离散数学 关系的性质

关系矩阵为对称矩阵。 关系矩阵为对称矩阵。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对 方向相反的边。 方向相反的边。
实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系I 和空关系∅ 上的全域关系 都是对称关系。 都是对称关系。 对称关系
R1 是A上的传递关系 上的传递关系 R2不是 上的传递关系 不是A上的传递关系
判断下图中关系的性质, 并说明理由. 例4 判断下图中关系的性质 并说明理由
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递 不自反也不反自反；对称 不反对称；不传递. 不自反也不反自反 (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 反自反 (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递 自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递. 自反
则Ｒ是对称的二元关系。 是对称的二元关系。 又如Ａ 对于Ａ 如果a,b是模 又如Ａ={1,2,3,4,5},对于Ａ中元素 和b,如果 是模 对于 中元素a和 如果 3同余关系，则(a,b) ∈Ｒ, 易见Ｒ是对称关系。 同余关系， 易见Ｒ是对称关系。 同余关系
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
5 为(b,b), (c,c)都不属于Ｒ)，Ｒ也不是反自反的(因为 都不属于Ｒ ， 也不是反自反的 因为(a,a) ∈R)。 。 都不属于Байду номын сангаас因为
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为0。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
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关系性质判别汇总
表达式 关系 矩阵 自反性 主对角 线元素 全是1 全是 反自反性 主对角线 元素全是 0 对称性 矩阵是 对称矩 阵 反对称性 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 传递性
关系图
每个顶 点都有 环
每个顶点 都没有环
如果两 个顶点 之间有 边, 是一 对方向 相反的 边(无单 无单 边)
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是可传递的。 是可传递的。
(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点： (3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点x 之间有边, 关系图中如果两个顶点 i到xj之间有边 xj到 xk之间有边 则从 i到xk之间有边。 之间有边,则从 则从x 之间有边。 实例： 实例： A上的全域关系 A,恒等关系 A和空关系∅ 上的全域关系E 恒等关系 和空关系∅ 上的全域关系 恒等关系I 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 小于等于关系 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系都是传递的二元关系。 真包含关系都是传递的二元关系。
关系图中每个顶点都没有环。 关系图中每个顶点都没有环。
实例： 实例： 实数集上的小于关系，空关系∅ 实数集上的小于关系，空关系∅，幂集上的 真包含关系都是反自反关系。 真包含关系都是反自反关系。
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上的关系, 例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系 其中 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
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都属于R。 都属于 。
注意，在关系的自反性定义中，要求对于 中 注意，在关系的自反性定义中，要求对于A中 的每一个元素a都有 的每一个元素 都有(a,a) ∈R。所以当 都有 。所以当A={a,b,c}，而 ， R={(a,a),(b,b)}时，R并不是自反的，因为 时 并不是自反的， 并不是自反的 因为(c,c) ∉R。 。 又如A={1,2,3}，R是A上的二元关系，当a,b∈A， ， 是 上的二元关系 上的二元关系， 又如 ∈ ， 且a和b都是素数时，(a,b) ∈R。 都是素数时， 和 都是素数时 。 可见Ｒ＝ 可见Ｒ＝{(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}，Ｒ也不是自反关 Ｒ＝ ， 系，因为(1,1) ∉R。 因为 。
R1既不是自反也不是反自反的 R2为自反关系 为自反关系, R3为反自反关系。 为反自反关系。
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3. 对称的二元关系
(1). 定义 R是Ａ上的二元关系， 定义: 是 上的二元关系， 若∀x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), ， ∈ ∧ ∈ ∈ 则称R为 上对称的二元关系 的二元关系. 则称 为A上对称的二元关系 即如果(a,b) ∈R, 就一定有 就一定有(b,a) ∈R, 即如果 则称Ｒ为对称的二元关系。 则称Ｒ为对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={a,b,c,d}, R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,d),(d,b)}
如果两点之 如果顶点 xi 连 间有边, 通到x 间有边 是 通到 k , 则从 xi 一条有向边 到 xk 有边 (无双向边 无双向边) 无双向边
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上的关系, 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2是A上的关系 其中 ＝ 上的关系 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,2>,<2,3>}
这里R既不是对称的，也不是反对称的。 这里 既不是对称的，也不是反对称的。 既不是对称的 因为虽有(a,b) ∈R, (b,a) ∈R，但(c,d) ∈R时(d,c) ∉ R, 因为虽有 ， 时 因此R不是对称的， 因此 不是对称的， 不是对称的 因为有(a,b) ∈R和(b,a) ∈R，因此 不是反对称的。 不是反对称的。 因为有 和 ，因此R不是反对称的 又如A={a,b,c}, R={(a,a)}, 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 可知Ｒ是对称的，又是反对称的。 又如
4.3 关系的性质
关系的性质及特点 关系性质的充要条件 关系性质的证明 运算和性质的关系
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一、关系的性质及特点
1. 自反的二元关系
(1). 定 义 ： R 是 Ａ 上 的 二 元 关 系 ， 若 则称R在 上是自反的二元关系 上是自反的二元关系。 ∀x(x∈A→<x,x>∈R), 则称 在A上是自反的二元关系。 ∈ ∈ 即如果对于Ａ中的每一个元素 都有 都有(a,a)∈ R，则称Ｒ 即如果对于Ａ中的每一个元素a,都有 ∈ ，则称Ｒ 为自反的二元关系。 为自反的二元关系。 Ａ＝｛a,b,c｝, R={ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b)}， 例如 Ａ＝｛ ｝ ， 则Ｒ是自反的。 是自反的。 又如Ａ＝ Ａ＝｛ 又如Ａ＝｛1,2,3｝, R是Ａ上的整除关系， ｝ 是 上的整除关系， 显然， 是自反的，因为（ 显然，Ｒ是自反的，因为（1, 1）,（2, 2）,（3, 3） ）（ ）（ ）
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。 关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。 关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。
实例： 实例： 恒等关系I 空关系∅都是A上的反对称关系 上的反对称关系。 恒等关系 A，空关系∅都是 上的反对称关系。
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都是A上的关系 上的关系, 例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是 上的关系 ＝ 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>}， R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} ， R3＝{<1,2>,<1,3>}， R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} ，
R1 对称、反对称 对称、反对称. R2 对称，不反对称 对称，不反对称. R3 反对称，不对称 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称 不对称、也不反对称.
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(2). 关系矩阵的特点： 关系矩阵的特点：
关系矩阵中主对角线上的元素全为1。 关系矩阵中主对角线上的元素全为 。
(3). 关系图的特点： 关系图的特点：
关系图中每个顶点都有环。 关系图中每个顶点都有环。 实例： 实例： A上的全域关系 A, 恒等关系 A，小于等于关系 上的全域关系E 恒等关系I 上的全域关系 整除关系D 都是自反关系 反关系： LA, 整除关系 A都是自反关系：
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4．反对称的二元关系 ．
(1). 定义：若∀ x，y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 定义： ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ 则称R为 上的反对称关系 上的反对称关系. 则称 为A上的反对称关系 和有(b,a) ∈Ｒ 即R是Ａ上的二元关系，每当有 是 上的二元关系，每当有(a,b) ∈Ｒ和有 则称Ｒ 时，必有a=b,则称Ｒ是反对称的二元关系。 必有 则称 是反对称的二元关系。 反对称的定义也可写为：Ｒ是Ａ上的二元关系， 反对称的定义也可写为：Ｒ是 上的二元关系， ：Ｒ 则必有(b,a) ∉R, 当a≠b时，如果 时 如果(a,b) ∈Ｒ,则必有 则必有 称Ｒ为反对称的二元关系。 为反对称的二元关系。 例如Ａ 例如Ａ={1,2,3},R是Ａ上的小于关系，即a<b，（a,b）∈Ｒ。 是 上的小于关系， ， ） 易见Ｒ={(1,2),(1,3),(2,3)},所以Ｒ是反对称的。 易见Ｒ 所以Ｒ是反对称的。 所以 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果 整除 整除b， 又如Ａ是一些整数组成的集合，如果a整除 ，则(a,b) ∈Ｒ,
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R也是反对称的。 也是反对称的。 也是反对称的
注意， 对称的” 注意，“对称的”和“反对称的”这两个概念并非相互对立， 反对称的”这两个概念并非相互对立， 相互排斥的。 相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 关系，也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。 例如 A={a,b,c,d} R={(a,b),(b,a),(c,d)}