作业一传热与流体流动的数值方法
传热与流体流动的数值计算-
当然,要在一本中等篇幅的书中完成这一雄心勃 当然, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容, 勃的任务而不摒弃许多重要的内容,这是不可能 的. 因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的 因此本书只能简单地讨论控制所述过程的方程的 数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 数学形式.读者若需要了解有关方程的完整推导, 就必须去查阅有关这一论题的许多标准教科 对于紊流, 书.对于紊流,燃烧以及辐射这样一类复杂过程 数学模型, 的数学模型,我们这里假设读者已经知道或是可 以查得的. 以查得的. 对于数值解的题目本身,我们也不打算在此评述 对于数值解的题目本身 数值解的题目本身, 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点 相反, 优点与缺点. 现有的所有方法并讨论它们的优点与缺点.相反, 我们将把注意力集中在作者已经使用, 我们将把注意力集中在作者已经使用,发展或有 过贡献的一套特定的方法. 过贡献的一套特定的方法.
数值方法概念: 数值方法概念:设想我们希望 求得图中所示域内的温度场. 求得图中所示域内的温度场.可 以认为只要知道域内各离散点上 的温度值就足够了. 的温度值就足够了. 一个可能的方法是想象一个充 满该域的网格, 满该域的网格,并寻求在网格点 上的温度值. 上的温度值. 于是我们就要构成并求解关于 这些未知温度值的代数方程 这些未知温度值的代数方程 代数方程代替微分方程所 组.用代数方程代替微分方程所 固有的简化使得数值方法强有力 并得以广泛应用. 并得以广泛应用.
具有模拟真实条件的能力 可以很容易地模拟真实条件. 可以很容易地模拟真实条件.不用要采用缩小的 模型,就一个计算机的程序而言, 模型,就一个计算机的程序而言,无论是具有很大 或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 或很小尺寸的物体,不论是处理很低或很高的温度, 也不论是控制有毒或易燃的物质, 也不论是控制有毒或易燃的物质,还是跟踪很快或 很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 很慢的过程,都几乎不会有任何困难. 具有模拟理想条件的能力 人们有时用预测的方法来研究一种基本的物理 现象,而不是一个复杂的工程问题. 现象,而不是一个复杂的工程问题.在研究某种现 象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参 象的时候,人们希望把注意力集中在几个基本的参 而要设法消除所有无关的因素 数上而要设法消除所有无关的因素. 数上而要设法消除所有无关的因素.因此人们希望 实现若干理想化的条件 例如:二维状态, 若干理想化的条件, 实现若干理想化的条件,例如:二维状态,常密度 一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 一个绝热的表面或是无限的反应速率等.在计算中, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 人们很容易而又准确地约定这样的一些条件.相反, 即便是很小心地安排的实验也很难近似做到这种理 想化的条件. 想化的条件.
传热流体数计算
1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为:q gradT λ=-⋅ (2-1)式中:q —热流密度，是向量，2/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（/()Kcal mh C o）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。
导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。
单位是：W/(m·K)。
3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为xT∂∂在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x Tx T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz xT∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz xT22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz yT22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T xT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。
流动与传热的数值计算
流动与传热的数值计算流动与传热是物理学中两个重要的概念，它们在我们日常生活中起着重要的作用。
流动是指物质在空间中的移动过程，而传热是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。
让我们来了解一下流动。
流动是一种常见的现象，它存在于我们生活的方方面面。
例如，当我们打开水龙头时，水就会从水源处流向下游。
这个过程中，水的分子不断地向前移动，形成了水的流动。
流动的速度可以用流速来表示，通常以米每秒（m/s）为单位。
流速的大小受到多种因素的影响，包括物质的性质、管道的直径和形状等。
在工程领域中，流动的研究对于设计和优化流体系统非常重要。
除了流动，传热也是一个重要的概念。
传热是热能从高温物体传递到低温物体的过程。
这个过程中，热能通过传导、对流和辐射三种方式进行传递。
传导是指热能通过物质的直接接触传递，例如当我们将一根金属棒的一端放在火上，另一端很快就会变热。
对流是指热能通过流体的运动传递，例如当我们在锅中煮水时，水底部受热后会上升，形成对流现象。
辐射是指热能通过电磁波的辐射传递，例如太阳的热能通过辐射传递到地球上。
在实际应用中，流动与传热经常同时发生。
例如，当我们使用空调时，空气通过空调设备进行流动，并且热能也通过传热的方式从室内传递到室外。
这个过程中，空气的流速和传热的效率对于空调的制冷效果起着重要的影响。
为了更好地理解流动与传热的数值计算，我们需要借助数学模型和计算方法。
例如，在流动中，我们可以使用流体力学方程来描述流体的运动规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测流速、压力分布等参数，从而优化流体系统的设计。
在传热中，我们可以使用热传导方程来描述热能的传递规律，并通过数值方法来求解这些方程。
这些数值计算可以帮助我们预测温度分布、热传导速率等参数，从而优化热传递设备的设计。
除了数值计算，实验方法也是研究流动与传热的重要手段之一。
通过实验，我们可以直接观察流动和传热现象，获取实际数据，并验证数值计算的准确性。
LBM相变传热与流体流动数值分析
LBM相变传热与流体流动数值分析LBM（Lattice Boltzmann Method，格子玻尔兹曼方法）是一种基于分子动力学理论的数值传热与流体流动分析方法。
它以离散网格模型来模拟流体的运动，并通过碰撞模型和分布函数演化来描述流体的宏观行为。
LBM方法具有数值计算速度快、易于并行计算和处理复杂边界条件等优点，因此在传热与流体流动领域得到了广泛应用。
LBM方法基于Boltzmann方程，该方程描述了流体微观粒子的状态演化和宏观流动行为。
在LBM中，流体的微观粒子状态由分布函数表示，该函数描述了在离散网格上各个速度方向上微观粒子的密度分布。
通过对分布函数的演化，可以模拟流体的宏观行为，如密度、速度和压力等。
LBM方法中的碰撞模型用来描述流体粒子之间的碰撞和能量交换，以达到宏观状态的平衡。
常用的碰撞模型有BGK（Bhatnagar-Gross-Krook）和MRT（Multi-Relaxation-Time）等。
在碰撞模型中，需要引入弛豫时间来控制粒子流动的弛豫过程，从而使流体在离散时间步长内逐渐收敛到平衡态。
LBM方法还需要考虑边界条件对流体流动的影响。
常用的边界条件有指定速度、指定压力和非滑移条件等。
对于不同的边界条件，需要采用相应的处理方法来模拟边界处的流体行为。
在LBM方法中，流体流动与热传递可以同时进行模拟。
对于热传递，可以通过引入温度场和能量守恒方程来描述。
通过调整碰撞模型和演化模型，可以模拟流体的温度变化和热传递过程。
LBM方法在传热与流体流动领域的应用十分广泛。
例如，可以用LBM方法来模拟微观流体的输运行为、多相流体的界面行为、流动中的热传递过程等。
同时，LBM方法还可以结合其他传热与流体流动分析方法，如有限元方法和有限差分方法等，来解决复杂的传热与流体流动问题。
总之，LBM方法是一种基于分子动力学理论的数值传热与流体流动分析方法。
它通过引入碰撞模型和分布函数演化来描述流体的宏观行为，具有计算速度快、易于处理复杂边界条件等优点，因此被广泛应用于传热与流体流动领域。
LBM相变传热与流体流动数值分析14
~ f1,5,8
xN ,t
f3,6,7
xN ,t t
~ f3,6,7
x0 ,t
14.1.2 对称边界处理格式
• 由于对称性问题，为了节省计算资源，可以取物理模型的 一半作为模拟的区域并在对称轴上采取对称边界处理
f2,5,6 (i,0) f4,8,7 (i,2)
14.1.3 充分发展边界处理格式
多相和多组分模型 （SC模型）
本章重点；边界条件处理
边界条件处理 如何进行LBM模拟
Bounda1r4y. LCBoMn边d界iti处on理s
Constant Concentration
Unknown after streaming
• 每个时步之后，内部流场节点上的分布函数均已经获得， 但是边界节点上的部分分布函数是未知的。
• 优点： 不需要较复杂的数学推导和公式求解
• 类型： 周期性边界、对称边界、充分发展以及用于固壁边界的反弹格 式、镜面反弹格式、反弹与镜面反弹混合格式等
14.1.1 周期性边界处理格式
• 如果流场在空间呈现周期性变化或在某个方向无穷大， 常常将周期性单元取出作为模拟区域，并在相应边界 上采用周期性边界。
相变传热与流体流动数值分析(第11-14讲)
格子Boltzmann方法 Lattice Boltzmann Method
主要内容
14.1 启发式边界条件 14.2 动力学边界条件 14.3 外推边界条件 14.4 曲面边界条件概述 14.5 LBM模拟的基本步骤
上章回忆；理论推导
单相模型(D2Q9模型)
• 适合既不能用简单的反弹格式处理，也不能用镜面反射格 式的情况，如微通道中的气体流动；
• 将反弹和镜面反射相综合起来，准确地实现真实的气体与 固体之间的相互作用。
传热与流体流动的数值计算
传热与流体流动的数值计算在我们生活的这个五光十色的世界里，传热与流体流动的数值计算就像是一块神秘的拼图，拼出的是科学与生活的千丝万缕。
想象一下，炎热的夏天，你坐在空调下，轻松惬意。
这个看似简单的享受，其实背后可有一番复杂的道道。
传热，就像给热量“搬家”，热量从一个地方跑到另一个地方，就像小孩子追着冰淇淋车跑，恨不得把凉爽带回来。
流体流动更是一场表演，水、空气，甚至油，都是这个舞台上的主角。
它们在管道里、河流中、甚至在我们的身体里，尽情舞动。
说到数值计算，嘿，这可不是那么简单的事儿。
要把这些复杂的现象用数字表达出来，真得费不少脑筋。
就好比你在做一道数学题，题目看似简单，但越往下看，越觉得麻烦。
这就是科学家们的挑战。
他们得用电脑程序来模拟这些过程，就像是在玩一个巨大的沙盘游戏。
数字在屏幕上跳来跳去，变幻莫测，仿佛在告诉你，嘿，快来看看我在这里干嘛呢！而这些数字背后，隐藏的其实是自然规律，流体如何流动，热量如何传递，全在这其中。
传热的方式多种多样，有传导、对流和辐射。
传导嘛，简单说就是“手握手”，热量通过接触传递，就像你把手放在热水里，立刻感到温暖。
对流就更有趣了，想象一下，当水在锅里加热时，底部的水分子先热起来，像是兴奋的小朋友，争先恐后地往上跑，形成了一个循环。
而辐射呢，哦，这就像阳光照射过来，你不需要和太阳“握手”，它的热量就能到达你身边。
这些传热的方式，就像是大自然给我们上了一堂生动的课，让我们感受到热量是如何在不同的环境中游走的。
再说流体流动，这就像是江河奔腾、海洋翻滚。
想象一下，河水顺着坡度流下，水面上的小船随着波浪摇摆，那真是一幅美丽的画面。
流体流动不仅仅是在河里，在我们的生活中，空气在我们的周围流动，呼吸之间都蕴藏着流体力学的秘密。
还有那些在管道里流动的液体，数值计算就像是在为这些流动的液体打个分数，看看谁更快、谁更稳，简直就是流动的奥运会。
数值计算也不是万能的，有时候它们就像一把双刃剑，能帮助我们，但也可能让我们迷失方向。
热传递与流体力学中的数值计算
热传递与流体力学中的数值计算一、简介热传递和流体力学是两个紧密相关的领域，都涉及物质的运动和转换，成为热力学体系中不可或缺的一部分。
数值计算则是解决热传递和流体力学问题的重要方法。
今天我们将从数值计算的角度出发，探讨热传递和流体力学的数值计算方法，分析其应用和局限性。
二、热传递中的数值计算热传递包括传导、对流和辐射，其中最为重要的是传导。
传导热量-流量的表达式是 Fourier 定律，它指出了热流的大小和热梯度的相关性。
传导热量的数值计算方法包括：1. 显式方法显式法是一种直接求解离散方程形式的传统计算方法，它的计算精度较低，但现在已经逐渐淘汰。
例如，TFLUIDS 软件提供了一种标准的显式方法，用于传导问题的数值计算。
2. 隐式方法隐式法是一种求解离散方程变量的计算方法，它的计算精度较高，但需要更多的计算量。
在隐式方法中，计算可以逐步迭代，直到满足预设的精确性要求。
为了获得高精度的计算结果，通常使用数值计算软件，例如 CFD 和 ANSYS。
3. 软件仿真软件仿真是一种基于多物理场和多机构模型的高级计算方法。
它是一种计算大型和复杂热传递问题的高精度方法，可以处理各种传导模型，包括两相流、相变和复杂结构材料。
此类方法已经被广泛应用于汽车、航空航天、能源和建筑等领域的规划和设计，并得到了广泛的认可。
三、流体力学中的数值计算流体力学是液体和气体力学的研究领域，其主要研究对象是流体的运动和转换。
流体力学的主要模拟对象是流体场中的速度和压力，因此流体力学的核心是 Navier-Stokes 方程组，其中包括质量、动量和能量守恒方程。
流体力学的数值计算方法包括：1. 有限体积方法有限体积方法是一种离散流体力学方程的高精度方法，它考虑了流体的受力、耗散和粘度等因素。
有限体积方法的最大优点是可以处理高速和复杂的流体场问题，例如，超音速飞行器、汽车和火箭引擎等问题。
2. 有限元方法有限元方法是一种更为通用的计算方法，它不仅可以应用于流体力学问题，还可以应用于结构力学、热传递等其他力学问题。
作业一传热与流体流动的数值方法
流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰 学号：120351题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。
1122[]0i i x x d TT dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数，1111()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。
111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫-∈⎪⎪-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪=∈⎨⎬-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭其它题目2：考虑2200011d TT dx dTx dx x T +=⎧==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。
题目一解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。
Galerkin 方法是有限元方法。
可知有：1122[]*()0i i x i x d TT l x dx dx +-+=⎰， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：1111222222[]*()[]*()[]*()i ii i i ix xx i i i x x x d T d Td TT l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：11112221122211[]*()[]*[]*i ii i i ix xx i i i i i i i x x x x x x x d T d Td TT l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰由弱解变换可以得111111111122()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x xi i i x x x x x i i x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dxdxdx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰可以得111122()[]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰，i=2，…,n -1 上式继续推导有：1111112211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x xi i i i x x xi i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dxx ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰其中，11111111111111111111()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i ii x x i i i ii i i i x x x i i i i i i i i i x x i i i ii i i i i x ii Tl x dx lx T l x T l x T l x dxl x lx T l x l x T l x l x T dx l x lx T l x l x T l x l x T dx l x lx ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰1111()()()()]i ix i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx+-++++⎰化简可以得：1121111211[2]121[]*()636112211()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰ i=2，….,n -1题目二①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。
流体流动与传热的数值计算
12
三、本课程的目的
❖ 数值求解有关过程的方法很多，但本课程不 打算介绍所有现成的方法，这样只会把同学 们搞糊涂，感到茫然、不知所措。
❖ 本课程主要介绍由Patankar教授与Spalding教 授所开创的（通用）数值计算方法。学习和 掌握这一套方法后即可用以计算分析在科研 工作中可能遇到的实际问题，并可在此基础 上学习、掌握其他数值计算方法。
❖ 但试验的代价→昂贵，某些时候甚至不可能实现，尤 其是在大型工业化装置上进行实验更为困难。
❖ →只能针对已有的现象或装置做→很难用于开发。1： 1，逐渐放大→大大影响了我国化学工业的发展。
❖ 对一些基本物理现象的规律并不都能从实物试验中获 得。
20.8.16
15
②相似理论指导下的实验
缩小规模：或取一局部物体作模型试验。如 裂解炉的开发：单管试验、多管缩小尺寸、 传热试验、加热时间等；再如降膜结晶法：a. 短单管→物理现象观察分析；b. 长、单管， 中间实验；c. 多根管的放大试验；d工业装置。 但即使如此，有时也存在不同程度的困难。
2. R.B. Bird & W.E.Steward，Transport Phenomena
3. E.R.G. Eckert，Analysis of heat and mass transfer
4. Jacob，Heat Transfer 5. 王补宣，工程传热与传质学
6. O.C. Zienkiewieg，The finite element method , by 7. H. Schlichting，Boundary layer theory
→所有这些都要求更细的过程、更精密的控制 →有必要预测有关的过程。
20.8.16
传热与流动的数值计算
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
u v w 0 x y z
div( U ) 0 t
称为流动无散（度）条件 (Zero divergence)。
2. 动量守恒方程
对上图所示的微元体分别在三个坐标方向上应用 Newton第2定律（F=ma)在流体中的表现形式： [微元体内动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 假设流体中切应力与正应力满足Stokes假定：应 力与应变成线性关系，可得u-动量方程如下：
为流体的动力粘度 ， 称为流体的第2分子粘度。
上式右端部分可进一步转化：
v u p u u w (divU 2 ) [ ( )] [ ( )] Fx x x y x y z z x x
u u u u v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (divU ) x x y y z z x x y x z x x p Fx u u u x div( gradu ) Su grad (u ) i j k x y z
Elliptic
的函数。 椭圆型 （回流型） 抛物型 （边界层）
0,
b 4ac
2
0, 0,
Parabolic
热传导问题的数值解法
1. 空间离散化
01
将求解区域划分为一系列小的网格或节点，用离散的差分代替
微分。
2. 时间离散化
02
将时间轴划分为一系列小的时段，用离散的差分代替微分。
3. 初始条件和边界条件的离散化
03
将初始条件和边界条件转化为离散形式。
差分方程的求解
01
1. 迭代法
2. 直接法
02
03
3. 松弛法
通过迭代逐步逼近解，常用的有 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭 代法。
02
根据问题的几何特性和求解精度要求，选择合适的单元类型和
划分方式。
单元划分应尽量保证求解精度和计算效率。
03
建立系统方程
01
根据热传导的物理定律和边界条件，建立每个单元的热平衡 方程。
02
将各个单元的方程联立起来，形成整个求解域上的系统方程 。
03
系统方程通常为线性方程组，可以使用不同的求解方法进行 求解。
步骤
首先将求解区域划分为一系列离散点，然后根据泰勒级数展开，将偏微分方程 中的导数项用离散点上的函数值之差代替，从而得到离散化的差分方程。
特点
有限差分法简单直观，适用于规则区域，但对不规则区域 处理较为复杂。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解区域离散化为有限个小的子域（即有限元），然后在每个子 域上应用数学方法进行求解的方法。
热传导定律也称为傅里叶定律，指出热流密度与温度梯度成正比，方向由高温指向低温。数学表达式为：q = -k * grad(T)，其中 q为热流密度，k为导热系数，T为温度，grad表示梯度。
热传导定律是热传导过程的基本规律，描述了热量传递的方向和大小，是数值解法的基础。
传热与流体流动的数值计算课件
中可能遇到的导热系数的突然
w
e
x
变化。
P
E
一种替代方法：
得到一个通过下式描述的界面 热流密度qe的良好表达式：
(?x)e- (?x)e+
qe
?
ke (TP ? TE ?? (? x?e
(TP ? TE ? (? x?e / ke
(4.7)
5
? 讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均
匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系
在点Tp* ，所 选择的直线与
S~T曲线相切。
S
?
S*
?
( dS dT
)* (T p
?
TP* )
?
4?
5TP*3
?
15TP*2 (TP
?
TP* )
SC ? 4 ? 10TP*3
SP ? ? 15TP*2
9
4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线 陡，使收敛速度降低。
1. 一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值。 2. 由这些估计的T值，计算出离散化方程中的系数的试探值。 3. 解名义上的线性化方程组，得到一组新的T值。 4. 以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复整个过程，
直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的 变化为止。
? 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代 永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
ke kE
kP
kPkE(4.9) Nhomakorabea? 当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：
ke
?
2kPkE kP ? kE
热传导三种方式公式
热传导三种方式公式
热传导是热力学中的一种重要现象，它是热能在物体中传递的过程。
根据传导的方式，热传导可以分为三种类型：导热、对流和辐射。
导热是指热量通过物体内部分子之间的碰撞传递。
导热的热流密
度可以用下列公式来计算：
q = -kA(dT/dx)
其中，q是热流密度，单位为瓦特每米方，k是物质的热导率，A
是热传导的面积，dT是热量的温度差，dx是热传导的路径长度。
对流是指热量通过流体的运动传递。
导致流体运动的原因可以是
温度差、密度差、压力差等。
对流的热流密度可以用下列公式来计算：q = hA(Ts - T∞)
其中，q是热流密度，h是流体的对流热传递系数，A是热传导的
面积，Ts是表面的温度，T∞是环境温度。
辐射是指热量通过电磁波辐射传递。
辐射的热流密度可以用下列
公式来计算：
q = εσA(Ts4 - Tsur4)
其中，q是热流密度，ε是表面的辐射率，σ是斯特藩-玻尔兹曼常数，A是热传导的面积，Ts是表面的温度，Tsur是环境温度。
总的来说，这三种热传导方式在日常生活和工业生产中都有广泛的应用。
对于热力学工程师、光学工程师、建筑师等科技从业人员来说，对于热传导的理解从而采取对应的工艺措施可以更有效的保护生产设备和提升室内环境。
传热流体数值计算
1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为:q g r a d T λ=-⋅ (2-1)式中:q —热流密度，是向量，2/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（/()Kcal mh C ）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。
导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。
单位是：W/(m·K)。
3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为xT∂∂在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x Tx T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz xT∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz xT22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz yT22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T xT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。
传热与流体流动的数值计算-帕坦卡
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热传导三种方式公式
热传导三种方式公式热传导是指物体内部或不同物体之间因温度差异而产生热量传递的现象。
热传导过程可以通过三种方式进行：热对流、热辐射和热传导。
本文将分别介绍三种热传导方式及其公式。
1.热对流热对流是指流体（气体或液体）在物体表面或内部通过对流方式进行热传递。
在流体中，热量传递是通过流体分子间的碰撞实现的。
热对流的公式如下所示：Q=hAΔT其中，Q为热量，h为热传递系数，A为传热面积，ΔT为温度差异。
热传递系数h是由流体的性质、流速、传热面积等因素决定的，通过实验得到的。
例如，一个半径为10cm的球体，其表面与气体接触，气体温度为30℃，球体内部温度为100℃，求其表面每秒钟传递多少热量？解：首先计算出表面积，A=4πr²=4π某10²=1256.64cm²。
然后选择恰当的热传递系数，假设为h=10W/(m²·K)，将其转换为cm单位，得h=0.1W/(cm²·K)。
最后代入公式得到：Q=hAΔT=0.1某1256.64某(100-30)=940.98W。
2.热辐射热辐射是指物体通过辐射方式进行热传递，而不需要介质来传递热量。
所有物体都可以辐射热量，其公式如下所示：Q=σεA(T₁⁴-T₂⁴)其中，Q为热量，σ为斯特腾-玻尔兹曼常数，ε为辐射率，A为表面积，T₁和T₂分别为两侧物体的绝对温度。
斯特腾-玻尔兹曼常数σ是一个物理常数，其数值为5.67某10⁻⁸W/(m²·K⁴)，可以通过实验测定得到物体的辐射率ε。
例如，一个黑色矩形板，长50cm、宽30cm、温度为100℃，悬空悬浮在25℃的房间内，求每秒钟它向房间内传递多少热量？解：首先计算出表面积，A=2(50某30+30某100+50某100)cm²=27,000cm²。
然后计算出物体的辐射率，或参考已知黑色物体的典型值，假设为ε=1、最后代入公式得到：Q=σεA(T₁⁴-T₂⁴)=5.67某10⁻⁸某1某27,000某(373⁴-298⁴)=648.43W。
传热与流体流动数值计算(1~3章)-PPT精选文档
• 可以代表无因次的变量 • 热、质传递，流体流动，紊流以及有关的一些现 象的所有有关微分方程都可以看成通用方程的一 个特殊情况；可以只编写一个求解通用方程的程 序，对不同意义的 重复使用这个程序； • 对不同的 需要对相应的和S分别赋以各自合适 的表达式，同时给出合适的初始条件和边界条件。
坐标的合适选择
恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数。 并非只能使用直角坐标系，任何一种描述空间位置的方式都 是可以采用的。 例子： –1. 在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机 周围的流体流动是非稳态的；但是相对于固定在飞机 上的移动坐标系而言，流动是稳态的。 –2. 在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维 的，但在r，θ，z的圆柱极坐标系内则是二维的。 –3. 坐标变换可能用来进一步减少自变量数量。 –4. 改变因变量可能导致自变量数目的减少。
恰好在第三项之后截断级数，两方程相加相减得到：
3 1 d 2x dx 2
d 2 1 3 2 2 dx 2 ( x )2 2 代入微分方程就推出有限差分方程。
假设：φ的 变化多少 有点像x的 一个多项 式，从而 高阶导数 项不那么 重要。
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院 朱 彤
本课程学习内容
• • • • • • • 物理现象的数学描述 离散化方法 扩散项处理 对流与扩散 流场的计算 湍流数学模型 Fluent基础知识介绍
参考书目
• 传热与流体流动的数值计算——[美] S.V. 帕坦卡 • 湍流——是勋刚 • 湍流计算模型——陈义良 • 数值传热学——陶文铨
其中h是比焓，k是导热系数，T是温度，Sh是容积发热率
热传递和流体流动的数值模拟
热传递和流体流动的数值模拟第一章引言热传递和流体流动的数值模拟是近年来流体力学领域中的热点问题，其应用范围非常广泛，主要包括工程领域、环境领域和地球科学等领域。
这些领域对热传递和流体流动的研究要求高精度、高效率以及高稳定性的数值模拟方法。
本文将讨论热传递和流体流动的数值模拟方法。
首先，简要介绍热传递和流体流动的基本理论。
接下来，讨论数值方法的分类和应用。
最后，结合实例，说明数值模拟方法的优点和不足。
第二章热传递的数值模拟热传递是指热量从高温物体向低温物体传播的过程。
在实际工程中，热传递过程十分复杂，主要包括传导、对流和辐射三种方式。
为了模拟热传递的过程，常用的方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是一种基于网格离散化的方法，通过求解差分方程来计算热传递的过程。
有限元法是一种基于三角剖分的方法，通过建立热传递的微分方程来进行计算。
边界元法是一种基于边界离散化的方法，通过求解边界积分方程来计算热传递过程。
这些方法各有优点和不足，可以根据具体的问题进行选择。
例如，有限差分法计算精度较高，但是在处理不规则边界和非结构化网格上较为困难；有限元法适应性强，但是计算量较大。
因此，根据具体应用场景选择合适的数值模拟方法是非常重要的。
第三章流体流动的数值模拟流体流动是指流体物质随时间和空间的变化而变化的过程。
在实际工程中，流体流动具有复杂、非线性和不可定常等特性，因此需要利用数值模拟方法来进行计算。
常见的数值模拟方法包括有限体积法、有限元法和谱方法等。
有限体积法是一种自然跨越多种物理现象的方法，能够模拟多物质、多相、多场等现象。
有限元法是一种常用的计算流体动力学方法，它将管道等实际工程转化为有限单元模型进行模拟。
谱方法是一种非常高效的模拟方法，通过使用傅里叶级数进行离散化求解。
同样，这些方法各有优点和不足，可以根据具体的问题进行选择。
例如，有限体积法计算精度较高，适用于模拟复杂的流动现象，但是计算量较大。
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流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰 学号：120351题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。
1122[]0i i x x d TT dx dx +-+=⎰ 取线性插值函数， 1111()()()()i i i i i i T x l x T l x T l x T -+-+=++，其中节点间距x ∆是均匀的。
111111()[,]()()()(,]()0i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++⎧⎫-∈⎪⎪-⎪⎪⎪⎪-⎪⎪=∈⎨⎬-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭其它题目2：考虑2200011d TT dx dTx dx x T +=⎧==⎪⎨⎪==⎩ ① 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； ② 写出代数方程组的迭代求解程序； ③ 研究空间步长x ∆对数值精度和收敛性的影响。
题目一解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。
Galerkin 方法是有限元方法。
可知有：1122[]*()0i i x i x d T T l x dx dx +-+=⎰ ， i=2，….,n -1 按照习惯，上述积分写成：1111222222[]*()[]*()[]*()i i i i i ix xx i i i x x x d T d T d T T l x dx T l x dx T l x dx dx dx dx ++--+=+++⎰⎰⎰ 可以推得：11112221122211[]*()[]*[]*i i i i i ix xx i i i i i i i x x x x x x x d T d T d T T l x dx T dx T dx dx dx x x dx x x ++---+-+--+=+++--⎰⎰⎰ 由弱解变换可以得111111111122()[]*()[()]()()i i i i i i i i i i x x x i i i x x x x x ii x x dl x d T d dT dT l x dx l x dx dx dx dx dx dx dx dl x dT dT l x dxdxdx dx +++---++--=-=-⎰⎰⎰⎰可以得111122()[]*()[()]0i i i i x x i i i x x dl x d T dT T l x dx Tl x dx dx dx dx ++--+=-+=⎰⎰ ，i=2，…,n -1 上式继续推导有：1111112211()[]*()[()]*()[2]()i i i i i i x x i i i i x x xi i i i x dl x d T dT T l x dx Tl x l x dx dx dx dx T T T Tl x dxx ++--+-+-+=-+-+=+∆⎰⎰⎰其中，11111111111111111111()[()()()]()[()()()()()()][()()()()()()][()()i i i i i i ii x x i i i ii i i ix x x i i i ii i i i i x x i i i i i i i i i x i i Tl x dx l x T l x T l x T l x dx l x lx T l x l x T l x l x T dx l x l x T l x l x T l x l x T dx l x l x ++--+---+-+-+-+-+-+-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰1111()()()()]i ix i i i i i i i x T l x l x T l x l x T dx +-++++⎰化简可以得：1121111211[2]121[]*()636112211()()()0636i i x i i i i i i i x i i i T T T d T T l x dx xT xT xT dx x x T x T x T x x x+-+--+-+-++=+∆+∆+∆∆=∆++∆-+∆+=∆∆∆⎰i=2，….,n -1题目二①用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。
将0-1划分为N 段，共N+1个节点，N 个控制容积，其中1xN∆=。
对原方程建立差分方程，内部节点：*12011E p P W P P T T T T T T N N N N----+= E w a a N == 1p E w a a a N =++ 12p a N N =+ *2p b T N=p p E E W W a T a T a T b=++p i p i E i E i Wi W i a T a T a T b =++ *1112(2)()i i i P N T N T T T N N-++=++边界节点1x = 11N T +=p p E E W W a T a T a T b=++E w a a N == 1p E w a a a N=++12p a N N=+*11112N N N N N N P a T a T a T T N ++--=++ *112(2)N N P N T N NT T N N -+=++边界节点 0x =0dTdx= (())0e P d dT T dx dx dx +=⎰ *1(2)012P E P P T T T T N N-+-= E a N = *1P b T N = 1122P E a a NNN=-=-p p E E a T a T b =+ *11221Pa T a T T N =+ *1211()2P N T NT T N N-=+组成代数方程组：*12*11*111()1212(2)()212(2)1P i i i PN N P N T NT T i N N N T N T T T i N N N N T N NT T i N N N -+-⎧-=+=⎪⎪⎪+=++≤≤⎨⎪⎪+=++=+⎪⎩写成矩阵方程组：*1*22*1*11000021220001..0200.......2100202100002P P N N P N P N N T N N T N N N T NT N N N N NT T T N N N NT NT N NN N N --⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦②写出代数方程组的迭代求解程序: 用Matlab 编写如下求解程序； function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) %高斯迭代格式 %线性方程组的系数：A %线性方程组中常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：M %线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：n if nargin==3 eps=0.000001;M=10000;elseif nargin==4M=10000;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=x0;n=0;tol=1;while tol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if (n>=M)disp ('Warning：’迭代次数过多，可能不收敛.')return;endendN=input('请输入N值''\n')Tp=input('请输入Tp值''\n')x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;for i=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N; endb0=zeros(N,1); b0(1,1)=(1/N)*Tp; b0(N,1)=(2/N)*Tp+N; for i=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp; end A=A0; b=b0; x0=x1;[x,n]=gauseidel(A,b,x0) x=[x;1] t=(0:1/N:1)title('一维稳态导热问题空间温度分布图') xlabel('空间分布X') ylabel('温度分布T') hold on plot(t,x)① 研究空间步长x 对数值精度和收敛性的影响。
由以上程序计算当取*p T =1。
当N=4时; 迭代次数n=62； N=6;迭代次数n=132；由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加精确，数值精度越高，收敛速度越慢。