曲线积分计算方法

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例1. 计算
其中 为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
x
( 的重心在原点)
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例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心、a 为半径的上半圆周.
2π2
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2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机
能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄 像若,地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,
卫星绕地球一周的时间为 T , 试求
(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是
多少 ?
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第二类: 下始上终
练习题: P244 题 3 (1), (3), (6)
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解答提示: P244 3 (1)
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
O
ax
d s x2 y 2 d t
提示: 因在 上有
故
源自文库
z
原式 =
O 1y x
2
1 2
π 2
3 4
1 2
π 2
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令
P
k
x
3
,
Q
k
y
3
易证
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P245 11. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B O A x
a
a
x2
d
x
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解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
z
1.25R
(2)
在
T 3
的时间内
, 卫星监视的地球
表面积是多少 ?
OR y
解: 如图建立坐标系.
x
cos 4 , arccos 0.8
5
设卫星绕 y 轴旋转
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(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为
2π R2 5
(2)
在
T 3
时间内监视的地球表面积为
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C L
D
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
B O Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
I2
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
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思考题解答:
y
(1) I1
(x2 3 y)d x (y2 x)d y
L
L AB AB
C L
D
B O Ax
2 d x d y 2 a3 a2 (2 a π )
D
3
3
(2)I2 L (x2 y y 2 ) d x ( y2 x) d y
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P244 3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
其中L为摆线
原式 a2
2π
t sin td t
0
a2
t
cos
t
sin
t
2π 0
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P244 3(6). 计算
其中 由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
1
O 2
x
y
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1
3
xd ydz ydzdx zdxd y
1
z
第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 得
1
z
I
1
3
(2 π
3
)
2π
O 2 y x
Σ1
O y x 注意曲面的方向 !
I
x d y d z y d z d x zdx d
(x2
y2
z
2
)
3 2
y
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P ex cos y 2, Q ex cos y
y
x
用格林公式:
I LAB AB D 2d x d y 0
πa2
y L
D
OA a B x
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P245 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关.
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
(x2 y) d x (y2 x)dy y2 dx
L
L
L : x a cost, y a sin t, t : 0 π
I π a3 sin3 t d t 2 a3 2a3 2 1 2a3
0
3
3
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例3. 设在上半平面 D {(x, y) y 0}内函数 f (x, y) 具有
连续偏导数, 且对任意 t > 0 都有
证明
对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有
(2006考研)
证:把
两边对t求导, 得:
则有
因此结论成立.
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练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5). 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
提示: P ex sin y 2y, Q ex cos y 2
单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a dS cos cos cos cos cos cos d S
cosdydz cos dzdx cos dxdy
0
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注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化
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练习: P244 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
的上侧.
提示: 以半球底面 0为辅助面,
I
2 3
(4x
2
y
3z)dS
2D (x y 6) dxdy 12 D dxdy
24
y
1
D O 1x
D 的形心
x y0
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二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
(2)
且取下侧 , 记半球域为 , 利用
高斯公式有
O
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 π R3 0 2π R3 3
P244 题4(2) , P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.
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例5. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分?
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面
问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
例8. 计算曲面积分
中 是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS
(2x 2z) d S 2(x z) y dS
用重心公式
利用对称性
2(x z) d S 0
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作业
P244
3 (2) , (4) ; 4 (2)
OC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
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方法2 利用 斯托克斯公式
设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3
x
y
yz
1 3
(3) d S
1
3
z
dS
x
3 2
z
Bn
OC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
公式 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 设L 是平面
与柱面
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算
的交线
解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 z
1
1
1
3
3
3
I
x
y
z
dS
L
y2 z2 2z2 x2 3x2 y2
2 3
(4
x
2
y
3z)
dS
DO y x
公式 目录 上页 下页 返回 结束
5;
9
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备用题 1. 已知平面区域 D {(x, y) 0 x π, 0 y π},
L为D 的边界, 试证
(1) x esin y d y y esin x d x x esin yd y y esin xd x
L
L
(2) x esin yd y y esin xd x 2 π2 L
(2003 考研)
y π
证: (1) 根据格林公式
D
O πx
x esin yd y y esin xd x (esin y esin x )d ①
L
D
x esin yd y y esin xd x (esin y esin x )d ②
L
D
因①、②两式右端积分具有轮换对称性, 所以相等, 从而
例6. 计算曲面积分
其中, r x2 y2 z2 , : x2 y2 z2 R2 取外侧.
解:
思考: 计算 ?
1 R3
3
d
x
d
y
d
本题 改为椭球面
z x
2
a2
y2 b2
z2 c2
1 时,
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 y2 z2 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
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例7. 设 是曲面
(z 0) ,
取上侧,
计算
I
x d y d z y d z d x zdx d y
(x2
y2
z
2
)
3 2
解: 取足够小的正数 , 作曲面
z
1 : z 2 x2 y2 取下侧
使其包在 内, 为 xOy 平面上夹于
与1之间的部分, 且取下侧 , 则
左端相等, 即(1)成立.
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(2) 由①式
x esin yd y y esin xd x (esin y esin x )d
L
D
由轮换对称性
D esin yd D esin xd
y π
D
(esin x esin x )d D
O πx
D 2d (易证 et et 2)
S2
其中S0 为盲区面积
z
1.25R
注意盲区与重复部分
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OR y x
cos
4 5
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(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为
2π 5
R2
(2)
在
T 3
时间内监视的地球表面积为
z
1.25R
S2
其中盲区面积
OR y x
cos
4 5
6π R2 5