2021-2022年高中数学3.2一般形式的柯西不等式教学案(无答案)新人教版选修4-5

2021年高中数学3.2一般形式的柯西不等式教学案（无答案）新人教版选

修4-5

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。 教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。 教学过程： 一、复习引入：

定理1：（二维柯西不等式的代数形式）设均为实数，则

22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当时成立。

变式1、

变式2、

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-

二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

成立.

1,2,3)时，等号(b 使得a ，或存在一个实数k， 即共线时， ， 当且仅当)b a b a b (a )b b )(b a a (a 23322112

32221232221===++≥++++i i i k 这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理4：（一般形式的柯西不等式）：

三、应用举例：

例1、 已知a 1,a 2,…,a n 都是实数，求证：22221221)(1

n n a a a a a a n

+++≤+++

变式1、已知是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++

例2、、已知222231,

x y z x y z ++=++求的最小值.

变式2、已知 且 求证：