7换底公式与自然对数
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
换底公式
对数基本性质：
loga 1 0 loga a 1
b
对数基本性质：
2 2 （3）： log2 4 log ? 2 2log2 2 2
对数恒等式：
b loga a
log2 5 Байду номын сангаас？ 能否用确切的实数表示出来
能否用确切的实数表示出来 log2 5 ？
4：化简求值：（ log2 3 log4 9 log8 27 ...... log2n 3n ) log9 n 32
2
7 log 48 49 log18 5 9 log 49 7 18 9 log18 5 log log18 9 74 log18log 9 log log 3 16 18 4 3 log
7
7
18 2 log18 2 2(log18 ) 9 2(log18 18 log18 9) 16 2(1 a )
设
x log 25 思路：对数运算：对于底数是 10的常用对数和底数是e的 对数式与指数式的互化： loga N b ab N 2 x 自然对数，我们可以利用计算器去求得其确切值，所以对 5
于2为底的对数我们是否可以转化为10或e为底的对数？ 左右两边取10为底的对数，值不变 lg 2 x lg 5
x lg 2 lg 5
loga 对数运算性质：
M n n loga M
lg 5 0.69897 x lg 2 0.30103
3.32
lg 5 log2 5 lg 2
logb N ？ 能否换成a 底数的对数？
logb N ？ 能否换成a 底数的对数？
对数运算法则高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
lo g 7
(2)log3√27+lg 25+lg 4+7
解
3
原式=log332 +lg
2
=3+2lg 10=3+2×1=5.
+(-9.8)0.
1
3
+2+1=2+2lg
2
5 +lg 2
1
2
5+2lg
3
2+2=3+2(lg
5+lg 2)
探究点二
对数换底公式的应用
2.换底公式的意义在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问
题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要
由已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
lg
3.任何对数均可用常用对数表示,即 logab=
lg
(a>0且a≠1,b>0).
ln
(a>0且a≠1,b>0).
2
2
2
2
lg3
lg3 lg2
lg2
5lg3
3lg2
②原式=(
+
)( +
)=
×
2lg2
3lg2 lg3
2lg3 6lg2
2lg3
=
5
.
4
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
解 ∵18b=5,∴log18 5=b.
log18 45
于是 log3645=
log18 36
=
log18 (9×5)
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
对数常用公式-资料类
对数常用公式－资料类关键信息项：1、对数的定义及表示形式：＿___________________________2、常用对数公式：＿___________________________3、对数的运算法则：＿___________________________4、换底公式：＿___________________________11 对数的定义若 a^x ＝ N（a ＞ 0，且a ≠ 1），则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
111 对数的性质1、零和负数没有对数，即logₐN 中 N ＞ 0。
2、 1 的对数为 0，即logₐ1 ＝ 0。
3、底数的对数为 1，即logₐa ＝ 1。
12 常用对数公式1、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN2、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN3、logₐ(M^n) ＝n logₐM设logₐM ＝ x，logₐN ＝ y，则 a^x ＝ M，a^y ＝ N。
1、 M × N ＝ a^x × a^y ＝ a^（x ＋ y)，所以logₐ(M × N) ＝ x ＋ y ＝logₐM ＋logₐN。
2、 M ／ N ＝ a^x ／ a^y ＝ a^（x y)，所以logₐ(M ／ N) ＝ x y ＝logₐM logₐN。
3、（a^x)＾n ＝ a^（nx)，所以logₐ(M^n) ＝ nx ＝n logₐM13 对数的运算法则1、logₐb × log_ba ＝ 12、logₐM^k ＝k logₐM （k 为任意实数）131 示例例如，计算 log₂8 ＋ log₂2，因为 8 ＝ 2^3，2 ＝ 2^1，所以 log₂8 ＝ 3，log₂2 ＝ 1，log₂8 ＋ log₂2 ＝ 3 ＋ 1 ＝ 4。
14 换底公式logₐb ＝ log_cb ／ log_ca （c ＞ 0 且c ≠ 1）141 应用换底公式常用于将不同底数的对数转换为相同底数，以便进行计算和比较。
对数的所有公式
对数的所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数是数学中的一个重要概念，常常出现在各种数学问题中。
它是指某个数（底数）以什么次方等于另一个数（真数）。
对数在数学中有许多重要的应用，尤其在解决指数增长问题和测定数据变动幅度等方面起到重要的作用。
以下是一些关于对数的所有公式。
1.对数的定义：设a和b是正数，且a≠1，b>0，则称b是以a为底数的对数。
a 称为对数的底数，b称为真数。
用符号表示为loga b。
（1）对数的底数不等于1，底数大于1时对数为正数，底数小于1时对数为负数。
（2）loga(mn) = loga m + loga n3.常见对数公式：（1）以10为底数的对数是常用的对数，称为常用对数，表示为lg b。
（2）以e为底的对数称为自然对数，表示为ln b。
其中e≈2.71828。
（3）若a>0且a≠1，则有loga a = 1（5）loga a^k = k4.对数函数的性质：对数函数也是一种常见的数学函数，具有以下性质：（1）对数函数y = loga x的图像位于第一象限，且必过点(1,0)（2）对数函数的图像在a>1时递增，在0<a<1时递减（3）对数函数的反函数是指数函数，其图像为y = a^x对数在数学和科学中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：（1）解决指数增长问题：当一个指数增长问题中自变量是指数时，我们通常会使用对数函数来解决问题，以便更清晰地理解问题背后的增长规律。
（2）数据变动幅度测定：对数也常用于数据的变动幅度测定，例如在生态学中对种群数量的变动进行分析，以及在金融学中对资金的增长进行评估等。
对数作为数学中的一个重要概念，不仅在学术领域具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用价值。
熟练掌握对数的概念和运用对数的公式可以帮助我们更清晰地理解数学和科学中的各种问题，并为我们的计算和分析提供便利。
希望通过学习对数的相关知识，我们能够更好地解决实际问题，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
对数公式及对数函数的总结
对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>。
常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数2解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+-0=-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 27+2(lg 8⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN +=（2）减法：log log log a a aM M N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈（4）log a N a N =（5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4Y --3函数()f x =的定义域为（]1,0()0,1(Y -）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。
（2）二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥=x x y 。
(完整版)对数函数公式汇总
(完整版)对数函数公式汇总引言对数函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用。
本文将对常见的对数函数公式进行汇总和解释，旨在帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、自然对数函数自然对数函数（Natural logarithm n）是以底数为常数e（自然常数）的对数函数。
其公式如下：$$ y = \ln(x) $$其中，x为自变量，y为函数值。
二、常用对数函数$$ y = \log_{10}(x) $$其中，x为自变量，y为函数值。
三、换底公式换底公式（Change of Base Formula）用于将对数函数转换到不同的底数上。
对于任意正数a、b和x，换底公式如下：$$ \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} $$四、对数函数的性质- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 自然对数函数和常用对数函数是单调递增函数，即函数随着自变量的增加而增加。
- 对数函数的图像是一条曲线，其形状取决于底数。
五、对数函数的应用对数函数广泛应用于科学、工程、经济等领域。
主要的应用包括：1. 数据比较：对数函数可以用于比较数据的大小，特别是在数据跨度较大的情况下，比较各个数据点的对数值可以更加直观地观察数据的差异。
2. 指数增长：对数函数常用于模拟指数增长的现象，如人口增长、病毒传播等。
3. 解方程：对数函数常用于解决含对数的方程，通过变换可以简化计算过程，提高解题效率。
结论本文对自然对数函数、常用对数函数及其应用进行了总结和解释。
通过深入理解对数函数的基本公式和性质，读者可以更好地应用对数函数解决实际问题，提高数学建模的能力。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________． 解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二 对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)． 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <b B.a <b <c C ．b <c <aD.c <a <b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)(3)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，n ＝4x ，则log 4m ＝________；满足log n m >1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c <b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________． 解析：由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <c B.b <a <c C ．b <c <aD.c <a <b解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去， 当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根． 设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18， 解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。
中职生数学基础模块上册课《换底公式与自然对数》
作业完成情况：按 时完成作业，质量 较高
02
单元测试：每个单 元结束后进行测试， 检验学习效果
03
期中考试：期中进 行考试，检验学习 成果
04
期末综合测试：期 末进行综合测试， 全面检验学习成果
05
期末考核方式及标准
01
考核方式：闭卷笔试
03
考核标准：满分100分，及格线 60分
05
考核题型：选择题、填空题、计 算题、应用题等
课程重点与难点
第四章节
重点内容梳理
01 换底公式：将指数函数转换
为对数函数
02
自然对数：以e为底的对数 函数
03
换底公式的应用：解决实际 问题
04
自然对数的性质：单调性、 奇偶性、周期性等
换底公式与自然对数的关系：
05 换底公式是自然对数的基础，
自然对数是换底公式的应用。
难点内容解析
01
02
03
中职数学课程采用项目教学、案例 教学等多种教学方法，注重培养学 生的自主学习能力和团队合作能力。
《换底公式与自然对数》课程定位
01
02
03
04
课程目标：掌握 换底公式和自然 对数的基本概念、 性质和计算方法
课程内容：包括 换底公式的推导、 自然对数的定义、 性质然对数的计算和 性质
提高学生的数学思 维能力和解决实际 问题的能力
教学方法与手段
第三章节
教材及参考资料
教材：《中职生数学基础模块上
01
册》 03 教学视频：网络教学视频 05 教学案例：实际案例分析
参考资料：《换底公式与自然对
02
数》 04 教学软件：数学教学软件
对数换底公式总结
对数换底公式总结对数换底公式，也称为换底公式，是对数的一种恒等变形，用于将一个对数转换为以不同底数表示的形式。
这个公式在数学、物理学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
换底公式的基本形式是 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)，其中 a、b、c 都是正数，且a ≠ 1，b ≠ 1，c ≠ 1。
这个公式可以用来将任何底数 a 的对数转换为以底数 c 为底的对数，只要满足上述条件。
在换底公式中，log(a)(b) 表示以 a 为底 b 的对数，log(c)(b) 表示以 c 为底b 的对数，log(c)(a) 表示以 c 为底 a 的对数。
通过这个公式，我们可以将任何底数的对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
换底公式的推导过程可以通过对数的定义和性质进行证明。
首先，根据对数的定义，我们有 log(a)(b) = ln(b) / ln(a)，其中 ln 表示自然对数。
然后，我们可以通过换元法，令 t = ln(b)，得到 log(a)(b) = e^t / ln(a)，其中 e 是自然对数的底数。
接着，我们可以将 e^t 替换为以 c 为底 b 的对数，得到 log(a)(b) = log(c)(b) / log(c)(a)。
通过对数换底公式，我们可以解决一些与对数相关的问题，例如求解对数方程、计算对数的运算性质等。
同时，换底公式还可以用于简化对数的计算过程，例如将一个复杂的对数表达式转换为更简单的形式。
需要注意的是，在对数的换底公式中，换底的底数不能为 1 或 0，因为这两个值不符合对数的定义。
此外，在对数换底公式中，等号成立的条件是 a、b、c 都是正数且a≠1，b≠1，c≠1。
如果这些条件不满足，换底公式可能不成立。
总之，对数换底公式是数学中一个重要的恒等式，它可以将一个对数转换为以任意大于零且不等于 1 的数为底的对数。
这个公式在解决与对数相关的问题时非常有用，可以简化计算过程并得到更简单的结果。
对数的基本性质和运算公式
log2 25 log2 214
=5+14=19 （2） log9 27 解 : log9 27 log32 33 3 log 3 3 2 3 2
1.下列等式成立的是（ ）
A. log4 3 log4 3 log4 5
5
B. lg 4 5 lg 4
（４） log ５－ log １５
对数换底公式
log a N log m N log m a
换底公式，顾名思义，底数换成另一个 数，其中“上（真数）还在上（分子的 真数），下（底数）还在下（分母的真 数）”，既能换过来，又能换回去。
n log am b log a b m
n
奥秘在于应用换底公式两次。下面的 （指数），还是在下面（分母），上面 的（指数）还在上面（分子）。出得来， 也回得去。
对
数
对数定义公式
a N b loga N (a 0, a 1, N 0)
b
对数的本质，就是指数。同底的对数运算与指数运算互成逆运算。
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
5
C. ln8 6 ln 8 ln 6
自然对数运算法则
自然对数运算法则自然对数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
自然对数的运算法则是指在进行自然对数运算时需要遵循的一些规则，这些规则可以帮助我们更好地理解和应用自然对数。
本文将介绍自然对数的运算法则，并且通过一些例子来说明这些法则的具体应用。
首先，我们需要了解自然对数的定义。
自然对数以常数e为底的对数，e是一个无限不循环小数，其值约为2.71828。
自然对数的运算法则包括以下几个方面：1. 自然对数的乘法法则当计算两个自然对数的乘积时，可以将其转化为求指数的和。
即ln(a) + ln(b) = ln(ab)。
例如，ln(2) + ln(3) = ln(6)。
2. 自然对数的除法法则当计算两个自然对数的商时，可以将其转化为求指数的差。
即ln(a) - ln(b) = ln(a/b)。
例如，ln(6) - ln(2) = ln(3)。
3. 自然对数的幂法则当计算自然对数的幂时，可以将其转化为指数与幂的乘积。
即ln(a^b) = b*ln(a)。
例如，ln(2^3) = 3*ln(2)。
4. 自然对数的根式法则当计算自然对数的根式时，可以将其转化为求指数的商。
即ln(√a) = 1/2*ln(a)。
例如，ln(√2) = 1/2*ln(2)。
5. 自然对数的对数换底法则当计算自然对数与其他底数的对数之间的换底时，可以利用换底公式进行转化。
即log(a)b = ln(b)/ln(a)。
例如，log(2)3 = ln(3)/ln(2)。
通过以上的运算法则，我们可以更加灵活地进行自然对数的运算。
接下来，我们通过一些例子来说明这些法则的具体应用。
例1：计算ln(2*3)根据自然对数的乘法法则，ln(2*3) = ln(2) + ln(3) = ln(6)。
例2：计算ln(6/2)根据自然对数的除法法则，ln(6/2) = ln(6) - ln(2) = ln(3)。
例3：计算ln(2^3)根据自然对数的幂法则，ln(2^3) = 3*ln(2)。
最全对数公式整理
最全对数公式整理1.对数定义：对于任意的正实数x和正实数a(a≠1)，定义a为底的对数函数y=log_a(x)表示满足a^y=x的实数y。
其中a为底，x为真数，y为对数。
2.换底公式：对于任意的正实数x和正实数a,b(a,b≠1)，有以下换底公式：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)3.对数幂法则：对于任意的正实数a(a≠1)，x和y，有以下对数幂法则：log_a(x^n) = n * log_a(x)log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)4.对数乘法公式：对于任意的正实数a和b(a,b≠1)，有以下对数乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)5.对数除法公式：对于任意的正实数a和b(a,b≠1)，有以下对数除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)6.对数根公式：对于任意的正实数a和b(a,b≠1)，有以下对数根公式：log_a(b^(1/n)) = (1/n) * log_a(b)7.自然对数公式：ln(x⋅x) = ln(x) + ln(x)ln(x/x) = ln(x) − ln(x)ln(x^n) = n * ln(x)8.常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，通常用log表示，有以下常用对数公式：log(x⋅x) = log(x) + log(x)log(x/x) = log(x) − log(x)log(x^n) = n * log(x)9.对数的性质：(1)xxx_x(1)=0，x≠1(2)xxx_x(x)=1，x≠1(3)x^(xxx_x(x))=x，x≠1，x>0(4)xxx_x(x⋅x)=xxx_x(x)+xxx_x(x)，x≠1，x>0，x>0(5)xxx_x(x/x)=xxx_x(x)−xxx_x(x)，x≠1，x>0，x>0(6)xxx_x(x^x)=x*xxx_x(x)，x≠1，x>0总结：对数公式是数学中非常重要的一类公式，通过运用这些公式可以简化对数运算，从而方便求解各种数学问题。
对数相关公式
对数相关公式
1. 对数的定义：
对于实数 a>0 且a≠1，以 b 为底的对数 x 定义为：a = b^x，记作 x = log(b,a)。
2. 对数的性质：
(1) log(b,1) = 0，其中 b>0 且b≠1。
(2) log(b,b) = 1，其中 b>0 且b≠1。
(3) log(b,a⋅c) = log(b,a) + log(b,c)，其中 a>0、c>0 且 b>0 且b≠1。
(4) log(b,a/c) = log(b,a) - log(b,c)，其中 a>0、c>0 且 b>0 且b≠1。
(5) log(b,a^r) = r⋅log(b,a)，其中 a>0 且 b>0 且b≠1。
(6) log(b,a) = log(c,a)/log(c,b)，其中 a>0、c>0 且a≠1、b≠1、c≠1。
3. 自然对数与常用对数：
(1) 自然对数：以 e 为底的对数，记作 ln(x)。
(2) 常用对数：以 10 为底的对数，记作 log10(x) 或者简写为 log(x)。
4. 常用对数与自然对数之间的换底公式：
(1) log(b,x) = ln(x)/ln(b)，其中 x>0 且 b>0 且b≠1。
(2) ln(x) = log10(x)/log10(e)，其中 x>0。
5. 指数函数与对数函数的互逆性：
(1) 如果 a>0 且a≠1，则指数函数 y = a^x 与对数函数 y = log(a,x) 是互逆的。
以上是一些关于对数的常用公式和性质。
对数概念及其运算
（2）反解：由 y f x写出 x 关于 y 的关系式；
（3）改写：在 x f 1y中，将 x ， y 互换得到 y f 1x；
（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
【例 1】下列函数没有反函数的是：
n 倍。 【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）
c
( A) lg ab lg c Blg a lg b lg c Clg a lg b lg c Dlg ab lg c
【例 4】计算：
1lg 0.012; 3log2 3 log2 5;
2log4 42 3 4 ;
（3） y x2 x x 1;
（4）
y
x2 10 x 1
x2
1
x
0
（D）①③④
【例 3】求函数 y x2 1x 1的反函数.
对数概念及运算与反函数总结
1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）
（1） loga MN loga M loga N （3） loga M n n loga M
定的函数。注意：单调函数必有反函数。 3.反函数与原函数的关系
（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数 y f x有反函数 y f 1x，那么函数
y f 1x的反函数是 y f x，则 y f x与 y f 1x互为反函数；
（2）反函数和原函数的定义域与值域互换
logb
N;
（3） loga M n n logn M n R；
（4） loga
M
n
n m
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第四章指数函数与对数函数
4.2.3 换底公式与自然对数
【教学目标】
1. 掌握换底公式，了解自然对数，能利用换底公式求对数值．
2. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力．
3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
【教学重点】
换底公式．
【教学难点】
利用换底公式求值、化简及证明．
【教学方法】
本节采用启发引导式教学，并利用多媒体以体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则．
通过一个特殊例子导出课题．针对本节课的特点，教师应多引导，多启发，与学生之间进行适当交流和讨论，在应用换底公式时可设定不同层次的题目，让各层次同学都能掌握公式，从而培养学生学习数学的兴趣和运用公式的能力．
106
数学基础模块上册
107。