由随机误差所致随机误差包括两种成分：个体间的变异和测量误差两部分；其次可能是由于各组所接受的处理不同，不同的处理引起不同的作用和效果，导致各处理组之间均数不同。

一般来说，个体之间各不相同，是繁杂的生物界的特点；测量误差也是不可避免的，因此第一种原因肯定存在。

而第二种原因是否存在，这正是假设检验要回答的问题。

方差分析的基本思想是将所有观察值之间的变异（称总变异）按设计和需要分解成几部分。

如完全随机设计资料的方差分析，将总变异分解为处理间变异和组内变异两部分，后者常称为误差。

将各部分变异除以误差部分，得到统计量F值，并根据F值确定P值作推断。

由于方差分析是根据实验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多，变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易，同时由于变异划分的精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。

方差分析可用于：
（1）两个或多个样本均数间的比较
（2）分析两个或多个因素的交互作用
（3）回归方程的假设检验
（4）方差齐性检验
多个样本均数间比较的方差分析应用条件为：
（1）各样本必须是相互独立的随机样本（独立性）
（2）各样本均来自正态总体（正态性）
（3）相互比较的各样本的总体方差相等（方差齐性）
一、完全随机设计的方差分析
医学实验中，根据某一实验因素，用随机的方法，将受试对象分配到各组，各组分别接受不同的处理后，观察各种处理的效果，比较各组均数之间有无差别。

临床研究中，还可能遇到：比较几种不同疗法治疗某种疾病后某指标的变化，以评价它们的疗效；或比较某种疾病不同类型之间某一指标有无差别等。

这些都是一个因素不同水平（或状态）间几个样本均数的比较，可用单因素的方差分析（one-way ANOV A）来处理此类资料。

例题：某职业病防治院对31名石棉矿工中的石棉肺患者、可疑患者及非患者进行了用力肺活量（L）测定，结果见下表：问三组石棉矿工的肺活量有无差别？
表三组石棉矿工的用力肺活量(L)
石棉肺患者可疑患者非患者
1.8
2.3 2.9
1.4
2.1
3.2
1.5
2.1 2.7
2.1 2.1 2.8
X I j 1.9 2.6 2.7
1.7
2.5
3.0
1.8
2.3
3.4
1.9
2.4
3.0
1.8
2.4
3.4
1.8 3.3
2.0
3.5
合计(∑X ij) 19.1 20.8 33.9 74.4(∑X)
n j 11 9 11 31(N)
均数X j 1.79 2.31 3.08 2.4(X)
( ∑X2ij) 35.69 48.34 105.33 189.36(∑X2)
从表中的测量结果可以看出，三个组31名矿工的用力肺活量测定值大小不等，这是总变异。

将其分为两个比分：一是组内变异，它反映矿工用力肺活量测定值的随机误差；另一个是组间变异，它反映随机误差和石棉肺对用力肺活量的影响。

计算步骤：
（1）建立假设和和确定检验水准
H0：三组矿工用力肺活量的总体均数相等，μ1 = μ2 = μ3
H1：三组总体均数不等或不全相等α=0.05
(2) 计算检验统计量F值
本例：C=(74.4)2 / 31=178.560
SS总= ∑X2 —C = 189.36 – 178.56= 10.800
df总= N-1 = 31-1 =30
SS组间
df组间= k-1 =3-1 =2
SS 组内= SS 总- SS 组间 = 10.8-9.266=1.534
df 组内= N-k = 31 – 3=28 M S 组间 = SS 组间 / df 组间 = 9.266 / 2 = 4.633 M S 组内 = SS 组内 / df 组间 = 1.534 / 28 =0.0548
F= M S 组间 / M S 组内 = 4.633 /0.054 = 84.544 方差分析结果表
变异来源 SS Df MS
F
P
总 10.800 30
组间 9.266 2 4.6330 84.544
<0.01
组内
1.534
28
0.0548
(3) 、确定P 值和作出推断结论 查表得P<0.01， 按α=0.05水准拒绝H 0 ，接受H 1，故可以认为三组矿工用力肺活量不同。

（4）、结论表明，总的说来三组矿工用力肺活量有差别，但并不表明任何两组矿工的用力肺活量均有差别，只能说至少有两组矿工的用力肺活量有差别，需进一步作两两比较。

多个样本均数的两两比较
方差分析能够推断多个样本所来自的正态总体其总体均数是否相
等，但不能推断哪些总体均数之间有差别，若用两样本均数比较t 检验（或u 检验）对多个样本均数进行两两检验，则会增大第一类错误，特别是两两比较的次数较多时。

例如六个样本均数做两两比较时，若用t 检验两两比较按排列组合原理：
[]x )!-(n !!
x n C x
n = 则需比较
[]2)!-(6 !2!
626=C 次，若检验水准α每次均取0.05，则每次比较不犯第
一类错误的概率为（1-0.05），15次比较都不犯第一类错误的概率为（1-0.05）15=0.4633，而此时犯第一类错误的概率不再是0.05， 而是1-（1-0.05）15=0.5367 了。

因此多个样本均数的比较不宜用t 检验。

以下介绍q 检验
1、 多个样本均数间每两个均数之间的比较常用q 检验，也称SNK
(Student-New-man-Keuls)法。

统计量q 值的计算公式为：
),1
1(2)(n a B
A w X X b w
X
X n n MS S n n n
MS S A A +=
===
-- （ n A ≠n B 时）
例：试对四组人群的血清唾液酸含量作两两比较, 计算统计量q 值 （１） 首先将各样本均数按由大到小顺序排列，并编上组次： 组次 1 2 3 4 组别 胃癌组 慢性胃炎组 溃疡病组 正常人组 均数 65.28 46.62 46.18 41.91 由于需反复做两两比较，为避免叙述的重复，列q 检验表 四个样本均数两两比较的q 检验 A 与B (1) (2)
(3)
a (4)
q 值 (5) q 界值 (6) P (8) 1-4 23.37 0.574 4 40.71 3.85 <0.05 1-3 19.10 0.588 3 32.48 3.49 <0.05 1-2 18.66 0.588 2 31.73 2.89 <0.05 2-4
4.71
0.556
3
8.47
3.49
<0.05
2-3 0.44 0.571 2 0.77 2.89 >0.05
3-4 4.27 0.556 2 7.68 2.89 0.05
(3) 为两对比组样本均数差值的标准误，如第1与第4组样本均数差值的标准误为
余类推：
2、多个实验组与一个对照组均数间的比较
医学科研中，有时设若干个实验组和一个对照组，在进行多个样本均数比较时，主要关心各实验组与对照组间有无差别，至于各实验组均数两两之间有无差别并不关心，或留以后研究，可用q’检验（亦称Dunnett t 检验）。

q’检验与q 检验类似，计算统计量q’值的公式为：。