二次三项式的因式分解--教学设计(朱斌)

一元二次方程的应用（一）——二次三项式的因式分解
教学设计说明
上海民办兰生复旦中学朱斌
一、内容与内容解析
本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期§17.4（1）的内容．是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，在实数范围内来对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)因式分解．
本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，一般使用十字相乘法进行分解．
在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解问题：
（1）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？
（2）如果可以在实数范围内分解，如何分解？
（3）常数a,b,c满足什么条件时，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可以在有理数范围内分解？
在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础．通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解，最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相联系的一元二次方程对二次三项式
ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解的方法．同时，学生可以从无到有地对问题（1）、（2）进行研究，给有余力的同学提供思考问题（3）的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学．教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系．同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解．建立二次三项式ax2+bx+c(a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之间完整的对应关系．
鉴于此，本课时的教学重点为：
1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内进行因式分解的判据．
2、掌握对于b2-4ac≥0的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的方法．
二、目标与目标解析
教学目标
1．知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解．2．经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形能力；在解题中体会化归的数学思想．
3．在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联系．
三、教学问题诊断分析
1．面对学生差异，重视因材施教
授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和运算能力都比较强．
同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)可以对ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项式因式分解之间的内在联系．
因此，本节课的核心任务有两个：
（1）帮助学生掌握如何通过求解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解来对多项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．
（2）揭示方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)和多项式ax 2+bx +c (a ≠0)因式分解的关系．
因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习．课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式．然后，通过多项式展开和求根公式来进行证明．
面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证．
本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行配方，通过配方成平方差（或平方和）的形式来处理．在此基础上直接发现二次三项式因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系．让学生对这节课的知识点有更深入的理解和感受．
2．唤醒相关旧知，铺设配方通途
对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方法．但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理．因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，22
4,3x x --，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式．
对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)，则可以通过配方转化为上述的二次二项式的形式．练习题的前三个是变式训练：
(1)2221(1)x x x -+=-；(2)2
23(1)(3)x x x x --=+-两题回顾七年级的做法，并帮助学生注意到他们之间的关系．
(3)2
24x x --无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即：2
2
23(1)4x x x --=--，2
2
24(1)5x x x --=--．
3．运用配方方法，得出初步结论
学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3)，
2224(1)5(15)(15)x x x x x --=--=---+
然后抛出问题(4)，研究2
24x x -+的因式分解
这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法．经过尝试后，
应该会得出无法因式分解的结论．但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理． (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：
a) 无法清晰讲出原因；
b) 应用配方：2224(1)3x x x -+=++得到平方和，所以无法分解；
c) 过去提前学过，知道其与方程x 2-2x +4=0是否有实根有关，但是不知道原因． 对于情况b )的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法因式分解．
对于情况c )的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容，并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉．
此时，可以提醒学生，将问题化归为2
3x +的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑
二次项系数，2
3x +一定分解为2
3()()x x m x n +=--，其中m 和n 为常数，于是，将得
到：0
3
a b ab +=⎧⎨
=⎩，即a 2=-3，不存在实数a ，因此无法因式分解．同时也代表一切化为平方
和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解． (2)学生能够解释原因
因为部分学生能力较强，完全有可能有学生能够解释原因．应该都是想到使用待定系数法研究，22
24()()4
m n x x x m x n mn +=⎧-+=--⇒⎨
=⎩，有以下几种可能：
a) 通过代数式运算（比如：2
2
2
40,()120m n m n +=-<-=-<等），得到矛盾． b) 利用特殊值法，若取x =m ，则m 2-2m +4=0，不存在这样的实数m ．
c) 直接应用韦达定理，得到m 和n 为方程2
240x x -+=的两根，得到矛盾． 对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考．
对于使用a ),b )方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎样发现x 2-2x +4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法．最终回到配方法，来进行说明．
并让学生总结，得出初步结论：
(1)如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解； (2)如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解．
4．特殊走向一般，归纳最终结论
让学生使用配方法研究：ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，学生可能会遇到的错误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终板演，让学生进行归纳：
(1)22
22
4()24b b ac ax bx c x a a -++=+-，学生直接将二次项系数a 除掉．让学生意识
到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作．
(2)22
2
4()42b
b ac
ax bx c ax a a
-++=+-
，学生默认a 是正数，并且直接将a 写成2()a ，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a 提出来．
(3)2222
22444[()]()()
2422b b ac b b ac b b ac
ax bx c a x a x x a a a a
---+-++=+-=++，这种错误是不对2
4b ac -的正负进行讨论，直接开平方．
(4)其他运算错误．
老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性．
在得到正确的结果后，由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系．引导学生发现其与方程：20ax bx c ++=(a ≠0)之间的联系，并能用2
0ax bx c ++=(a ≠0)的求根来进行二次三项式：2
ax bx c ++(a ≠0)的因式分解．
学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2-4ac ≥0的情况，对于给出最终结论可能有一定的难度．教师应写出来，帮助学生进行比较：
2
0ax bx c ++=的两个实数根：221244,22b b ac b b ac
x x a a
-+----==
； 2222
22444[()]()()2422b b ac b b ac b b ac
ax bx c a x a x x a a a a
---+-++=+-=++
221244()()()()22b b ac b b ac
a x x a x x x x a a
-+----=--=--，以得到最终结果．
鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：
1、通过配方法研究多项式ax 2+bx +c 如何在实数范围内进行因式分解．
2、通过对于ax 2+bx +c 的因式分解，发现其与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系．
四、教学支持条件分析
本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主．通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进．借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般，加深学生对该知识点的理解．
（1）黑板 用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被遮住，主要进行一些解题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明．
（2）实物投影仪 用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理解
（3）投影仪 将总结内容做成PPT 进行投影，加深学生对于所学知识的印象．
五、教学过程设计
教师活动学生活动与预设设计意图一、复习引入
1、因式分解的意义
回顾：什么是因式分解？
2、习题引入
（1）x2-4
（2）x2-3
如何因式分解？
3、引出本节课研究内容：形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式在实数范围内的因式分解回顾因式分解的意义
将一个多项式化为几个整式的
积的形式．
学生口答：
x2-4=(x-2)(x+2)
23(3)(3)
x x x
-=-+
唤醒学生对于因式分解的记
忆，并为之后的研究作铺垫．
回顾因式分解的基本方法—
—公式法（平方差）
并通过这两个习题了解实数
范围内的因式分解．
为接下来研究的配方法结合
平方差公式作预备．
同时指出，23
x-在有理数范
围内不能分解因式，在实数范
围内才能分解因式．
二、学习新知
1、练习：尝试将以下多项式分解因式
（1）x2-2x+1
（2）x2-2x-3
（3）x2-2x-4
上面的三个二次三项式都能在实数范围内分解因式，那么是否所有的二次三项式都能分解因式呢？学生在练习纸上完成，老师巡视
后通过实物投影仪展示．
(1)x2-2x+1=(x+1)2
(2)x2-2x-3=(x-3)(x+1)
22
(3)24(1)5
(15)(15)
x x x
x x
--=--
=---+
(4)x2-2x+4 = (x-1)2+3所以无法
分解．
学生回答：
无法分解．因为该式无法转化为
平方差的形式．
教师应引导学生意识到使用平
其中（1）（2）为了帮助学生
唤醒对于过去学习因式分解
的常见方法．
引导他们认识到过去的方法
并非对于一切二次三项式都
能直接应用．
为学生第（3）题能够想到通
过配方并运用平方差公式解
决作铺垫．
第（3）题用过去学习的四种
方法无法解决，但是通过配方
法，结合运用平方差公式即
可．帮助学生在课后体会因式
分解和一元二次方程求根之
间的关系．
帮助学生理解因式分解的本
质，知道多项式分解的形
式．并利用多项式的意义，得
从特殊到一般研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解得到通过一元二次方程求解实数范围内分解二次三项式的方法
通过配方法熟悉具体二次三项式在实数范围内的因式分解方法通过具体习题加以巩固，并研究特殊的形如
ax2+bxy+cy2的二元二
次三项式的因式分解
（4）x2-2x+4
无法分解．
引入问题x2+3的因式分解反证：如果可以分解，则：x2+3=(x+a)(x+b)，比较系
数，得到：
3
a b
ab
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
即a2=-3，不可能．不存在实数a，即不能在实数范围内因式分解．
因此x2-2x+4=(x+1)2+3在实数范围内无法因式分解．
2、总结结论
对上述因式分解问题进行总结．
(1)用什么方法进行分解？
(2)怎样的二次三项式可以在实数范围内分解？
3、研究新知
使用配方法研究ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
老师巡视，挑选学生的常见错误进行分析．然后在黑板进行板演运算，得出最后结论．方差无法分解并非意味着因式
分解无法进行．
引导学生从因式分解的意义出
法，通过待定系数法来进行研
究．
注：此处学生的回答可能多种多
样，还包括：
（1）直接对x2-2x+4进行待定
系数研究，将引出
2
4
a b
ab
+=
⎧
⎨
=
⎩
这
样比较复杂的二次三项式．
（2）使用余式定理和因式定理
来进行研究．等等
(1)可以通过配方结合平方差公
式进行分解．
(2)如果配方得到两个平方的差，
则可以分解；
如果得到两个平方的和，则不能
在实数范围内因式分解．
完成配方，常见错误：
(1)原式=
2
2
2
4
()
24
b b ac
x
a a
-
+-
(2)原式=2
2
4
()
4
2
b b ac
ax
a
a
-
+-
(3)原式=
2
2
2
4
[()]
24
b b ac
a x
a a
-
+-=
22
44
()()
22
b b a
c b b ac
a x x
a a
+---
++
正确过程：
(1)当b2-4ac≥0时，原式=
22
44
()()
22
b b a
c b b ac
a x x
a a
+---
++
(2)当b2-4ac<0时，原式无法在
实数范围内因式分解．
出矛盾．
体会二次三项式在实数范围
内能否因式分解的判据．
对于课堂生成，应抓住机会，
善于引导，帮助学生借助多项
式的恒等变形解决问题．并在
此过程中，让学生体会多项式
和方程之间的关系．
通过总结，体会可以因式分解
的条件，为下一步从特殊到一
般的研究作准备．
并帮助同学体会因式分解和
一元二次方程求根之间的关
系．
常见错误
(1)分不清楚多项式和方程的
区别，应将二次项系数提出
来，而不是直接除掉．
(2)默认a为正数，未考虑a<0
的情形．另外将a放到平方
中，增加了运算难度．
(3)不讨论b2-4ac的正负，直
接用平方差展开．对于前述的
结论没有真正理解．
通过错误解答的展示，帮助同
学回顾配方的过程，认识配方
解题的关键，加强整式变形的
能力．
4、比较归纳
请学生回答问题．
将以上结果和已经学过的知识进行比较，观察ax2+bx+c(a≠0)的因式分解和什么有关．
将两者进行比较、联系和归纳，并介绍自己的结果．
5、巩固新知
使用上述结论，对前述的四个练习题进行验证．
由老师进行引导，学生口答．学生回答：
和一元二次方程ax2+bx+c=0(a
≠0)有关．
（1）如果ax2+bx+c=0(a≠0)没
有实数根，ax2+bx+c(a≠0)无法
在实数范围内因式分解；
（2）如果ax2+bx+c=0(a≠0)有
两个实数根x1和x2，则：
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
学生分别研究方程：
x2-2x+1=0
x2-2x-3=0
x2-2x-4=0
x2-2x+4=0的解的情况，并利用
上述结论直接得出多项式因式
分解的结论．
通过对ax2+bx+c(a≠0)进行
因式分解，观察到其能否分解
的关键在于b2-4ac，以及分解
式中的常数和ax2+bx+c=0(a
≠0)的两根非常相近，得出上
述结论．
关注学生的数学直觉和学生
对于代数式的变形能力．
通过具体问题的操练，帮助学
生熟悉通过一元二次方程分
解二次三项式的方法．
三、运用新知
例题：应用解一元二次方程的方法分解因式
(1)x2+x-3
(2)2x2-3x-1
完成上述二次三项式的因式分解，并找到两位同学进行板演．(1)设x2+x-3=0，则：
12
113113
,
22
x x
-+--
==
原式=113113
()()
22
x x
-+--
--
(2)设2x2-3x-1=0，则：
12
317317
,
44
x x
+-
==
原式=
317317
2()()
44
x x
+-
--
通过例题的练习，帮助学生巩
固使用通过一元二次方程对
二次三项式因式分解的方法．
关注公式中的二次项系数和
1
x x
-与
2
x x
-．
四、拓展延伸
对含有两个字母的二次三项式进行因式分解
(1)x2+xy-3y2
(2)2x2-3xy-y2
请同学思考，口述，老师完成该题的解答．将x看作主元，将y看作字母系
数来处理．
(1)设x2+yx-3y2=0，则：
12
1717
,
22
y y y y
x x
-+--
==
原式=1717
()()
22
y y y y
x x
-+--
--
(2)设2x2-3yx-y2=0，则：
12
317317
,
44
y y y y
x x
+-
==
原式=
317317
2()()
44
y y y y
x x
+-
--
对于形如：ax2+bxy+cy2(ac≠
0)的二次三项式，通过将字母
y看作系数，将上式转化为已
经解决的ax2+bx+c(a≠0)形
式的问题．
通过该习题，培养学生的化归
能力，能够将新问题转化为已
经解决的旧问题进行研究．
此时，判别式b2y2-4acy2在开
平方后，可以化为关于y的单
项式，原式就可以进行因式分
解了．
五、课堂总结
再次对今天的学习内容进行总结．
（1）从具体问题入手，经历从特殊到一般的研究过程；
（2）使用配方结合平方差的方法，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解进行了研究．
（3）学会通过解对应一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解的方法．
教师强调：今后，因式分解的范围就从有理数范围扩充到实数范围．学生交流与讨论通过课堂总结，帮助学生了解
（1）学习内容：使用解一元
二次方程的方法对二次三项
式因式分解．
（2）研究手段：通过配方法
结合平方差公式进行研究．
（3）研究途径：通过从特殊
到一般、从具体到抽象的途径
来进行研究．
希望能够帮助学生更好地记
忆和理解本节课的知识点和
数学方法．
作业布置
1、数学练习册，§17.4
2、校本练习册，§17.4
六、目标检测设计
对于本课时的教学目标的检测，主要都放在教学的过程中穿插进行．
本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：
练习题：用已经学过的方法，对下列二次三项式进行因式分解．
研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
例题：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的问题．
1．练习题
（1）x2-2x+1 （2）x2-2x-3 （3）x2-2x-4 （4）x2-2x+4 先给出练习题（1）（2）（3），再巡视和展示完成后，再给出习题（4）继续研究．
练习题（1）（2）着重在于唤醒学生对于因式分解基本方法的回忆，并体会本题组中贯穿的部分x2-2x，引导学生通过配方法对问题（3）（4）进行研究．
根据前面的学习和铺垫，练习题（3）对于学生而言，最容易想到的方法就是配方法．此处应用配方法解决问题，加深学生对于配方的理解．老师在巡视过程中，观察学生本题的完成情况，了解学生配方以及多项式变形的能力．
对于练习题（4），考察学生逻辑思维的严密，根据学生的回答加以引导，最终得到严格的证明．
要求学生根据习题（3）、（4）能够归纳总结出初步结果，即用配方法判断二次三项式能否因式分解和如何因式分解．是对学生的理解和归纳能力的集中考察．
2．通过配方法研究ax2+bx+c（a≠0）的因式分解
本题是本节课的关键，目的在于通过本题的研究，得到通过解一元二次方程对二次三项式进行因式分解的方法．难度有二：
（1）多项式的等价变换，根据前文所述学生的不同错误加以点评，锻炼学生的变形能力．（2）发现多项式因式分解和一元二次方程之间的关系．这里要求学生能够有较好的数学联想的能力，从已有的结果中，通过变形得到最终结论．
3．例题
运用解一元二次方程的方法，将下列多项式在实数范围内分解因式
(1)x2+x-3 (2)2x2-3x-1 (3)x2+xy-3y2 (4)2x2-3xy-y2
先给出前两个例题，通过板演和巡视，观察学生对于所学知识的掌握情况．关注学生对于公式能否正确应用．再给出习题(3)(4)．
请学生口述，老师板演，考察学生能否使用化归的方法，将问题(3)(4)转化为问题(1)(2)，将字母y看作字母系数来处理．并通过含字母的方程的求根，得到所需的结果．考察学生课程所学知识的灵活运用，对于含字母问题的理解，以及代数运算的基本能力．在整个课堂教学的练习部分，安排充分时间让学生自主训练、由学生判断、给学生讲，让学生学会思考，学会质疑、评价和总结．。