1误差
数值分析1-3误差定性分析和与避免误差危害
定性等。误差处理对于确保结构分析的准确性和安全性至关重要。
02 03
流体动力学分析
在流体动力学分析中，数值分析用于求解流体流动和传热问题，如飞机、 汽车的气动性能等。误差处理对于确保流体动力学分析的准确性和可靠 性至关重要。
控制系统设计
在控制系统设计中，数值分析用于求解控制系统的数学模型，如飞机的 自动驾驶系统、工厂的自动化控制系统等。误差处理对于确保控制系统 设计的准确性和稳定性至关重要。
01
02
03
适应性选择
根据问题的性质和精度要 求，选择适合的数值方法 和算法。
对比分析
对不同的算法和数值方法 进行对比分析，选择误差 较小、精度较高的方法。
验证与测试
对所选择的算法和数值方 法进行验证和测试，确保 其在实际应用中的准确性。
增加计算精度和减少舍入误差
高精度计算
采用高精度计算方法，如使用高精度数学库或软件， 以提高计算精度。
数值分析1-3误差定性分析和与避 免误差危害
contents
目录
• 引言 • 误差定性分析 • 避免误差危害的方法 • 实际应用中的误差处理 • 结论
01 引言
误差的来源
测量误差
由于测量工具或方法的限制，导致测量结果与真 实值之间的差异。
近似误差
在数值计算过程中，为了简化计算而采取的近似 方法引入的误差。
可靠性下降
02
误差的存在降低了结果的可靠性，可能导致错误的决策或结论。
稳定性破坏
03
对于某些数值方法，误差的累积可能导致数值不稳定，影响计
算的可靠性。
02 误差定性分析
绝对误差和相对误差
绝对误差
表示测量值与真实值之间的差值，不 依赖于参考点。
模糊控制规则表49条
模糊控制规则表49条1.如果误差小于等于0，则输出为0。
2. 如果误差大于0且小于等于0.5，则输出为0.5-误差。
3. 如果误差大于0.5且小于等于1，则输出为1-误差。
4. 如果误差大于1，则输出为1。
5. 如果误差为0且变化率小于等于0，则输出为0。
6. 如果误差为0且变化率大于0，则输出为0.5。
7. 如果误差小于等于0且变化率小于等于0，则输出为0。
8. 如果误差小于等于0且变化率大于0，则输出为0.5。
9. 如果误差大于0且小于等于0.2且变化率小于等于0，则输出为0.2-误差。
10. 如果误差大于0且小于等于0.2且变化率大于0，则输出为0.6-误差。
11. 如果误差大于0.2且小于等于0.4且变化率小于等于0，则输出为0.4-误差。
12. 如果误差大于0.2且小于等于0.4且变化率大于0，则输出为0.8-误差。
13. 如果误差大于0.4且小于等于0.6且变化率小于等于0，则输出为0.6-误差。
14. 如果误差大于0.4且小于等于0.6且变化率大于0，则输出为1-误差。
15. 如果误差大于0.6且小于等于0.8且变化率小于等于0，则16. 如果误差大于0.6且小于等于0.8且变化率大于0，则输出为1-误差。
17. 如果误差大于0.8且小于等于1且变化率小于等于0，则输出为1-误差。
18. 如果误差大于0.8且小于等于1且变化率大于0，则输出为1。
19. 如果误差小于等于0.1且变化率小于等于0，则输出为0。
20. 如果误差小于等于0.1且变化率大于0，则输出为0.4。
21. 如果误差大于0.1且小于等于0.3且变化率小于等于0，则输出为0.2-误差。
22. 如果误差大于0.1且小于等于0.3且变化率大于0，则输出为0.6-误差。
23. 如果误差大于0.3且小于等于0.5且变化率小于等于0，则输出为0.4-误差。
24. 如果误差大于0.3且小于等于0.5且变化率大于0，则输出为0.8-误差。
1-2数值计算的误差
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
水准仪的i角误差
水准仪的i角误差水准仪是一种用于测量地面高程差异的仪器，它在现代工程测量中起着非常重要的作用。
在进行测量时，我们需要考虑到水准仪的i 角误差，以保证测量结果的准确性。
本文将就水准仪的i角误差进行详细介绍和说明。
i角误差，又称为视轴倾角误差，是指由于水准仪视轴与竖直线之间存在一定的倾斜角度而引起的测量偏差。
在实际测量中，视轴倾角误差是无法完全避免的，但我们可以通过一些方法来减小其影响，从而提高测量的精确度。
首先，要准确计算i角误差，在使用水准仪进行测量之前，我们需要进行专门的校准。
校准的目的是通过比较水准仪的测量结果与已知点的高程数据来确定i角误差的大小，并进行相应的修正。
通常情况下，校准可以通过在稳定的基准面上进行，利用已知的高程点来进行对比测量，并进行误差分析和修正。
其次，要合理选择测量点位。
在进行实地测量时，我们应尽量选择平坦的地面进行测量，避免选择具有较大坡度或不平整的地形。
这是因为在坡度较大的地面上，水准仪的视轴与竖直线之间的夹角会变大，从而增大i角误差。
因此，选择适合测量的地点对减小i角误差至关重要。
此外，还可以采用合适的测量方法来降低i角误差。
例如，我们可以采用三丈法进行测量，即在测量前后分别移动三个测量标尺，以消除i角误差的累积影响。
同时，还可以通过增加观测点的数量，采用多次观测的方式来提高测量的精度，从而减小i角误差对测量结果的影响。
总之，水准仪的i角误差在测量中是无法完全避免的，但我们可以通过准确校准、合理选择测量点位和采用合适的测量方法等方式来降低其影响。
这些措施可以有效提高水准测量的准确性和可靠性。
通过了解和掌握水准仪的i角误差及其相应的修正方法，我们能够更好地应用水准仪进行工程测量，为工程建设提供精确的高程数据，从而保障工程的质量和安全。
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
6.分析化学基础1——误差
两组数据的 用
d为 d 1 = d 2 =
0.24
d
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S1
d
(0.3) (0.2) (0.3) 0.28 n 1 10 1
2 i 2 2 2
S2
d
(0.0) (0.1) (0.1) 0.33 n 1 10 1
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标准偏差可以更好地将较大的偏差和测定次 数对精密度的影响反映出来，即用 S 比用 d 好， 如有两组数据：
+0.3，-0.2，-0.4，+0.2，+0.1，+0.4，0.0，-0.3，+0.2，-0.3； 0.0，+0.1，-0.7，+0.2，-0.1，-0.2，+0.5，-0.2，+0.3，+0.1；
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6.2 定量分析中的误差
测定数据与真实值并不一致，这种在数值 上的差别就是误差。 分析过程中的误差是客观存在的。 误差可控制得越来越小，但不能使误差降 低为零。 误差：测定值与真实值之差。
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例 FeSO4· 2O，测Fe2+理论值： 7H Fe Fe2+ %= —————×100% FeSO4· 2O 7H =20.15% 用分析手段测Fe2+：结果 19.98%， 对 20.85%， 对
表示。
(x
i 1
n
i
)
2
n
( n ) ：称为总体平均值
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误差的定义及分类
一、测量误差：测量结果减被测量的真值（测量的期望值）之差。
1）即：测量误差=测量结果-真值；对测量仪器：示值误差=仪器示值-标准示值。
2）测量误差通常通常可用示值的绝对误差、相对误差及引用误差（折合误差）来表示。
3）按照测量误差的基本性质不同，可将误差分为三大类：系统误差、随机误差和疏失误差。
二、约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。
实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。
一般由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该特定量的值。
三、标称范围：标称范围是指测量仪器的操纵器件调到特定位置时可得到的示值范围（定值）。
四、精度等级：在正常的使用条件下,仪表测量结果的准确程度叫仪表的准确度。
1）引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围以减小测量误差，精度等级是以它的允许误差占表盘刻度值的百分数来划分的,其精度等级数越大允许误差占表盘刻度极限值越大。
量程越大,同样精度等级的,它测得压力值的绝对值允许误差越大。
2）在工业测量中，为了便于表示仪表的质量,通常用准确度等级来表示仪表的准确程度.准确度等级就是最大引用误差去掉正,负号及百分号.准确度等级是衡量仪表质量优劣的重要指标之一。
3）我国工业仪表等级分为0.1,0.2,0.5,1.0,1.6,2.5,5.0七个等级，并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。
绝对误差:测量结果与被测量［约定］真值(标准表读数)之差。
1）公式：△：绝对误差，L：测量值，A：真值（标准表读数）△= L- A2）绝对误差的缺点：并不能完全表示近似值的好坏程度，例如：x=10±1，y=1000±5，哪一个精度高呢？看上去x的绝对误差限比y的绝对误差限小，似乎x的精度高，其实不然。
四、相对误差:测量的绝对误差与被测量［约定］真值（标准表读数）之比的百分数所得的数值，以百分数表示。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
1.误差与偏差
T 2 2
1
cost
T 2 T 2 2
2
1
sin
t
这里, ess () 0, 应当注意正弦函数在虚 轴上不解析 ,所以此时
不能采用终值定理来计 算稳态误差值 , 否则得出
e ss
()
lim
s0
sE ( s)
lim
s0
(s
1
s 2
T ) (s2
2
)
0
的错误结论 .
3．静态误差系数
已知
1
ess
lim sE(s)
10
K limG (s) lim
p
s0
K
s0 s(s 1)
10s
K lim sG (s) lim
10
v
s0
K
s0 s(s 1)
K lim s 2G (s) lim 10s 2 0
s0
K
s0 s(s 1)
（2）当输入 r(t) ＝ 5t 时，稳态误差为
e 5 5 0.5 K ss 10
的作用，称为全补偿。
式(3)称为按给定作用实现完全不变性的条件。
同理，可以求出按扰动作用实现完全不变性的条件。
如右图所示，扰动误差为
G3 (s)
.N (s)
R(s) 0
E(s) C(s)
1 G1(s)G3(s)G2 (s) N (s)
K v
lim
s0
sGK
(s)
lim
s0
sv
i1 nv
(Tjs 1)
0
j 1
故
e ss
1 Kv
1 0
同理，
v 时1，
Kv K,
1定量分析的误差和数据处理
例：滴定分析中称样质量的控制
万分之一分析天平的精度？ 0.1 mg
称取一份试样的绝对误差？ 0.2 mg
计算称样质量分别为20.0和200.0 mg时相对误差。
相对误差 RE
由于真值T永不能准确得知，实际工作中常用所谓标准值代替( )：标准值系 由经验丰富的多名分析人员，在不同实验室采用多种可靠方法对试样反复分 析，并对全部个别测定结果进行统计处理后得出的较准确的结果。纯物质中 元素的理论含量也可作真值使用。
E T
(1.2)
误差E越小，表示测定结果越接近真值，准确度越高；反之，误 差E越大，准确度越低。误差有正负之分，正误差表示测定结果偏 高，负误差表示测定结果偏低。
1.3 随机误差分布规律和有限数据的统计处理
• 1.3.1随机误差的分布规律
随机误差产生的具体原因很难找出，对个别一 次测定，随机误差或正或负，或大或小，纯属 偶然；当对同一试样进行无限多次平行测定时， 各次结果的随机误差分布遵从正态分布规律： (1)由于随机误差的影响，测定值大小不一，有 离散趋势，但绝对值相等的正、负随机误差出 现的机会相等； (2)小误差出现的机会多，大误差出现的机会少， 特大误差出现的机会极少，即测定值又有集中 趋势。 由此可知，无限次平行测定各结果随机误差的 代数和趋于0，即：不存在系统误差的条件下， 无限次平行测定结果的平均值(总体平均值 ) 趋于真值。
Ⅰ定量分析的误差和数据处理
• • • • • • 1.1 准确度和精密度 1.2 误差的来源和分类 1.3 随机误差分布规律和有限数据的统计处理 1.4 系统误差的检验 1.5 提高测定准确度的措施 1.6 有效数字及运算规则
1. 误差理论基础
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
1测量误差和仪表的质量指标
第一章：测量误差和仪表的质量指标第一节：测量及测量误差一、测量所谓测量，就是为确定被测量的量值而进行的一系列工作。
一般来讲，为了得到一个被测量的量值，必需用同性质的尺度量与被测量进行比较，以确定被测量是尺度量的多少倍。
这里，尺度量即为该物理量的单元，且此单元为国家法定计量单元。
当进行测量时，首先要确定测量单元，其次要选用适当的测量方法和测量仪表，最后还应估计测量成果的误差。
二、测量误差测量误差是指由测量所得被测量的量值与被测量的真值之间的误差。
它反映了测量质量得好坏。
一个测量成果，只有知道它得测量误差的大小或能指明误差范围时，这种成果才有意义。
为了得到误差的大小，首先必需确定真值。
〔一〕、真值在所有的测量中，无论时直接测量和间接测量，最底子的目的都是为了求得某一物理量得真值。
但严格地讲，任何物理量得真值是无法测定的，我们能得到的只是被测物理量的近似值。
所谓真值，就是一个量在被不雅测时，该量本身所具有的真实大小。
这是一个抱负的概念，之所以真值无法测定，是因为测量时提供的条件、测量人员的本质、测量方法和测量器具等总不克不及完全抱负的缘故。
为了使“真值〞这个抱负的概念用于实际的测量工作中，引入“约定真值〞的概念。
它是为实际使用的目的所采用接近真值因而可以代替真值的值。
约定真值与真值之差可以认为忽略不计。
具体地说，工程上是上一级尺度仪器的量值〔或精确度等级较高的仪表的指示值〕加上修正值作为约定真值来检定精确度等级较低的仪表的。
〔二〕平均值为了使真值变为实现测量的可能，在科学尝试中，常把不雅测次数为无限多时，在无系统误差的情况下，求得得平均值作为真值。
而我们的不雅测次数都是有限的，故用有限的次数求得的平均值，只能是近似真值。
常用的几种平均值分述如下：1、算术平均值一个量的n个测得值得代数和除以n而得的商叫算术平均值。
可用下式暗示：X0=(X1+X2+…………+Xn)／n2、均方根平均值均方根平均值δ可用下式暗示：δ=√〔X12+X22+……+X n2〕/n三、误差分类测量误差按其性质和特点可分为系统误差、随机误差和疏忽误差。
实验数据误差接近1
实验数据误差接近1以实验数据误差接近1为标题，写一篇文章。
实验是科学研究中重要的一环，通过实验可以验证理论，获取数据，并进行分析和解释。
然而，在实验过程中，我们常常会遇到数据误差的问题。
数据误差是指实际测量结果与真实值之间的差异，它可能来自于多种因素，如仪器的精度、环境的影响、操作人员的技术水平等。
本文将围绕实验数据误差接近1的问题展开讨论。
实验数据误差接近1意味着测量结果与真实值之间的差异较大。
这种情况下，我们需要对实验数据进行分析，找出可能的误差来源，并采取相应的措施进行修正。
首先，我们可以检查仪器的精度。
如果仪器的精度不高，那么测量结果就会存在较大的误差。
在这种情况下，我们可以考虑更换更精确的仪器，或者进行仪器校准来提高测量的准确性。
环境的影响也是导致实验数据误差接近1的一个可能原因。
环境因素包括温度、湿度、气压等，它们可能会对实验产生一定的影响。
在进行实验时，我们应尽量控制环境因素，以减小误差的影响。
例如，可以在恒温箱中进行实验，以保持恒定的温度。
另外，还可以使用防护设备来减小环境因素对实验的干扰，如使用遮光罩来减小光线对实验的影响。
操作人员的技术水平也是导致实验数据误差接近1的一个重要因素。
操作人员应具备良好的实验技术，熟练掌握实验操作步骤，准确操作仪器，并遵守实验室安全规范。
在实验前，操作人员应接受相关培训，并进行实验前的准备工作，如检查仪器的状态、准备实验所需的材料等。
此外，操作人员还应保持良好的实验态度，严格按照实验方案进行操作，避免随意更改实验条件，以减小误差的发生。
除了以上因素外，实验数据误差接近1还可能来自于其他未知的因素。
在这种情况下，我们可以采取多次重复实验的方法，以取得更多的数据，然后进行数据分析。
通过多次重复实验，可以减小随机误差的影响，提高数据的可靠性和精确性。
同时，还可以通过统计学方法对实验数据进行处理，如计算平均值、标准差等，以评估数据的准确性和稳定性。
实验数据误差接近1是实验中常见的问题，它可能源于仪器的精度、环境的影响、操作人员的技术水平等多种因素。
第一章误差
数的相对误差。
r* 0 , 使 如果 存在
er ( x)
* r
r* 为近似数 成立，则称正数
x 的相对误
*
差限，常用百分数表示。
例如 比较两个近似数：
x1 100 2
（4）舍入误差：由于计算机计算字长限制，自动
进行四舍五入而产生的误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
、
避免两接近的近似数相减！
e xy x y max e x , e y , er xy er x er y ;
x y e x x e y e , 2 y y
k sk ak x0 , k 0,1, , n 解、算法一： n P k 0 sk
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2, , 2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法 例2：计算积分
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
练习:
若 x 3.14159265 ，分别判断下列近似
数有几位有效数值 。
1、x1 3.1382673
三位有效数值
三位有效数值
2、x2 3.1410673
i角误差名词解释
i角误差名词解释
i角误差是一种以角度计量的量度误差，是指在实际应用中测量结果与实际值之间的误差。
它与圆周率等相似，有时也被称为容许角误差。
它是为了弥补无法精确测量的角度，因为有时太复杂而不可能精确测量。
i角误差的单位通常以角秒为单位，也就是说，误差单位代表1/3600度。
i角误差对于准确测量和测量重复性至关重要。
通常情况下，测量设备往往会存在误差，那么测量精度就会受到影响。
精确度的提高可以有效减少误差，从而保证测量的准确性。
实际上，i角误差的测量可以有多种形式，比如机械测量设备、光学测量仪、电子计算机系统等。
由于技术的发展，机械测量的精度和准确度也在不断提高，从而使它们能够提供更准确的测量结果。
而光学测量仪则是一种更先进的测量仪，它能够通过像素图来进行测量。
它不仅可以检测出物体的轮廓，而且还能进行精确的定位和精度测量，因此现在被广泛应用于机械设备的测量上。
i角误差也会受到温度的影响，因为随着温度的升高，物体的形状和尺寸也会发生变化，而这就会影响测量结果。
当温度发生变化，测量设备也需要进行相应的调整，以保证测量结果的准确。
总之，i角误差是一种以角度计量的量度误差，由于技术的进步及现代测量仪器和设备的不断改进，使得i角误差得到了一定程度的消除。
这样，在实际应用中就能够提供更准确的测量结果，从而提高工作效率，可以为现代电子设备的设计和制造提供帮助。
计算方法1_误差
∆(x 3 ) = 3.1416 − π = 0.000007 ⋅ ⋅ ⋅ < 0.000008
所以误差限 ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008 ， ，
有效数字
[Def1.3]若用x的近似值x*的误差限是某一位上的半 若用x的近似值x 的误差限是某一位上的半 若用 个单位，该位到x 的第一位非零数字共有 的第一位非零数字共有n 个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称 x*有n位有效数字 有 若用x*表示x的近似值，并将x*表示成 表示x 若用x 表示 的近似值，并将x 表示成 x*＝±0.a1a2…an×10m ＝ a 若 |x*－x|≤0.5×10m－n x－ 则近似值x 有 则近似值x*有n位有效数字 (1.1)
b
5
2
5 100
I n −1
1 1 是稳定的。 = ( − I n )是稳定的。 5 n
1.5 在近似计算中需要注意的问题
1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 尽量简化计算步骤 例如， 例如，计算多项式 p n ( x ) = a 0 + a 1 x + ...... + a n x n 通常运算的乘法次数为 n(n + 1) 1 + 2 + ...... + n = 若采用递推算法, 若采用递推算法, 2
n
* * er(x1 + x 2 )
(1.5) (1.6)
(1 . 7 )
在式 (1.6)中，分别取 f(x1, x2) = x1 + x2 , x1x2 , x1 / x2可得
≤
max e r ( x i* ) ( x 1 , x 2同号 ) 1 ≤ i≤ 2
1实验数据的误差分析与处理
实验数据的误差分析与处理在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。
在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。
因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。
1.1 测量误差的表示方法由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。
1.1.1 绝对误差绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。
假设被测量的真值为A o,测量仪器的示值为X,则绝对误差为△X= X- Ao (1.1.1 )在某一时间及空间条件下, 被测量的真值虽然是客观存在的, 但一般无法测得，只能尽量逼近它。
故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao,为区别起见，将A称为被测量的实际值，则△X= X- A (1.1.2 )在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即C = —△ X= A- X (1.1.3 )利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A,即A = X + C例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V ，通过鉴定得出该电压表修正值为—0.01V ，则被测电压的真值为A = 1.1 +(— 0.01 )= 1.09V修正值给出的方式可以是曲线、 公式或数表。
对于自动测验仪器，修正值则 预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是 实际值。
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之,绝对误差也可由相对误差求出。 er* (x) 其关系是e*(x)=x (x)=xe
�
(1 ―5) (1―
在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中 相对误差比绝对误差显得更为重要。
18
�
*)与x都不能准确地求得, 在实际计算中,由于e(x (x* *) 也不可能准确地得到, 于是 因此相对误差er(x (x* 也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即 指定一个适当小的正数εr* ,使
er * =
e* ( x) x
*
ε* ≤ * = ε r* x
―6) (1 (1―
�
称εr*为近似值x*的相对误差限。
19
例1 ：给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°) 的近似值。 解 甲用下列步骤解题:由于 cos2°≈0.9994,故 g(2°)=107(1-cos2°) ≈ 107(1-0.9994) =6000
2 1 B − B * ≤ 10−4 2
22
� 有效数字
对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为此, 再引进有效数字的概念。 定义:将近似数x写成 ±10m(α1×10-1+α2×10-2+ α3×10-3+…+αn×10-n) (1 ―7) x= x=± (1―
23
若其绝对误差限满足 1 x − x ≤ ×10m −n 2
�
8
�
从实际工程出发，一直到算出问题结果，其 中每个过程都会产生误差，用计算机解决科 学计算问题所经历的主要过程：
9
研究范围
�
由于模型误差和观测误差人为减小的可能 性不大，所以我们仅研究截断误差和舍入 误差，以及误差的传播积累和误差的估计 问题。 以下举例说明误差分析的重要性。
�
10
舍入误差常被人忽视，导致荒谬结论 举例：
24
四舍五入原则
舍入后使绝对误差限不超过其末位的 半个单位。 � 若需舍入的部分恰为末位的半个单位 时，要使末位凑成偶数。
�
Eg: 0.7135≈0.714 0.7265 ≈0.726 0.73251≈0.733
25
有效数字与相对误差限的关系
�
定理1: 若x*有n位有效数字，则其相对误差限为 1 * − ( n −1) εr ≤ × 10 2 a1 其中a 为 x*的第1个有效数字。
表示 近似值的精度或准确值的所在范围 。
14
�
在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。 例如：测得某一物件的长度为 5m, 其误差限为 0.01m,通常将准确长度s记为 ±0.01 s=5 s=5±
�
即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
15
�
相对误差和相对误差限
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。 例如：设 ±1 x1=100 =100± ±1 x2=1000 =1000± 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝 对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差 为1比较,后者应比前者精确。
第一章 误 差
石家庄经济学院信息工程学院 马丽 malimail@
1
内容提要：
1. 2. 3. 4. 5.
误差的来源与分类 误差的基本概念 函数的误差估计 算法的数值稳定性 减小误差，维持算法稳定的五大原则
2
1.1 误差的来源与分类
�
用数值计算方法解决科学技术中的实际问题, 必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感 性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的 情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题, 其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。 这种误差称之为“模型误差”。
26
逆定理
�
定理2: 若x*的相对误差限
ε ≤
* r
1 2(a1 + 1)
× 10 −( n −1)
则x*有n位有效数字
定理说明，有效位数越多，相对误差限越小。
27
3 数值运算(函数)的误差估计 1. 1.3
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式
f ( x) − f ( x*) = f ′( x*)( x − x*) +
3
�
在数学模型中,常常包含了若干参变量,如 比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通 过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确, 因而就产生了误差。这种误差通常称为“观测 误差”。
4
例 设某金属棒在温度 t 时的长度为 lt(0 ℃时金属 棒的长度为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为 α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6 于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β 而产生的误差,因此为观测误差。
40
1.5 数值运算中误差分析的若干原则
�
一个工程技术问题的解决往往要经过若 干次运算，若每一步都要分析误差的话 那当然是最好的，但这是不可能的。为 鉴别计算结果的可靠性，我们提出若干 原则。
41
* * 维持算法稳定5大原则* *
� � � � �
要使用稳定的计算公式。 要避免两相近数相减。 防止大数“吃掉”小数 绝对值较小的数不宜做分母。 注意简化计算步骤，减少运算次数。
(**)
35
表 1―1
36
误差在计算中对以后各项的影响如下: E2=1-2(E1+ε)=(1-2E1-2ε) =1-2E1-2!ε E3=1-3(1-2E1-2!ε) =1-3(1-2E1)+3!ε E4=1-4［1-3(1-2E1)+3!ε］ =1-4［1-3(1-2E1)］-4! …
37
33
结果x1很好,而x2很不理想。这说明直接用上 述公式计算第二个根是不稳定的。但是若用根与系 数的关系,因为 x1x2=-q=1 则 x2=1/x1 (**) 因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (**) 计算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。 说明后一种算法有较好的数值稳定性。
20
x g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2 2 查表sin1°≈ 0.0175,故
乙用另法计算:由于
g(2°)=2×107 (sin1°)2 ≈ 2×107(0.0175)2 ≈6125
21
甲、乙都用一本数学手册 , 表的每一个数 都准确到小数后第四位 , 答案为什么不一致 ? 谁 的答案较正确呢 ? 下面我们来分析甲、乙算题 时各自的相对误差:记 t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2), 三角函数表给出了四位数字 , 它准确到小 数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的, 1 −4 即有 A − A * ≤ 10
34
�
例2 计算积分
En = ∫ x n e x −1dx, n = 1, 2, ⋅⋅⋅,9
0 1
利用分部积分法可得
En = x e
从而有递推公式
n x −1 1 0
− n ∫ x n −1e x −1dx
0
1
⎧ En = 1 − nEn −1 n = 2,3, ⋅⋅⋅,9 ⎨ ⎩ E1 = 1/ e
一般在同一量的不同近似值中,｜e*(x)｜越小, x的精度越高。
13
�
由于准确值x一般不能得到 ,于是误差 e*(x)的 准确值也无法求得 , 但在实际测量或计算时 , 可根 据具体情况事先估计出它的大小范围。也就是指 定一个适当小的正数ε*, 使得 e*(x)|=｜x*-x｜≤ ε* ||e *± ε* 有时也用 x=x x=x* ―2) (1 (1― ―3) (1 (1― 我们称 ε*为近似值 x*的绝对误差限。
En = ∫ x e dx ≤ ∫ x n dx
0 0 1
n x −1
1
= 1/( n + 1)
38
表 1―2
39
例如,在计算机程序中,下面两个语句在语法上均是 正确的。 (1) IfA=0ThenGotoBElseGotoC (2) If｜A｜≤10-12 Then Goto Belse Goto C 如果单元A中的结果是由前面的运算结果得 到的 , 按准确的结果 A=0, 而由于误差的影响 , 实际 上A≠0。因此,按语句(1)原来要求执行B,但却选择 了C,而按语句(2)就不会出问题。
42
�
改善算法的例子
例1 对于充分大的x计算 x + 1 − x 由于当x很大时, x + 1 与 x 很 接近 , 直接计算会造成有效数字的严重损 失,可将原式化为一个等价的公式来计算, 也即 1
16
�
定义： 我们把绝对误差与准确值之比
* * e ( x ) x −x * er ( x) = = ,x ≠ 0 x x
(1―4)
称为x* 的相对误差。由于准确值 x 往往是不知 道的,因此在实际问题中,常取
e ( x) er ( x) = * x
*
*
17
� 由式(1 ―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反 (1―
30
31
1.4
�
算法的数值稳定性
算法稳定的若干原则 例1 一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 = − p + p + q x2 = − p − p 2 + q
32
2
当p=-0.5×105,q=-1时,方程的两个根取11位 有效数字为 x1=99999.999990 x2=0.000010000000001 而在字长为8,基底为10的计算机上直接用上 述公式计算的结果为 x1=100000.00 x2=0