第三章牛顿运动定律的应用-传送带模型

情景 4
(1)可能一直加速 (2)可能一直匀速
(3)可能先减速后反向加速
[典例]
如图 3－2－6 所示，绷
紧的传送带，始终以 2 m/s 的速度 匀速斜向上运行，传送带与水平方向
图 3－ 2－ 6
间的夹角 θ＝30° 。现把质量为 10 kg 的工件轻轻地放在传 送带底端 P 处，由传送带传送至顶端 Q 处。已知 P、Q 之 3 间的距离为 4 m，工件与传送带间的动摩擦因数为 μ＝ 2 ， 取 g＝10 m/s2。
(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动； (2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。
[解析] 擦力为动力 由牛顿第二定律得：μmgcos θ－mgsin θ＝ma 代入数值得：a＝2.5 m/s2 则其速度达到传送带速度时发生的位移为 v2 22 x1＝2a＝ m＝0.8 m<4m 2×2.5 可见工件先匀加速运动 0.8 m，然后匀速运动 3.2 m (1)工件受重力、摩擦力、支持力共同作用，摩
如图甲所示，水平传送带长 L ＝ 6 m ，两个传送皮带轮 的半径都是 R ＝0.25 m ． 现有一可视为质点的小物体以水 平速度 v 0 滑上传送带． 设皮带轮沿顺时针方向匀速转动， 当转动的角速度为ω 时， 物体离开传送带 B 端后在空中运 动的水平距离为 s.若皮带轮以不同角速度重复上述转动， 而小物体滑上传送带的初速度 v 0 始终保持不变，则可得 到一些对应的ω值和 s 值．把这些对应的值在平面直角坐 标系中标出并连接起来，就得到了图乙中实线所示的 s －ω图像． (g 取 10 m/s2)
解析
物体 A 轻放在 a 点后在摩擦力作用下向右做匀加速直线运动直到
和传送带速度相等．在这一过程中有 v2 v2 μmg a1＝ m ＝μg. x1＝2a＝2μg＝0.8 m<ab. v 经历时间为 t1＝a ＝0.8 s. 1 ab－x1 此后随传送带运动到 b 点的时间为 t2＝ ＝0.6 s. v 当物体 A 到达 bc 斜面时，由于 mgsin 37° ＝0.6mg>μmgcos 37° ＝0.2mg. 所以物体 A 将再次沿传送带做匀加速直线运动，其加速度大小为 a2＝ gsin 37° －μgcos 37° ＝4 m/s2，物体 A 在传送带 bc 上所用时间满足 bc＝ 1 vt3＋2a2t3 2，代入数据得 t3＝1 s．(负值舍去) 则物体 A 从 a 点被传送到 c 点所用时间为 t＝t1＋t2＋t3＝2.4 s.
v (2)匀加速时，由 x1＝ 2 t1 得 t1＝0.8 s x2 3.2 匀速上升时 t2＝ v ＝ 2 s＝1.6 s 所以工件从 P 点运动到 Q 点所用的时间为 t＝t1＋t2＝2.4 s。
[答案] 3.2 m
(1)先匀加速运动0.8 m，然后匀速运动
(2)2.4 s
[题后悟道]
对于传送带问题，一定要全面掌握
牛顿运动定律的应用 传送带模型
传送带模型
[模型概述] 物体在传送带上运动的情形统称为传送带模型。 因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送 带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同， 传送带问题往往存在多种可能，因此对传送带问题做出
准确的动力学过程分析，是解决此类问题的关键。
1．水平传送带模型
(2)传送带逆时针转动，当 v
物
小于 v 带时，
f 沿传送带向下，设物体的加速度大小为 a1， mg sin 37°＋μ mg cos 37°＝ma 1 解得 a1＝10 m/s 设v
物
x2＝l－x1＝11 m 1 又因为 x2＝vt2＋2a2t2 2， 则有 10t2＋t2 2＝11 解得：t2＝1 s(t2＝－11 s 舍去) 所以 t＝t1＋t2＝2 s.
解析
(1) 传送带顺时针转动，物
体相对传送带向下运动， 则物体所 受滑动摩擦力沿斜面向上， 相对传 送带向下匀加速运动， 据牛顿第二 定律有 mg(sin 37° －μcos 37° )＝ma 则 a＝gsin 37° －μgcos 37° ＝2 m/s2， 1 2 据 l＝2at 得 t＝4 s.
上面提到的几类传送带模型，尤其注意要根据具体 情况适时进行讨论，看一看有没有转折点、突变点， 做好运动阶段的划分及相应动力学分析。
现在传送带传送货物已被广泛地应用，如图3－2－7 所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终 保持恒定的速率v＝1 m/s运行，一质量为m＝4 kg的物体
被无初速度地放在A处，传送带对物体的滑动摩擦力使
物体开始做匀加速直线运动，随后物体又以与传送带相 等的速率做匀速直线运动。设物体与传送带之间的动摩 擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L＝2 m，g取10 m/s2。
图3－2－7 (1)求物体刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度 的大小； (2)求物体做匀加速直线运动的时间； (3)如果提高传送带的运行速率，物体就能被较快地传送 到B处，求物体从A处传送到B处的最短时间和传送带对 应的最小运行速率。
解析：(1)滑动摩擦力Ff＝μmg＝0.1×4×10 N＝4 N， 加速度a＝μg＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2。 (2)物体达到与传送带相同速率后不再加速，则 v 1 v＝at1，t1＝a＝1 s＝1 s。
(3)物体始终匀加速运行时间最短，加速度仍为a＝1 m/s2，当物体到 达右端时，有 vmin2＝2aL，vmin＝ 2aL＝ 2×1×2 m/s＝2 m/s， 所以传送带的最小运行速率为2 m/s。 物体最短运行时间由vmin＝atmin， vmin 2 得tmin＝ a ＝1 s＝2 s。
(1)小明同学在研究了图甲的装置和图乙的图像后作出了以 下判断：当ω<4 r ad/s 时，小物体从皮带轮的 A 端运动到 B 端过程中一直在做匀减速运动．他的判断正确吗？请你再 指出当 ω>28 r ad/s 时，小物体从皮带轮的 A 端运动到 B 端 的过程中做什么运动．(只写结论，不需要分析原因) (2)求小物体的初速度 v 0 及它与传送带间的动摩擦因数μ . (3)求 B 端距地面的高度 h .
解析
(1)小明的判断正确
当 ω>28 rad/s 时，小物体从 A 端运动到 B 端的过程中一直 在做匀加速运动 (2)当 ω<4 rad/s 时，小物体在 B 端的速度大小是 v1＝ω1R＝1 m/s 当 ω>28 rad/s 时，小物体在 B 端的速度大小是 v2＝ω2R＝7 m/s 由匀变速直线运动规律有 v2 2－v0 2＝2aL v0 2－v1 2＝2aL f 由牛顿第二定律有 a＝m＝μg 联立以上各式并代入数据解得 v0＝5 m/s μ＝0.2
如图所示，倾角为 37°，长为 l＝16 m 的传送带，转动速度为 v ＝ 10 m/s，动摩擦因数μ ＝0.5，在传送 带顶端 A 处无初速度地释放一个质量 为 m ＝0.5 kg 的物体．已知 sin 37°＝ 0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
图4
(1)传送带顺时针转动时， 物体从顶端 A 滑到底端 B 的时间； (2)传送带逆时针转动时， 物体从顶端 A 滑到底端 B 的时间．
A. 5 s C．3 s B．( 6－1) s D．5 s
(
)
F 解析：物体在传送带上做加速运动时：a＝m＝μg＝1 m/s2 v02 加速运动的位移x1＝ ＝0.5 m 2a v0 时间t1＝ a ＝1 s 匀速运动的位移x2＝x－x1＝2 m x2 时间t2＝ ＝2 s，总时间为3 s。 v0 答案：C
(3)小物体离开 B 端 后做平抛运动 由平抛运动规律有 s＝v2t＝3.5 m 1 h＝2gt2 解得 h＝1.25 m
如图所示，传送带的水平部分 ab ＝ 2 m ，斜面部分 bc ＝4 m ，bc 与水平面的夹角α ＝37°.一个小物体 A 与传送 带的动摩擦因数μ ＝0.25，传送带沿图示的方向运动， 速 率 v ＝2 m/s.若把物体 A 轻放到 a 处， 它将被传送带送到 c 点，且物体 A 不会脱离传送带．求物体 A 从 a 点被传 送到 c 点所用的时间． (已知： sin 37°＝ 0.6， cos 37°＝ 0.8， g＝10 m/s2)
情景 2Fra Baidu bibliotek
情景 3
2.倾斜传送带模型
项目 情景 1 图示 滑块可能的运动情况 (1)可能一直加速 (2)可能先加速后匀速 (1)可能一直加速 (2)可能先加速后匀速 (3)可能先以a1加速后以a2加速
情景
2
项目
图示
滑块可能的运动情况 (1)可能一直加速
情景 3
(2)可能先加速后匀速 (3)可能一直匀速 (4)可能先以a1加速后以a2加速
项 目
图示
滑块可能的运动情况
情
景1
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
项目
图示
滑块可能的运动情况
(1)v0>v时，可能一直减速，也可能 先减速再匀速 (2)v0<v时，可能一直加速，也可能 先加速再匀速 (1)传送带较短时，滑块一直减速达 到左端 (2)传送带较长时，滑块还要被传送 带传回右端。其中v0>v返回时速度 为v，当v0<v返回时速度为v0
答案：(1)4 N
1 m/s2 (2)1 s
(3)2 s
2 m/s
如图3－2－11所示，传送带保持
v0＝1 m/s的速度运动，现将一质量
m＝0.5 kg的物体从传送带左端放上， 图3－2－11 设物体与传送带间动摩擦因数μ＝0.1，传送带两端水 平距离x＝2.5 m，则物体从左端运动到右端所经历的 时间为(g＝10 m/s2)
2
=v 带 时经历的时间为 t1，位移为 x 1
v 10 1 t1＝ ＝ s ＝1 s，x 1＝ a1t1 2＝5 m< l＝16 m 2 a1 10 当物体运动速度等于传送带速度瞬间， 有 mg sin 37°>μ mgcos 37°， 则下一时刻物体相对传送带向下运动， f 向上，设加速度为 a2，则 mgsin 37°－μ mgcos 37° a2＝ ＝2 m/s 2 m