(完整)初二数学三角形六大经典例题

1、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD交BC于E，连接ED，求证；∠ADB=∠CDE

D

2、正三角形△ABC，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB度数。

3、P是等边三角形ABC内一点，∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7，以PA，PB，PC为边的三角形三个内角的大小。

4、已知：在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB的中点，AE=CF.求证：

DE⊥DF?

5、△ABC中，E是BC的中点，D是CA延长线上一点，且AD=1/2AC，DE交AB于F，求证：DF=EF。

6、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，

连接E F、EB．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．

答案：1、解：过C作CG⊥AC交AE延长线于G

∵AE⊥BD于F，所以∠DBA=∠GAC(都与∠EAB互余）

又∵AB=CA，∠DAB=∠GCA=90°

∴△DAB≌△GCA(角边角)

∴∠ADB=∠CGA,AD=CG

又∵AD=DC,所以CD=CG

又∵∠GCE=∠DCE=45°，CE=CE

∴△GCE≌△DCE（边角边）

∴∠CGA=∠CDE

∴∠ADB=∠CDE

2、解：以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，可知

PQ=PA=3，∠APQ=60°，

由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ

所以△CAP≌△BAQ 可得：CP=BQ=5，

在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以

∠BPQ=90°

所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。

3、解：在AP的一侧以AP长为边作等边△APD，使D位于△ABC外AC边一侧，

易证△ABP≌△ACD（SAS）

因此，CD＝PB，PD＝PA，△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形

设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x,

由周角为360°，得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°∴x=20°,

于是,∠APC=140°，∠APB＝100°，∠BPC＝120°. ∠DPC＝∠APC－60°＝80°，∠PDC ＝∠ADC－∠ADP＝∠APB－60°＝40°，

从而∠PCD＝180°－（∠DPC+PDC）＝60°

所以，三内角的比为40°：60°：80°＝2：3：4

4、证明：连接CD

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴△ABC是等腰直角三角形

∴∠A=45°

∵D是AB中点

∴AD=0.5AB,CD=0.5AB∴AD=CD

又∵AE=CF

∴△ADE≌△CDF(SAS)

∴∠AED=∠CFD

∴∠CFD+∠CED=180

∵∠CFD+∠FDE+∠DEC+∠ACB=360

∵∠ACB=90

∴∠FDE=90

∴DE⊥DF

5、证明：连接E和AC的中点G,EG为△ABC的中位线∴EG‖AB

∵AD=1/2AC=AG

∴AF为△DEG的中位线

∴DF=FE

6、证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，

∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，

即：∠EAB=∠DAC，

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）证明：∵△ABE≌△ACD，

∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，

又∵BF=DC，

∴BE=BF．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DCA=60°，

∴△BEF为等边三角形．

∴∠EFB=60°，EF=BF

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠ABC=∠EFB，

∴EF∥BC，即EF∥DC，

∵EF=BF，BF=DC，

∴EF=DC，

∴四边形EFCD是平行四边形．