ch5FIR习题答案

∑
k =0
h[ k ] e − j ( M − k ) Ω
所以
M / 2−1 H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω ∑ h[ k ] e − jkΩ e j ( M/ 2 ) Ω + e − j ( M / 2−k ) Ω + h[ M / 2 ] k =0 M / 2−1 = e − j ( M / 2 ) Ω ∑ 2 h[ k ] cos[( 0.5 M − k ) Ω ] + h[ M / 2 ] k =0 M /2 = e − j ( M / 2 ) Ω ∑ 2 h[ 0.5 M − k ] cos( kΩ ) + h[ M / 2 ] k =1 记：L=M/2，则有
(2)
H 1 ( z ) = ( 2 − 3 z −1 )(3 + 4 z −1 )( 2 + 5 z −1 ) 是最大相位系统 H 8 ( z ) = ( −3 + 2 z −1 )( 4 + 3 z −1 )(5 + 2 z −1 ) 是最小相位系统
5-3
已知 8 阶 I 型线性相位 FIR 滤波器的部分零点为：z1=2，z2=j0.5，z3=j (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设 h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数 H(z)。
解:
H ( z ) = ∏ (1 − z −1 z k )
k =1
8
=1− z−8+5.2(z−1− z−7)+ 2.2025 (z−2− z−6)− 6.253 (z−3− z−5) 5-6 已知 9 阶 IV 型线性相位 FIR 滤波器的部分零点为：z1= −1，z2=0.8，z3= 0.5j， (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设 h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数 H(z)。 (1)z4=1/ z2=1.25; z5=1/ z3= −j2，z6=z3*= −j0.5，z7=z5*= j2； z8=z1= −1; z9= 1; (2)
k =0
M
M / 2−1
∑
k =0
h[ k ]e − jkΩ + h[ M / 2 ]e − j( M / 2 ) Ω +
M / 2−1
k = M / 2+1
∑
M
h[ k ]e − jkΩ
令 l = M − k ，则有
k = M / 2+1
∑
M
h[ k ]e − jkΩ =
M / 2−1
∑
l =0
h[ M − l ]e − j ( M −l ) Ω =
M / 2−1
M / 2−1
∑
k =0
h[ k ] e − j ( M − k ) Ω
所以
H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω = e −j( M / 2 ) Ω = e −j( M / 2 ) Ω
记：L=M/2，则有
M / 2−1
∑
k =0
h[ k ] e − jkΩ e j ( M/ 2 ) Ω − e − j ( M / 2−k ) Ω
∑
M
h[ k ]e − jkΩ =
( M −1 ) / 2
∑ห้องสมุดไป่ตู้
l =0
h[ M − l ]e − j ( M −l ) Ω = −
( M −1 ) / 2
∑
k =0
h[ k ] e − j ( M − k ) Ω
所以
( M −1 ) / 2 H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω ∑ h[ k ] e − jkΩ e j ( M/ 2 ) Ω − e − j ( M / 2−k ) Ω k = 0
jΩ
5-10 证：
试证明式(5-16) 和式(5-17)。
H ( e jΩ ) = ∑ h[ k ]e − jkΩ =
k =0
M
( M −1 ) / 2
∑
k =0
h[ k ]e − jkΩ +
k =( M +1 ) / 2
∑
M
h[ k ]e − jkΩ
令 l = M − k ，则有
k =( M +1 ) / 2
∑
k =0
h[ k ]e − j ( M −k ) Ω
所以
( M −1 ) / 2 H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω ∑ h[ k ] e − jkΩ e j ( M/ 2 ) Ω + e − j ( M / 2−k ) Ω k =0
[
]
= e −j( M / 2 ) Ω = e −j( M / 2 ) Ω = e −j( M / 2 ) Ω
解:
H ( z ) = ∏ (1 − z −1 z k )
k =1
9
=1+ z−9−1.5(z−1+ z−8)+3.75(z−2+ z−7)− 6.875 (z−3+ z−6) −2.625(z−4+ z−5) 5-5 已知 8 阶 III 型线性相位 FIR 滤波器的部分零点为：z1= −0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设 h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数 H(z)。 (1)z3=1/ z1=−5; z4=1/ z2= −j1.25，z5=z2*= −j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= −1; z8= 1; (2)
H ( e jΩ ) = ∑ h[ k ]e − jkΩ =
k =0
M
M / 2−1
∑
k =0
h[ k ]e − jkΩ +
k = M / 2 +1
∑
M
h[ k ]e − jkΩ
令 l = M − k ，则有
k = M / 2+1
∑
M
h[ k ]e − jkΩ =
M / 2−1
∑
l =0
h[ M − l ]e − j ( M −l ) Ω = −
[
]
A( Ω ) = ∑ 2 h[ L − k ] cos( kΩ ) + h[ L ]
k =1
L
H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω A ( Ω )
5-8 证： 试证明式(5-10)和式(5-11)。
H ( e jΩ ) = ∑ h[ k ]e − jkΩ =
k =0
M
( M −1 ) / 2
[
]
∑
k =0
2 jh[ k ] sin [( 0.5 M − k ) Ω ]
M /2
∑
k =1
2 jh[ 0.5 M − k ] sin( kΩ )
L
A ( Ω ) = ∑ 2 h[ L − k ] sin( kΩ )
k =1
H ( e ) = e − j ( M / 2 ) Ω e jπ / 2 A ( Ω )
5-2
某三阶设 FIR 滤波器的系统函数 H1(z)为 H 1 ( z ) = ( 6 − z −1 − 12 z −2 )( 2 + 5 z −1 ) (1)试确定幅度响应和 H1(z)相同的所有 FIR 滤波器的系统函数。 (2)上述 FIR 滤波器哪个是最大相位系统，哪个是最小相位系统？
解： 设 H ( z ) = a + bz −1 是一个实系数的 1 阶 FIR 系统，则
∑
k =0 k =0
( M −1 ) / 2
∑
L
A( Ω ) = ∑ 2 h[ L − k ] cos[( k + 0.5) Ω ) ]
k =0
H ( e jΩ ) = e − j ( M / 2 ) Ω A ( Ω )
5-9 试证明式(5-13)和式(5-14)。 证： 对 III 型线性相位系统，h[M/2]=0，所以
∑
k =0
h[ k ]e − jkΩ +
k =( M +1 ) / 2
∑
M
h[ k ]e − jkΩ
令 l = M − k ，则有
k =( M +1 ) / 2
∑
M
h[ k ]e − jkΩ =
( M −1 ) / 2
∑
l =0
h[ M − l ] e − j ( M − l ) Ω =
( M −1 ) / 2
解:
H ( z ) = ∏ (1 − z −1 z k )
k =1
9
=1− z−9−1.05 (z−1− z−8)+ 2.2 (z−2− z−7)− 2.4125 (z−3− z−6) −6.6625(z−4− z−5) 5-7 证： 试证明式(5-7)和式(5-8)。
5.6
习题 3
H ( e jΩ ) = ∑ h[ k ]e − jkΩ =
H 0 ( z ) = z −1 H ( z −1 ) = b + az −1 是与 H ( z ) 幅度响应相同、零点为其倒数的 FIR 系统 (1)由于 H 1 ( z ) = ( 2 − 3 z −1 )(3 + 4 z −1 )( 2 + 5 z −1 ) = 12 + 28 z −1 − 29 z −2 − 60 z −3 所以 H 2 ( z ) = ( −3 + 2 z −1 )(3 + 4 z −1 )( 2 + 5 z −1 ) = −18 − 57 z −1 − 14 z −2 + 40 z −3 H 3 ( z ) = ( 2 − 3 z −1 )( 4 + 3 z −1 )( 2 + 5 z −1 ) = 16 + 28 z −1 − 48 z −2 − 45 z −3 H 4 ( z ) = ( 2 − 3 z −1 )(3 + 4 z −1 )(5 + 2 z −1 ) = 30 + 7 z −1 − 62 z −2 − 24 z −3 H 5 ( z ) = ( −3 + 2 z −1 )( 4 + 3 z −1 )( 2 + 5 z −1 ) = −24 − 62 z −1 + 7 z −2 + 30 z −3 H 6 ( z ) = ( 2 − 3 z −1 )( 4 + 3 z −1 )(5 + 2 z −1 ) = 40 − 14 z −1 − 57 z −2 − 18 z −3 H 7 ( z ) = ( −3 + 2 z −1 )(3 + 4 z −1 )(5 + 2 z −1 ) = −45 − 48 z −1 + 28 z −2 + 16 z −3 H 8 ( z ) = ( −3 + 2 z −1 )( 4 + 3 z −1 )(5 + 2 z −1 ) = −60 − 29 z −1 + 28 z −2 + 12 z −3
F2 ( z ) = ( a + bz + cz 2 ) z −2 = c + bz −1 + az −2
(1) (2)
H ( z ) = (1 + 2 z −1 + 3 z −2 )(3 + 2 z −1 + z −2 )
= 3 + 8 z −1 + 14 z −2 + 8 z −3 + 3 z −1 H ( z ) = ( 3 + 5 z −1 − 4 z −2 − 2 z −3 )( −2 − 4 z −1 + 5 z −2 + 3 z −3 ) = −6 − 22 z −1 + 3 z −2 + 54 z −3 + 3 z −4 − 22 z −5 − 6 z −6
记：L=(M−1)/2，则有
( M −1 ) / 2
∑
k =0
2 h[ k ] cos[( 0.5 M − k ) Ω ] 2 h[ k ] cos[(( M − 1) / 2 − k + 0.5 )Ω ] 2 h[( M − 1) / 2 − k ] cos[( k + 0.5) Ω ) ]
( M −1 ) / 2
解:
(1)z4=1/ z1=1/2; z5=1/ z2= −j2，z6=z2*= −j0.5，z7=z5*= j2； z8=1/ z3= −j (2)
H ( z ) = ∏ (1 − z −1 z k )
k =1
8
=1+ z−8−2.5(z−1+ z−7)+6.25(z−2+ z−6)−13.125(z−3+ z−5)+10.5 z−4 5-4 已知 9 阶 II 型线性相位 FIR 滤波器的部分零点为：z1=2，z2=j0.5，z3=−j (1)试确定该滤波器的其它零点。 (2)设 h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数 H(z)。 (1)z4=1/ z1=1/2; z5=1/ z2= −j2，z6=z2*= −j0.5，z7=z5*= j2； z8=1/ z3= j; z9= −1; (2)
5.6
习题 1
5.6 习题
5-1 设 F1(z) 是线性相位 FIR 系统函数 H(z) 的一个因子。试确定满足条件的最低阶的 H(z)。 (1) F1 ( z ) = 1 + 2 z −1 + 3 z −2 (2) F1 ( z ) = 3 + 5 z −1 − 4 z −2 − 2 z −3 解：设 F1 ( z ) = a + bz −1 + cz −2 ，则零点为其倒数的多项式 F2 ( z ) 为