线性变换的定义

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证 对任意的 α ， ∈σ(V′) β ＝
总有α, ∈ 使 总有 β∈V′使σ(α)
α ,σ(β)＝ . ＝
β
由于σ是线性变换，所以，对任意的a, b∈F, 由于 是线性变换，所以，对任意的 ∈ 是线性变换 有 a α +b β ＝aσ(α)+ bσ(β )＝σ(aα+bβ). ＝ 但V ′是 V 的子空间，aα+ bβ∈V′, 因而 是 的子空间， ∈ a α +b β ∈σ(V′), 故σ(V′)是V 的一个子空间 是 的一个子空间. 特别地， 的子空间， 的象， 特别地，σ(V)是V的子空间，称为 的象，可用 是 的子空间 称为σ的象 Im(σ)表示 表示. 表示
例5
是数域F上的一个线性空间 设V是数域 上的一个线性空间，取定 中的 是数域 上的一个线性空间，取定F中的
一个数k，对任意的 ∈ ，规定σ(ξ)＝kξ. 一个数 ，对任意的ξ∈V，规定 ＝ σ是V的一个线性变换，叫做 的一个数乘（或 是 的一个线性变换 叫做V的一个数乘 的一个线性变换， 的一个数乘（ 位似）变换 位似）变换. 的恒等变换ι； 当k＝1时，σ是V的恒等变换 ； ＝ 时 是 的恒等变换 的零变换θ. 当k＝0时，σ是V的零变换 ＝ 时 是 的零变换 因此，恒等变换及零变换都是线性变换 因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0． ＝ ＝ ＝ ． σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， ＝ ＝ ＝ ， 所以σ(-α)＝-σ(α) ＝ 所以
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2) 定义 中的条件 定义1中的条件 中的条件(1), (2)与以下条件等价： 与以下条件等价： 与以下条件等价 (3) 对任意的 b∈F, α, β∈V，有 对任意的a, ∈ ∈ ， σ(aα+bβ)＝aσ(α)+bσ(β). ＝ 3）线性变换σ保持线性关系式，即对于 ∈V， ）线性变换 保持线性关系式 即对于β∈ ， 保持线性关系式， 若有k 若有 1, k2,…, kn∈F,及α1,α2,…,αn ∈V使得 及 使得 β＝k1α1+ k2α2+…+ knαn ＝ 则
函数作成的R上的线性空间 函数作成的 上的线性空间. 对任意的 上的线性空间 f(x)∈C[a, b], 规定 ∈ 规定J(f(x))＝ ＝
∫
x a
f ( t )d t
.
的一个 J(f(x))仍是 b]上的连续函数． 是C[a, b]的一个 仍是[a, 上的连续函数． 仍是 上的连续函数 J是 线性变换，叫做 的积分变换. 线性变换，叫做C[a, b]的积分变换 的积分变换
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5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中 是Mn(F) ） 其中A是 中 ＝ 其中 中固定的一个方阵； 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); ） 7) 在由实数域 上的所有次数不超过n的多项式及 在由实数域R上的所有次数不超过 的多项式及 上的所有次数不超过 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)； 零多项式构成的线性空间 中 ； 8）把复数域C看成它自己的线性空间 令 ）把复数域 看成它自己的线性空间,令 看成它自己的线性空间 σ(ξ)= , ξ ξ 是ξ的共轭复数 , ξ∈C, 的共轭复数 ∈
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6）设σ是V的一个线性变换，W′是V的一个 ） 的一个线性变换， 是 的一个 是 的一个线性变换 子空间， 子空间，则W′在σ之下的原象集合 在 之下的原象集合 {ξ∈V｜σ（ξ）∈W′} ∈ ｜ （ ） 的一个子空间． 是V的一个子空间． 的一个子空间 特别地，零子空间 在 之下的原象集是 特别地，零子空间{0}在σ之下的原象集是 V的一个子空间，称为σ的核，用ker(σ) 的一个子空间，称为 的核 的核， 的一个子空间 表示.即 表示 即 ker(σ)＝ξ∈V｜σ(ξ)＝0｝ ＝ ∈ ｜ ＝ ｝
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二. 线性变换的基本性质 1) 线性变换 把零向量变成零向量； 线性变换σ把零向量变成零向量 把零向量变成零向量； 把任一向量α的负向量 变成 把任一向量 的负向量-α变成 的象 的负向量 变成α的象 σ(α)的负向量 的负向量-σ(α). 的负向量 证 任取一向量α， 任取一向量 ，有
例2
在 V3 中，H是过原 是过原 点的一个平面. 点的一个平面 是对平面H 令σ是对平面 是对平面
的正投影变换 （图6.2） ）
图6.2
容易看出：对任意向量 容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有 及实数 σ(α+β)＝σ(α)+σ(β) ＝ σ(kα)＝kσ(α) ＝
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2.定义 定义 定义1 设V是数域 上的一个线性空间，σ是 是数域F上的一个线性空间 定义 是数域 上的一个线性空间， 是 V的一个变换，如果它满足以下两个条件： 的一个变换，如果它满足以下两个条件： 的一个变换 （1）对任意的 ∈V，有 ）对任意的α,β∈ ， σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； ＝ ； （2）对任意的 ∈F，有 ）对任意的k∈ ， σ(kα)=kσ(α). 则称σ是向量空间 的一个线性变换 则称 是向量空间V的一个线性变换． 是向量空间 的一个线性变换．
ε n = (0,0,...,1).
的列向量. 而α1, α2, …, αn是A的列向量 的列向量
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习题6.1 习题 1. 判断以下的变换是否是线性变换，说出理由 判断以下的变换是否是线性变换， 1) 在R3中,σ(x1, x2, x3)=(0,x1+ x2-3 x3,2x1-x2-2x3);
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如果在F 如果在 3中规定 σ(α)＝(x12, 3 x1- x2，x2+ x3） ＝ 那么σ就不是 的线性变换. 那么 就不是F3的线性变换 就不是
α=(1,0,0),
β=(2,0,0), α+β=
(3,0,0) ， , (4,6,0) , (9,9,0)
σ(α)=
, (1,3,0)σ(β)=
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V 我们用 图6.3和 和 图6.4分 分 别表示 子空间 Im(σ)和 和 ker(σ). ker(σ) 图6.4 V O 图6.3
V Im(σ)
V O
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性质5）和性质 ）可总括为： 性质 ）和性质6）可总括为： 在线性变换σ之下，向量空间 的 在线性变换 之下，向量空间V的 之下 子空间的象集和原象集都是V的子 子空间的象集和原象集都是 的子 子空间. 子空间
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中任意的 Fn 向量， 是确定的 上的n阶方阵 是确定的F上的 阶方阵 向量，A是确定的 上的 阶方阵. 则 ϕ 是 F n 的 例8 一个线性变换. 一个线性变换 线性方程组
A x 1 b1 x 2 b2 = M M x n bn
2 2 2)在Q3中,σ(x1, x2, x3)= ( x1 , x2- x3, x3 ); 在
3) 在线性空间 中，σ(α)＝ξ,ξ是V中固定 在线性空间V中 ＝ 是 中固定 的一个向量； 的一个向量； 4) 在线性空间 中,σ(α)＝α+ξ,ξ是V中 在线性空间V中 ＝ 是 中 固定的一个向量； 固定的一个向量；
σ(β)＝k1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+knσ(αn), ＝
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特别地， 特别地，当β＝0时，有 ＝ 时 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. ＝ 若k1 ，k2，…，kn 不全为 ，则得性质： ， 不全为0，则得性质： 4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组. 的向量组 5) 设σ是V的一个线性变换 V′是V的子空间 的一个线性变换, 的子空间. 是 的一个线性变换 的子空间 下的象集合,记作 V′在σ下的象集合 记作 下的象集合 记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间 ｜ ∈ 的一个子空间. 是 的一个子空间
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;
特别地， 特别地， 若A=B', 则σ(X)=B'XB, σ是Mn(F)的一个线性变换； 是 的一个线性变换； 的一个线性变换 若B可逆，且A=B-1, 则σ(X)=B-1XB, 可逆， 可逆 σ也是 n(F)的一个线性变换 也是M 的一个线性变换. 也是 的一个线性变换
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一. 定义及例子 1.两个实例 两个实例 例1 在二维几何空 间 V 2中，令σ是将 每个向量旋转角φ 的一个旋转变换 （见图6.1） 见图 ）
图 6.1
容易看出：对任意向量 容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有 及实数 σ(α+β)＝σ(α)+σ(β) σ(kα)＝kσ(α)
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=( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3) = σ(α)+ σ(β) 2)对任意数 k∈F，则有 对任意数 ∈ ， σ(kα)=σ(kx1, kx2, kx3） =( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3) = k(x1, 3x1-x2, x2+x3) = kσ(α) 因此， 是 的一个线性变换． 因此，σ是F3的一个线性变换．
在 F n 中，令ϕ (ξ)＝Aξ,ξ是 ＝ 是
的求解问题，用线性变换的话来说， 的求解问题，用线性变换的话来说，就是 的原象的问题. 求向量 (b1 , b2 ,L , bn ) 的原象的问题 的核. 而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 ϕ 的核
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容易看出 Im(φ)=L(Aε1, Aε2,…, Aεn) =L(α1, α2, …, αn) 其中 ε = (1,0,...,0), ε = (0,1,...,0),..., 1 2
第六章 线性变换
6.1 线性变换的定义
授课题目： 授课题目： 6.1 线性变换的定义 授课时数： 学时 授课时数：4学时 教学目标：理解线性变换的概念， 教学目标：理解线性变换的概念，掌 握线性变换的基本性质 教学重点：线性变换的基本性质 教学重点： 教学难点： 教学难点：线性变换的象与核的求法
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σ(α)+σ(β)=
σ(α+β)
,而σ(α+β)= 而 (5,10,0)
≠ ____ σ(α)+σ(β).
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例4
阶方阵X, 在Mn(F)中, 对任意的 阶方阵 规定 中 对任意的n阶方阵
σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的 ，其中 和 为 上两个固定的 方阵. 由于： 方阵 由于： 1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有 ）对任意的 、 ∈ ，则有σ(X+Y) = A(X+Y)B = AXB+AYB =σ(X)+ σ(Y) 2)对任意的 ∈F，有σ(kX)= A(kX)B 对任意的k∈ ， 对任意的 = k(AXB) = kσ(X) ． 所以,σ是 的一个线性变换. 所以 是 Mn(F )的一个线性变换 的一个线性变换
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例6
在F[x]中，令D(f(x))=f '(x)． 中 ．
容易验证， 是 的一个线性变换， 容易验证，D是F[x]的一个线性变换，称为 的一个线性变换 F [xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的微商变换（或微分变换）. 的微商变换（ 的微商变换 或微分变换） 例7 是定义在[a, 上的一切连续 设C[a, b]是定义在 b]上的一切连续 是定义在
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3.一些例子 一些例子 例3 对 F 3 的每个向量 α = ( x1 , x2 , x3 ) ，规定
) σ (α ) = ( x1 ,3 x1 - x2 , x2 + x3 ．
σ是 F 3的一个变换，我们证明它是一个线性变换． 是 的一个变换，我们证明它是一个线性变换． 1）对于F 3 的任意两个向量 α = ( x1 , x2 , x3 ) ， 与 ） β = ( y1 , y2 , y3 )，有 σ(α+β) = σ(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3) =( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3))