作业一传热与流体流动的数值方法

流动与传热的数值方法作业（一）

姓名：徐世杰 学号：120351

题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。

1

1

22[]0i i x x d T

T dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数， 1111

()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。 111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫

-∈⎪

⎪

-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪

=∈⎨

⎬-⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎩⎭其它

题目2：考虑

220

001

1

d T

T dx dT

x dx x T +=⎧

==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。

题目一

解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。Galerkin 方法是有限元方法。 可知有：

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1

22[]*()0i i x i x d T T l x dx dx +-+=⎰ ， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：

1

1

11

222222[]*()[]*()[]*()i i i i i i

x x

x i i i x x x d T d T d T T l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：

1

1

11

222112221

1

[]*()[]*[]*i i i i i i

x x

x i i i i i i i x x x x x x x d T d T d T T l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰ 由弱解变换可以得

1

11

111

1

1

1

1

22()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x x i i i x x x x x i

i x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dx

dx

dx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰

可以得

1

1

11

22()[]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰ ，i=2，…,n -1 上式继续推导有：

1

1

1111

2

211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x x i i i i x x x

i i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dx

x ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰

其中，

1

1

1

1

1

11

111

1111

1

11111()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i i

i x x i i i i

i i i i

x x x i i i i

i i i i i x x i i i i i i i i i x i i Tl x dx l x T l x T l x T l x dx l x l

x T l x l x T l x l x T dx l x l x T l x l x T l x l x T dx l x l x ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=

+++⎰⎰

⎰⎰

1

111()()()()]i i

x i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx +-++++⎰

化简可以得：

1

1

21111211[2]121[]*()636112211()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x

+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰

i=2，….,n -1

题目二

①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：

首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N 段，共N+1个节点，N 个控制容积，其中1x

N

∆=

。

对原方程建立差分方程，内部节点：

*

12011E p P W P P T T T T T T N N N N

----+= E w a a N == 1p E w a a a N =++ 12p a N N =+ *2

p b T N

=

p p E E W W a T a T a T b

=++

p i p i E i E i W

i W i a T a T a T b =++ *

1112(2)()i i i P N T N T T T N N

-++=++

边界节点

1x = 11N T +=

p p E E W W a T a T a T b

=++

E w a a N == 1

p E w a a a N

=++

12p a N N

=+

*11112N N N N N N P a T a T a T T N ++--=++ *

112(2)N N P N T N NT T N N -+=++

边界节点 0x =

0dT

dx

= (())0e P d dT T dx dx dx +=⎰ *1

(2)01

2P E P P T T T T N N

-+-= E a N = *1P b T N = 1

122P E a a N

N

N

=-=-

p p E E a T a T b =+ *11221P

a T a T T N =+ *

1211()2P N T NT T N N

-=+