离散数学 关系的性质
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4.3 关系的性质
关系的性质及特点 关系性质的充要条件 关系性质的证明 运算和性质的关系
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一、关系的性质及特点
1. 自反的二元关系
(1). 定 义 ： R 是 Ａ 上 的 二 元 关 系 ， 若 则称R在 上是自反的二元关系 上是自反的二元关系。 ∀x(x∈A→<x,x>∈R), 则称 在A上是自反的二元关系。 ∈ ∈ 即如果对于Ａ中的每一个元素 都有 都有(a,a)∈ R，则称Ｒ 即如果对于Ａ中的每一个元素a,都有 ∈ ，则称Ｒ 为自反的二元关系。 为自反的二元关系。 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}， 例如 Ａ＝｛ ｝ ， 则Ｒ是自反的。 是自反的。 又如Ａ＝ Ａ＝｛ 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系， ｝ 是 上的整除关系， 显然， 是自反的，因为（ 显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3） ）（ ）（ ）
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4．反对称的二元关系 ．
(1). 定义：若∀ x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 定义： ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ 则称R为 上的反对称关系 上的反对称关系. 则称 为A上的反对称关系 和有(b,a) ∈Ｒ 即R是Ａ上的二元关系，每当有 是 上的二元关系，每当有(a,b) ∈Ｒ和有 则称Ｒ 时，必有a=b,则称Ｒ是反对称的二元关系。 必有 则称 是反对称的二元关系。 反对称的定义也可写为：Ｒ是Ａ上的二元关系， 反对称的定义也可写为：Ｒ是 上的二元关系， ：Ｒ 则必有(b,a) ∉R, 当a≠b时，如果 时 如果(a,b) ∈Ｒ,则必有 则必有 称Ｒ为反对称的二元关系。 为反对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={1,2,3},R是Ａ上的小于关系，即a<b，（a,b）∈Ｒ。 是 上的小于关系， ， ） 易见Ｒ={(1,2),(1,3),(2,3)},所以Ｒ是反对称的。 易见Ｒ 所以Ｒ是反对称的。 所以 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果 整除 整除b， 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果a整除 ，则(a,b) ∈Ｒ,
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5. 可传递的二元关系
(1). 定义： R是A上的二元关系， 定义： 是 上的二元关系 上的二元关系， ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), ∀ ∀ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∈ 则称R是A上的传递关系 则称 是 上的传递关系. 上的传递关系 每当有(a,b) ∈R和(b,c) ∈R 每当有 和 必有(a,c) ∈R ，则称为可传递的二元关系。 则称为可传递的二元关系。 时，必有 例如整除关系是可传递的，因为每当（a，b） ∈R时， 例如整除关系是可传递的，因为每当（ ， ） 时 能整除c时 即 a 能整除 b，b能整除 时，显然 a 能整除 c， ， 能整除 ， 所以必有（ ， ） 所以必有（a，c） ∈R 。 又如A={a，b，c，d，e}，其中 、b、c、d、e分别是表示 又如 ， ， ， ， ，其中a、 、 、 、 分别是表示 5个人，且a、b、c同住一个房间；d和e同住另一个房间。 个人， 同住一个房间； 和 同住另一个房间 同住另一个房间。 个人 、 、 同住一个房间 如果同住一房间的人认为是相关的， 如果同住一房间的人认为是相关的，显然这种同房间关系
关系图中每个顶点都没有环。 关系图中每个顶点都没有环。
实例： 实例： 实数集上的小于关系，空关系∅ 实数集上的小于关系，空关系∅，幂集上的 真包含关系都是反自反关系。 真包含关系都是反自反关系。
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上的关系, 例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系 其中 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
R1既不是自反也不是反自反的 R2为自反关系 为自反关系, R3为反自反关系。 为反自反关系。
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3. 对称的二元关系
(1). 定义 R是Ａ上的二元关系， 定义: 是 上的二元关系， 若∀x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), ， ∈ ∧ ∈ ∈ 则称R为 上对称的二元关系 的二元关系. 则称 为A上对称的二元关系 即如果(a,b) ∈R, 就一定有 就一定有(b,a) ∈R, 即如果 则称Ｒ为对称的二元关系。 则称Ｒ为对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={a,b,c,d}, R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,d),(d,b)}
Hale Waihona Puke Baidu
R1 是A上的传递关系 上的传递关系 R2不是 上的传递关系 不是A上的传递关系
判断下图中关系的性质, 并说明理由. 例4 判断下图中关系的性质 并说明理由
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递 不自反也不反自反；对称 不反对称；不传递. 不自反也不反自反 (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反 (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递 自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递. 自反
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2．反自反的二元关系 ．
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若∀x(x∈A→<x,x>∉R), 定义： 是 上的二元关系， ∈ ∉ 则称R在 上是反自反的二元关系 上是反自反的二元关系. 则称 在A上是反自反的二元关系 即对于Ａ中的每一个元素 都有 都有(a,a) ∉ R，则称Ｒ为 即对于Ａ中的每一个元素a,都有 ，则称Ｒ 反自反的二元关系。 反自反的二元关系。 例如Ａ＝｛ 是反自反的。 例如Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,b),(b,c),(b,a)}，则Ｒ是反自反的。 Ａ＝ ｝ ， 又如Ａ＝｛ 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的小于关系，即当 Ａ＝ ｝ 是 上的小于关系，即当a<b时， 时 (a,b) ∈R。显然，Ｒ是反自反的。 。显然， 是反自反的。 注意，非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系， 注意，非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系， 因为存在着这样的二元关系， 因为存在着这样的二元关系，它既不是自反的又不是反自 反的， 反的，如Ａ={a,b,c},R={(a,a),(a,b)}，那么Ｒ不是自反的 因 ，那么Ｒ不是自反的(因
如果两点之 如果顶点 xi 连 间有边, 通到x 间有边 是 通到 k , 则从 xi 一条有向边 到 xk 有边 (无双向边 无双向边) 无双向边
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上的关系, 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2是A上的关系 其中 ＝ 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,2>,<2,3>}
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是可传递的。 是可传递的。
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点： (3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点x 之间有边, 关系图中如果两个顶点 i到xj之间有边 xj到 xk之间有边 则从 i到xk之间有边。 之间有边,则从 则从x 之间有边。 实例： 实例： A上的全域关系 A,恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系 和空关系∅ 上的全域关系 恒等关系I 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 小于等于关系 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系都是传递的二元关系。 真包含关系都是传递的二元关系。
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都属于R。 都属于 。
注意，在关系的自反性定义中，要求对于 中 注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有 的每一个元素 都有(a,a) ∈R。所以当 都有 。所以当A={a,b,c}，而 ， R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为 时 并不是自反的， 并不是自反的 因为(c,c) ∉R。 。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， ， 是 上的二元关系 上的二元关系， 又如 ∈ ， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 都是素数时， 和 都是素数时 。 可见Ｒ＝ 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 Ｒ＝ ， 系，因为(1,1) ∉R。 因为 。
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都是A上的关系 上的关系, 例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是 上的关系 ＝ 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} ， R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} ，
R1 对称、反对称 对称、反对称. R2 对称，不反对称 对称，不反对称. R3 反对称，不对称 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称 不对称、也不反对称.
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R也是反对称的。 也是反对称的。 也是反对称的
注意， 对称的” 注意，“对称的”和“反对称的”这两个概念并非相互对立， 反对称的”这两个概念并非相互对立， 相互排斥的。 相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 例如 A={a,b,c,d} R={(a,b),(b,a),(c,d)}
则Ｒ是对称的二元关系。 是对称的二元关系。 又如Ａ 对于Ａ 如果a,b是模 又如Ａ={1,2,3,4,5},对于Ａ中元素 和b,如果 是模 对于 中元素a和 如果 3同余关系，则(a,b) ∈Ｒ, 易见Ｒ是对称关系。 同余关系， 易见Ｒ是对称关系。 同余关系
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
3
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。 关系图中每个顶点都有环。 实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A，小于等于关系 上的全域关系E 恒等关系I 上的全域关系 整除关系D 都是自反关系 反关系： LA, 整除关系 A都是自反关系：
关系矩阵为对称矩阵。 关系矩阵为对称矩阵。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对 方向相反的边。 方向相反的边。
实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系I 和空关系∅ 上的全域关系 都是对称关系。 都是对称关系。 对称关系
5 为(b,b), (c,c)都不属于Ｒ)，Ｒ也不是反自反的(因为 都不属于Ｒ ， 也不是反自反的 因为(a,a) ∈R)。 。 都不属于 因为
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为0。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。 关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。 关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例： 实例： 恒等关系I 空关系∅都是A上的反对称关系 上的反对称关系。 恒等关系 A，空关系∅都是 上的反对称关系。
这里R既不是对称的，也不是反对称的。 这里 既不是对称的，也不是反对称的。 既不是对称的 因为虽有(a,b) ∈R, (b,a) ∈R，但(c,d) ∈R时(d,c) ∉ R, 因为虽有 ， 时 因此R不是对称的， 因此 不是对称的， 不是对称的 因为有(a,b) ∈R和(b,a) ∈R，因此 不是反对称的。 不是反对称的。 因为有 和 ，因此R不是反对称的 又如A={a,b,c}, R={(a,a)}, 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 又如
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关系性质判别汇总
表达式 关系 矩阵 自反性 主对角 线元素 全是1 全是 反自反性 主对角线 元素全是 0 对称性 矩阵是 对称矩 阵 反对称性 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 传递性
关系图
每个顶 点都有 环
每个顶点 都没有环
如果两 个顶点 之间有 边, 是一 对方向 相反的 边(无单 无单 边)
关系的性质及特点 关系性质的充要条件 关系性质的证明 运算和性质的关系
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一、关系的性质及特点
1. 自反的二元关系
(1). 定 义 ： R 是 Ａ 上 的 二 元 关 系 ， 若 则称R在 上是自反的二元关系 上是自反的二元关系。 ∀x(x∈A→<x,x>∈R), 则称 在A上是自反的二元关系。 ∈ ∈ 即如果对于Ａ中的每一个元素 都有 都有(a,a)∈ R，则称Ｒ 即如果对于Ａ中的每一个元素a,都有 ∈ ，则称Ｒ 为自反的二元关系。 为自反的二元关系。 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}， 例如 Ａ＝｛ ｝ ， 则Ｒ是自反的。 是自反的。 又如Ａ＝ Ａ＝｛ 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系， ｝ 是 上的整除关系， 显然， 是自反的，因为（ 显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3） ）（ ）（ ）
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4．反对称的二元关系 ．
(1). 定义：若∀ x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 定义： ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ 则称R为 上的反对称关系 上的反对称关系. 则称 为A上的反对称关系 和有(b,a) ∈Ｒ 即R是Ａ上的二元关系，每当有 是 上的二元关系，每当有(a,b) ∈Ｒ和有 则称Ｒ 时，必有a=b,则称Ｒ是反对称的二元关系。 必有 则称 是反对称的二元关系。 反对称的定义也可写为：Ｒ是Ａ上的二元关系， 反对称的定义也可写为：Ｒ是 上的二元关系， ：Ｒ 则必有(b,a) ∉R, 当a≠b时，如果 时 如果(a,b) ∈Ｒ,则必有 则必有 称Ｒ为反对称的二元关系。 为反对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={1,2,3},R是Ａ上的小于关系，即a<b，（a,b）∈Ｒ。 是 上的小于关系， ， ） 易见Ｒ={(1,2),(1,3),(2,3)},所以Ｒ是反对称的。 易见Ｒ 所以Ｒ是反对称的。 所以 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果 整除 整除b， 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果a整除 ，则(a,b) ∈Ｒ,
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5. 可传递的二元关系
(1). 定义： R是A上的二元关系， 定义： 是 上的二元关系 上的二元关系， ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), ∀ ∀ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∈ 则称R是A上的传递关系 则称 是 上的传递关系. 上的传递关系 每当有(a,b) ∈R和(b,c) ∈R 每当有 和 必有(a,c) ∈R ，则称为可传递的二元关系。 则称为可传递的二元关系。 时，必有 例如整除关系是可传递的，因为每当（a，b） ∈R时， 例如整除关系是可传递的，因为每当（ ， ） 时 能整除c时 即 a 能整除 b，b能整除 时，显然 a 能整除 c， ， 能整除 ， 所以必有（ ， ） 所以必有（a，c） ∈R 。 又如A={a，b，c，d，e}，其中 、b、c、d、e分别是表示 又如 ， ， ， ， ，其中a、 、 、 、 分别是表示 5个人，且a、b、c同住一个房间；d和e同住另一个房间。 个人， 同住一个房间； 和 同住另一个房间 同住另一个房间。 个人 、 、 同住一个房间 如果同住一房间的人认为是相关的， 如果同住一房间的人认为是相关的，显然这种同房间关系
关系图中每个顶点都没有环。 关系图中每个顶点都没有环。
实例： 实例： 实数集上的小于关系，空关系∅ 实数集上的小于关系，空关系∅，幂集上的 真包含关系都是反自反关系。 真包含关系都是反自反关系。
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上的关系, 例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系 其中 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
R1既不是自反也不是反自反的 R2为自反关系 为自反关系, R3为反自反关系。 为反自反关系。
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3. 对称的二元关系
(1). 定义 R是Ａ上的二元关系， 定义: 是 上的二元关系， 若∀x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), ， ∈ ∧ ∈ ∈ 则称R为 上对称的二元关系 的二元关系. 则称 为A上对称的二元关系 即如果(a,b) ∈R, 就一定有 就一定有(b,a) ∈R, 即如果 则称Ｒ为对称的二元关系。 则称Ｒ为对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={a,b,c,d}, R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,d),(d,b)}
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R1 是A上的传递关系 上的传递关系 R2不是 上的传递关系 不是A上的传递关系
判断下图中关系的性质, 并说明理由. 例4 判断下图中关系的性质 并说明理由
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递 不自反也不反自反；对称 不反对称；不传递. 不自反也不反自反 (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反 (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递 自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递. 自反
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2．反自反的二元关系 ．
(1). 定义： R是Ａ上的二元关系，若∀x(x∈A→<x,x>∉R), 定义： 是 上的二元关系， ∈ ∉ 则称R在 上是反自反的二元关系 上是反自反的二元关系. 则称 在A上是反自反的二元关系 即对于Ａ中的每一个元素 都有 都有(a,a) ∉ R，则称Ｒ为 即对于Ａ中的每一个元素a,都有 ，则称Ｒ 反自反的二元关系。 反自反的二元关系。 例如Ａ＝｛ 是反自反的。 例如Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,b),(b,c),(b,a)}，则Ｒ是反自反的。 Ａ＝ ｝ ， 又如Ａ＝｛ 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的小于关系，即当 Ａ＝ ｝ 是 上的小于关系，即当a<b时， 时 (a,b) ∈R。显然，Ｒ是反自反的。 。显然， 是反自反的。 注意，非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系， 注意，非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系， 因为存在着这样的二元关系， 因为存在着这样的二元关系，它既不是自反的又不是反自 反的， 反的，如Ａ={a,b,c},R={(a,a),(a,b)}，那么Ｒ不是自反的 因 ，那么Ｒ不是自反的(因
如果两点之 如果顶点 xi 连 间有边, 通到x 间有边 是 通到 k , 则从 xi 一条有向边 到 xk 有边 (无双向边 无双向边) 无双向边
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上的关系, 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2是A上的关系 其中 ＝ 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,2>,<2,3>}
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是可传递的。 是可传递的。
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点： (3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点x 之间有边, 关系图中如果两个顶点 i到xj之间有边 xj到 xk之间有边 则从 i到xk之间有边。 之间有边,则从 则从x 之间有边。 实例： 实例： A上的全域关系 A,恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系 和空关系∅ 上的全域关系 恒等关系I 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 小于等于关系 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系都是传递的二元关系。 真包含关系都是传递的二元关系。
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都属于R。 都属于 。
注意，在关系的自反性定义中，要求对于 中 注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有 的每一个元素 都有(a,a) ∈R。所以当 都有 。所以当A={a,b,c}，而 ， R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为 时 并不是自反的， 并不是自反的 因为(c,c) ∉R。 。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， ， 是 上的二元关系 上的二元关系， 又如 ∈ ， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 都是素数时， 和 都是素数时 。 可见Ｒ＝ 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 Ｒ＝ ， 系，因为(1,1) ∉R。 因为 。
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都是A上的关系 上的关系, 例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是 上的关系 ＝ 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} ， R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} ，
R1 对称、反对称 对称、反对称. R2 对称，不反对称 对称，不反对称. R3 反对称，不对称 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称 不对称、也不反对称.
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R也是反对称的。 也是反对称的。 也是反对称的
注意， 对称的” 注意，“对称的”和“反对称的”这两个概念并非相互对立， 反对称的”这两个概念并非相互对立， 相互排斥的。 相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 例如 A={a,b,c,d} R={(a,b),(b,a),(c,d)}
则Ｒ是对称的二元关系。 是对称的二元关系。 又如Ａ 对于Ａ 如果a,b是模 又如Ａ={1,2,3,4,5},对于Ａ中元素 和b,如果 是模 对于 中元素a和 如果 3同余关系，则(a,b) ∈Ｒ, 易见Ｒ是对称关系。 同余关系， 易见Ｒ是对称关系。 同余关系
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。 关系图中每个顶点都有环。 实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A，小于等于关系 上的全域关系E 恒等关系I 上的全域关系 整除关系D 都是自反关系 反关系： LA, 整除关系 A都是自反关系：
关系矩阵为对称矩阵。 关系矩阵为对称矩阵。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对 方向相反的边。 方向相反的边。
实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系I 和空关系∅ 上的全域关系 都是对称关系。 都是对称关系。 对称关系
5 为(b,b), (c,c)都不属于Ｒ)，Ｒ也不是反自反的(因为 都不属于Ｒ ， 也不是反自反的 因为(a,a) ∈R)。 。 都不属于 因为
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为0。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。 关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。 关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例： 实例： 恒等关系I 空关系∅都是A上的反对称关系 上的反对称关系。 恒等关系 A，空关系∅都是 上的反对称关系。
这里R既不是对称的，也不是反对称的。 这里 既不是对称的，也不是反对称的。 既不是对称的 因为虽有(a,b) ∈R, (b,a) ∈R，但(c,d) ∈R时(d,c) ∉ R, 因为虽有 ， 时 因此R不是对称的， 因此 不是对称的， 不是对称的 因为有(a,b) ∈R和(b,a) ∈R，因此 不是反对称的。 不是反对称的。 因为有 和 ，因此R不是反对称的 又如A={a,b,c}, R={(a,a)}, 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 又如
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关系性质判别汇总
表达式 关系 矩阵 自反性 主对角 线元素 全是1 全是 反自反性 主对角线 元素全是 0 对称性 矩阵是 对称矩 阵 反对称性 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 传递性
关系图
每个顶 点都有 环
每个顶点 都没有环
如果两 个顶点 之间有 边, 是一 对方向 相反的 边(无单 无单 边)