考虑岩体扩容和塑性软化的软岩巷道变形解析

2009年2月 Rock and Soil Mechanics Feb. 2009收稿日期：2007-05-31第一作者简介：姚国圣，男，1979年生，博士研究生，主要从事地下软土工程、桩基础承载及变形特性的研究。

E-mail: ygs7993@文章编号：1000－7598 (2009) 02－0463－05考虑岩体扩容和塑性软化的软岩巷道变形解析姚国圣1, 2，李镜培1, 2，谷拴成3（1. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092； 2. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；3. 西安科技大学 建筑与土木工程学院，西安 710054）摘 要：考虑岩体的扩容和塑性软化特性，引进扩容梯度和软化模量的概念，推导出均匀介质中软岩巷道应力和变形的理论解答。

与其他理论模型进行比较，验证了理论模型的正确性。

通过算例分析了岩体的扩容梯度和软化模量对围岩塑性区、破裂区半径以及围岩变形和压力的影响。

分析结果表明，考虑岩体的扩容和塑性软化特性使得分析更加准确，研究成果对软岩巷道支护设计与施工具有一定指导意义。

关 键 词：软岩；扩容；塑性软化；变形；解析解 中图分类号：TD 322 文献标识码：AAnalytic solution to deformation of soft rock tunnel consideringdilatancy and plastic softening of rock massYAO Guo-sheng 1, 2, LI Jing-pei 1, 2, GU Shuan-cheng 3(1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China;2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;3. College of Architecture and Civil Engineering, Xi’an University of Science and Technology , Xi’an 710054, China)Abstract : By taking the dilatancy and plastic softening of rock mass into account and introducing the concept of the dilatancy gradient and softening modulus, the new analytic solution of the stress and deformation of the soft rock tunnel are educed. The rationality and feasibility of the presented model are verified with the results from other published theoretical models. The influences of the dilatancy gradient and softening modulus on the deformation and pressure of the surrounding rock are analyzed by a case study. The results show the analysis is more rigorous than before by considering the dilatancy and plastic softening of rock mass.The conclusion obtained has some significance in guiding the supporting design and construction of the soft rock tunnel. Key words : soft rock; dilatancy; plastic softening; deformation; analytic solution1 引 言对于软岩巷道变形破坏问题，仅靠一些经验方法是不能够完全解决的，必须做好理论基础的研 究。

以著名的Fenner 和Kastner 解答为代表的早期研究，将岩体视为金属那样的理想弹塑性材料，并假定体积应变为0，结果与实际不符。

艾里公式是基于理想脆塑性建立起来的，给出的解答明显偏 大。

近年来，国内袁文伯等[1]、马念杰等[2]给出了考虑应变软化的巷道变形压力的解答，但没有考虑岩体的扩容特性；付国彬[3]考虑岩体的应变软化和破裂膨胀特性，给出了巷道应力与变形的解析解，但对软化特性的考虑不够全面。

本文进一步分析岩体扩容和软化特性的影响，给出更为全面的软岩巷道应力及变形的解析解答。

2 理论分析2.1 力学模型巷道开挖后力学模型[1，3]如图1所示。

其中：①巷道处于静水应力场中，原岩应力为0p ；②取巷道断面为圆形，半径为0R ；③围岩岩体为均质、各向同性岩体；④支护体提供的是均匀径向支护阻力i p ；⑤巷道开挖后，周边围岩产生半径为b R 的塑性破坏区和p R 的塑性软化区。

2.2 岩体特性模型岩体的应力-应变关系以及31-εε曲线可用图2的3线段型模型来描述[4−6]，按轴对称平面应变问 题进行分析，其中，1ε、3ε为大、小主应变；p 1ε、p 3ε和b 1ε、b 3ε分别为塑性软化区和破坏区在局部坐标系中对应的应变量；12 k ηη、、为引进的软化系数和扩容系数，将在下文定义； r θσσ、分别与1σ、3σ对应； r θεε、分别与1ε、3ε对应。

图1 软岩巷道力学模型Fig.1 Mechanical model of the soft rock tunnel（a ）3线段型应变软化模型（b ）31-εε曲线图2 岩体特性模型Fig.2 Characteristics model of rock mass（1）极坐标系下基本方程 平衡方程为d 0d r r rr θσσσ−+= （1）几何方程为d d r u u r rθεε==， （2） 式中：u 为巷道围岩的径向位移。

（2）采用线性莫尔-库仑屈服准则[7]p c r K θσσσ=+ （3）式中：p (1sin )(1sin )K ϕϕ=+−；ϕ为岩体的内摩擦角；c σ为岩体的峰值强度。

在塑性软化区，有：p p p p c r K θσσσ=+ （4）式中：p p r θσσ、分别为塑性区围岩的切向应力、 径向应力；p (1sin )(1sin )K ϕϕ=+−，p c 2c σ=⋅ ，p c σ为取决于塑性区主应变增量p∆θε的岩体单向抗压强度；c 、ϕ为岩体塑性区的凝聚力和内摩擦角，p 0c c c M θε=−，p 0M ϕθϕϕε=−；c M M ϕ、分别为塑性软化区凝聚力软化模量和内摩擦角软化模量[8−9]，并有b e 0())c M c c θθεε∗=−−， b e 0()()M ϕθθϕϕεε∗=−−；0c 、0ϕ和∗c 、∗ϕ分别为岩体峰值区和残余的凝聚力和内摩擦角；e θε、p θε、b θε分别为弹性区、塑性软化区和破裂区切向应变。

根据本文选择的模型，令图2（a ）中30σ=，可得pp p e c c 0c ∆[()]c r R M M θθθσσεσεε==−=−− （5）为方便下文计算，令软化系数c k M =。

在围岩破坏区则，有：b b pc r K θσσσ∗=+ （6）式中：b b r θσσ、分别为破裂区围岩的切向、径向应力；c σ∗为岩体单向抗压残余强度。

（3）根据图2，考虑岩体体积扩容的流动法则，在塑性软化区为p p 10r θεηε∆+∆= （7）式中：p r ε∆、p θε∆分别为塑性软化区围岩的径向、切向应变增量；1η为考虑塑性区岩体扩容引进的参数，考虑岩石体积扩容时，11η>；否则，11η=，并有1p (1sin )(1sin )K ηϕϕ==+−。

在围岩破裂区为b b 20r θεηε∆+∆= （8）式中：b r ε∆、b θε∆分别为破裂区围岩的径向、切向应变增量；2η为考虑破裂区岩体扩容梯度引进的参数，考虑岩石扩容性时21η>，否则21η=。

根据扩p 0p 0p 0p第2期 姚国圣等：考虑岩体扩容和塑性软化的软岩巷道变形解析容梯度的定义得21ηφ=+，对Former 的试验资料[10]进行分析的结果，φ多介于0.30～0.50之间。

因此，一般可取2η=1.30～1.50。

3 巷道围岩弹塑性解析3.1 巷道围岩应力、位移的分析（1）弹性区围岩应力[1，3]p pe 220p p e 220p p [1()]()[1()]()r R R p R r R r p R r R r θσσσσ⎫=−+⎪⎬=+−⎪⎭（9）式中：pR σ为p r R =处的径向应力，p0(2R p σ=−c p )(1)K σ+。

弹性区径向位移为p220ppe(1)()R p R AR u Errνσ+−==（10）式中：E 为弹性模量；A 为参数，p(1)(R A υσ=+−0)p E ，υ为岩石泊松比。

在p r R =处，由式（2）及式（10）可得e e r A θεε=−= （11）（2）塑性软化区 该区内总应变可以写成：ppe p e p ()()r r r R r r R θθθεεεεεε===+=+， （12）由式（12）及式（7）、（2）可得软化区的位移协调方程为11d (1)d u uA r rηη+=− （13） 由边界条件pep r R u AR ==，得软化区位移场为11p p12111R u Ar r ηη+⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎢⎥=+−⎨⎬⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭（14） 将式（14）与式（1）联立得11p ppp c 1211rR kK A r ηθσσση+⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+−−⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎣⎦（15） 将式（15）与式（4）联立，利用边界条件ppe p ()()r r R r r R σσ===，得到塑性区的应力表达式：p 1p p c 0p p p p 111p c p1p 1p p (1)211(1)()211111r K K kA p K K K K R rkA R r ησσησηη−+⎡⎤+=++⋅⎢⎥+−−+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟++−−⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦（16）11p p p p c 1211r R kK A r ηθσσση+⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+−−⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎣⎦（17） （3）破裂区根据图2（b ），破裂区内总应变可以表示为bbp b p b ()()r r r R r r R θθθεεεεεε===+=+，（18）由式（18）、（8）和式（2）求解，过程同上，可以求得破裂区围岩径向位移为 1211p bb 12b 112111R R u Ar r R ηηηη++⎧⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎪⎪⎪=+−+⎢⎥⎨⎨⎬⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩ 1112(1)ηη⎫−⎬+⎭（19）由此，巷道周边位移0u 的解析计算公式为2111pb 00120b 112111R R u Ar r R ηηηη++⎧⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎪⎪⎪⎢⎥=+−+⎨⎨⎬⎜⎟⎜⎟++⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩ 1112(1)ηη⎫−⎬+⎭（20）由式（6）和式（1）求解，并利用边界条件bbp b r r ()()r R r R σσ===，得到破裂区的应力表达式为 p p p bc 0pp p p 111b 1c c c p p p 1p p (1)211(1)()2(1)()(1)()1rK K K kA p K K K K R kA r R K K R K σσηησσση−−∗∗⎧⎡⎤+⎪=++⋅⎢⎥⎨+−−+⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎛⎞⎫⎛⎞++−⎪−−⎜⎟⎜⎟⎬⎜⎟⎜⎟−+−⎪⎝⎠⎭⎝⎠（21）b b pc r K θσσσ∗=+ （22）3.2 巷道围岩破裂范围的确定（1）塑性区半径当围岩处于破裂状态时，根据式（17）、（22），由bbb p ()()r R r R θθσσ===，或令p bc c r R σσ∗==，，代入式（20）可得1111c cp b (1)()12R R kA ηησσ∗+⎡⎤+−=+⎢⎥⎣⎦（23）当围岩处于塑性自稳而即将产生破裂区的临界状态时，令式（23）中b 0R r =即可。