第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
第3章多维随机变量及其分布试题答案
第3章多维随机变量及其分布试题答案、选择（每小题 2分）1、设二维随机变量的分布律为则 P{ X Y = 0} = ( C ) (A) 0.2(B)0.5(C) 0.6(D) 0.7”c, —1 c x c 1,-1 < y c 12、设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为f(x, y)=」，则常数0, otherC =( A )1 1 (A)-(B) -(C) 2 (D)4423、设二维随机变量（X ,Y ）的分布律为设P jj = P{X =i,^ j}, i, j =0,1，则下列各式中错误的是（ D ） （A ） P 00 ：： P 01（B ） P 10 ：：：P 11 （C ） P 00 ：：P 11 （D ） P 10 ：：：P 014、设二维随机变量的分布律为则 P{X 二Y}=(A ) (A)0.3(B) 0.5(C) 0.7(D)0.8• V -Ae*e y , x > 0, y a 0 门宀*..5、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f(x,y)，则常数A = ,0, other(D )(B) 16、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为则 P{XY =0} = (C )7、设二维随机变量）的分布律为为其联合分布函数，则 = （D ）3 310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x, y ），则F （x, •：：）=（ B ） (D)2(A) (B)12(C) (D)11 (B) 12(C)1(D)4-X T e e f (x, y)= \ 0,X 0, y 0，则 P{ X 一 Y}= other（B ）1123(A)—(B)-(C)-(D)—4 23 4它们取-1，1两个值的概率分别 1 31，-，则 P{ XY —1}=4 4(A)1 16(B)花(C)(D)(A) 0(B) F X (x) (C) F Y (y) (D) 1 8、设二维随机变量（X ，丫）的概率密度为 9、设随机变量X 与Y 独立同分布,11、设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N(3,4) , Y 〜N(2,9)，则Z = 3X Y ~ ( D ) (A)N(7,21)(B)N(7,27)(C)N(7,45)(D)N(11,45)12、设二维随机变量的联合分布函数为 ，其联合概率分布为则 F(0,1)=( B )则 k =( B )贝U P{XY =2} =( C )0^y 乞1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f Y (y)= ( D )(A)0.2(B)0.5(C) 0.713、设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为(D) 0.8k(x y), 0 _ x _ 2,0 _ y _ 1 other(A)(B) (C) (D)(A)0.2(B) 0.3(C) 0.515、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(D) 0.6f (x, y)= ；4xy,b,0乞x 乞1,0乞y乞1 other，则当(A)2； (B)2x(C)1 2y(D) 2y(B) 2「=1(C) > - 1J = 2 (D) .9 93 3 3 3-7、设二维随机变量的分布律为18、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为20、设（X ，Y ）的概率分布如下表所示，当 X 与Y 相互独立时，p,q ）=（ C ）则有（B ） (A)(A)1 12(B)1 (C)3(D)(A) a = 0.2, b = 0.6 (B) a = 0.1, b = 0.9 (C)a = 0.4,b = 0.4(D) a = 0.6, b = 0.219、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为1f (x, y) = < 40,0 ：： x 2,0 ：y ：： 2 则 P{0：： X ::: 1,0 :： Y ::: 1} =( A )1(A)4(B)23(C)4(D) 1P{X 1X 2 =0} =1，贝y P{X 1 =X 2}= (A )24、设两个相互独立随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N （0,1）和N （1,1），则（B ） 1 1 (A)P{ X Y - 0}(B) P{ X Y -1} 22 1 1 (C) P{X -Y _0}(D) P{X - Y _1}=221 解：由Z = X Y ~ N(1,2)，其分布密度关于1对称，故P{X Y -1}=-。
多维随机变量及其分布习题及答案
第3章多维随机变量及其分布习题及答案(共8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--23第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 .3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X5、设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k 81.6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则=⎰∞+∞-)(x f X1 .8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .249、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为X1 2 3 161 91 181 2 31α β 则βα,应满足的条件是 186=+βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β182. 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度=),(y x f 22221y x e+-π，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z42221x e-π .12、 设 ( ) 的 联 合 分 布 函 数 为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222则 A =__1___。
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
0 0求a 。
解：由分布律的性质，得p j 1,a 0，即丄一一 一 a — 1, a 0,i jJ6 9 18 392解得，a 三。
9注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设（X,Y ）的分布函数为F （x,y ），试用F （x, y ）表示： （1）P{a X b,Y c} ；（2）P{0 Y b} ；（3）P{X a,Y b}。
解：根据分布函数的定义 F （x, y ） P{X x,Y y}，得(1) P{a X b,Y c} P{X b,Y c} P{X a,Y c} F(b,c ) F(a ,c )； (2) P{0 Y b} P{X ,Y b} P{X,Y 0}F( ,b )F( ,0)； (3) P{X a,Y b} P{X,Y b} P{X a,Y b} F( ,b )F(a ,b )3、设二维随机变量（X,Y ）的分布函数为F （x, y ），分布律如下:1 3试求：(1)P{- X ,0 Y 4} ；(2)P{1 X 2,3 Y 4} ；(3)F (2,3) o2 2解：由（X,Y ）的分布律，得习题3-11、设（X,Y ）的分布律为(1) P{1 X2 3一 ,0 Y 4}2 P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1 11,Y 3}； 0 0 ；；(2) P{1 X 2,3 Y 4} P{X1,Y 3} P{X 1,Y4} P{X2,Y 3} P{X2,Y 4}1 16 5 ； 16；21200200(3) F(2,3)P{X 2,Y 3} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} P{X 1,Y 3}P{X 2,Y1} P{X 2,Y2} P{X2,Y 11 13} — 0 0416 49 164、设 X ， Y 为随机变量，且P{ X 0,Y0} 3/ 7, P{X0}P{Y 0}4/ 7，求P{max( X,Y) 0}。
解：P{max( X,Y) 0}P{( X O)U(Y 0)} P{X 0} P{Y 0} P{X 0,Y 0} 5/ 7。
概率论与数理统计 多维随机变量及其分布习题答案
A e2xdx e3y dy
0
0
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
2 03 0
=A/6 =1
所以, A=6
P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy {X2,Y1}
2
dx
1 6e(2x3 y)dy
0
0
6 2 e2xdx 1e3ydy
0
0
Y
1
{X<2, Y<1} 0
(1 e4 )(1 e3 )
令:从表中的每一种情况出现的次数计算出
它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布:
P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,
P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,
P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
-1 0.05 0.1 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
12
1
0 13
2
13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。
第3章多维随机变量及其分布习题解答
．
16．设 X 与 Y 相互独立，且 P { X = 0} = P {Y = 0} =
1 2 , P { X = 1} = P {Y = 1} = 3 3
．
⎧1 Z =⎨ ⎩0
X +Y ≠1 ，则 Z 的分布律为 X +Y =1
P ( Z = 0) = 4 / 9, P ( Z = 1) = 5 / 9
X
1 2
Y
1 0．18 0．42 0．6
2 0．12 0．28 0．4
P( X = i)
0．3 0．7
P (Y = j )
（2） P{ X = Y } = P{ X = Y = 1} + P{ X = Y = 2} = 0.18 + 0.28 = 0.46 （3） XY 的分布律为
XY P
1 0.18
∫∫
p ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
0
1
1− x 2 0
2e− ( x + 2 y ) dy = 1 − 2e−1
26．设 X 与 Y 相互独立， X与Y 的概率密度分别为
⎧1, 0 ≤ x ≤ 1 p X ( x) = ⎨ ， 其他 ⎩0,
⎧8 y, 0 < y < 1/ 2 pY ( y ) = ⎨ 其他 ⎩ 0,
)
，
则
X
Y
．
相
互
独
立
的
充
要
条
件
是
pij = pi. ⋅ p. j
(i, j = 1, 2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅)
2
⎧1 − e − x x ≥ 0 ⎪ 13 ． 设 X 与 Y 相 互 独 立 ， 分 布 函 数 分 别 为 FX ( x ) = ⎨ ， ⎪ ⎩0 x < 0
多维随机变量及其分布测试题答案1 1
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为_______ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _31ln 444- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12 C ． 23 D ．345.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ C ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==6.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．A ．0；B ．14； C ．12； D ．1.8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k===-==与相互独立.(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒=()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236zzz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)zz e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z zZ e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x yx X p x p x y dy edy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：2()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。
第三章 多维随机变量及其分布答案
第三章 多维随机变量及其分布答案一 选择题1. 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，F(x)为X 的分布函数，则对任意实数a ，有 【 】(A) ()0()1aF a x dx ϕ-=-⎰． (B) ()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰． (C ) ()()F a F a -=.(D) ()2()1F a F a -=-． 【答案】应选 (B) .【详解】因()()01()2aaF a x dx x dx ϕϕ--∞--==-⎰⎰，而()()00a a x dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，所以()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰画图容易理解。
2. 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 【 】 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ． 【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则 【 】 (A) {}01/2P X Y +≤=． (B) {}11/2P X Y +≤=． (C ) {}01/2P X Y -≤=. (D) {}11/2P X Y -≤=． 【答案】应选 (B) .【详解】由~(0,1)~(1,1)X N Y N X Y 与以及与相互独立，得X ~(1,2)Y N + ,X-~(1,2)Y N - 因为，若2Z~N(,)μσ，则必有{}12P Z μ≤=，比较四个选项，只有(B)正确。
4. 设随机变量X 和随机变量Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 【 】 (A) X 与Y 一定独立． (B) (X,Y)服从二维正态分布． (C ) X 和Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布． 【答案】应选 (B) .【详解】由于只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X 与Y 不相关X 和Y 相互独立。
三多维随机变量及其分布(参考答案).
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（一）一、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为2,01,01(,)0,Axy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，则常数A = 6 。
2、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为arctan arctan ,0,0(,)0,A x y x y F x y ⋅>>⎧=⎨⎩其他，则常数A =24π。
二、计算题：1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：01X ⎧=⎨⎩若第一次出的是正品若第一次出的是次品 ， 01Y ⎧=⎨⎩若第二次出的是正品若第二次出的是次品 试分别就（1），（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样 （2）不放回抽样2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）13{,04}22P X Y <<<<，（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤解：（1）13{,04}22P X Y <<<< 111213(,)(,)(,)P X Y P X Y P X Y ===+==+== 14=（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤13142324(,)(,)(,)(,)P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+== 11516416=+=3．设随机变量(,)X Y 的联合分布律如表：求：（1）a 值； （2）(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y （3）(,)X Y 关于X ，Y 的边缘分布函数()X F x 和()Y F y 解：（1） 由归一性1111446iji jp a =+++=∑∑ 解得 13a =（2）(,)X Y 的联合分布函数为00111210452101211202120,(,),,,x y x y F x y x y x y x y <<-⎧⎪⎪≤<-≤<⎪⎪⎪=≥-≤<⎨⎪⎪≤<≥⎪⎪≥≥⎪⎩或（3）(,)X Y 关于X ，Y 的边缘分布函数为：01112212()X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ 01510121()y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩4．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6)0<x<2,2<y<4(,)0k x y f x y --⎧=⎨⎩其他，求：（1）常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<； （3）{ 1.5}P X <； （4）{4}P X Y +≤ 解：（1）由归一性 242266281(,)()()F dx k x y dy k x dx k -∞+∞=--=-==⎰⎰⎰所以 1k =（2） {1,3}P X Y <<131020117368828()()dx x y dy x dx =--=-=⎰⎰⎰ （3）{ 1.5}P X <1541502011276628832..()()dx x y dy x dx =--=-=⎰⎰⎰（4）{4}P X Y +≤4168()x y x y dxdy +≤=--⎰⎰ 2402168()x dx x y dy -=--⎰⎰ 220112816()x x dx =-+⎰23=概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（二）一、选择题：1、设随机变量X 与Y 独立，且221122(,),(,)XN Y N μσμσ，则Z X Y =-仍服从正态分布，且有 [ D ] （A ）221212(,)Z N μμσσ++ (B) 221212(,)Z N μμσσ+- (C) 221212(,)ZN μμσσ-- (D) 221212(,)ZN μμσσ-+2、若(,)X Y 服从二维均匀分布，则 [ B ] （A ）随机变量,X Y 都服从均匀分布 （B ）随机变量,X Y 不一定服从均匀分布 （C ）随机变量,X Y 一定不服从均匀分布 （D ）随机变量X Y +服从均匀分布 二、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2,01,02(,)30,.xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他， 则(1)P X Y +≥=3136。
经济概率统计作业参考答案(第三章)
p{X
k} a , p{Y k} b , (k 1,2 ,3), 且
k
k2
X
与Y
相互独立，则
（ D ）。
( A) a 1, b 1；
(B) 11a 49 b 1 ； 6 36
(C) a, b 为任意实数 ；
(D) a 6 , b 36 。 11 49
三、计算
1、一盒子中装有 3 个黑球、2 个白球、2 个红球。在其中任意取四球，以 X 表示取到黑球 的个数，以Y 表示取到红球的个数，求（ X ， Y ）的联合分布列。
1 0 x 1
f
X
(x)
0
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
当0
y
2
时，
f Y
( y)
11
0 2
dx
1 2
当 y 0 或 y 2 时， fY ( y) 0
1 / 2
f Y
( y)
0
0 y2 其他
5、已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为：
（x , y） （0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）
答案： F(b, c) F(a, c) ， F(, a) F(,0) ， F(,b) F(a,b)
2、设二维随机变量的密度函数为
p(x)
4xy
0
,0 x 1, 0 y 1
,
其他
，
则 p(0 X 0.5)
。
答案： 1 4
3、随机变量 (X ,Y ) 的分布率如下表，则, 应满足的条件是
1/ 6
3
1/12 1/ 6
0
2. 二维随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为：
第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可. 解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======111{0}{0},224P X P Y ====⨯=g3{1}1{0}.4P Z P Z ==-==Z 的分布律为Z０１P14 342．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它.则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()DPX Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.解: 如图10-5所示图10-5X０ １P12 1211201(1)664x xDP x y xdxy dx dxdy -+≤===⎰⎰⎰⎰． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.解: 由X 和Y 相互独立知{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==g g11111.22222=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .2.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．A ．0；B ．14；C ．12； D ．1.【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.解: 设随机变量12,X X 的联合分布为由 121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==21231232221p p p p p =++++=知 111331330,p p p p ====从而有 2111311144p p p =--=, 类似地 231232111,,.444p p p ===进一步可知 22123210.2p p p =--=即 1122330.p p p ===因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．A ．是连续函数；B ．至少有两个间断点；C ．是阶梯函数；D ．恰好有一个间断点.【解题分析】从公式(){}{}{}{}min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---出发求解即可.解: 由题设,0,()0,0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩:令12,2,X ξξ==则120,0,0,2,()()1,0,1, 2.xx x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为120,0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.故选择B .注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式1234X X X X X =的概率分布.【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====. 12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====⨯= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====⨯={0}120.13440.7312.P X ==-⨯=于是12341010.13440.73120.1344X X X X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为120.30.7X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦:,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论.解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-． 再由{}{}{}000.1000.50.50P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤===++≤，，得 0.3a b +=.解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,0 1,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====．即Z 的概率分布律为(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=. 4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数. 【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为(,),01,0,(,)()()0,y X Y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩g 其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为2(){2}()()Z X Y x y zF z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=⎰⎰g2222000121200000,0,0,(1),02,(1), 2.zz z x yx z z xy x z z z dx e dy e dx z dx e dye dx z ------⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎪==-<≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪->⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以,随机变量Z 的分布密度函数为()()Z Z f z F z '==20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为1()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞-∞=-=-⎰⎰=(2)201(2)00,0,,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰=20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为1,(,),2(,)0,(,).x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；图10-6位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->211111(1ln 2ln ).222s s x xy ssdxdy dx dy s >=-=-=+-⎰⎰⎰⎰于是,1(ln 2ln ),02()20,0 2.s s f s s s ⎧-<<⎪=⎨⎪≤≥⎩若若或6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即(|)(|).P B A P Y m X n ===根据n 重伯努利概型,有()(|)1n mm mn P B A C p p -=-，其中0,0,1,2,m n n ≤≤=L .(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====g 而上车人数服从()P λ,因此(),!nP A en λλ-=于是(,)X Y 的概率分布律为()()(,)(1),!nm mn mnP X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-g其中0,0,1,2,m n n ≤≤=L .7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的概率分布密度函数().p u图10-7【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知X 和Y 联合密度为13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若1其它.以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时,()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.设02,u <<则||{||}1()(,)4x y ux y u GF u f x y dxdy dxdy -≤-≤==⎰⎰⎰⎰I2211[4(2)]1(2)44u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为()1(2)2,()20,U u <u <f u F u ⎧-⎪'==⎨⎪⎩若0其它.8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.解: 设X 的分布参数为λ,由于1()5,E X λ==可见15λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5{}1y P X y e-≤=-于是，Y 的分布函数为 50,0,()12,1, 2.y y F y ey y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。
天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解
第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点（x,y ）落在矩形域［%］ < X ≤乙，y ∣ < y ≤ y 2］的概率为F(X 2 ,J 2)- F(X 2 ,必)+ F(x 1,必)一厂(XQ2)・2、（X,V ）的分布函数为 ∕7（x, y ）,则 F （-∞∖ y ） = O .3、（X,y ）的分布函数为尸（x,y ）,则尸& + O,y ） = FV,y ）4、（X,y ）的分布函数为尸（x,y ）,则尸（国+8）= FX （%）5、设随机变量（X,Y ）的概率密度为 k(6 -X- y) 0<x<2, 2<y<41…」 ，则& 二 一0 其它^8^÷x/ （X ） = 一 °0X∫f(χ, y)= <6、随机变量（x,y ）的分布如下，写出其边缘分布.8、二维正态随机变量（x,y）, X和y相互独立的充要条件是参数夕=Q.9、假如随机变量（x,y ）的联合概率分布为二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X,其次次取的球上标的数字丫，求（x,y ）的联合分布律. P{X =2y Y = 1} = --- = - 3 2 3 P{X=2,y = 2} = -∙- = -3 2 32、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，y 为投入2 号信箱的信数，求（x,y ）的联合分布律.则a,β应满意的条件是_a +β 1 8 1111 -6184 2 ；若X 与y 相互独立，则α= —，〃=— ^18^^18" 10、设x,y 相互独立，x~N （o,i ）,y~N （θ∙i ）,则（x,y ）的联合概率密度241 尸+厂 f(x.y)=-e 224z = x+y 的概率密度f z (Z) =12、设（ξ、η）的联合分布函数为FD = V λ +1 1 15777；F 所—核x≥O,y≥O则A=_l解：p{x = ι,y = i} = l∙oP{x = ι,y = 2} = (∙ι = ! 解：X 的可能取值为（）,123Y 的可能取值为（）,1,2,3p{x=o,y = o} = *3 C 2 3P{X=O,Y = ∖} = -^ P{X=0y Y = 2} = ^- = -^2=-"Γ°牛力=『g ⑺勿=1符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。
第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可.解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======111{0}{0},224P X P Y ====⨯=3{1}1{0}.4P Z P Z ==-==Z 的分布律为Z ０１P14342．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.解: 如图10-5所示X ０１P1212图10-511201(1)664x xDP x y xdxy dx dxdy -+≤===⎰⎰⎰⎰． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.解: 由X 和Y 相互独立知{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==11111.22222=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .2.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424iX i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．A ．0；B ．14；C ．12； D ．1.【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.解: 设随机变量12,X X 的联合分布为 由121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==21231232221p p p p p =++++=知 111331330,p p p p ====从而有 2111311144p p p =--=, 类似地 231232111,,.444p p p ===进一步可知 22123210.2p p p =--=即 1122330.p p p ===因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．A ．是连续函数；B ．至少有两个间断点；C ．是阶梯函数；D ．恰好有一个间断点.【解题分析】从公式(){}{}{}{}min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---出发求解即可.解: 由题设,0,()0,0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩ 令12,2,X ξξ==则120,0,0,2,()()1,0,1, 2.xx x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为120,0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.故选择B .注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解. 三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式1234X X X X X =的概率分布.【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====.12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====⨯= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====⨯={0}120.13440.7312.P X ==-⨯=于是12341010.13440.73120.1344X X X X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为120.30.7X⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论. 解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-．再由{}{}{}000.1000.50.50P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤===++≤，，得 0.3a b +=.解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,0 1,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====． 即Z 的概率分布律为(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=.4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数.【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为(,),01,0,(,)()()0,y X Y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为2(){2}()()Z X Y x y zF z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=⎰⎰2222000121200000,0,0,(1),02,(1), 2.zz z x yx z z xy x z z z dx e dy e dx z dx e dye dx z ------⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎪==-<≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪->⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以,随机变量Z 的分布密度函数为()()Z Z f z F z '==20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为1()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞-∞=-=-⎰⎰=(2)201(2)00,0,,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰=20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为1,(,),2(,)0,(,).x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；图10-6位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->211111(1ln 2ln ).222s s x xy ssdxdy dx dy s >=-=-=+-⎰⎰⎰⎰ 于是,1(ln 2ln ),02()20,0 2.s s f s s s ⎧-<<⎪=⎨⎪≤≥⎩若若或6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即(|)(|).P B A P Y m X n ===根据n 重伯努利概型,有()(|)1n mm mn P B A C p p -=-，其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====而上车人数服从()P λ,因此 (),!nP A e n λλ-=于是(,)X Y 的概率分布律为()()(,)(1),!nmmn mnP X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的概率分布密度函数().p u图10-7【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知X 和Y 联合密度为 13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若1其它.以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时, ()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.设02,u <<则||{||}1()(,)4x y u x y u GF u f x y dxdy dxdy -≤-≤==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为()1(2)2,()20,U u <u <f u F u ⎧-⎪'==⎨⎪⎩若0其它.8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.解: 设X 的分布参数为λ,由于1()5,E X λ==可见15λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5{}1y P X y e-≤=- 于是，Y 的分布函数为50,0,()12,1, 2.y y F y ey y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。
完整第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案
第三章多维随机变量及其散布一、填空题1.〔1994年纪学一〕设互相独破的两个随机变量存在统一散布律，且的散布律为那么随机变量的散布律为.【解题剖析】起首要依照的界说断定的取值范畴,而后求取值的概率即可.解: 因为仅取0、1两个数值，故也仅取0跟1两个数值，因互相独破，故的散布律为2．〔2003年纪学一〕设二维随机变量的概率密度为那么=.【解题剖析】应用求解.解:如图10-5所示图10-5．二、选择题1.(1990年纪学三)设随机变量跟互相独破,其概率散布律为那么以下式子准确的选项是〔〕．．．．．【解题剖析】乍看大概谜底是,来由是跟同散布,但这是过错的,因为,假定,阐明取什么值时,也必定取一样的值,而这是不能够的,因而只能从剩下的三个谜底当选一个,这时只要直截了当盘算即可.解:由跟互相独破知因而,准确谜底是.2.(1999年纪学三)设随机变量,且满意那么即是〔〕．．0；．；．；．1.【解题剖析】此题应从所给前提动身,寻出随机变量的联合散布.解: 设随机变量的联合散布为由知从而有,相似地进一步可知即因而有准确谜底是.3.(1999年纪学四)假定随机变量听从指数散布,那么随机变量的散布函数〔〕．．是延续函数；．至多有两个延续点；．是门路函数；．恰恰有一个延续点.【解题剖析】从公式动身求解即可.解: 由题设令那么因而的散布函数为可见其仅有一个延续点准确谜底是.4.(2002年纪学四)设跟是恣意两个互相独破的延续型随机变量,它们的概率密度分不为跟,散布函数分不为跟,那么．必为某一随机变量的散布密度；．必为某一随机变量的散布函数；．必为某一随机变量的散布函数；.必为某一随机变量的散布密度．解: 因为假定随机变量与互相独破，它们的散布函数分不为与，那么的散布函数为，可知必为某一随机变量的散布函数.应选择.注：此题与2002年高数一中的选择题类同.此题也能够用赋值法求解.三、盘算与证实题1.(1994年纪学三)假定随机变量互相独破,且同散布,求行列式的概率散布.【解题剖析】由阶行列式表现,还是一随机变量,且,因为独破同散布,故与也是独破同散布的,因而可先求出跟的散布律,再求的散布律.解: 记,,那么.随机变量跟独破同散布:..随机变量有三个能够值-1,0,1.易见因而．2．(2003年纪学三)设随机变量与独破,此中的概率散布律为,而的散布密度为,求随机变量的散布密度.【解题剖析】此题是求随机变量函数的散布,这里的两随机变量一个是团圆型,一个是延续型,咱们依然从求散布函数动身,依照的差别取值,应用全概率公式来求解.解: 设为散布函数,那么由全概率公式及与的独破性可知,的散布函数为,由此得3.(2006年纪学四)设二维随机变量的概率散布律为此中为常数,且的数学希冀,,记.求(1)的值;(2)的概率散布;(3)【解题剖析】请求的值，只要求寻到三个含有的等式即可，这能够由散布函数的性子及题设中所给的两个前提失掉；求的概率散布，起首要弄清晰的能够取值，由的取值可知，的能够取值为-2，-1，0，1，2，而后再求取值的概率；请求，只要求转化为求对于的概率，由，既可得出论断.解: (1)由概率散布的性子知,,即．由,可得．再由，得.解以上对于的三个方程得.(2)的能够取值为-2，-1，0，1，2,，，，．即的概率散布律为(3)=.4.(1987年纪学一)设随机变量互相独破,其概率密度函数分不为求的概率密度函数.【解题剖析】此类咨询题,普通有两种解法:一种是先写出二维随机变量()的联合概率散布密度函数,再盘算的概率散布密度函数,另一种是直截了当应用两独破随机变量跟的散布密度盘算公式(即卷积公式)求解.解: 办法１因为随机变量互相独破,因而二维随机变量()的概率散布密度函数为因而,随机变量的散布函数为因而,随机变量的散布密度函数为办法２因为随机变量互相独破,因而,由卷积公式知,随机变量的密度函数为==5.(1999年纪学四)设二维随机变量()在矩形上听从平均散布,试求边长为跟的矩形面积的概率散布密度函数.【解题剖析】由题设轻易得出随机变量()的散布密度,此题相称于求随机变量的函数的散布密度.可先求出其散布函数,再求导得散布密度.在求散布函数时,必定要留意对的取值范畴进展探讨.解:因为二维随机变量()听从平均散布,因而,它的概率散布密度函数为设为的散布函数,那么事先,事先,如今，设如图10-6所示,曲线与矩形的上边交于点；图10-6位于曲线上方的点满意,位于下方的点满意,因而因而,6.(2001年纪学一)设某班车终点站上车人数听从参数为的泊松散布,每位搭客半途下车的概率为,且半途下车与否互相独破.以表现在半途下车的人数,求：〔1〕在发车时有个搭客的前提下，半途有人下车的概率；〔2〕二维随机变量的概率散布.【解题剖析】显然，第一咨询求的是前提概率,发车时有个搭客,半途有人下车的概率,为重伯努利概型,能够依此求解.其次，请求二维随机变量的概率散布,起首断定的取值,而后按乘法公式求解.解: (1)设事情{发车时有个搭客},{半途有团体下车},那么在发车时有个搭客的前提下,半途有团体下车的概率是一个前提概率,即依照重伯努利概型,有，此中.(2)因为而上车人数听从,因而因而的概率散布律为此中.7.(2001年纪学三)设随机变量跟的联合散布在正方形(如图10-7)上听从平均散布,试求随机变量的概率散布密度函数图10-7【解题剖析】此题要紧考察随机变量函数的散布,可从散布函数动身求解.然而,这里要留意的是随机变量函数带有相对值.解: 由前提知跟联合密度为以表现随机变量的散布函数,显然,事先,；事先，.设那么,因而,随机变量的散布密度为8.(2002年纪学三、四)假定一装备开机后无毛病任务的时刻听从指数散布，平均无毛病任务的时刻〔〕为5小时，装备准时开机，呈现毛病时主动关机，而在无毛病的状况下任务2小时便关机.试求该装备每次开机无毛病任务的时刻的散布函数【解题剖析】此题要紧考察随机变量函数的散布.起首要寻到与的关联,而后分状况进展探讨.解: 设的散布参数为,因为可见.显然,.对于对于设有=因而，的散布函数为求随机变量函数的散布,是概率论中测验的重点,对于求延续型随机变量函数的散布密度,普通从求散布函数动身,联合图形对自变量的取值范畴进展探讨,求出散布函数,而后求导即得散布密度.。
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第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k kX Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y e e x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ 5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。