1误差

⎛ ∂f ⎞ * ⎟ ε ( f *) ≈ ∑ ⎜ ε ( x k ). ⎜ ∂x ⎟ k =1 ⎝ k ⎠
n
*
例 场地面积：s = ld ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ε ( s*) ≈ ⎜ ⎟ ε (l*) + ⎜ ⎟ ε (d *). ⎝ ∂l ⎠ ⎝ ∂d ⎠
* *
29
* * 四则运算，设 x1 , x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
一般在同一量的不同近似值中,｜e*(x)｜越小, x的精度越高。
13
�
由于准确值x一般不能得到 ,于是误差 e*(x)的 准确值也无法求得 , 但在实际测量或计算时 , 可根 据具体情况事先估计出它的大小范围。也就是指 定一个适当小的正数ε*, 使得 e*(x)|=｜x*-x｜≤ ε* ||e *± ε* 有时也用 x=x x=x* ―2) (1 (1― ―3) (1 (1― 我们称 ε*为近似值 x*的绝对误差限。
第一章 误 差
石家庄经济学院信息工程学院 马丽 malimail@sjzue.edu.cn
1
内容提要：
1. 2. 3. 4. 5.
误差的来源与分类 误差的基本概念 函数的误差估计 算法的数值稳定性 减小误差，维持算法稳定的五大原则
2
1.1 误差的来源与分类
�
用数值计算方法解决科学技术中的实际问题, 必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感 性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的 情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题, 其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。 这种误差称之为“模型误差”。
* * * * ε ( x1 ± x2 ) = ε ( x1 ) + ε ( x2 ), * * * * * * ε ( x1 x2 ) ≈| x1 | ε ( x2 )+ | x2 | ε ( x1 ), * * * * | x | ε ( x ) + | x | ε ( x ) * * 1 2 2 1 ε ( x1 / x2 ) ≈ . * 2 | x2 |
30
31
1.4
�
算法的数值稳定性
算法稳定的若干原则 例1 一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 = − p + p + q x2 = − p − p 2 + q
32
2
当p=-0.5×105,q=-1时,方程的两个根取11位 有效数字为 x1=99999.999990 x2=0.000010000000001 而在字长为8,基底为10的计算机上直接用上 述公式计算的结果为 x1=100000.00 x2=0
�
8
�
从实际工程出发，一直到算出问题结果，其 中每个过程都会产生误差，用计算机解决科 学计算问题所经历的主要过程：
9
研究范围
�
由于模型误差和观测误差人为减小的可能 性不大，所以我们仅研究截断误差和舍入 误差，以及误差的传播积累和误差的估计 问题。 以下举例说明误差分析的重要性。
�
10
舍入误差常被人忽视，导致荒谬结论 举例：
∗
(1 ―8) (1―
则称近似数x*具有n位有效数字。这里m为整数, α1、α2、…、αn是0到9中的一个数字且α1≠0。 也就是说 , 若近似值 x* 的绝对误差限是某 一位上的半个单位,且该位到x*的第一位非零数 字一共有 n 位 , 于是近似值 x* 有 n 位有效数字 , 或 者说x*精确到该位。
34
�
例2 计算积分
En = ∫ x n e x −1dx, n = 1, 2, ⋅⋅⋅,9
0 1
利用分部积分法可得
En = x e
从而有递推公式
n x −1 1 0
− n ∫ x n −1e x −1dx
0
1
⎧ En = 1 − nEn −1 n = 2,3, ⋅⋅⋅,9 ⎨ ⎩ E1 = 1/ e
33
结果x1很好,而x2很不理想。这说明直接用上 述公式计算第二个根是不稳定的。但是若用根与系 数的关系,因为 x1x2=-q=1 则 x2=1/x1 (**) 因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (**) 计算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。 说明后一种算法有较好的数值稳定性。
20
x g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2 2 查表sin1°≈ 0.0175,故
乙用另法计算:由于
g(2°)=2×107 (sin1°)2 ≈ 2×107(0.0175)2 ≈6125
21
甲、乙都用一本数学手册 , 表的每一个数 都准确到小数后第四位 , 答案为什么不一致 ? 谁 的答案较正确呢 ? 下面我们来分析甲、乙算题 时各自的相对误差:记 t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2), 三角函数表给出了四位数字 , 它准确到小 数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的, 1 −4 即有 A − A * ≤ 10
26
逆定理
�
定理2: 若x*的相对误差限
ε ≤
* r
1 2(a1 + 1)
× 10 −( n −1)
则x*有n位有效数字
定理说明，有效位数越多，相对误差限越小。
27
3 数值运算(函数)的误差估计 1. 1.3
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式
f ( x) − f ( x*) = f ′( x*)( x − x*) +
�
传话游戏 “差之毫厘，失之千里” 蝴蝶效应
11
�
�
树立正确的误差观念
�
误差是不可避免的 尽量减小误差
�
12
1.2 误差的基本概念
�
绝对误差和绝对误差限：
定义：假设某一量的准确值为x,近似值为x* ,则x*与x *(x)或e(x *)。 之差为绝对误差(简称误差),记为 e e* (x* *=x *-x 即e e* =x* (1 ―1) (1― ｜e*(x)｜的大小标志着x的精确度。
40
1.5 数值运算中误差分析的若干原则
�
一个工程技术问题的解决往往要经过若 干次运算，若每一步都要分析误差的话 那当然是最好的，但这是不可能的。为 鉴别计算结果的可靠性，我们提出若干 原则。
41
* * 维持算法稳定5大原则* *
� � � � �
要使用稳定的计算公式。 要避免两相近数相减。 防止大数“吃掉”小数 绝对值较小的数不宜做分母。 注意简化计算步骤，减少运算次数。
24
四舍五入原则
舍入后使绝对误差限不超过其末位的 半个单位。 � 若需舍入的部分恰为末位的半个单位 时，要使末位凑成偶数。
�
Eg: 0.7135≈0.714 0.7265 ≈0.726 0.73251≈0.733
25
有效数字与相对误差限的关系
�
定理1: 若x*有n位有效数字，则其相对误差限为 1 * − ( n −1) εr ≤ × 10 2 a1 其中a 为 x*的第1个有效数字。
16
�
定义： 我们把绝对误差与准确值之比
* * e ( x ) x −x * er ( x) = = ,x ≠ 0 x x
(1―4)
称为x* 的相对误差。由于准确值 x 往往是不知 道的,因此在实际问题中,常取
e ( x) er ( x) = * x
*
*
17
� 由式(1 ―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反 (1―
(**)
35
表 1―1
36
误差在计算中对以后各项的影响如下: E2=1-2(E1+ε)=(1-2E1-2ε) =1-2E1-2!ε E3=1-3(1-2E1-2!ε) =1-3(1-2E1)+3!ε E4=1-4［1-3(1-2E1)+3!ε］ =1-4［1-3(1-2E1)］-4! …
37
3
�
在数学模型中,常常包含了若干参变量,如 比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通 过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确, 因而就产生了误差。这种误差通常称为“观测 误差”。
4
例 设某金属棒在温度 t 时的长度为 lt(0 ℃时金属 棒的长度为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为 α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6 于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β 而产生的误差,因此为观测误差。
这样,计算E9时所产生的误差约为 9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601 如果采用新的算法,把上述递推关系改写成
1 − En En −1 = , n
n = ⋅⋅⋅,3, 2
(1―25)
从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。 所以,若取n足够大,误差逐步减小 , 其影响愈来愈 小。为了得到出发值,可考虑关系
5
�
在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的 前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后 段。这样得到的误差称为“截断误差”。
6
�
由于计算机在计算过程中并非是精确运 算，它也是只对有限位数进行运算，对于超过 位数的数字便自动施行四舍五入，这样在计算 过程中产生的误差，被称为“舍入误差”。
7
误差分类
模型误差： � 观测误差： � 截断误差： � 舍入误差：
En = ∫ x e dx ≤ ∫ x n dx
0 0 1
n x −1
1
= 1/( n + 1)
38
表 1―2
39
例如,在计算机程序中,下面两个语句在语法上均是 正确的。 (1) IfA=0ThenGotoBElseGotoC (2) If｜A｜≤10-12 Then Goto Belse Goto C 如果单元A中的结果是由前面的运算结果得 到的 , 按准确的结果 A=0, 而由于误差的影响 , 实际 上A≠0。因此,按语句(1)原来要求执行B,但却选择 了C,而按语句(2)就不会出问题。
f ′′(ξ ) 2 ( x − x *) , 2
ξ在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ε ( f ( x*)) ≈| f ′( x*) | ε ( x*).
28
* * 多元函数f ( x1 ,⋯, xn )，x1 ,⋯, xn 为准确值x1 ,⋯, xn的近似值, * * 同理得f ( x1 , ⋯ , xn )的误差限
42
�
改善算法的例子
例1 对于充分大的x计算 x + 1 − x 由于当x很大时, x + 1 与 x 很 接近 , 直接计算会造成有效数字的严重损 失,可将原式化为一个等价的公式来计算, 也即 1
表示 近似值的精度或准确值的所在范围 。
14
�
在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。 例如：测得某一物件的长度为 5m, 其误差限为 0.01m,通常将准确长度s记为 ±0.01 s=5 s=5±
�
即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
15
�
相对误差和相对误差限
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。 例如：设 ±1 x1=100 =100± ±1 x2=1000 =1000± 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝 对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差 为1比较,后者应比前者精确。
er * =
e* ( x) x
*
ε* ≤ * = ε r* x
―6) (1 (1―
�
称εr*为近似值x*的相对误差限。
19
例1 ：给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°) 的近似值。 解 甲用下列步骤解题:由于 cos2°≈0.9994,故 g(2°)=107(1-cos2°) ≈ 107(1-0.9994) =6000
之,绝对误差也可由相对误差求出。 er* (x) 其关系是e*(x)=x (x)=xe
�
(1 ―5) (1―
在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中 相对误差比绝对误差显得更为重要。
18
�
*)与x都不能准确地求得, 在实际计算中,由于e(x (x* *) 也不可能准确地得到, 于是 因此相对误差er(x (x* 也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即 指定一个适当小的正数εr* ,使
2 1 B − B * ≤ 10−4 2
22
� 有效数字
对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为此, 再引进有效数字的概念。 定义:将近似数x写成 ±10m(α1×10-1+α2×10-2+ α3×10-3+…+αn×10-n) (1 ―7) x= x=± (1―
23
若其绝对误差限满足 1 x − x ≤ ×10源自文库 −n 2